Análisis de extremos

Transcripción

1 Análisis de extremos

2 Referencias Wilks (sección 4.4.5): dice mucho, explica poco Coles (2001) An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values

3 Introducción Objetivo del análisis de extremos: cuantificar el comportamiento aleatorio de un determinado proceso para valores atípicamente altos o bajos. 1ª dificultad se busca estimar la probabilidad de ocurrencia de eventos mayores (o menores) a los observados; i.e. se requieren modelos para extrapolar los datos

4 Por ejemplo: Variable aleatoria: Máxima velocidad de viento anual : Máxima velocidad de viento media en 10 min a 10 m de altura registrada cada 1 hora en una determinada estación durante 34 años V [m/s] Años

5 Se puede estimar la distribución empírica como: V [m/s] Tr = 1/(1-F)

6 25 20 V [m/s] Tr = 1/(1-F) Período de retorno de un valor Zs es el número esperado de observaciones de Z entre dos excedencias consecutivas de Zs. 1 Tr 1 P( Z Si la serie es de datos anuales entonces Tr está en años. Z S )

7 Interés social: qué valores es esperable que ocurran con alto período de retorno? (inundaciones, sequías, olas de calor, vientos ) Valores objetivo típicos corresponden a entre 100 y años. 25? 20 V [m/s] Tr = 1/(1-F)

8 Introducción Objetivo del análisis de extremos: cuantificar el comportamiento aleatorio de un determinado proceso para valores atípicamente altos o bajos. 2ª dificultad La información disponible es escasa; por definición se está trabajando con valores atípicos (poco probables).

9 Por ejemplo: De una determinada variable tenemos datos horarios durante varios años x

10 Introducción 2ª dificultad La información disponible es escasa; por definición se está trabajando con valores atípicos (poco probables). Muy importante: 1) Maximizar el uso de la información 2) Calcular intervalos de

11 Introducción Existen dos aproximación clásicas al cálculo de extremos: (1) Análisis de los máximos alcanzados en un período de tiempo fijo (típicamente máximos anuales) (2) Análisis de los máximos alcanzados en cada uno de los eventos extremos registrados (picos sobre el umbral) El análisis (1) considera un evento extremo por año de registro; en el análisis (2) puede haber años con más de un evento extremo y años sin eventos extremos.

12 Coles (2001) capítulo 3 (+ algo de capítulo 2)

13 Nuestra variable aleatoria va a ser Mn: con X1,,Xn una secuencia de variables aleatorias independientes con la misma distribución F(x). Típicamente Xi son los valores obtenidos al medir un determinado proceso con una frecuencia fija (e.g. datos de viento horarios), y n es la cantidad de datos en una año (e.g. 365 x 24).

14 En principio la distribución de Mn podría derivarse de la distribución F(x): pero pequeños errores en el ajuste de la cola superior se traducen en grandes errores en la distribución de máximos anuales

15 Por ejemplo: De una determinada variable tenemos datos horarios durante varios años se puede ajustar una distribución F(x) x f(x) 20 15?

16 Alternativa? Extremal Type Theorem Dice que el máximo Mn de n observaciones independientes de Xi tiende a una distribución de probabilidad G(z) fija cuando n tiende a infinito, independientemente de cuál sea la distribución F(x) La distribución G(z) se denomina distribución generalizada de extremos (GEV distribution).

17 En la realidad: n no tiende a infinito Las observaciones no son independientes La distribución F(x) no necesariamente es estacionaria A pesar de lo cual el uso de la distribución GEV a probado ser una herramienta valiosa en el análisis de extremos siempre y cuando se tenga una comprensión suficiente de los procesos físicos que subyacen a los datos analizados, de modo de aplicar la GEV con criterio

18 Distribución GEV con siendo: mu parámetro de posición sigma parámetro de escala xi parámetro de forma

19 El parámetro de forma (xi) determina si la distribución está acotada o no xi = 0 Distribución Tipo I (Gumbel) no acotada xi > 0 Distribución Tipo II (Frechet o Fisher-Tippett II) con límite inferior xi < 0 Distribución Tipo III (Weibull) con límite superior

20 Cálculo de cuantiles Parea calcular el cuantil de probabilidad de excedencia p (z p ), se invierte la distribución G(z), obteniéndose: Cuando se trabaja con máximos anuales el período de retorno es Tr = 1/p

