Oscilaciones MOVIMIENTO ARMÓNICO

Transcripción

1 Oscilaciones En el caso de un gallo que meta su cabeza en un recipiente de vidrio vacío y cante de manera que por ello se rompa el recipiente, habría que pagar el costo total. EL TALMUD En este capítulo volvemos al campo de la Dinámica, concretamente al estudio de las vibraciones y ondas. Estos dos términos nos son familiares. La palabra vibración nos trae a la mente el punteado de una cuerda de guitarra, el aleteo de un colibrí o la vibración casi silenciosa del áncora de un reloj. Análogamente, la palabra onda nos hace pensar en las olas del mar o las ondulaciones en la superficie de un estanque. A pesar de lo familiares que nos resultan estos términos, su importancia es nimia frente al hecho de que la mayor parte de nuestro contacto con el mundo que nos rodea -todo lo que vemos y oímos- nos llega a través de las vibraciones y ondas causantes de la visión y el sonido. Comenzaremos nuestro estudio de las vibraciones y ondas con lo que constituye su fundamento: las oscilaciones. Son múltiples los ejemplos de oscilaciones que conocemos: Las barquitas se mueven arriba y abajo, los péndulos de los relojes oscilan a derecha e izquierda y las cuerdas y lengüetas de los instrumentos musicales vibran. Otros ejemplos menos familiares son las oscilaciones de las moléculas del aire en una onda sonora y las oscilaciones de corrientes eléctricas en circuitos de radios o televisores. La característica más destacada del movimiento oscilatorio es que éste se repite. El tiempo que dura cada repetición se denomina período. La oscilación se produce cuando perturbamos un sistema que está en una posición de equilibrio estable. En los movimientos oscilatorios o vibratorios, una partícula realiza un movimiento de vaivén con una cierta amplitud en torno a una posición de equilibrio. La causa de que el objeto vibre es la aplicación de una fuerza. MOVIMIENTO ARMÓNICO Entre los movimientos oscilatorios periódicos, el más importante y al mismo tiempo el más habitual es el llamado movimiento armónico simple. Ecuación del movimiento armónico simple De todos los movimientos vibratorios que se dan en la naturaleza los más importantes son los armónicos simples. Se llaman así porque se pueden expresar mediante funciones armónicas, como son el seno y el coseno, de una sola variable. página 1

2 x(t)=a sen wt ó x(t)=a cos wt Nosotros utilizaremos la expresión: x(t)=a cos wt x: Recibe el nombre de elogación. Es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante referida a la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba o derecha y negativa hacia abajo o izquierda. la elongación representa el desplazamiento que ha experimentado la partícula en el tiempo t. A: Amplitud. Es el valor máximo que puede tomar la elongación. Esto ocurre cuando ha transcurrido un cuarto de período, si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula pasa por la posición de equilibrio. Si la amplitud disminuye paulatinamente, decimos que el movimiento vibratorio es amortiguado. T: Período. Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También se puede definir así: Período es el tiempo que tarda el m.a.s. en realizar una vibración completa. Esto ocurre cuando la partícula pasa dos veces consecutivas por la misma posición y en el mismo sentido del movimiento. El período es constante para un movimiento vibratorio determinado aunque éste sea amortiguado. f: Frecuencia. Es el número de vibraciones completas realizadas en un segundo. Representa la rapidez con que tienen lugar las vibraciones. En el SI se mide en hertzios (Hz), en honor de Heinrich Hertz, quien demostró por primera vez la existencia de las ondas de la radio. Se mide en s -1, vibraciones/s, ciclos/s. De las definiciones de período y frecuencia se deduce: f = 1/T. Para visualizar la ecuación del m.a.s. se puede considerar como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre el diámetro de la circunferencia. Tomamos el punto O' como origen de! sistema de referencia. Suponemos que la par-tícula que recorre la circunferencia se encuentra en el punto O. Para t = O su proyección será el centro de la circunferencia O'. Cuando la partícula sobre la circunferencia va tomando las sucesivas posiciones 1,2,3,...en el diámetro se obtienen las posiciones correspondientes 1', 2', 3',... Figura 1. El m.a.s. se obtiene proyectando un movimiento circular uniforme. Si observas la Figura 1. comprobarás que cuando se ha recorrido un cuarto de vuelta, el tiempo transcurrido ha sido un cuarto de período, y el movimiento vibratorio ha recorrido un radio, que es el valor máximo del desplazamiento. Cuando hemos recorrido la circunferencia completa, el tiempo transcurrido es de un período y en el diámetro se ha realizado una vibración completa. A partir de ese instante, los dos movimientos se repiten. página 2

