FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA FINANCIERA

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1 UNIVERSIDAD DE VALLADOLID DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD GRADO EN DERECHO Y ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS FUNDAMENTOS DE ECONOMÍA FINANCIERA Asignatura obligatoria. 3 er curso COLECCIÓN DE PROBLEMAS Y PREGUNTAS Curso Académico 2012/13 Equipo Docente: Prof. Dr. D. Valentín AZOFRA PALENZUELA

2 Problemas tema 2: Consumo, inversión y mercados de capitales PROBLEMA 1 C C* P* C 0 Suponiendo que un individuo dispone de en metálico en el momento presente y la recta del mercado de capitales es la que aparece en la figura, se pide responder a las siguientes cuestiones: 1. Cuál es la tasa de interés del mercado de capitales? 2. Cuánto debe invertir en proyectos productivos? 3. Cuál será el valor de la inversión en actividades productivas al final del período? 4. Cuál es la rentabilidad media de la inversión? 5. Cuál es el valor actual neto de la inversión? 6. Cuál es la cantidad máxima que este individuo puede destinar en el momento inicial al consumo? 7. En el óptimo, cuánto consumirá el individuo en el momento inicial y en el final? PROBLEMA 2 (Septiembre, 2003) C P* C * C 0 Los datos contenidos en la gráfica anterior representan la información relevante para un inversor en cierto mercado de capitales en presencia de oportunidades de inversión productiva y financiera y en situación de equilibrio. Se sabe además que dicho inversor cuenta con un presupuesto inicial de 10 u.m. del que puede dedicar una parte a la inversión en actividades productivas. El nivel óptimo de inversión 1

3 ofrece un 57 5% de rentabilidad media. Con todos estos datos y asumiendo que el inversor se comporta de forma racional y óptima, se desea dar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. Cuál es la cantidad invertida y el resultado monetario generado por la inversión? 2. Cuál es el tipo de interés vigente en el mercado de capitales? 3. Cuál es la pauta óptima de consumo del inversor en el momento actual y en el momento futuro? 4. Al utilizar dicho inversor el mercado de capitales para ajustar su pauta óptima de consumo, se endeudará o prestará? Por qué importe? 5. Cuál es la máxima capacidad de consumo del inversor en el momento actual y futuro en presencia de mercados de capitales y oportunidades de inversión productiva? 6. Cuál es la máxima capacidad de consumo del inversor en el momento actual y en el futuro en presencia de mercados de capitales y sin oportunidades de inversión productiva? PROBLEMA 3 Considérese un inversor con una renta anual para el momento actual igual a y otra para el momento futuro de igual cuantía. El tipo de interés en el mercado de capitales es el 10%. Se le plantea la posibilidad de invertir en un terreno con una inversión requerida en el momento actual igual a con la certeza de que el año que viene la revalorización hará que el terreno valga Deberá invertir en la compra del terreno? Tiene alguna alternativa más ventajosa? Cuál sería la máxima cantidad que podría consumir hoy si decidiese realizar la inversión? Y si no la hiciese? Suponga a continuación que el terreno en lugar de valer en el momento 1 vale y que el individuo desea mantener un consumo en el momento actual por importe de Ante sus preferencias de consumo actual, debería replantearse la compra del terreno? Realizaría dicha compra? Cuál sería la máxima cantidad a consumir en el momento actual en caso de realizar la compra y de no realizarla? PROBLEMA 4 (Primer Control 2006) Un consumidor cuenta con un presupuesto para consumo/inversión en un horizonte temporal uniperiodo de u.m. en t=0 y 800 u.m. en t=1. Se conoce además la siguiente información relativa a las inversiones productivas disponibles en t=0: Inversión Importe Rentabilidad A 800 u.m. 20% B 100 u.m. 30% C 300 u.m. 5% D 150 u.m. 4% La rentabilidad de la inversión en el mercado financiero asciende al 5%. Se pide: 1. Determinar la riqueza máxima disponible en t=0 y t=1 cuando no se consideran las inversiones productivas pero sí existe la posibilidad de prestar y pedir prestado al tipo de interés de la inversión financiera. 2. Sabiendo que el consumidor desea realizar un consumo actual por importe de 100 u.m. y que las inversiones productivas no son fraccionables, ampliables, ni repetibles, determinar el óptimo de inversión y de consumo cuando se consideran las oportunidades de inversión productiva pero no existe mercado de capitales. 2

4 3. Determinar el óptimo de inversión y la riqueza máxima disponible en t=0 y t=1 cuando se consideran tanto las oportunidades de inversión productiva como la posibilidad de prestar y pedir prestado en el mercado de capitales. Cuál es el VAN del conjunto de inversiones que se acometen? PROBLEMA 5 (Septiembre, 2006) C C* P* C 0 Los datos de la gráfica anterior constituyen la información relevante para un individuo en presencia de oportunidades de inversión productiva y financiera y en situación de equilibrio. El individuo se comporta de forma racional y óptima, contando con una dotación inicial de 40 u.m. para el momento presente y de 10 u.m. para el momento futuro. La cantidad máxima que puede dedicar a oportunidades productivas de inversión es de 40 u.m. Se sabe que la tasa de interés del mercado financiero es el 5% y que, una vez alcanzado el óptimo de producción, alcanzar el óptimo de consumo le exige realizar una inversión de 10 u.m. en el mercado financiero. Con todos estos datos se desea dar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. A cuánto asciende la inversión efectuada en activos productivos y cuál es su resultado asociado? 2. A cuánto asciende la inversión efectuada en activos financieros y cuál es su resultado asociado? 3. Cuál es la máxima cantidad de u.m. que el inversor podría dedicar a consumo en el momento presente y futuro en ausencia y presencia de inversiones productivas, sabiendo que en todo caso dispone del mercado financiero? 4. A cuánto asciende la riqueza generada por la inversión productiva valorada en el momento presente? Y su tasa interna de rentabilidad? Y su rentabilidad marginal? 3

