Figura 1. Gráfica de la función.

Transcripción

1 Integración numérica Por Iván Cruz Al momento de evaluar una integral definida dentro de un intervalo finito de valores o bien, al necesitar la obtención del área bajo una curva teniendo como datos de entrada la función o únicamente las cantidades, surge el cuestionamiento de que si la única herramienta disponible para resolver el problema es a través de la forma analítica. Por ejemplo: tienes que integrar la siguiente función en el intervalo [-10, 10]. Para lograrlo, utilizas la notación de integral definida y procedes a antiderivarla para posteriormente evaluarla, y con ello, obtener el área bajo la curva de la función. Figura 1. Gráfica de la función. 1

2 La figura 1 muestra la representación gráfica de la función, evaluada en el intervalo de [- 10, 10], mientras que en la figura 2 se presenta la misma gráfica, pero ahora muestra más claramente lo que quieres encontrar al integrar la función. La parte sombreada de esta figura representa el área entre la curva y el eje de las abscisas o eje x, la cual por medio del método analítico arrojó como resultado un área igual a 2000 unidades. Figura 2. Gráfica de la función con área bajo la curva sombreada. Después del análisis de las dos figuras anteriores, es posible pensar en utilizar métodos diferentes al analítico para ser capaces de encontrar el área bajo una curva. Es en este momento donde surge una gran cantidad de métodos, que haciendo uso de la potencia que representa una computadora para realizar cálculos numéricos, aparecen los métodos numéricos de integración. Los métodos numéricos, en este caso de integración numérica, permiten calcular áreas bajo curvas o evaluar integrales, por medio de la realización de cálculos numéricos de manera iterativa. A continuación, en la figura 3, se muestra un esquema de los métodos de integración numérica más comunes: 2

3 Figura 3. Métodos de integración numérica. Todos los métodos numéricos de la figura 3 encuentran el área bajo una curva por medio de iteraciones, por lo tanto, a diferencia del método analítico, es muy probable que el método numérico obtenga un valor muy aproximado al valor real del área, pero esta aproximación puede reducir el margen de error, únicamente ajustando los parámetros del método, en cambio, hay integrales para las cuales no existe un procedimiento analítico para resolverlas, y en estos casos, los métodos de integración numérica se convierten en indispensables, ya que sería la única forma de aproximar el resultado. A continuación se representa la resolución de la función aproximación rectangular. por medio del método de Método de aproximación rectangular Encontrar el área bajo la curva de la siguiente función en el intervalo indicado. El método de aproximaciones rectangulares consiste en sumar todos los productos de las bases por las alturas de cada rectángulo que represente una parte de la curva, por lo tanto, la base de los rectángulos tiene que ser definida previamente, así como la cantidad de rectángulos a utilizar, mientras que la altura de los rectángulos viene dada por la evaluación de la función en el punto medio de la base de cada rectángulo. Para una mejor interpretación, se presenta en la figura 4 un esquema de la metodología empleada por el método de integración de aproximaciones rectangulares. 3

4 Figura 4. Métodos de aproximaciones rectangulares. Después de analizar la figura anterior, es posible definir como parámetros la cantidad de rectángulos a utilizar con su respectivo valor de base, en este caso, la base sería igual a 1 unidad, por lo que los cálculos quedarían de la siguiente manera: Base: es igual a 1 unidad. Punto medio de la base: se obtiene por medio del promedio de dos valores en x, por ejemplo: para el rectángulo que abarca los valores entre el intervalo -10 y -9, su punto medio sería: ( )/2 = Altura del rectángulo: Esta altura se obtiene evaluando el valor del punto medio de la base en la función original, como se muestra a continuación: 4

5 Área rectángulo (base por altura): El área de cada rectángulo se obtiene multiplicando el valor de su base, en este caso 1, por el valor de su altura, la cual está representada por. Ésta puede denotarse de la forma: Área bajo la curva: Finalmente el área bajo la curva puede expresarse como la suma de todas las áreas de los rectángulos o bien, utilizando la notación sigma: Donde n representa el número total de rectángulos definidos para el cálculo del área. A continuación, en la tabla 1, se presentan todos los cálculos realizados por el método de aproximaciones rectangulares, en donde se presenta el valor del área bajo la curva. x base punto medio de base altura rectángulo área rectángulo base por altura AREA TOTAL: 1995 Tabla 1. Cálculos para 20 rectángulos de la función. 5

6 Es importante aclarar que los métodos de integración numérica son métodos de aproximación, por lo que en ocasiones puedes encontrar valores cercanos a la solución analítica, por ejemplo, en la tabla anterior, el valor del área bajo la curva que arroja como resultado es de 1995, y por su parte, el método analítico presenta como resultado Con ello podrás definir que existe un margen de error del 0.9 %, aunque este error puede reducirse por medio de un ajuste de parámetros, tal como sería el incrementar el número de rectángulos a utilizar en el cálculo. En la tabla 1 se utilizaron 20 rectángulos, por lo tanto, cada uno tenía una base definida de 1 unidad, ahora en la tabla 2, se presentan los resultados cuando el número de rectángulos se incrementa a 40, teniendo a cada rectángulo con base el 0.5 unidades, y con ello es posible revisar que el área arrojada es igual a , y por lo tanto, el margen de error se ve reducido. x base punto medio de base altura rectángulo área rectángulo base por altura

7 AREA TOTAL: Tabla 2. Cálculos para 40 rectángulos de la función. A través de esta lectura se analizó una forma alternativa para evaluar una integral definida o bien, calcular el área bajo una curva por medio de un método de integración numérica, además de revisar los principales métodos, los cuales serán de gran utilidad en tu formación como Ingeniero, ya que podrás ver y analizar desde varias perspectivas las técnicas para resolver problemas de cálculo integral. Bibliografía Chapra, S.C. & Canale, R. P. (1999). Métodos Numéricos para Ingenieros (3ª. ed.). México: Mc Graw Hill. Finney, R. L., & Demana, F. D. (2000). Cálculo de una variable (2ª. ed.). México: Prentice Hall. Santiago, R. D., Prado, C. D., Gómez, J. L., Quezada, M. L., Zuñiga, L., Pulido, J. Barajas, L. y Olmos, O. (2000). Cálculo integral para ingeniería (1ª. ed.). México: Pearson Educación [Versión en línea]. Recuperado de la base de datos de Bibliotechnia de la Biblioteca Digital de la UVEG. 7