3 En la figura 2 vemos que a un desplazamiento angular θ = wt, realizado en el movimiento circular en el tiempo t, corresponde un desplazamiento x en el diámetro, tal que: x = A sen wt Figura 2 Si proyectamos sobre el diámetro vertical el desplazamiento correspondiente, sería x = A cos wt. En la Figura 3 está representado el diagrama x-t de este movimiento. En el caso de que empecemos a medir el tiempo a partir de la posición P (se ha recorrido previamente un ángulo ϕ ) (Fig. 4), el valor de x será: x = A sen (wt + ϕ) Ecuación general del m.a.s. Figura 3 (wt + ϕ): Fase en cualquier instante. Su valor determina el estado de vibración o fase del movimiento. ϕ: Fase inicial o corrección de fase. Su valor determina el estado de vibración para t =0. En ese caso, x = A sen ϕ. Si empezamos a contar el tiempo cuandola partícula pasa por la posición de equilibrio, resulta ϕ = 0. Figura 4 Para los cálculos posteriores supondremos ϕ = 0. Velocidad y aceleración del m.a.s. Ya conoces la ecuación del movimiento armónico. Estudiamos a continuación su velocidad y su aceleración instantáneas; Velocidad del movimiento armónico simple Recuerda que la velocidad instantánea de una partícula es la velocidad que posee dicha partícula en cualquier instante o en cualquier punto de su trayectoria y se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación del movimiento. En este caso se halla derivando la ecuación x = A sen wt. página 3

4 v = dx/dt = Aw cos wt = Aw 1-sen 2 wt= w A 2 -A 2 sen 2 wt = w A 2 - x 2 Para llegar a esta expresión se ha tenido en cuenta que sen 2 wt + cos 2 wt = 1; cos 2 wt = 1-sen 2 wt; cos wt = 1-sen 2 wt. Resumiendo, hay dos expresiones para la velocidad instantánea: v = Aw cos wt v = w A 2 - x 2 en función del tiempo en funión de la posición En la Figura 5 se ha representado la gráfica de esta velocidad en función de t. Figura 5. velocidad en función del tiempo en un momimiento vibratorio. Consecuencias: 1. La velocidad del movimiento armónico es función periódica del tiempo. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Tiene el valor máximo en el centro de la trayectoria y se anula en los extremos. Aceleración del movimiento armónico Recuerda que la aceleración se obtiene, en general, derivando la ecuación de la velocidad. Si derivamos la función v = Aw cos wt a = dv/dt = -Aw 2 sen wt x = A sen wt de dode a= -w 2 x página 4

5 Consecuencias: 1. La aceleración también es periódica. 2. Su valor depende de la posición de la partícula. Es proporcional a la posición, pero de sentido contrario a ella. 3. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la velocidad angular. 4. Es nula en el centro y máxima en los extremos. 5. Está desfasada π/2 de la velocidad. El movimiento armónico, pues, es retardado cuando la partícula vibrante se dirige hacia los extremos, y acelerado cuando dicha partícula se mueve hacia el centro. Teniendo en cuenta esto, podemos dar otra definición de movimiento armónico: es un movimiento rectilíneo cuya aceleración es proporcional a la posición o elongación pero de sentido contrario. La aceleración y la elongación tienen sentidos opuestos y sus módulos son proporcionales. Esta relación sirve para identificar un sistema que tenga m.a.s. Figura 6. aceleración en función del tiempo en un momimiento vibratorio. De la gráfica de la Figura 6 se deduce que la aceleración está en fase con la elongación. Fíjate que la aceleración, y por lo tanto la fuerza, dependen del desplazamiento pero de signo contrario. F x máx < 0 v = 0 a máx > 0 x = 0 v máx > 0 a = 0; F = 0 x máx > 0 v = 0 a máx < 0 F x máx < 0 v = 0 a máx > 0 F x = 0 v máx > 0 a = 0; F = 0 F x máx > 0 v = 0 a máx < 0 x máx < 0 v = 0 a máx > 0 F x = 0 v máx > 0 a = 0; F = 0 F x máx > 0 v = 0 a máx < 0 página 5