5 PROBLEMA 6 (Septiembre, 2007) Dª. Teresita Arenales dispone hoy de para financiar su consumo en los periodos 0 (ahora) y 1 (dentro de un año) y quiere consumir exactamente la misma cantidad en cada periodo. Se sabe además que no existe riesgo y que la rentabilidad de la inversión financiera es el 5%. Teniendo en cuenta que Dª. Teresita siempre puede mantener todo o parte de su dinero en el bolsillo con el fin de transferir recursos de un periodo a otro, se pregunta: 1. Cuánto debiera consumir e invertir en cada periodo? 2. A cuánto asciende el valor actual neto de la inversión realizada? Suponga por un momento que, en t=0, Dª. Teresita no dispusiese de la oportunidad de inversión financiera pero, en su lugar, dispusiese del siguiente conjunto de oportunidades productivas: Inversiones* Importe Rentabilidad W % X % Y % Z % * Las oportunidades de inversión no son ampliables, fraccionables, repetitivas ni mutuamente excluyentes. 3. Cuánto debiera invertir en t=0 para seguir consumiendo exactamente la misma cantidad en cada periodo? 4. Qué cantidad consumiría en cada periodo? Suponga ahora que, en t=0, Dª. Teresita pudiera invertir tanto en el mercado financiero como en inversiones productivas. 5. Cuánto y en qué oportunidades de inversión debiera invertir en t=0 para seguir consumiendo exactamente la misma cantidad en cada periodo? 6. Cuánto más podrá consumir ahora en cada periodo? 7. A cuánto asciende el valor actual neto creado por las inversiones realizadas? 4

6 PROBLEMA 7 (Septiembre, 2008) D. Juan Hormiga cuenta con un presupuesto de y 600 euros, respectivamente, para los momentos 0 y 1. El problema de asignación de recursos se plantea en un mundo cierto y se conoce que la rentabilidad de la inversión financiera es el 5%. D. Juan, haciendo honor a su apellido, muestra una gran predilección por el consumo futuro. 1. Cuál es el consumo máximo que puede alcanzar en el momento 1? Suponga que hoy el Sr. Hormiga no dispone de la oportunidad de inversión financiera, aunque podría acometer una o varias de las siguientes inversiones productivas (las inversiones, independientes entre sí, no son ni fraccionables ni ampliables ni repetitivas): Inversión Importe ( ) Resultado ( ) A B C D E F Qué inversiones debería acometer sabiendo que desea un consumo actual de 100? 3. A cuánto ascenderá su consumo futuro? Suponga ahora que D. Juan dispone de la posibilidad de acudir al mercado financiero, de realizar las inversiones productivas o de mantener todo o parte de su dinero en el bolsillo. 4. Qué inversiones acometerá si desea un consumo actual de 100? 5. A cuánto asciende el VAN y la rentabilidad relativa de las inversiones realizadas? 6. A cuánto ascenderá su consumo futuro? 7. En qué medida utiliza el mercado financiero para alcanzar los óptimos de producción y de consumo? Indique el tipo de operaciones realizadas y su importe. PROBLEMA 8 Dos individuos (1 y 2) disponen de 20 u.m. cada uno como dotación para consumo-inversión en el momento presente. Se conoce que el individuo 1 tiene una menor preferencia por el consumo actual que el individuo 2, lo que se refleja que aquel quiere un óptimo de consumo en el presente de 1 u.m., en tanto que éste desea consumir ahora 8 u.m. Se conoce que los individuos disponen hoy de dos inversiones productivas que se caracterizan por ser independientes y no ser fraccionables, ampliables ni repetitivas. La información relevante con relación a las inversiones se muestra en la siguiente tabla (cifras en u.m.): Inversión Importe (t=0) Resultado (t=1) A B

7 Los individuos también pueden participar en el mercado financiero en el que el tipo de interés para operaciones de préstamo es el 5% y para operaciones de endeudamiento el 40%. 1. Con esta información determine el nivel de consumo e inversión óptimo de cada individuo y la forma en que concurren en el mercado financiero. Suponga ahora un mercado de capitales perfecto con una rentabilidad de la inversión financiera igual al tipo de interés del mercado de capitales para operaciones de préstamo. 2. Cómo alcanzarán los individuos su óptimo de consumo-inversión? Y si el tipo de interés del mercado de capitales fuera el de operaciones de endeudamiento? 3. Realice una discusión de todos los resultados alcanzados, indicando por qué cambian los óptimos en cada situación y entre los individuos. PROBLEMA 9 (Septiembre, 2009) D. Perico Perillán es un trabajador autónomo, aunque sin trabajo, con propensión al consumo, que dispone hoy de para consumir en los periodos 0 y 1 y desea consumir siempre el triple en el momento actual que en el futuro. El tipo de interés es el 4% y no existe riesgo. Teniendo en cuenta lo anterior, dé respuesta a la cuestión siguiente: 1. Cuánto debiera invertir y consumir en cada periodo D. Perico? No satisfecho con tales resultados, D. Perico se ha dejado llevar por su innato olfato empresarial hasta descubrir tres oportunidades de inversión productiva: Inversión Importe Resultado A B C (cifras en euros) A la luz de esta nueva información, se le pregunta ahora: 2. Qué volumen de recursos y en qué oportunidades debiera invertir D. Perico en t=0 sin renunciar a su pauta de consumo ideal? A cuánto asciende la riqueza que aportan las inversiones realizadas? 3. Cuánto más podrá consumir ahora en cada periodo? Guiado por su afán de superación, D. Perico se ha percatado de que en los mercados financieros además de poder prestar y pedir prestado a un mismo tipo de interés (4%) es posible también invertir en activos con riesgo. Ha observado que en el nuevo mercado de empresas responsablemente sostenibles, cotizan las acciones de dos únicas empresas: Pin-Pon y Pam-Pum. En el momento presente el número de acciones en circulación de cada una de las empresas, así como su cotización, rentabilidad esperada y riesgo, alcanzan los siguientes valores: Nº Acciones Cotización E(R) σ(r) Pin-Pon % 3 5% Pam-Pum % 4 5% 6

