[PAU97S1AQ3] Feu un esquema de la representació gràfica del polinomi

Transcripción

1 FUNCIONS [PAU97JBQ] Clculeu el límit qun i qun de l funció polinòmic n f ( ) K n, on els coeficients,,, n són nombres rels, i n > (hureu de considerr el cs que n sigui prell i el cs que sigui senr). Justifiqueu després el fet que tot polinomi de gru senr mb els coeficients rels té sempre, pel cp bi, un rrel rel. [PAU97SAQ] Feu un esquem de l representció gràfic del polinomi 4 f ( ) 4 6 i digueu quntes rrels rels té. Per cd rrel, determineu l sev prt enter. [PAU97S4AQ4] El crboni 4 es desintegr seguint l llei eponencil següent: kt Q( t) Q e, on t indic el temps trnscorregut prtir d'un cert instnt inicil que es pren com origen per comptr el temps (quest origen és rbitrri i es pot prendre com tl qulsevol constnt de temps), Q(t) indic l quntitt d'àtoms que encr no s'hn desintegrt l'instnt t, Q l quntitt d'àtoms que no s'hvien desintegrt l'instnt que s'h escollit com instnt inicil, i k és un cert constnt. El crboni 4 té un període de semidesintegrció de 5.77 ns. Aiò vol dir que cd 5.77 ns l quntitt d'àtoms que encr no s'hn desintegrt es reduei l meitt. A prtir d'quest dd determineu el vlor de l constnt k. Digueu després quin tnt per cent d'àtoms encr no s'hn desintegrt l cp de. ns de l'instnt inicil. [PAUJQ] Determineu el vlor que h de tenir k perquè l funció k 5 f ( ) tingui límit qun tendei (és dir, eisteii lim f ( ) ) i clculeu el vlor que tindrà quest límit. [PAU6JQ4] Trobeu el domini i les símptotes de l funció definid per 4 f ( ) [PAUSQ] Trobeu les símptotes de l funció f ) ( DERIVABILITAT [PAU97JBQ4] Clculeu els etrems reltius de l funció f ( ) ( ) 4 [PAU97JAQ] ) En quin punt l corb d'equció té un rect tngent 4 horitontl? b) És possible que quest corb tingui un tngent prl lel l rect 7 en lgun punt d'bsciss negtiv?

2 [PAU97JBP] ) Clculeu els màims i mínims locls de l funció f ( ) b i doneu en funció de b el vlor que pren l funció en quests màims i mínims. b) Feu un esbós de l gràfic de l funció qun el pràmetre b és positiu, i qun quest pràmetre és nul. c) Clculeu el vlor negtiu de b per l qul l gràfic de f() és tngent l'ei de les en el màim locl d'quest funció. Dibuieu l gràfic de l funció per quest vlor de b. d) Determineu (fent servir l'estudi de l funció relitt en els prtts nteriors) els vlors de b per ls quls l'equció f() només té un solució. [PAU97SBQ] Epliqueu l relció que hi h entre l derivd d'un funció en un punt i l tngent l gràfic d'quest funció en el mtei punt. L corb i l rect 5 són tngents en lgun punt? [PAU97S4BQ] Determineu per quins vlors de n l rect gràfic de l funció f ( ) 6. n és tngent l [PAU98JQ4] En quin punt de l corb f ( ) ln l rect tngent és prl lel l cord AB determind pels punts A(, ) i B(e, ) [PAU98J6Q] Sigui f ( ) 5b. Trobeu els vlors de i b de mner que l gràfic de f() tingui l tngent horitontl per i, més, l corb pssi pel punt (, 8) [PAU98SQ4] Trobeu el punt de l gràfic de perpendiculr l rect 6 5. ln tl que l rect tngent sigui 5 [PAU98SP] Sigui f ( ) 9 ) Trobeu l'equció de l rect tngent l gràfic de f() en el punt d'bsciss. b) Estudieu el domini de definició de f() i les símptotes. c) Estudieu els intervls de creiement i decreiement. Feu ne l representció gràfic [PAU99J6P] Considereu l funció f ( ) ) Feu un estudi de les seves símptotes. b) Clculeu els punts en què quest funció té etrem reltiu i digueu per quins intervls del domini l funció és creient. c) Feu un esbós de l gràfic de l funció prtir de les ddes obtingudes en els prtts nteriors. [PAU99SQ] L gràfic d'un funció és l que hi h en el dibui següent. Quin és l gràfic de l sev funció derivd? En quins punts és discontínu l derivd?