6 Dinámica del movimiento armónico simple 1 er caso: movimiento de un resorte Hasta ahora, nuestro estudio del MAS se ha limitado a sus características cinemáticas. En este apartado estudiaremos la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un ejemplo concreto de oscilador armónico (sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora). A partir de la ecuación de la aceleración del MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un cuerpo o partícula de masa m a fin de que oscile con dicho movimiento. Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del MAS, tenemos: F = ma a = -w 2 x F = -mw 2 x Al aplicar una fuerza F ex en la dirección del eje X, el cuerpo se desplaza de la posición de equilibrio Como m y w no varían, aparece una constante K (K= mw 2 ), en el caso de los muelles, denominada constante elástica o recuperadora: F = -Kx Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que se anula. Al cesar la F ex, el resorte comienza a comprimirse, ya que ejerce una fuerza recuperadora F opuesta al desplazamiento. Ésta tiende siempre a llevar al cuerpo a la posición de equilibrio y produce en él una aceleración a. Conocemos esta fuerza porque aparece cuando deformamos un cuerpo elástico, por ejemplo, un resorte. o cuando sacamos a la masa de un péndulo de su posición de equilibrio. La constante K es siempre positiva y, cuanto mayor sea, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición O de equilibrio. La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a éste. Una vez sobrepasada la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora cambia de sentido, aunque el cuerpo continúa desplazándose hacia la izquierda. A partir de las expresiones anteriores podemos obtener las relaciones que ligan la velocidad angular y el período de este movimiento con la masa m y la constante K. mw 2 = K; w = K/m Y puesto que T = 2π/ω, recuperadora: podemos calcular el período de un movimiento producido por una fuerza página 6

7 T= 2π m/k El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento. En el caso de muelles que se encuentren situados verticalmente, es muy facil determinar la constante del muelle: Al colgar sobre él una masa m, se calcula el alargamiento producido y y puesto que F = - K y, la constante del muelle K, será igual a la fuerza ejercida por el muelle -mg dividido por el desplazamiento: -mg = - K y; K= mg/ y -mg y Esta ecuación es muy utilizada para calcular constantes K de los muelles. mg 2º caso: movimiento de un péndulo simple Un ejemplo bien conocido de movimiento oscilatorio es el del péndulo. El movimiento de un péndulo será armónico simple tan sólo si la amplitud del movimiento es pequeña. En la figura 8 se ha represen-tado un péndulo simple, el cual consiste en un hilo de longitud L y una lenteja de masa m. Las fuerzas que se ejercen sobre la lenteja son su peso y la tensión del hilo. Cuando éste forma un ángulo θ con la vertical, el peso tendrá una componente mg cos θ dirigida a lo largo del hilo y otra mg sen θ perpendicular a él. Figura 8 θ T L Péndulo simple. Las fuerzas que se ejercen sobre la lenteja son su peso mg y la tensión T. La fuerza perpendicular a la cuerda es: -mg sen θ = - mg (x/l) Figura 8 x mg sen θ mg mg cos θ En el caso de desplazamientos pequeños, el movimiento del péndulo es armónico simple. página 7