8 Sabiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y que el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de ambas empresas es igual a 0 48, determine: 4. La composición, la rentabilidad y el riesgo de la cartera de mercado. 5. El coeficiente de volatilidad (β) de las acciones de Pin-Pon y de Pam-Pum. Tras familiarizarse con las estrategias de diversificación, D. Perico quiere formar una cartera eficiente que le proporcione la misma rentabilidad que la inversión en acciones de Pam-Pum. 6. Qué estrategia de inversión seguirá D. Perico para formar esta cartera? Qué riesgo correrá D. Perico? Finalmente, D. Perico se ha sentido atraído por el mercado de opciones y futuros. En el mismo se negocian opciones de compra y de venta a uno y dos años definidas sobre las acciones de Pin-Pon, con un precio de ejercicio de 12. Sabiendo que la cotización de las acciones sigue una distribución binomial con parámetros 2 y 0 5 al alza y a la baja, respectivamente, responda a estas tres últimas cuestiones: 7. Valore la opción de venta de vencimiento a un año sobre las acciones de PIN-PON mediante el procedimiento de valoración que prefiera. 8. Valore la opción de compra de vencimiento a un año sobre las acciones de PIN-PON sirviéndose del teorema de la paridad (Put-Call). 7

9 Problemas tema 3: Teoría de carteras PROBLEMA 10 (Junio, 1998) Imagine que una vez licenciado ha encontrado trabajo como asesor financiero. El Sr. X, cliente suyo, desea invertir 1 millón de euros con el fin de reservar fondos para el futuro asegurándose una buena rentabilidad. Su empresa comercializa 4 fondos de inversión: Gas, Automóvil, Libre y Verde. El fondo Libre está compuesto por activos de renta fija emitidos por los diferentes Estados que componen la zona Euro. Por su parte, los fondos Automóvil, Gas y Verde (empresas ecológicas) están integrados por una cartera de acciones de empresas radicadas en la zona Euro del sector correspondiente. Las previsiones de rentabilidad para el siguiente periodo de cada uno de los fondos en los distintos escenarios equiprobables contemplados son las siguientes: Escenario Gas Automóvil Libre Verde A 20% 60% 4% 90% B -15% 30% 4% 50% C 15% -10% 4% 30% D 5% 35% 4% -15% E 10% -30% 4% -20% 1. Calcular la rentabilidad esperada y el riesgo total de cada uno de los fondos de inversión. 2. Calcular los coeficientes de correlación entre dichos fondos. 3. Para un nivel de riesgo (medido por la desviación típica) del 20% cuál de los fondos con riesgo combinaría con el fondo sin riesgo para maximizar la rentabilidad? Cómo repartiría el millón de euros entre esos dos fondos? Cuál sería la rentabilidad esperada para ese nivel de riesgo? PROBLEMA 11 Del último estudio sobre sociedades de cartera publicado por la revista "Inversión Colectiva" se deduce que las rentabilidades de las acciones de Sharptisa y Treyntisa pueden tomar los siguientes valores (en tanto por ciento) con las probabilidades que se indican: Rentabilidad Rentabilidad Probabilidad Sharptisa Treyntisa , , , ,25 A partir de esta información, se desea conocer: 1. La rentabilidad esperada y el riesgo total de las acciones de Sharptisa y Treyntisa. 2. La rentabilidad esperada y el riesgo total de una cartera formada repartiendo, por igual, el presupuesto propio del inversor entre las dos acciones. 3. La cartera que, entre las formadas combinando las acciones de Sharptisa y Treyntisa, tiene el riesgo mínimo. Y la de rentabilidad máxima? 4. Si la curva de indiferencia de cierto inversor fuese tangente a la curva de carteras eficientes en un punto tal que dσ 2 p/de p =0,295 qué proporción de acciones de Sharptisa y Treyntisa debiera adquirir dicho inversor? 8

10 PROBLEMA 12 (Junio, 1997) El fondo de inversión en renta variable BAHAMAS tiene una rentabilidad media igual al 10% y un riesgo, medido por la desviación típica de sus rendimientos, igual al 2%. Por otro lado, conocemos que la rentabilidad media y el riesgo del fondo de inversión en renta variable ISLAS VÍRGENES es el 15% y el 5%, respectivamente. La rentabilidad de las letras del Tesoro a principios de 1996 era el 9%, mientras que a principios de 1997 sólo alcanza el 6%. La rentabilidad y el riesgo de los fondos se mantiene constante a lo largo de ambos periodos. Con estos datos se pide: 1. Si a principios de 1996 un inversor se plantea formar una cartera combinando uno de los fondos con las letras del Tesoro, cuál de los dos fondos de inversión debería seleccionar? Razone la respuesta evaluando el riesgo mediante la desviación típica de los rendimientos. 2. En la misma fecha que en el apartado 1, y conociendo que las preferencias de este inversor le llevan a no asumir un riesgo superior a una desviación típica de sus rendimientos del 1 5%, cuál es la máxima rentabilidad que podría alcanzar combinando uno de los dos fondos con las letras del Tesoro? Qué proporción del presupuesto se invertiría en este caso en el fondo elegido? Y en letras del Tesoro? Qué rentabilidad perdería este inversor si elige el fondo de inversión inadecuado? Razone las respuestas. 3. Imagine que a principios de 1997 el inversor se cuestiona la composición de su cartera dada la nueva rentabilidad de las letras del Tesoro. Supuesto que desea mantener su nivel de riesgo, cuál es la máxima rentabilidad que podría alcanzar combinando uno de los dos fondos con las letras del Tesoro? Qué proporción del presupuesto se invertiría en este caso en el fondo elegido? Y en letras del Tesoro? Qué rentabilidad perdería este inversor si elige el fondo de inversión inadecuado? Razone las respuestas evaluando el riesgo mediante la desviación típica de los rendimientos. 4. Si el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de los dos fondos es igual a 0 9, cuál sería a principios de 1997 la cartera que combinando exclusivamente dos de los tres activos del enunciado (fondo BAHAMAS, fondo ISLAS VÍRGENES y letras del Tesoro) permitiría a nuestro inversor maximizar la rentabilidad de sus recursos manteniendo su nivel de riesgo en el 1 5%? Qué proporción del presupuesto se invertiría en cada uno de los dos activos elegidos? Qué rentabilidad se alcanzaría? Qué rentabilidad perdería este inversor si no elige la combinación más adecuada? Razone las respuestas. 9

