11Soluciones a los ejercicios y problemas

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Martín Quintero Tebar
hace 6 años
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1 PÁGIN 0 Pág. P RTI Figuras semejantes uáles de estas figuras son semejantes? uál es la razón de semejanza? F F F F es semejante a F. La razón de semejanza es. a) Son semejantes los triángulos interior y eterior? b) uántas unidades medirán los catetos de un triángulo semejante al menor cuya razón de semejanza sea,5? a) No. La razón entre los catetos es en el interior y 5 en el eterior. 7 b),5 5,5 7,5 Los catetos medirán 5 y 7,5 unidades. Una fotografía de 9 cm de ancho y cm de alto tiene alrededor un marco de,5 cm de ancho. Son semejantes los rectángulos interior y eterior del marco? Responde razonadamente. 4 9? No son semejantes. 9 4

2 4 Un joyero quiere reproducir un broche como el de la figura duplicando su tamaño. Pág. cm a) Haz un dibujo de la figura ampliada. b)alcula su superficie. a) cm b) El área de las dos partes inferiores se puede hallar sin más que contar cuadraditos: + cm La parte de arriba es medio círculo de radio. Por tanto, su superficie es: La superficie total de la figura es: S ( + π) cm 5 Un rombo cuyas diagonales miden 75 cm y 50 cm, qué área ocupará en un plano de escala :5? Área cm En el plano ocupará 0 5 cm. 5 (π r ) π π cm Una maqueta está hecha a escala :50. alcula: a) Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide cm de altura y 4 cm de diámetro. b)la superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm. c) El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 0 cm de agua.

3 a) cm 50 cm cm h 4 cm d La torre cilíndrica mide 5 m de altura y 0 m de diámetro. b) cm 50 m c) cm,5 m h 500 cm 5 m d 000 cm 0 m Pág. 7 En este mapa de escala : , la distancia entre Monçao y Ponte da arca es cm. a) uál es la distancia real? b)alcula la distancia entre Viana do astelo y Valença do Minho. c) Qué distancia habrá en el plano entre dos ciudades que distan 0 km? 40 Islas tlánticas 0 Ponteareas abo Silleiro Ramallosa O Porriño aiona Salvaterra de Miño Gondomar Tui rrabal Monção Tomiño Valença O Rosal do Minho a) istancia real cm 0 km b) En el mapa, midiendo, vemos que la distancia entre las dos localidades mencionadas es,5 cm. Por tanto: istancia real, cm 7,5 km c) 0 km cm istancia en el mapa Ría de Vigo Guarda PO 55 Fondevila Nacional Moledo do Minho 4 Lindoso M Ponte 5 9 da arca da Peneda-Gerés Viana do Ponte de Lima astelo do lto arque aldelas Rabagão 0 0 otic 0 Venda 55 Nova N Esposende Vigo I PO 55 G 57 N 0 N 0 arcelos N 0 E N 0 cm ortegada 9 elanova recente llariz 9 7 Esta figura es el logotipo de una empresa automovilística. Quieren reproducirlo de forma que ocupe 54 cm de superficie. uáles serán sus dimensiones? ibújalo. N 0 5 N N 0 Parque Miño Serra da Peneda N 07 N 05 N 0 N 0-40 OU 5 07 N 540 Sª. do Gerês N 0 ande Mugueimes Serra da abreira OU 5 Limia Emb. das onchas N cm

4 La superficie del logotipo es, siempre, de cuadraditos (consideramos que al hacer la ampliación, también se amplían en la misma proporción los cuadraditos). Necesitamos que la superficie de cuadraditos de lado l sea 54 cm. Por tanto: l 54 l 9 l cm Esto es, tenemos que hacer una ampliación en la que cm se convierte en cm. Luego las dimensiones de la figura serán: Pág. 4 cm 9 uánto medirán los lados de un trapecio semejante al de la figura, cuyo perímetro sea, cm? cm cm cm 0 cm t z y El perímetro de la figura inicial mide cm. Por tanto:, y z 5 0 7, cm; y cm; z,4 cm; t 5, cm t 0 a) opia esta figura en tu cuaderno y amplíala al doble tomando O como centro de homotecia. b) Redúcela a / tomando como centro de homotecia. O

5 Pág. 5 O PÁGIN Semejanza de triángulos omprueba si son semejantes dos triángulos y ''' que cumplen las condiciones siguientes: a) 0, ; '' 5; '' 45; '' 0 b) 0; 0; 40 '' 40; '' 50; '' 0 c) ^ 5 ; ^ 97 ^' 5 ; ^' 5 a) omprobamos si los lados son proporcionales. Esto es, si: 0,5 '' '' '' Sí son semejantes.