8 Si el ángulo θ es pequeño, la componente perpendicular al hilo estará dirigida aproximadamente en el sentido negativo de la dirección x. La ley de Newton para el movimiento a lo largo del eje x nos da entonces F x = ma x = -mg senθ En la figura vemos que sen θ = x/l. La aceleración, será por tanto a x = -g sen θ = g x/l = - (g/l) x Vemos que en el caso de ángulos pequeños, la aceleración es proporcional al desplazamiento y de sentido contrario. El movimiento será, por tanto, armónico simple. Como hemos visto anteriormente: tenemos, por tanto, que: La frecuencia: El período del movimiento será, pues, a = - w 2 x w 2 = g/l (2πf) 2 = g/l; f = 1/2π g/l T = 1/T = 2π L/g Esto es coherente con la observación experimental de que al aumentar la longitud del péndulo aumenta su período. Observemos que éste no depende de la masa. Ello se debe a que la fuerza recuperadora es proporcional a la masa. La aceleración, a = F/m, será por tanto independiente de la masa. Notemos también que la frecuencia y el período son independientes de la amplitud de vibración, lo que es una característica general del movimiento armónico simple. Movimiento de un péndulo simple. La lenteja aparece fotografiada a intervalos de tiempo iguales. Va más deprisa en la parte inferior, según se desprende de la mayor separación de las imágenes. Galilea descubrió el hecho de que el período del péndulo sólo depende de su longitud y no de su masa ni de su amplitud. Sugirió que los médicos utilizaran pendulitos para medir el pulso de los pacientes variando la longitud del péndulo hasta que su periodo coincidiera con el del pulso. Cuando Christian Huygens conoció la obra de Galilea, utilizó los nuevos descubrimientos acerca de los péndulos para construir un reloj. página 8

9 Qué pasa con la energía en los Movimientos Armónicos? Como ya sabemos, para cualquier campo de fuerzas se cumple que: W= Ε c ; W = E cf - E ci Es decir, el trabajo se invierte en incrementar la energía cinética. Por otro lado, para campos de fuerza conservativos, sabemos que el trabajo es igual a la menos variación de una función que depende del punto en el que se encuentre el sistema y no de la trayectoria. A esta función, propia de campos de fuerzas conservativas se la denomina energía potencial. Dicho de otra manera: W= - Ε p ; W = E pi - E pf Bien. Situémonos ahora en un campo de fuerzas conservativo (campo gravitatorio, campo electrostático, campo de fuerzas de un muelle, etc..). Está claro que el trabajo realizado por dichas fuerzas ha de ser: W= Ε c ó W = - Ε p y ambos trabajos han de ser los mismos, es decir: Ε c = - Ε p Que puesto de otra manera: E cf - E ci = E pi - E pf E ci + E pi = E cf + E pf Es decir, la energía mecánica se conserva, o se mantiene constante en todos los puntos del proceso. 1 er caso: movimiento de un resorte Consideremos el caso de un resorte u oscilador mecánico. Inicialmente se encuentra en una situación de equilibrio (x = 0). No actua ninguan fuerza sobre el bloque de masa m (P1). Seguidamente, se estira hasta un punto x = A mediante una fuerza externa (P2). El muelle responderá a esta fuerza con otra de sentido contrario y valor F = - Kx. Si se suelta el bloque, por efecto de la fuerza pasará por diferentes posiciones hasta alcanzar la antigüa posición de equilibrio (P3). Seguirá avanzando hasta alcanzar una posición simétrica a P2, en x = -A; la posición de máxima compresión (P4). página 9

10 m Situación inicial de equilibrio Centro de coordenadas P1 F= -Kx x = A E c = 1/2mv 2 E c = 0 E p = E p = 0 P2 P3 m E c = 0 E p = F= Kx x = - A P4 Energía cinética La energía cinética de la masa m debida al movimiento es : E c = 1/2 mv 2. Ésta energía está en función de la masa del objeto y del cuadrado de la velocidad. La energía cinética de un oscilador mecánico también puede expresarse en función de la posición (x). Demuestra que la energía cinética, E c = 1/2 mv 2 es igual a 1/2 K (A 2 - x 2 ). Energía potencial elástica Si la fuerza ejercida por un muelle obedece a la ley de Hooke: F(x) = -Kx, siendo x la deformación del muelle, sabemos que el trabajo realizado por las fuerzas del muelle entre dos puntos A y B es: W A-B = - -Kx dx = 1/2 Kx 2 = 1/2 K (x 2 2 -x1 2 ) Fíjate que el trabajo realizado por las fuerzas elásticas depende exclusivamente de los puntos x 2 yx 1 qué quiere decir esto? Cálculo de la energía potencial elástica. Sabemos que W A-B = - Ε p, es decir: E pb - E pa = - W A-B Si queremos determinar la energía potencial en un punto, tendremos que establecer un sistema se referencia (x = 0) en el cual su energía potencia sea cero E pa = 0. Así: E pb - E pa = - W A-B = - -Kx dx = K xdx = K x 2 = 1/2 K x 2 0 E p = 1/2 K x 2 página 10