11 Problemas tema 4: El modelo de equilibrio de activos financieros PROBLEMA 13 (Septiembre, 1998) En cierto mercado de capitales cotizan dos únicos títulos A y B con las siguientes características: E A =9%, E B =12%, σ B =11%, ρ AB =1. Siendo el tipo de interés libre de riesgo (R f ) igual al 5% se desea conocer: 1. El riesgo del título A si para una inversión combinada de ambos títulos un inversor es capaz de obtener un % de rentabilidad esperada y una desviación típica del 7%. 2. Cómo puede este mismo inversor maximizar su utilidad esperada al dar cabida al activo libre de riesgo si desea mantener el nivel del riesgo en el 7%? Determine la cartera. Suponga que la cartera de mercado coincide con el título A, que existen multitud de inversores con expectativas homogéneas acerca del comportamiento de A, B y R F acordes con las características descritas en el enunciado, y que se cumplen el resto de hipótesis relativas a la teoría del mercado de capitales. 3. Si en este contexto se nos informa que una cartera ofrece una esperanza de rentabilidad del 7% y una desviación típica del 3%, es posible obtener una combinación más eficiente en dicho mercado? Cuál es la composición de la cartera eficiente que ofrece un 7% de rentabilidad? Cuál es la composición de la cartera eficiente que soporta un 3% de riesgo (desviación típica)? 4. En este mercado de capitales se sabe que un 40 96% de la varianza de una cartera q es riesgo sistemático o no diversificable. Si β q es igual a 0 7, cuál será su coeficiente de correlación con la cartera de mercado? Describa cómo estaría formada la cartera que ofreciese la misma rentabilidad esperada que q y un nivel de riesgo mínimo. PROBLEMA 14 (Junio, 2001) Supongamos un mercado de capitales en el que la rentabilidad esperada de la cartera de mercado es del 15% anual y su riesgo, medido por la desviación típica, es del 4%. De entre los activos que se negocian en el mercado conocemos que la beta del activo A es igual a 1 5 mientras que la beta del activo B es igual a 2. Con estos datos se pide responder a las siguientes cuestiones: 1. Sabiendo que cuando el mercado está en equilibrio la rentabilidad esperada del activo A es del 20%, cuál debería ser la rentabilidad del activo libre de riesgo en este mercado? 2. Si observamos que la rentabilidad del activo B es del 22%, entonces este activo está infravalorado, sobrevalorado o correctamente valorado? 3. Cuál es la beta de una cartera eficiente C cuyo riesgo, medido por su desviación típica, es del 5%? Cuál es su rentabilidad esperada en equilibrio? Cuál es la composición de esta cartera? 4. Si observamos que una cartera D en equilibrio tiene una rentabilidad esperada del 10%, cómo podemos caracterizar a esta cartera: defensiva, agresiva o normal? 5. Cuál sería el nivel de riesgo mínimo, medido por su desviación típica, que debemos soportar para obtener una rentabilidad esperada del 20%? Cuál sería la composición de esta cartera de riesgo mínimo? 10

12 PROBLEMA 15 (Septiembre, 1999) En cierto mercado de capitales se conocen los siguientes datos acerca de los dos únicos títulos que cotizan en el mismo: Título E(R) σ(r) A 5% 3% B 10% 5% Sabiendo que el coeficiente de correlación entre los dos títulos es igual a 0 4, se pide: 1. Calcular cuál es la composición de la cartera que, combinando los títulos A y B, ofrece un riesgo mínimo. 2. Cuál es la rentabilidad y el riesgo de dicha cartera? 3. Cuál es la composición y la rentabilidad de la cartera eficiente que es posible formar al combinar los títulos A y B con un nivel de riesgo σ p = 3%? 4. Además, suponga que se conoce que el tipo de interés libre de riesgo es el 4% y que el inversor puede combinarlo exclusivamente o con el título A o con el título B o con un fondo de inversión constituido para invertir exclusivamente en la cartera obtenida en el primer apartado cuál es la alternativa más eficiente si el inversor desea una cartera con un riesgo (σ p ) del 3%? 5. Suponga a continuación que la situación anteriormente descrita es idéntica para todos los inversores en el mercado de capitales, que se cumplen las hipótesis de la teoría del mercado de capitales y la cartera de mercado coincide con el título B. Si cierta cartera H tiene, en situación de equilibrio, un valor actual igual a 100 y un valor de en el momento futuro (existe un único periodo de tiempo), cuál será su coeficiente β? PROBLEMA 16 (Junio, 2003) De determinado mercado de capitales se conocen los siguientes datos acerca de la rentabilidad esperada de los tres únicos activos que en él se negocian, así como de la cartera de mercado: Escenario Probabilidad Activo 1 Activo 2 Activo 3 Cartera M 1 1/3 10% 9 5% 12% % 2 1/3 10% 11 5% 10% % 3 1/3 10% 15% 17% % Con los datos anteriores, y sabiendo que dicho mercado se encuentra en equilibrio, se desea dar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. Cuál es la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera de mercado? 2. Cuál es la composición de dicha cartera? 3. Cuál es el coeficiente de correlación entre los activos 1, 2 y 3? 4. Cuál es el coeficiente beta de los tres activos? Y el de la cartera de mercado? 5. Cuál es la proporción de riesgo sistemático y no sistemático respecto al riesgo total, medido a través de la desviación típica de la rentabilidad, para cada uno de esos tres activos? Y para la cartera de mercado? 11

13 PROBLEMA 17 (Junio, 2004) En un determinado mercado de capitales se negocian únicamente dos activos financieros con riesgo (A y B) con precios unitarios de 5 y 1 75, rentabilidades esperadas del 5% y 7%, y niveles de riesgo (σ) del 3% y 4%, respectivamente. Se conoce, además, que la correlación entre las rentabilidades es de 0 2. Con esta información se pide dar respuesta a las siguientes cuestiones: 1. Un inversor que dispone de 20 y realiza una venta a corto (venta a crédito) de 3 títulos de A, cuántos títulos de B compraría? Cuál sería la rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera del inversor? 2. Considere ahora el caso de otro inversor que pretende minimizar el riesgo de su cartera, cuál sería la composición de su cartera? 3. Considere que en este mercado la cantidad total de títulos negociados asciende a 260 para el activo A y 400 para el activo B. Cuál sería la composición de la cartera de mercado? 4. Indique cómo formar una cartera eficiente con rentabilidad esperada del 8 25% si el presupuesto de inversión es de 300 y el tipo de interés libre de riesgo es el 4%. Cuántos títulos de A y B compraría? PROBLEMA 18 (Septiembre, 2005) En cierto mercado de capitales a un inversor se le presenta la oportunidad de colocar su dinero en una combinación de los dos únicos activos con riesgo existentes en dicho mercado, cuyas principales características aparecen resumidas en la siguiente tabla: Activo E(R i ) σ(r i ) A 12% 3% B 20% 10% 1. Si el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de los activos A y B fuese igual a -1, cuál sería la composición de la cartera de riesgo nulo formada por una combinación de los activos A y B? Y la rentabilidad esperada de dicha cartera? 2. Suponga en este apartado y los siguientes que el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de A y B es igual a -0 3 y que la rentabilidad de las letras del tesoro es igual al 10%. Asumiendo que todos los inversores tienen idénticas expectativas y que el mercado se encuentra en equilibrio, se sabe que el coeficiente β del activo A es igual a Cuál es la composición y el riesgo de la cartera de mercado? Y el coeficiente β del activo B? 3. Cuál es la composición de una cartera eficiente con idéntica rentabilidad esperada a la del activo A? Cuál es el riesgo de esta cartera? 4. En este mercado de capitales cierta cartera R presenta un coeficiente β igual a 0 8 y un riesgo, medido por la desviación típica de su rentabilidad, igual al 5%. Es eficiente dicha cartera? Calcule la proporción de riesgo sistemático de dicha cartera sobre su riesgo total, medido a través de la varianza y, en caso de no ser eficiente, la composición de la cartera eficiente equivalente de idéntica rentabilidad esperada. 12