6 b) Procediendo como en el apartado anterior, es claro que no son semejantes: 0 40? 0? c) omprobamos si los dos triángulos tienen sus ángulos iguales: ^ 5 ; ^ 97 ^ omo ^? ^', los triángulos no son semejantes. Pág. El perímetro de un triángulo isósceles es 49 m y su base mide m. Halla el perímetro de otro triángulo semejante, cuya base mide 4 m. uál es la razón de semejanza entre el triángulo mayor y el menor? P 49 m m P 4 m 4 5,5 Perímetro del triángulo semejante: P' 49 5,5 9, m La razón de semejanza es 5,5. En el triángulo hemos trazado E paralelo a. 7 cm 0 cm cm cm E Por qué son semejantes los triángulos y E? alcula y. Los triángulos son semejantes porque están en posición de Tales. 7 0,5 cm E E 0 5 cm E 4 Por qué son semejantes los triángulos y E? Halla el perímetro del trapecio E. E 0 cm 7 cm cm Porque son rectángulos con un ángulo agudo común, ^. Tienen los tres ángulos iguales.

Hallamos E aplicando el teorema de Pitágoras: E 0 cm; + 7 5 cm 0 + 5 0 + 50 70 E 0,5,5 cm 5 50,75 cm E E Perímetro de E 7 +,75 +,5 + cm Pág.

7 Hallamos E aplicando el teorema de Pitágoras: E 0 cm; cm E 0,5,5 cm 5 50,75 cm E E Perímetro de E 7 +,75 +,5 + cm Pág. 7 5 Observa esta figura, en la que el segmento es paralelo a. a) i por qué son semejantes los triángulos O y O. b)alcula e y. a) Son semejantes porque tienen un ángulo igual, O O por ser opuestos por el vértice, y los lados opuestos a ese ángulo son paralelos. b) 7, 5,0 cm 7,,5,5,5 y y 0, 7,4 cm 0,,5 7, cm 0, cm,5 cm O cm y ì ì P IENS Y RESUELVE uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es, m y alejándote 0, m del borde, desde una altura de,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

8 Pág.,7 m 0, m,,,7,55 m,7 0, 0, La profundidad es de,55 m., m 7 Entre dos pueblos y hay una colina. Para medir la distancia, fijamos un punto P desde el que se ven los dos pueblos y tomamos las medidas: P 5 km, PM 7, km y MN km. (MN es paralela a ). alcula la distancia. M N P 5 km M 7, km km N Los triángulos P y MPN son semejantes. Por tanto: km 7, 7, P Una lámpara situada a 5 cm de una lámina cuadrada de 0 cm de lado, proyecta una sombra sobre una pantalla paralela que está a,5 m de la lámpara. uánto mide el lado del cuadrado proyectado?

9 Pág. 9 L 50 cm Por tanto, el lado del cuadrado proyectado mide 0 0 cm. 9 Si F 5 cm, cuál es el área y el perímetro del pentágono FEG? E 5 cm F cm 0 cm E 5 cm F G cm 0 +, cm Los triángulos FE y son semejantes. Por ello: FE 5 FE FE,4 cm, En el triángulo FE, E FE F,4 5 E,5 cm E E 0,5 7,5 cm G cm G 0 + G 0,59 cm F 7 cm 0 cm F Área del triángulo FE,5 5,5 cm Área del triángulo G 0 90 cm Área del pentágono 0,5 90,75 cm Perímetro del pentágono: FE + E + G + G + F,4 + 7, , ,55 cm

