Análisis de Redes. Una red está formada por nudos conectados por hilos. Sobre los hilos se indica el sentido del flujo.

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Eugenia Gutiérrez Vidal
hace 6 años
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1 Análisis de Redes Vamos a ver una aplicación de los sistemas de Ecuaciones lineales de vital importancia en muchos campos, tanto de la ciencia (por ejemplo el estudio de las redes eléctricas), como en la organización empresarial o en el urbanismo de las ciudades y pueblos. Se trata del Análisis de Redes. Una red está formada por nudos conectados por hilos. Sobre los hilos se indica el sentido del flujo. Fig. 1 Una propiedad fundamental de las redes es que el flujo total que entra en un nudo es igual al flujo total que sale Fíjate en la figura 1. Esta propiedad se plasma en que x 1 = x 2 + x 3 Fig. 2

2 En la figura 2 tenemos que x1 + x2 = x3 + x4 Veamos un ejemplo de red Fig. 3 Como ves, los nudos están numerados y los distintos hilos se identifican con las variables x 1, x 2, x 3, x 4, x 5. Algunos hilos tienen un cierto valor constante como 20 o 40, que tendrán un significado distinto dependiendo de lo que represente la red; puede ser el flujo de tráfico en una ciudad, o la cantidad de agua que pasa por una tubería, en esos casos los valores estarán medidos en litros por segundo o miles de litros por hora o nº de coches por hora. En el caso de representar el flujo de tráfico, los distintos hilos serán las calles de la ciudad y en el otro caso los hilos representan canalizaciones de agua. Tratamiento matemático de Redes Para analizar matemáticamente una red, estudiamos los distintos nodos que aparecen en la misma y tenemos en cuenta que el flujo que entra en

3 cada uno tiene que ser igual al flujo que sale. A partir de ahí, podemos plantear un sistema de Ecuaciones lineales. Vamos a resolver la red siguiente: Nodo Entran Salen Ecuación 1 40 x1+x2 x1+x2=40 2 x4 x3+40 x3+40=x4 3 x2+x x2+x3=40 4 x1+20 x5 x1+20=x5 5 x5+20 x4 x5+20=x4 Ahora podemos resolver el sistema de ecuaciones que hemos planteado utilizando para ello lo que hemos aprendido en la sección dedicada a la resolución de Sistemas de ecuaciones lineales. Para ello, primero expresamos el sistema en forma de matriz ampliada. x1 x2 x3 x4 x5 c Entramos en la aplicación Home de la TI voyage200

Elegimos F6-2:NewProb con lo cual borramos todas las variables almacenadas en memoria Pulsamos la tecla APPS para mostrar el menú de Aplicaciones

.. En Type elegimos Matrix, no cambiamos la carpeta donde se va a almacenar la matriz que creemos (main).

4 Elegimos F6-2:NewProb con lo cual borramos todas las variables almacenadas en memoria Pulsamos la tecla APPS para mostrar el menú de Aplicaciones instaladas en la Voyage200 y elegimos Data/Matrix Nos aparece un menú y elegimos la opción New... En Type elegimos Matrix, no cambiamos la carpeta donde se va a almacenar la matriz que creemos (main). Para guardar la matriz elegimos la variable a y la dimensionamos a= 5x6. (Ya lo he comentado antes, es un convenio llamar con letras mayúsculas las matrices, pero en los modelos de calculadoras que trabajamos es más factible trabajar las variables con letras minúsculas.

Introducimos la matriz en la variable a Con 2ND+APPS pasamos a la pantalla HOME Con la orden rref(a) pasamos la matriz ampliada a su forma escalar reducida (esta forma es la que se utiliza para

5 Introducimos la matriz en la variable a Con 2ND+APPS pasamos a la pantalla HOME Con la orden rref(a) pasamos la matriz ampliada a su forma escalar reducida (esta forma es la que se utiliza para resolver un sistema en el método de Gauss-Jordan) Como se ve, el sistema admite infinitas soluciones (ver capítulo dedicado a la resolución de Sistemas de Ecuaciones) Para expresar las infinitas soluciones utilizamos la representación paramétrica de las soluciones. Llamando t a x5, tenemos: x1 = t-20