14 PROBLEMA 19 (Tercer Control, 2005) En cierto de mercado de capitales en situación de equilibrio se negocian dos únicos activos con riesgo (títulos A y B). El activo A tiene una capitalización al principio del periodo equivalente al 41,3% de la capitalización total de los activos con riesgo de ese mercado. Las rentabilidades esperadas y desviaciones típicas de la rentabilidad son las que se muestran en la siguiente tabla y la correlación entre las rentabilidades de los títulos A y B es de -0,1347. Activo A Activo B Rentabilidad esperada 7,75% 15,5% Desviación típica de la rentabilidad 1,7853% 2,598% Sabiendo que la rentabilidad ofrecida por las Letras del Tesoro en el periodo es el 5%: 1. Cuál es la rentabilidad y riesgo de la cartera de mercado en el periodo considerado? 2. Qué proporción del riesgo del activo A, medido por su desviación típica, se puede eliminar mediante una diversificación eficiente? 3. Cierto inversor decide formar una cartera de préstamo o endeudamiento con el activo A con objeto de lograr un riesgo, medido por su desviación típica, del 2%. Cómo estaría formada dicha cartera? Es esta cartera eficiente? A qué rentabilidad está renunciando en caso de no ser eficiente? Cuál sería el coeficiente de correlación de esta cartera con la cartera de mercado? 13

15 PROBLEMA 20 (Junio, 2005) La firma Consejeros Bursátiles, cuya sede social se encuentra en Madrid, ha decidido abrir una sucursal en Valladolid siguiendo con su plan de expansión por todo el territorio nacional. Ante la necesidad de reclutar nuevo personal ha iniciado un proceso de selección para su departamento de gestión de carteras. Con el fin de asegurarse de los conocimientos de los aspirantes, una vez superada la entrevista personal, les somete a la resolución del siguiente supuesto. El Sr. Arriesgado desea invertir para lo cual nuestra firma Consejeros Bursátiles le ofrece la posibilidad de adquirir cualquier combinación de dos de los siguientes activos (entre paréntesis aparecen la rentabilidad esperada y el riesgo, medido por la desviación típica de la rentabilidad): - Un fondo de inversión que replica el comportamiento del índice IBEX-35 (17%, 8%). - Un fondo con perfil agresivo (20%, 12%). - Un fondo de inversión con perfil conservador (10%, 4%). - La adquisición de Letras del Tesoro al 5%. En su trabajo de gestor de carteras ha de tomar en consideración que la política de la firma Consejeros Bursátiles no permite combinar la inversión en el fondo del IBEX-35 con ninguno de los otros dos fondos de inversión. Se conoce que la correlación entre las rentabilidades de los fondos agresivo y conservador es igual a Qué carteras de activos le puede ofrecer al Sr. Arriesgado si quiere asumir un riesgo del 10% (desviación típica)? Indique todas las carteras posibles y cuál le recomendará, especificando los activos a comprar/vender así como el importe en euros. 2. Cómo se vería modificada su respuesta si el Sr. Arriesgado pretendiera alcanzar un 15% de rentabilidad esperada? Indique todas las carteras posibles y cuál de ellas recomendaría, especificando los activos a comprar/vender así como el importe en euros. 3. Suponga ahora que el índice IBEX-35 se corresponde con la cartera de mercado en España, y que el mercado se encuentra en equilibrio. Será eficiente formar carteras colocando el dinero en cualquiera de los tres fondos de inversión? Y si una parte se coloca en Letras del Tesoro y el resto en uno de los tres fondos de inversión? 4. Calcule el coeficiente beta de los tres fondos de inversión. Qué fondo tiene menos proporción de riesgo diversificable? 5. Si el Sr. Arriesgado quiere una cartera perfectamente diversificada con coeficiente beta igual a 2, en qué activos invertirá y por qué importe? Será eficiente esta cartera? Cuál será su riesgo total y su riesgo propio? 6. Cómo podrá formar el Sr. Arriesgado una cartera eficiente de rentabilidad esperada igual al 6%? Calcule su coeficiente beta e indique su coeficiente correlación con el IBEX