10 PÁGIN Pág. 0 0 Los catetos del triángulo rectángulo miden cm y cm. esde el punto tal que 9 cm, se traza una paralela a. Halla el área y el perímetro del trapecio E. E cm 9 cm E cm Los triángulos y E son semejantes. Por ello: E cm E E alculamos la hipotenusa de cada uno de los triángulos: + 5 cm E + 0 cm Área del trapecio cm cm Perímetro del trapecio E cm En una carretera de montaña, nos encontramos una señal que nos advierte que la pendiente es del %; es decir, por cada 00 m que recorremos, el desnivel es de m. a) uál es el desnivel que se produce cuando recorremos km? b)para que el desnivel sea de 500 m, cuántos kilómetros tendremos que recorrer? a) m Se produce un desnivel de 40 m m 00 b) m 500 m 500 E km Tendremos que recorrer,5 km. %

11 Esta figura representa, a escala : 000, una parcela de terreno. alcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias. Pág. cm 4 cm,5 cm,5 cm PLNO RELI cm cm 0 m,5 cm, cm 70 m 4 cm cm 0 m,5 cm, cm 50 m P m S (0 50) 000 m Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden cm y, cm, respectivamente. Si el área del menor es cm, cuál es el área del mayor? Razón de semejanza,,7 Área del segundo,7 75,4 cm 4 Una parcela tiene forma de trapecio rectángulo con las dimensiones que se ven en la figura. 7 m 4 m a) alcula su área. 0 m b)se quiere hacer un pozo en el punto donde se cortan las prolongaciones de los lados y. qué distancia de y de estará el pozo? a) 7 m h 4 m ò h 4 m ò h 4 0 5,5 m 0 m 0 m (7 + 0) 5, 4 9, m

12 P b) + 5, , 7 0 X 7 m 5,5 m 4 m Y 0 m El pozo estará a 5,7 m de y a 5, m de , 5,7 m 0 y y + 4 0y 7y y 4 0 5, m 0 Pág. 5 En estos dos círculos concéntricos, el radio del mayor es el triple del menor. a) Si el área del mayor es 95 cm, cuál es el área del menor? b)alcula el radio de cada círculo. a) R r R r Si los radios están en proporción de a, las áreas lo están en proporción 9 a. Por tanto, el área del menor es 95 : 9 05,7 cm. b) πr R 7,4 cm π r R 7,4 5, m Para hacer un embudo de boca ancha, hemos cortado un cono de 5 cm de radio a cm del vértice. La circunferencia obtenida tiene cm de radio. Halla el volumen del embudo. 5 cm cm ò ,5 cm El volumen del embudo será la diferencia entre el volumen de un cono de 5 cm de radio y 7,5 cm de altura, y el volumen de otro cono de cm de radio y cm de altura. V (π 5 7,5) (π ) π (5 7,5 4 ) 5,5π cm

13 7 Hemos recubierto con un tejado cónico un depósito cilíndrico de 4 m de radio y 4,4 m de altura. Si el radio del cono es 0 m, cuál es el volumen de la zona comprendida entre el cono y el cilindro? Pág. ò 4 4, , , 57, 9, m V ONO (π 0 ) (4,4 + 9,) 00π m V ILINRO (π 4 ) 4,4 0,4π m V V ONO V ILINRO 00π 0,4π 59,π m La base de una escultura tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular regular en el que los lados de las bases miden 0 cm y 40 cm, y su altura, 50 cm. Halla su volumen. 0 cm 50 cm 40 cm 40 cm 50 cm 70 cm alculamos la altura de la pirámide: cm ltura cm Volumen tronco V PIRÁMIE MYOR V PIRÁMIE MENOR V cm 0 dm 9 Halla el volumen de una maceta como la de la figura, en la que los radios de las bases miden cm y 4 cm, y la generatriz, 0 cm. 4 cm 0 cm cm

14 Pág. 4 h ò h 0 h 0,9 cm 4 4 h ò,9 +, ,4 4 7,4, m 4 4 V ONO GRNE (π 4 ) (,9 +,) 05,π cm V ONO PEQUEÑO (π ) (,) 0,π cm V MET V ONO GRNE V ONO PEQUEÑO ( 05, 0,) π 045,05π cm La maceta tiene un volumen de 9 5,4 cm. 0 esde un punto P, trazamos las tangentes comunes a dos circunferencias. Las distancias de P a los centros son PO 7 cm y PO' 0 cm. Si el radio de la mayor mide cm, cuánto mide el radio de la menor? P O O' P T O T' O' OT PO O'T' OT PO' 7 0 OT 7 0, cm 0 El radio de la menor mide 0, cm.

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