21 Papel de Gumbel: Si se define la variable, siendo p la probabilidad de excedencia de z p (G(z p ) = 1-p ), entonces el gráfico log(y p ) z p será lineal en el caso de la distribución de Gumbel (xi = 0) Tipo III: Weibull Tipo I: Gumbel Tipo II: Frechet

22 Ejemplo GEV: 25 Velocidad de viento V W [m/s] Período de retorno [años]

23 Ajuste de los parámetros de la distribución GEV (1) Máxima verosimilitud (2) Probability Weighted Moments (PWM; combinación lineal de momentos de la distribución)

24 Ajuste parámetros GEV mediante máxima verosimilitud Da resultados adecuados cuando xi>-0,5 (habitual en la práctica) y cuando el número de datos disponible es grande Se buscan los parámetros que maximizan el logaritmo de la función de verosimilitud.

25 En MATLAB el comando es: gevfit

26 Ajuste parámetros GEV mediante PWM Da mejor ajuste cuando el número de datos disponible es chico Equivalente al método de los momentos, pero se igualan combinaciones lineales de momentos en lugar de igualar momentos.

27 Ajuste parámetros GEV mediante PWM El método no está programado en MATLAB pero es de fácil programación.

28 Velocidad de viento V W [m/s] data1 ML PWM? Período de retorno [años]

29 Cálculo de intervalos de confianza (1) Método Delta (2) Perfil de verosimilitud (profile likelihood) (3) Métodos basados en Bootstrapping paramétrico (muestreo aleatorio y simulación)

30 Intervalos de confianza: Método Delta Asigna a los cuantiles una distribución normal intervalos de confianza simétricos en torno al valor estimado no es realista cuando se extrapola a altos períodos de retorno: se corre el riesgo de subestimar límite superior. No está programado en MATLAB; puede programarse con cierta facilidad siguiendo Coles (2001, Cap.2)

31 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud

32 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud

33 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud

34 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud Para usar el perfil de verosimilitud para estimar los intervalos de confianza de los cuantiles de la GEV es necesario expresar uno de los parámetros de la distribución en función del valor del cuantil (ver Coles 2001, Cap 3).

35 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud

36 Intervalos de confianza: Perfil de Verosimilitud No está programado en MATLAB Es posible programarlo siguiendo Coles (2001) capítulos 2 y 3, pero requiere usar funciones de optimización (búsqueda de mínimos) para construir los perfiles de verosimilitud.

37 Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico Aproximación tradicional; dada GEV ajustada con datos originales: (1) se simulan N series de igual duración que la serie original (2) a cada serie se le ajusta una GEV y se calcula el cuantil de interés (3) se estiman intervalos de confianza a partir de datos generados

38 Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico Aproximación alternativa; dada GEV ajustada con datos originales: (1) se estima matriz de covarianza de los parámetros (2) se simulan N conjuntos de parámetros usando la matriz de covarianza (3) Se estima el cuantil objetivo con cada conjunto de parámetros (4) se estiman intervalos de confianza a partir de datos generados

39 Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico No están programados en MATLAB pero son de sencilla programación una vez que se tiene la matriz de covarianza

40 Intervalos de confianza: Bootstrapping paramétrico Matriz de covarianza de los parámetros para ajuste ML: función gevlike Matriz de covarianza de los parámetros para ajuste PWM hay que programarla usando

41 30 Velocidad de viento V W [m/s] data1 ML PWM Período de retorno [años]

42 Ejemplo: análisis de extremos de la altura de ola significante en la costa de Rocha x 10 6 Profundidad (mwh) Y (UTM zona 22H) ADCP B Condición de borde X (UTM zona 22H) x

43 6 Máximo Hm0 Anual [m] Año

44 9 Distribución de extremos GEV de Hm0 (Omnidireccional) Altura de ola significante espectral Hm0 [m] Período de retorno [años]

45 Altura de ola significante espectral Hm0 [m] ENE Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] E Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] ESE Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] SE Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] SSE Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] S Período de retorno [años] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] SSW Período de retorno [años]

46 9 Distribución de extremos GEV de Hm0 (Omnidireccional) 11 Distribución de extremos GEV de Hm0 (Direccional) Altura de ola significante espectral Hm0 [m] Altura de ola significante espectral Hm0 [m] Período de retorno [años] Período de retorno [años]

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