16 PROBLEMA 21 (Junio, 2006) En Riesgolandia existe una bolsa de valores en la que se negocian sólo dos activos con riesgo (acciones de la empresa A y acciones de la empresa B). Se conoce que hay 100 títulos en circulación de la empresa A que cotizan a 2 5 y 302 títulos de la empresa B que cotizan a 3. La rentabilidad esperada de las acciones de A asciende al 12% y la del activo libre de riesgo es del 10%. Con esta información y sabiendo que el mercado se encuentra en equilibrio y se cumplen las hipótesis de la teoría del mercado de capitales, se desea conocer: 1. La proporción de los títulos de las empresas A y B en la cartera de mercado. 2. La beta de las acciones de la empresa B, si se sabe que la beta de las acciones de la empresa A es de La rentabilidad esperada de la cartera de mercado. 4. La rentabilidad esperada del título B. 5. Sabiendo que la desviación típica de la rentabilidad de la cartera de mercado asciende a 2 715% Es posible obtener una cartera eficiente de riesgo, medido por la desviación típica de la rentabilidad, del 5 43% a partir de la combinación de las acciones de las dos empresas y el activo libre de riesgo? Cuántos títulos compraría de cada una de las empresas un inversor que dispusiera de un presupuesto de 500? A cuánto ascendería la rentabilidad esperada de su cartera? PROBLEMA 22 (Septiembre, 2006) Los títulos y combinaciones de activos disponibles en el mercado de capitales de Riskland pueden definirse en cuanto a rentabilidad esperada (en %) y riesgo (medido por la desviación típica, en %) según se recoge en la siguiente tabla: ACTIVOS A B C D E F G H RENTABILIDAD RIESGO Tomando como punto de partida los datos anteriores, se plantean las siguientes cuestiones: 1. Qué combinaciones son eficientes en Riskland? 2. Si los tipos de interés para operaciones de préstamo y de endeudamiento fuesen, respectivamente, el 1 5% y el 4 5% con qué activos se formarían las carteras mixtas demandadas en Riskland? Suponga en adelante que el tipo de interés de las Letras del Tesoro es el 1 5% (único activo sin riesgo del mercado y válido tanto para operaciones de préstamo como de endeudamiento), la cartera de mercado presenta los mismos parámetros del activo A, el mercado se encuentra en equilibrio y se cumplen las hipótesis de la Teoría del Mercado de Capitales. 3. A cuánto asciende la beta del activo G? Y su correlación con la cartera de mercado? 4. Cuál es la proporción de riesgo sistemático del activo B, medido por la varianza? 5. Es eficiente una inversión al 50% en los activos F y H? (suponga correlación perfecta y positiva entre los dos activos). 6. Cuál sería la estrategia óptima de un inversor que demandara una cartera eficiente con un nivel de rentabilidad esperada del 4%? 15

17 PROBLEMA 23 La rentabilidad pasada de la empresa Milliken Company y del mercado de valores en el que cotiza se presenta en la siguiente tabla: Año Rentabilidad mercado Rentabilidad Milliken ,27 0, ,12 0, ,03-0, ,12 0, ,03-0, ,27 0,30 El tipo de interés en las Letras del Tesoro es el 6,6% y se espera que permanezca constante en el futuro. Con esta información se le pide calcular: 1. La rentabilidad esperada y el riesgo de la cartera de mercado. 2. La rentabilidad esperada y el riesgo de Milliken Company. 3. La covarianza de la rentabilidad de Milliken con la rentabilidad de mercado. 4. El modelo de mercado de los títulos de Milliken. 5. La descomposición del riesgo total en sus dos componentes sistemático y específico. 6. Asumiendo que la beta de los títulos de Milliken se corresponde con la del modelo de mercado, se encuentran los títulos correctamente valorados? PROBLEMA 24 Los inversores de cierto mercado de capitales asignan, a los tres únicos títulos que cotizan en el mismo, los siguientes vectores de esperanzas matemáticas y varianzas de rentabilidad: E E E ,12 = 0,10 0,08 2 σ 1 0, σ 2 = 0, σ 0, Se ha observado que las variaciones en la rentabilidad del título 1 son independientes de las de los títulos 2 y 3. Se sabe además que la covarianza entre las rentabilidades de los títulos 2 y 3 es igual a -0,0001. La rentabilidad del activo libre de riesgo es del 4%. Se desea conocer: 1. La composición de la cartera de mercado en situación de equilibrio. 2. La esperanza de rentabilidad y riesgo total de dicha cartera. 3. El coeficiente de volatilidad de cada título. 4. Las ecuaciones de la CML y SML. 5. La rentabilidad esperada de la cartera eficiente con igual riesgo que la formada combinando los títulos 1, 2 y 3 en idéntica proporción. 16

18 PROBLEMA 25 (Junio, 2007) De cierto mercado de capitales se conoce la siguiente información acerca de los dos únicos títulos con riesgo que cotizan en el mismo: Título E(R) σ(r) 1 8% 2% 2 16% 5% Sabiendo que el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de ambos títulos es igual a 0, se pide: 1. Calcular la composición de la cartera que, combinando los títulos 1 y 2, ofrece un riesgo mínimo. Cuál es la rentabilidad esperada de esta cartera? Suponga a continuación que en el mercado se negocia un activo libre de riesgo cuya rentabilidad es el 3%, se cumplen las hipótesis relativas al mercado de capitales, el mercado se encuentra en equilibrio y la desviación típica de la rentabilidad de la cartera de mercado es igual a 2,0378%. 2. Cuál es la composición de la cartera de mercado? 3. Cuál es la esperanza de rentabilidad de la cartera de mercado? 4. Cuáles son las covarianzas de la rentabilidad de cada uno de los títulos con la rentabilidad de la cartera de mercado? 5. Cómo estarían formadas las carteras eficientes equivalentes a la cartera del apartado 1 para el mismo nivel de riesgo total? 6. El riesgo sistemático de cierta cartera q es igual a 2,3177% (procedente de la descomposición de la desviación típica en sus dos componentes sistemático y no sistemático) y su rentabilidad esperada es el 11,36%. Es eficiente dicha cartera? Si su respuesta es positiva, cuál sería su composición? 17

19 PROBLEMA 26 (Septiembre, 2007) Disponemos de la siguiente información acerca de los dos únicos títulos con riesgo (1 y 2) que cotizan en un mercado de capitales: Título E(R) σ(r) 1 7% 1% 2 10% 3% Sabiendo que la venta en descubierto (venta a corto o short selling) no está permitida y que es posible formar carteras de inversión combinando ambos títulos, cierto inversor estima que corriendo un riesgo del 2% (expresado a través de la desviación típica de la rentabilidad) puede realizarse una combinación cuya rentabilidad esperada sea el 9,07%. Con estos datos, se le pide que responda a las siguientes cuestiones: 1. Cuál es la composición de la cartera arriba descrita? 2. Determine el coeficiente de correlación entre las rentabilidades de ambos títulos. Suponga a continuación que en el mercado de capitales se negocia un activo libre de riesgo cuya rentabilidad es el 2%, que se cumplen las hipótesis relativas al mercado de capitales y que éste se encuentra en equilibrio. En este nuevo contexto se conoce que el coeficiente de volatilidad (β) del título 1 asciende a 0, Cuál es la rentabilidad esperada, el riesgo y la composición de la cartera de mercado? 4. Si el inversor sólo quisiera correr un riesgo (σ p ) del 2% cómo estaría formada la cartera eficiente en la que invertiría? 5. Cuál sería la rentabilidad esperada de la anterior cartera? 18

