Información cuán.ca, una introducción. Lección 2

Transcripción

1 Información cuán.ca, una introducción. Lección Luis A. Orozco Escuela Avanzada de Verano, Julio 01

2 Revisión de la lección 1: La información es física: La abilidad de una máquina para llevar a cabo cálculos y computaciones está constreñida por las leyes de la física. La información: lo que sabemos. La asignación de probabilidades Bayesianas está basada en conocimiento previo. La Cuántica tiene sus reglas lógias propias. Asigna amplitudes complejas a los procesos cuánticos. Suma amplitudes de los procesos indistinguibles. El cuadrado del valor absoluto de las amplitudes da la probabilidad de encotrar un resultado --> Interferencia de resultados. La medición colapsa el estado. Mi conocimiento cambia.

3 Dos preguntas de la lección anterior: Cual es una fuente de un fotón? Un átomo o un ion excitado Cómo se puede hacer una medición del fotón que no sea destructiva? Cuál es el costo? Un íncice de refracción proporcional a la intensidad, El fotón no se aniquila, pero la fase queda completamente indefinida, por lo que la interferencia desaparece.

4 Variables ocultas? Probabilidad clásica: Conocimiento incompleto del estado, pero puede ser completado descubriendo la información oculta de una propiedad objemva realista. Einstein: La mecánica cuánmca está incompleta. variables ocultas hacen los resultados aparecer aleatorios. John Bell: No hay ninguna variable oculta local (valor objemvo), que pueda representar las correlaciones cuánmcas observadas en mediciones cuánmcas. Estados entrelazados

5 El extraño mundo cuán3co Interferencia entre procesos indismnguibles. IncerMdumbre de Heisenberg (observables incompambles). Aumento de InformaMon / perturbación por la medición. Entrelazamiento: No al realismo local. Información cuán3ca: poner a trabajar a la rareza!

6 Para qué es buena la Información cuán.ca?

7 Computación cuán.ca: Máquina Universal (algoritmo de Shor) Simulación cuánmca CriptograFa Cuán.ca: Distribución de claves (QKD) ComparMr secretos Comunicación Cuán.ca: Capacidad del canal Computación distribuida Metrología CuánMca Sensores de Precisión

8 Hardware y SoLware de la Información Cuán.ca

9 Unidad Fundamental de Información Cuán.ca Bit clásico: Dos- estados que son claramente dismnguibles Lógica digital 1= On V g s compuerta aislante canal d 0= Off S D MOSFET

10 Unidad Fundamental de Información Cuán.ca Bit cuán.co (qubit): Dos- estados que son ortogonales y pueden exismr en superposición. Caminos o polarizaciones de fotones en un interferómetro. Los niveles de energía de un átomo. Direcciones del Spin de un electrón. Estados de carga en un punto cuánmco. Corrientes mesoscópicas en un superconductor. Estados lógicos base : 0 1 Puerto- A del interferómetro Puerto- B del interferómetro Superposición general: ψ = c c 1 1

11 Transformaciones en qubits: Compuertas Lógicas Bit Qubit Identidad x x IN OUT IN OUT NOT x x NOT NOT 0 ( 0 i 1 ) / 1 ( 1 i 0 ) / H 0 ( ) / 1 ( 1 0 ) /

12 Qubits múl.ples: El espacio crece exponencialmente E.g. 3- qubits, dim=8 Caso general: n- qubits: n alterna.vas simultaneamente ψ φ 1 φ φ 3

13 Algoritmo Cuán.co! 0 Mapa input-output 1 ψ out = ˆ U ψ in :: U ˆ ψ in ψ out Paralelismo Cuán.co ::

14 El problema de la Computación Cuán.ca Acoplamiento de qubits. Campos de control. Coherencia Acoplamiento al medio ambiente. Acoplamiento a los grados de libertad ignorados. Decoherencia

15 Los Ingredientes de la Cuán.ca Estados (Puros): Asignaciones basadas en (máximo) conocimiento del sistéma cuántico. probabilidades Observables: Cantidades físicas medibles Resultados de mediciones Intrínsicamente estocásticos Estructura matemática (espacio de Hilbert). Espacio vectorial sobre los números complejos con producto interno.