6 x2 = 60-t x3 = t-20 x4 = 20+t x5 = t Variando el flujo que se hace pasar por el hilo x5 podemos controlar y ver como varía el flujo del resto de hilos y nodos de la red. Ésto es de gran utilidad en los modernos sistemas de control de flujo de tráfico en las ciudades o en las canalizaciones del agua como veremos en los ejemplos siguientes. Una red de Tuberías El agua fluye por una red de tuberías (en miles de metros cúbicos por hora) tal y como muestra la figura. a) Resolver este sistema en las incógnitas x i, i=1,2,...,7 b) Calcular el flujo de agua cuando x 6 = x 7 = 0 c) Calcular el flujo de agua cuando x 5 =1000 y x 6 =0

x1 x2+x4 x2+x4=x1 3 x2+x5 500 x2+x5=500 4 500 x5+x7 x5+x7=500 5 x7+x4 x6 x7+x4=x6 6 x6+x3 600 x6+x3=600 x1

7 a) Resolver este sistema en las incógnitas x i, i=1,2,...,7 Planteamos el sistema En forma de matriz ampliada Nodo Entran Salen Ecuación x1+x3 x1+x3=600 2 x1 x2+x4 x2+x4=x1 3 x2+x5 500 x2+x5= x5+x7 x5+x7=500 5 x7+x4 x6 x7+x4=x6 6 x6+x3 600 x6+x3=600 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 c Obtenemos la forma escalar reducida de a

Fíjate bien en el resultado, tenemos 5 filas linealmente independientes y el sistema tiene 7 incógnitas, con lo cual tenemos que fijar dos de las incógnitas para dar el Conjunto de soluciones del

8 Fíjate bien en el resultado, tenemos 5 filas linealmente independientes y el sistema tiene 7 incógnitas, con lo cual tenemos que fijar dos de las incógnitas para dar el Conjunto de soluciones del Sistema en su representación paramétrica. Llamando t a x7 y s a x6 tenemos: x1 = s x2 = t x3 = s x4 = s - t x5 = t x6 = s x7 = t b) Calcular el flujo de agua cuando x 6 = x 7 = 0 Entonces s = t = 0 con lo cual el flujo que pasa por los distintos hilos (en miles de metros cúbicos por hora) x1 = 0

9 x2 = 0 x3 = 600 x4 = 0 x5 = 500 x6 = x7 = 0 Como ves sólo fluye agua por los hilos 3 y 5. Este sistema es el que utilizan los ayuntamientos para controlar el flujo de sus tuberías de agua (claro que a gran escala con muchos más nudos e hilos) c) Calcular el flujo de agua cuando x 5 =1000 y x 6 =0 Fíjate bien en el gráfico, concretamente en el nodo 4. Como ves entran 500 y salen x5+x7. Matemáticamente resulta que si x5=1000, entonces x7=-500. Esto puede parecer un sin sentido, un hilo con un flujo negativo de agua. Este flujo negativo sin embargo en una simulación puede ser indicativo de que si la demanda aumenta en el hilo x5 hay que aumentar el flujo hacia el nodo 4 para poder cumplir con la demanda de agua. Se resuelve el sistema se ve qué pasa si aumenta la demanda en x5 hasta 1000 y en x6 se queda en cero. Hay que replantear el sistema eliminando x5 y x6 como incógnitas y dejándolos como constantes con valores 1000 y cero respectivamente. (puedes planteártelo como ejercicio) Queda: x1 = 0 x2 = -500

10 x3 = 600 x4 = 500 x5 = 1000 x6 = 0 x7 = -500 Al obtener valores negativos en algunos hilos se observa en qué nodos hay que aumentar el flujo de agua y en cuáles se puede disminuir, después se replantea de nuevo todo el sistema. En la práctica, las empresas utilizan potentes ordenadores y programas capaces para resolver los sistemas de Ecuaciones lineales que les plantean estas simulaciones. Para que te hagas una idea, un problema de programación de tripulaciones y vuelos en la Empresa American Airlines requirió cálculos con matrices de 837 filas y columnas. Este problema de Programación Lineal exigió dividir el problema en unidades más pequeñas y resolverlo en un superordenador CRAY Y-MP.

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