20 PROBLEMA 27 (Enero, 2008) Los dos únicos activos financieros que cotizan en el mercado de valores de PUCELAND son las acciones de las empresas Conde y Ansúrez. La rentabilidad esperada y el riesgo de estos activos se describen a continuación. Se sabe que en el mercado de valores de Puceland no se permiten operaciones de short selling con las acciones. E E CONDE ANSÚREZ 10% = 16% A partir de la información anterior se pide: σ σ CONDE ANSÚREZ 1% = 2% ρ(r CONDE, R ANSÚREZ ) = 0 1. Determinar la composición, rentabilidad esperada y riesgo de las siguientes carteras: a) Cartera de mínimo riesgo. b) Cartera de máxima rentabilidad esperada. c) Cartera de máximo riesgo. d) Cartera de mínima rentabilidad esperada. e) Cartera de máxima rentabilidad esperada y de mínimo riesgo. 2. Plantar el programa de Markowitz para obtener la frontera eficiente en el mercado de valores de Puceland. 3. Dibujar el conjunto de posibilidades de inversión y la frontera eficiente del mercado de valores de Puceland. 4. Si la rentabilidad de las letras del Tesoro en Puceland es el 5% y un inversor se plantea formar una cartera combinando una de las dos acciones con las letras del Tesoro, cuál de ellas debería seleccionar? 5. Sería eficiente la cartera del apartado anterior si fuera posible formar carteras combinando los tres activos financieros negociados en Puceland? 6. Sabiendo que la cartera de mercado de Puceland está formada por un 64'5% de acciones de Conde y que el mercado se encuentra en equilibrio cuál es la rentabilidad y el riesgo de la cartera de mercado? 7. Cuál es la beta de las acciones de Conde? 8. Cuál es la composición de una cartera eficiente con un 3% de desviación típica de la rentabilidad? Qué activos, de los tres negociados, debería comprar o vender? 19

21 PROBLEMA 28 (Junio, 2008) D. Travieso y D. Remolón son dos alumnos del Máster en Finanzas (MBAFI) de la Universidad Encantada de Cuenca. En el mercado bursátil donde realizan sus prácticas se negocian tan sólo dos activos con riesgo: Risk y Free. Las rentabilidades esperadas de la inversión en Risk y Free son respectivamente el 10% y el 8%. La capitalización bursátil de Risk equivale al 40% de la capitalización total del mercado. Y se sabe además que la covarianza de la rentabilidad de Free con la rentabilidad de la cartera de mercado es Tras consultar diversos manuales de valoración de activos y numerosos boletines de información bursátil, D. Travieso y D. Remolón han llegado a la conclusión de que todos los inversores que operan en ese mercado son aversos al riesgo, mantienen expectativas homogéneas, pueden prestar y pedir prestado al 5% de interés y, puesto que el mercado está en equilibrio, aplican el CAPM para valorar títulos y carteras. Con esta información D. Travieso y D. Remolón se presentan al proceso de selección convocado por la Sociedad de Valores Risto Brothers para cubrir dos plazas de analista de inversiones. Entre las preguntas propuestas en el examen de Introducción a la Economía Financiera, a las que por tanto usted también tiene que responder, se encuentran las siguientes: 1. Cuál es la composición de la cartera de mercado? 2. Cuál es la rentabilidad y el riesgo de dicha cartera? 3. Cuáles son los coeficiente de volatilidad (β) de Risk y Free? Como segunda parte del examen D. Travieso y D. Remolón tienen que demostrar sus dotes y habilidades como gestores de inversión eligiendo una cartera que incluya a Risk o a Free, pero no a ambos, acorde con su actitud frente al riesgo. D. Travieso decide invertir todo su presupuesto en Risk, mientras que D. Remolón opta por formar una cartera equiponderada con Free y Letras del Tesoro. Sabiendo que las rentabilidades de Risk y Free están incorrelacionadas y que sus respectivas varianzas son y , dé respuesta a las dos cuestiones siguientes: 4. Caracterice en términos media-varianza las inversiones efectuadas por D. Travieso y D. Remolón 5. Qué parte del riesgo total de las inversiones anteriores es riesgo sistemático? 20

22 PROBLEMA 29 (Control, 2009) Un inversor en cierto mercado de capitales asigna a los dos únicos títulos con riesgo que cotizan en el mismo y a las Letras del Tesoro los siguientes parámetros en términos de rentabilidad esperada y riesgo medido a través de la desviación típica de la rentabilidad: Título 1 Título 2 Letras del Tesoro Rentabilidad Esperada 6% 12% 3% Riesgo (σ) 3% 5% 0% El inversor conoce que una cartera N formada en un 20% por acciones de la empresa 1 y en un 80% por acciones de la empresa 2, tiene un riesgo, expresado a través de la varianza en tanto por diez mil, igual a ( en tanto por uno). 1. Cuál es el coeficiente de correlación entre los dos títulos? 2. Si únicamente puede combinar los títulos con riesgo, cuál es el porcentaje del título 1 en la cartera de riesgo mínimo sabiendo que no se permite la venta a corto? Asumiendo que todos los inversores del mercado tienen idénticas expectativas y que el mercado se encuentra en equilibrio, se sabe que, para el mismo nivel de riesgo proporcionado por la cartera N, sería posible formar una cartera eficiente en la que se obtendría un % de rentabilidad adicional y en la que sería necesario recurrir al endeudamiento al tipo de interés libre de riesgo en un % del presupuesto inicial del inversor. Con estos datos se desea conocer: 3. El porcentaje del título 1 en la cartera de mercado. 4. La rentabilidad esperada de la cartera de mercado expresada en porcentaje. 5. El coeficiente de volatilidad (beta) del título 1. Así mismo, cierta cartera F, con coeficiente de correlación con la cartera de mercado igual a 0 2, ofrece una rentabilidad esperada del 5%. 6. En cuántos puntos porcentuales es posible reducir el riesgo total de dicha cartera, medido por la desviación típica de la rentabilidad? 7. Cuál es el porcentaje que el riesgo no sistemático representa sobre el riesgo total medido a través de la desviación típica de la rentabilidad de la cartera F? 21