16 Espacio vectorial complejo: Señales analí.cas Campo eléctrico oscilante (vectorial), E(t) = E 0 cos(ωt)e x Señal compleja: Intensidad: E (t) = E 0 e x e iωt T I = 1 T E(t) = 1 E 0 0 E(t) = Re( E (t)) E * E = ( E 0 e x e +iωt ) ( E 0 e x e iωt ) = E 0 (e +iωt e iωt ) = E 0 I = 1 E * E Polarización circular: E (t) = E 0 ( e x + ie y )e iωt Vector normalizado de polarización. e ± e x ± ie y ( ) = Re E(t) = E 0 cos(ωt)e x + sin(ωt)e y ( E (t)) I = 1 E * E = 1 E 0 (e x ie y ) (e x + ie y ) = E 0 e ± = e ± * e ± = 1 e + * e = 0

17 Mo.vación: Polarización en Óp.ca ε = cosθe V + sinθe H V V H I 0 H I V I H Ley de Malus: E V = e V e V E 0 ( ) = e V e V ( ε )E 0 = e V E 0 cosθ I V = 1 E* E = e V ε 1 E 0 = cos θ I 0

18 Medición en otra base (1) V D + e D + = e H + e V H ε = cosθe V + sinθe H I 0 I D + D - e D = e H e V I D Ley de Malus: E D ± = e D ± e D ± E 0 I D ± = 1 E * D ± ( ) = e D ± e D ± cosθ ± sinθ ( ε )E 0 = e D ± E 0 E D ± = e D ± ε 1 E 0 = cosθ ± sinθ I 0

19 Medición en othra base () V R e R = e H + ie V H I 0 I R ε = cosθe V + sinθe H L I L e L = e H ie V Ley de Malus: E R,L = e ( * R,L e R,L E ) 0 = e ( * R,L e R,L cosθ isinθ ε )E 0 = e D ± E 0 = e D ± e iθ E 0 I R,L = 1 E * R,L E R,L = e R,L ε 1 E 0 = 1 I 0

20 Mediciones repe.das V I 0 H I V I V ʹ = I V I H I ʹ H = 0 Ley de Malus: E ʹ V = e V ( e V E V ) = e V E V I V ʹ = 1 E ʹ V* E ʹ V = I V E ʹ H = e H I ʹ H = 0 ( e H E V ) = 0

21 Mediciones repe.das V I 0 H I V I V ʹ = 1 4 I V I H I ʹ H = 1 4 I V Ley de Malus: E ʹ V = e V ( e V E D + ) = e V (e V e D + )(e D + e V E V ) = 1 E V I V ʹ = 1 4 I V E ʹ H = e H ( e H E D + ) = e H (e H e D + )(e D + e V E V ) = 1 E V I ʹ H = 1 4 I V

22 Mediciones repe.das no conmutan V I 0 H I V I D + = 1 I V I H I D = 1 I V Ley de Malus: E E D + = e D + ( e D + E ʹ V ) = e D + (e D + e V )(e V e V E V ) = e V D + I = 1 D + I V E E D = e D ( e D E ʹ V ) = e D (e D e V )(e V e V E V ) = e V D I = 1 D I V

23 De intensidad de onda a eventos de fotones Luz = flujo de fotones I = Φ ω En la ley de los números grandes Fracción de intensidad en una alternativa dada Probabilidad de medir un fotón en esa alternativa I in (1) I out () I out (i) p out = I (i) out I in (3) I out

24 De la Ley de Malus a la regla de Born V Detector I 0 ε = cosθe V + sinθe H Ley de Malus: I = 1 V E * V E V = e V p V = I V I 0 H Mido también sin detectar ε 1 E 0 = e V ε = cosθ = cos θ I 0 Generalizar: Dado un fotón preparado en polarización, ε in la probabilidad de encontrar ε out, p out = * ε out ε in Regla de Born

25 De la polarización de fotones al Espacio de Hilbert Espacio vectorial complejo de dimensión d. (El espacio de Hilbert puede tener dimension infinita) Notación de Dirac: Kets = vectores. V Bras = vectores duales. V Producto interno = braket V V = V Como ε y ε * de la polarización de fotones, ε = ε * ε

