We might call it the grandaddy of all algorithms, because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the present day. D. E.

Transcripción

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2 We might call it the grandaddy of all algorithms, because it is the oldest nontrivial algorithm that has survived to the present day. D. E. Knuth, 1981

3 Pregunta: Dados dos números naturales no nulos, determinar el mayor divisor positivo común a ambos (es decir, determinar su máximo común divisor).

4 Si consideramos los naturales 18 y 30, los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18}

5 Si consideramos los naturales 18 y 30, los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18} mientras que los divisores positivos de 30 son {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

6 Si consideramos los naturales 18 y 30, los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18} mientras que los divisores positivos de 30 son {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}.

7 Si consideramos los naturales 18 y 30, los divisores positivos de 18 son {1, 2, 3, 6, 9, 18} mientras que los divisores positivos de 30 son {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. Es tedioso si tenemos números grandes!

8 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números

9 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números 18 = = 2 3 5,

10 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números 18 = = 2 3 5,

11 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números 18 = = 2 3 5,

12 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números 18 = = 2 3 5, 2 3 = 6

13 El producto de todos los factores primos comunes a ambos números 18 = = 2 3 5, 2 3 = 6 Obliga a conocer la descomposición en factores primos!

14 Algoritmo de Euclides Pintura idealizada de Euclides. Atribuida a Justo de Gante ( ) Galleria Nazionale delle Marche, Urbino.

15 Los elementos de Euclides Papiro de Oxirrinco, I, 29. Fragmento de la obra Elementos de Euclides.

16 En la Matemática griega un número natural n era una longitud n

17 En la Matemática griega un número natural n era una longitud En nuestro ejemplo: n 30 18

18 El método de Euclides consiste en comparar longitudes: Proposición 2. Libro VII de Los elementos de Euclides.

19 En nuestro ejemplo 30 18

20 En nuestro ejemplo 30 =

21 En nuestro ejemplo 30 =

22 En nuestro ejemplo 30 =

23 En nuestro ejemplo 30 = =

24 En nuestro ejemplo 30 = =

25 En nuestro ejemplo 30 = = =

26 En nuestro ejemplo 30 = = = = =

27 La comparación de segmentos son divisiones con resto!

28 La comparación de segmentos son divisiones con resto! 30 = = = donde 0 < 6 < 12 < 18 < = = =

29 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a 2 + a 1 a 2 = q 1 a (1) donde 0 < a 1 <...a n 1 < a n < a n+1.

30 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a 2 + a 1 a 2 = q 1 a donde 0 < a 1 <...a n 1 < a n < a n+1. (1)

31 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a 2 + a 1 a 2 = q 1 a donde 0 < a 1 <...a n 1 < a n < a n+1. (1) Podemos acotar el número de pasos del algoritmo de Euclides de a n+1 y a n?

32 Gabriel Lamé, Teorema de Lamé (1844) El número de pasos en el algoritmo de Euclides de dos naturales positivos es menor o igual a cinco veces el número de dígitos del más pequeño (escrito en base 10).

33 Gabriel Lamé, Teorema de Lamé (1844) El número de pasos en el algoritmo de Euclides de dos naturales positivos es menor o igual a cinco veces el número de dígitos del más pequeño (escrito en base 10). Es una buena cota?

34 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a 2 + a 1 a 2 = q 1 a donde 0 < a 1 < a 2 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

35 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a a 2 = q 1 a donde 0 < a 1 = 1 < a 2 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

36 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a a 2 = 2a (2) donde 0 < a 1 = 1 < a 2 <...a n 1 < a n < a n+1.

37 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = q 2 a a 2 = 2a = 2 donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

38 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = q n a n + a n 1 a n = q n 1 a n 1 + a n 2. a 3 = 1a a 2 = 2a = 2 donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

39 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = 1 a n + a n 1 a n = 1 a n 1 + a n 2. a 3 = 1 a a 2 = 2 a = 2 donde donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 < a 3 = 3 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

40 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = a n + a n 1 a n = 1 a n 1 + a n 2. a 3 = 1 a a 2 = 2 a = 2 donde donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 < a 3 = 3 <...a n 1 < a n < a n+1. (2)

41 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = a n + a n 1 a n = 1 a n 1 + a n 2. a 3 = 1 a a 2 = 2 a = 2 donde donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 < a 3 = 3 <...a n 1 < a n < a n+1. (2) El par de números más pequeños a n+1 > a n cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos son números de Fibonacci!

42 Si a n+1 > a n > 0 cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos: a n+1 = a n + a n 1 a n = 1 a n 1 + a n 2. a 3 = 1 a a 2 = 2 a = 2 donde donde 0 < a 1 = 1 < a 2 = 2 < a 3 = 3 <...a n 1 < a n < a n+1. (2) El par de números más pequeños a n+1 > a n cuyo algoritmo de Euclides tiene n pasos son números de Fibonacci! Los términos de la sucesión de Fibonacci F i verifican F i+5 > 10F i. (3)

43 Ejemplo de Lamé: Para F 16 = 1597 > F 15 = 987 tenemos 15 divisiones!

44 Gabriel Lamé en la Torre Eiffel