23 Problemas tema 5: El modelo de valoración de opciones financieras PROBLEMA 30 (Junio, 1996) La empresa CALLPUT emite una opción de compra de tipo europeo sobre una acción del BBVA con precio de ejercicio de 20 euros y vencimiento dentro de un año. El precio de mercado de las acciones del BBVA es de 20 euros en el momento actual y se espera que en la fecha de vencimiento de la opción aumente a 22 5 euros o se reduzca hasta 19 euros. Asimismo, sabemos que el tipo de interés libre de riesgo es del 10% anual. Se pide calcular: 1. Calcular el precio de la opción de compra, su valor intrínseco y su valor del tiempo. 2. El precio actual de la opción europea de venta sobre una acción del BBVA con idéntico precio de ejercicio y plazo de vencimiento que la opción de compra. 3. Cuál debe ser el precio mínimo de una acción del BBVA el día del vencimiento de la opción de compra para que su poseedor obtenga beneficios teniendo en cuenta que se adquiere hoy a su precio teórico? 4. Cuál debe ser el precio máximo de una acción del BBVA el día del vencimiento de la opción de venta para que su poseedor no obtenga pérdidas teniendo en cuenta que se adquiere hoy a su precio teórico? PROBLEMA 31 (Junio, 2002) A fecha de hoy, 24 de junio del año 2002, observamos en el mercado de capitales que el precio de una acción de REPSOL-YPF es de 12. Asimismo, comprobamos que se negocian opciones de compra y de venta europeas sobre una acción de REPSOL-YPF. Además, hemos estimado que el valor de las acciones de REPSOL-YPF dentro de un año será de 18 en caso de que la recuperación económica se haga realidad o de 9 si continúan apareciendo noticias preocupantes sobre la salud económica de los principales países del mundo y sobre Latinoamérica en particular. Hechas las oportunas comprobaciones podemos afirmar que los mercados financieros se encuentran en equilibrio. Por su parte, REPSOL-YPF ha anunciado que suspende el pago de dividendos hasta que no mejore su ratio de endeudamiento. Con estos datos se pide contestar a las siguientes cuestiones: 1. Cuál debería ser la rentabilidad anual del activo libre de riesgo en este mercado financiero para que la prima de la opción de compra europea sobre una acción de REPSOL-YPF que vence dentro de un año y tiene precio de ejercicio de 15 alcance un valor de ? 2. Cuál debería ser el precio de la opción de venta europea sobre una acción de REPSOL-YPF que vence dentro de un año y tiene precio de ejercicio de 15 euros? 3. Cuál es el valor intrínseco de la opción de compra del apartado 1 y de la opción de venta del apartado 2? Cuál de las dos opciones está en el dinero (sobre la par)? Cuál de ellas tiene el mayor valor del tiempo? Para qué precio de mercado de las acciones de REPSOL-YPF estas dos opciones estarían a la par? 22

24 PROBLEMA 32 (Septiembre, 2003) Las acciones de la empresa CLOS cotizan a 100 por acción, pudiendo alcanzar dentro de un año un valor de 120 o de 80 con probabilidades de ocurrencia 70% y 30%, respectivamente. Se sabe que actualmente en los mercados de capitales se negocian acciones de CLOS y 300 opciones de compra y 200 de venta sobre dichas acciones. Cada opción, sea de compra o de venta, es de tipo europeo y se constituye sobre un subyacente de 20 acciones de CLOS, con precio de ejercicio de (correspondiente a 20 acciones) y vencimiento dentro de un año. A partir de esta información, se pide determinar: 1. Cuál es el precio que un inversor estaría dispuesto a pagar por una opción de compra? 2. Cuál es el valor intrínseco de la opción de compra? 3. Cuál sería el valor actual que una opción de venta negociada en este mercado debería alcanzar? A cuánto ascendería en tal caso su valor intrínseco? 4. Si hoy fuera la fecha de vencimiento, determinar si habría ganado/perdido dinero el poseedor de una opción de compra que pagó por ella 150. Y el emisor de una opción de venta que la vendió a 40? A cuánto ascienden estas ganancias/pérdidas? 5. El valor de una cartera que combina la posesión de 10 opciones de compra y la emisión de 10 opciones de venta. Proponer una cartera equivalente a partir de la combinación de las acciones y la inversión libre de riesgo. 6. Sabiendo que la capitalización bursátil del mercado de valores es de y que el tipo de interés libre de riesgo es el 5%, cuál es la proporción en la que participan las acciones, las opciones de compra y las opciones de venta en la cartera de mercado? PROBLEMA 33 (Junio, 2007) Las acciones de ADE en el momento actual cotizan a 50 euros y su precio sigue una distribución binomial multiplicativa con parámetros 2 5 y 0 4 al alza y a la baja, respectivamente. Teniendo en cuenta que el precio de ejercicio es 56 euros, la rentabilidad del activo libre de riesgo es el 4% anual y las acciones de ADE no reparten dividendos, se le pide: 1. Valorar una opción de compra europea a dos años mediante la utilización de la cartera réplica. 2. Valorar la opción de compra americana a dos años. 3. Valorar opción de venta europea con vencimiento a 2 años y precio de ejercicio 56 euros (sin emplear el modelo binomial). PROBLEMA 34 Considere una acción cuyo valor actual es de 100 euros y sigue una distribución binomial con parámetros 1 25 y 0 8 al alza y a la baja, respectivamente. Valore las siguientes opciones definidas sobre dicho activo teniendo en cuenta que el precio de ejercicio es 110 euros y la rentabilidad del activo libre de riesgo es el 5 por ciento: 1. Opción de compra europea a un año. 2. Opción de compra europea a dos años. 3. Opción de compra americana a dos años. 4. Opción de venta europea a un año. 5. Opción de venta europea a dos años. 6. Opción de venta americana a dos años. 7. Opción de compra europea a un año con un dividendo del 10 por ciento. 8. Opción de compra europea a dos años con un dividendo del 10 por ciento. 9. Opción de compra americana a dos años con un dividendo del 10 por ciento. 10. Opción de venta europea a un año con un dividendo del 10 por ciento. 11. Opción de venta europea a dos años con un dividendo del 10 por ciento. 12. Opción de venta americana a dos años con un dividendo del 10 por ciento. 23