26 Postulados de la Mecánica Cuán.ca (I) Un estado puro de el sistema, representando un conocimento máximo, es un ket normalizado ψ en el espacio de Hilbert. ψ ψ = ψ = 1 A cada observable se asocia un operador Hermítico A ˆ. Los valores posibles de un obsevable que uno encuentra en una medición son sus eigenvalores, {a}. La probabilidad de encontrar un valor a está dada por el cuadrado de la amplitud en ese eigenvector. P a ψ = e a ψ

27 Notas Los kets ψ y ψ ʹ = e iφ ψ son el mismo estado. P a ψ ʹ = e a ψ ʹ = ea ψ = P a ψ La fase relativa en una superposición es muy importante. ψ = r 1 e iφ 1 u 1 + r e iφ u P a ψ = e a ψ = r 1 e a u 1 + r e a u + r 1 r ( e i(φ 1 φ ) * e a u 1 e a u + e i(φ 1 φ ) * e a u 1 e a u ) = p 1 p a 1 + p p a +

28 Notas El conjunto de resultados posibles de una medición de un observable cubre el espacio conjunto completo. ψ = c a e a c a = e a ψ p a ψ = e a ψ = c a a ψ ψ = c a = p a ψ = 1 Probabilidad total = 1 A ψ = a a p a ψ = a a a a e a ψ = ψ ˆ A ψ Valor esperado No todos los operadores comparten los mismos eigenvectores Es Imposible medir todos los observables simultaneamente. La medición de un observable disturba a los otros.

29 Postulados de la Mecánica Cuán.ca (II) Después de una medición, el estado del sistema se actualiza al eigenvector asociado al resultado de la medición. ψ a e a (Bayesiano) En la usencia de una medición, un sistema cerrado evoluciona de acuerdo a un mapeo unitario (preserva los productos internos). ψ (t + τ) = ˆ U (τ)ψ (t) La Física determina la dinámica d dt U ˆ (t) = i H ˆ U ˆ (t)

30 Ejemplo: Polarización del Fotón Vector de polarización complejo normalizado ε, Bases ortonormales: e H = 1 0 e = 0 V 1 e D + = 1 ε ε = 1 { e H,e V } { e D+,e D } { e R,e L } Llamemos {H,V} la base estandard 1 1 e = 1 D 1 1 e R = 1 1 i e L = 1 1 i Tres observables (incompatibles): (D (H,V) +,D - ) (R,L) X = Y = 0 i i 0 Z = Matrices de Pauli con eigenvalores ±1

31 Información incompleta Supongamos que alguien prepara un fotón lanzando una moneda. V Estado? Mezcla estadística: H 50% H, 50% V (H,V) p V = 1/ p H = 1/

32 Información Incompleta V Estado? Mezcla estadística: H 50% H, 50% V (D +,D - ) p D + p D p D + = p H p D+ H + p V p D + V p D + = = 1 No polarizado! Operator de Densidad Pregunta: Existe una fuente tal en la naturaleza?

33 Computación Cuán.ca vs. Computación con ondas Analógica vs. Digital. Los fenómenos cuánticos involucran eventos discretos (e.g. detección de fotones). Onda and Partícula Analógica y Digital. Posibilidad de corrección de errores. Espacio físico vs. espacio de Hilbert Modos del campo requieren recursos físicos. Un número exponencial del número de modos no es escalable. La mecánca cuántica permite una dimension exponenicialmente grande con recursos físicos polinomiales. Estados entrelazados!

34 Resumen La mecánica cuántica predice los resultados de experimentos. Estados = Vectores en un espacio lineal complejo. Observables = Matrices (operadores) en el espacio Eigenvalores = resultados posibles de una medición. Eigenvectores = el estado después de la medición. La probabilidad de encontrar un valor en una medición = cuadrado de una amplitud compleja (Regla de Born). En un sistema cerrado, la dinámica del sistema está descrita por matrices unitarias. Superposiciones cuánticas coherentes difieren de las mezclas estadísticas. El ruido puede acabar con la coherencia de un sistema. Computación cuántica no es equivalente a computación con ondas, por el entrelazamiento.