11 Tomando como referencia la figura de la página anterior analiza los puntos dónde presenta máxima energía cinética y mínima energía potencial, y viceversa. Si tenemos presente el principio de conservación de la energía mecánica, en todo momento, la suma de la energía cinética y potencial se ha de mantener constante E ci + E pi = E cf + E pf A medida que disminuye la energía potencial, debe ir aumentando su energía cinética. Como puedes comprobar, la máxima E p la tiene en los extremos, cuando x = A y x = -A. Progresivamente, va disminuyendo x y, por tanto, su energía potencia, a la vez que incrementa su energía cinética; que será máxima cuando x = 0. De nuevo, hacia la izquierda del eje de coordenadas, comienza a disminuir la energía cinética y aumentar la potencial. El proceso se repite indefinidamente a lo largo del movimiento vibratorio. Determina el valor de la suma de la energía cinética y potencial en cualquier instante del movimiento: resultado (E m = 1/2 KA 2 ) Ejercicio: Se conecta a un resorte de constante elástica K=5,0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que puede oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Estrando el resorte se desplaza el cuerpo 5 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a) El período del movimiento. b) las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. c) los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. d) la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m. Ejercicio: Un cuerpo de 0,68 Kg se fija al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K = 43,79 N/m. Colocamos el sistema sobre un plano horizontal y estiramos el cuerpo hasta 10 cm de la posición de equilibrio y lo soltamos proporcionando un movimiento armónico. Calcula: a) la velocidad máxima y la aceleración máxima del cuerpo b) la velocidad, la aceleración, la energía cinética y la energía potencial del cuerpo cuando x = 5 cm. página 11

12 Ejercicio 1. Una masa de 2 kg cuelga de un resorte cuya constante elástica es k = 200 N/rn y puede oscilar libremente sin rozamiento. Desplazamos la masa 10 cm de su posición de equilibrio y la soltamos para que empiece a oscilar. Calcula: a) La ecuación del movimiento de la masa. b) El período del movimiento. c) La velocidad y la aceleración máximas. d) La fuerza recuperadora cuando la masa se encuentra 5 cm por encima de la posición de equilibrio, la aceleración de la masa en ese instante. Ejercicio 2. De un muelle situado verticalmente se ha colgado un bloque de 5 kg, produciendo un alargamiento de 18 cm. Más tarde el bloque se estira 7,5 cm más y se suelta. Con estos datos calcula: a) La constante elástica del muelle. b) La amplitud del movimiento. c) El período del movimiento. d) La energía potencial elástica del muelle en el instante en que se deja el bloque en libertad. Ejercicio 3. Una masa de 1 kg cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 500 g, el resorte se alarga 2 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. Con qué frecuencia lo hará? Ejercicio 4. Un cuerpo de masa m está unido a un resorte horizontal de constante recuperadora K. que oscila con MAS sobre una superficie horizontal sin rozamiento. a) Determina el valor de su aceleración si: x = 0, x = A, x = - A. b) Di para qué valores de x la aceleración es máxima. Ejercicio 5. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Si se duplica la masa del cuerpo, cómo variarán la frecuencia, la frecuencia angular (w), el período, la velocidad máxima y la aceleración máxima? Ejercicio 6. Un cuerpo de 200 g se sujeta al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K= 25 N/m y se le hace oscilar verticalmente. Calcula: a) la amplitud del movimiento, b) b) el período. Sol.: a) 0,08 m; b) 0,56 s Ejercicio 7. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2,0 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza de 8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al soltarlo, halla: a) la constante recuperadora del resorte, b) b) el período de su oscilación. Sol.: a) 40 N/rn: b) 1,4 s Ejercicio 8. Calcula la constante recuperadora de un resorte sabiendo que, si se cuelga un cuerpo de 50 g del extremo libre del resorte y se le hace oscilar verticalmente, el período vale 1,5 s. Sol.: 0,88 N/m página 12

13 Ejercicio 9. Un cuerpo de 2 kg colocado en el extremo de un muelle de constante recuperadora 65 N/rn se estira 0,3 m desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. a) Cuánto vale la energía potencial inicial del cuerpo? b) Qué velocidad máxima alcanzará éste? Sol.: a)2,92j; b) ±1,7 m/s Ejercicio 10. Un bloque de acero de 1,5 kg, sujeto a un resorte de constante K = 1,5 N/rn, efectúa un MAS. Si su máxima rapidez es de ±3 m/s, calcula: a) la energía del bloque parado, b) la amplitud del movimiento, c) la aceleración máxima. Sol.: a) 6,75 J; b) 3 m; c) ±3 m/s Ejercicio 11. Disponemos de un muelle que se alarga 5 cm cuando se cuelga de él una masa de 1,0 kg. Colocamos este muelle unido a una masa de 500 g sobre una rnesa horizontal sin rozamiento. La rnasa se separa 3 cm de su posición de equilibrio y se deja vibrar sobre el eje horizontal. Calcula: a) La constante de recuperación del resorte. b) La energía potencial en el punto de máxima deformación. c) La energía potencial y la cinética cuando x = 2 cm. d) La velocidad en este punto. Sol.:a)196 N/m,; b)0,088 J; c)ep = 0,039 J, Ec = 0,049 J; d) 0,443 m/s 2º caso: movimiento de un péndulo simple En el caso de un péndulo tenemos una sitaución similar al caso de un muelle. En este proceso, es la fuerza gravitatoria la encargada de provocar la oscilación armónica entre los puntos 1, 2, 3, 2, 1... Como hemos visto con anterioridad, si colocamos la masa m en la posición 1, actúa una fuerza -mgsenθ que hace que el objeto, con velocidad inicial cero, sea acelerado hasta conseguir una velocidad máxima en 2. A partir de este θ punto la masa sufre una deceleración que la hace detener en el punto 3. T 3 2 h SR; E p = 0 E c = 1/2 mv 2 mg T mg sen θ 1 E p = mgh E c = 0 mg cos θ En una consideración energética, sobre el péndulo actúa la fuerza de la gravedad (fuerza conservativa) por lo que la energía mecánica se conservará a lo largo de su movimiento. página 13

14 Qué energías actúan? En primer lugar, tomaremos un sistema de referencia de energías potenciales, al igual que hicimos con el muelle. En este caso, consideraremos el origen de energías potenciales o sistema de referencia, en el punto más bajo de la trayectoria del péndulo -punto 2-. De esta manera tendremos que en el punto 1 y 3 la energía potencial gravitatoria que posee la masa del péndulo es : E p = mgh, considerando h como la altura alcanzada por la masa desde el sistema de referencia. h = L - L cos θ = L (1 cos θ) Por lo tanto, la energía potencial que posee en 1 o en 3 es E p = mgl(1 cos θ) Como parece evidente, la energía cinética en 1 y 3 es cero, ya que la partícula se encuentra en reposo. Por otro lado, en el punto 2, toda la energía que posee es cinética (E c = 1/2 mv 2 ). La potencial es cero, ya que se encuentra en el origen de potenciales. En los puntos intermedios, la energía potencial inicial se va convirtiendo progresivamente en cinética y disminuyendo aquella. Lo importante es que la suma de las energías potenciales y cinéticas se ha de mantener constante en cualquier punto de la trayectoria. Ejercicio. Un péndulo consta de un un hilo de longitud L = 1m al que se encuenta unida una masa m = 10 g. Se saca a dicha masa de su posición de equilibrio y se coloca en un punto a 5 cm de altura. Determina: a) la velocidad que posee la masa cuando ha descendido 3 cm. b) la velocidad en el punto más bajo de la trayectoria. c) energía mecánica en un punto a 1 cm de la posición más baja de la trayectoria d) fuerza que actúa sobre la masa en el punto de la cuestión a) página 14