3 [PAU99SP] Considereu l funció f ( ) 8 ) Trobeu el domini de f() i les símptotes. b) Determineu el signe de l funció en el seu domini (determinr el signe de f() vol dir estblir per quins vlors de es complei f ( ) i per quins f ( ) ). c) Trobeu ne els intervls de creiement i decreiement i els etrems reltius. d) Feu un esquem de l gràfic de l funció. [PAUJQ] Clculeu els vlors de tls que les tngents l gràfic de l funció f ( ) en els punts d'bscisses i siguin perpendiculrs entre si. [PAUJQ] Determineu els punts de l gràfic de f ( ) 4 5 on l rect tngent és prl lel l bisectriu del primer qudrnt. Clculeu l'equció d'questes rectes tngents. [PAUJP] Considereu l funció f ( ), on és un pràmetre. ) Clculeu sbent que l rect és un símptot obliqu d'quest funció. b) Prenent el vlor de obtingut en l'ltre prtt, clculeu el domini, les interseccions de l gràfic mb els eios, els intervls de creiement i decreiement i els etrems reltius de l funció f. Feu un gràfic proimd d'quest funció prtir de les ddes que heu obtingut. [PAUSQ] ) Trobeu els etrems reltius de l funció polinòmic f ( ) 6 i clculeu els vlors de f() en quests punts. A prtir d'questes ddes, feu un dibui proimt de l sev gràfic. b) Demostreu que l'equció 6 té, ectment, tres solucions rels. [PAUS6Q] D'un funció f ( ) sbem ) El seu domini de definició és tot R. b) L sev funció derivd és si < f ( ) si > c) f() és contínu en tot punt i f ( ). Determineu el vlor de f() i dibuieu l gràfic de l funció f().

4 [PAUS6Q] Dond l funció f ( ), determineu l'equció de l rect tngent e l sev gràfic en el punt on s'nul l l segon derivd. [PAUSP] Considereu l funció f ( ) ) Determineu les seves símptotes. b) Clculeu els intervls on crei i on decrei, i els etrems reltius. c) D'cord mb els resultts que heu obtingut, dibuieu proimdment l sev gràfic. d) Fint vos en l gràfic nterior, epliqueu quin seri l gràfic de l funció g ( ) f ( ) (feu ne un esquem). En quins punts té màims l funció g()? [PAUS5Q] Per cd vlor del pràmetre R, considereu l funció f ( ) (definid per tots els vlors de diferents de ). ) Determineu per cd vlor del pràmetre, els etrems reltius que té l funció f(). b) Per quins vlors del pràmetre l funció f() és sempre creient? [PAUS5Q] Teniu un funció f() definid per (,) sbeu que el gràfic de f () és de l form (on f ' ( ), f' (), f' () ) i que f (). Dibuieu un gràfic proimt de f() indicnt en quins punts hi h etrems reltius. [PAUS4Q] Considereu l funció definid per e si f ( ) on és un nombre rel. si > ) Clculeu lim f ( ) i comproveu que f() és contínu en. b) Per quin vlor del pràmetre l funció f() és derivble en? [PAUJQ] Sbent que l funció ( )( 4), on és un nombre rel, té un màim i un mínim reltius, i que el màim reltiu s'ssolei en el punt, trobeu l'bsciss del mínim reltiu.

5 m [PAUJQ] Sigui f ( ), on m és un pràmetre. ) Determineu per cd vlor del pràmetre m el vlor del límit lim f ( ) (si eistei). b) Per quins vlors de m l derivd f'() de l funció f() és positiv per tot? 6 [PAUSQ] Se sp que l derivd d'un funció f() és f ( ) Clculeu les bscisses dels punts on l funció f() té els seus etrems reltius, especificnt per cd un dels vlors que obtingueu si es trct d'un màim o d'un mínim reltiu. [PAUJQ] Clculeu les equcions de les dues rectes del pl que pssen pel punt P (, ) i que són tngents l corb d equció ( ) [PAUJ5P] ) Determineu el vlor del pràmetre que f que l funció f ( ) presenti un etrem reltiu en el punt d'bsciss. b) Per quest vlor del pràmetre, clculeu els intervls de creiement i decreiement, i les símptotes de l funció. c) A prtir de les ddes que heu obtingut, feu un gràfic proimd d'quest funció. [PAUSQ] Clculeu el punt de l corb prl lel l rect. en què l tngent és [PAU4JQ] Considereu l funció f ( ). ) Clculeu l equció de l rect tngent l gràfic de f() en el punt d bsciss. b) Eistei lgun ltr rect tngent l gràfic de f() que sigui prl lel l que heu trobt? Roneu l respost i, en cs firmtiu, trobeu-ne l equció. 6 [PAU4JQ] Considereu l funció f ( ) on és un pràmetre. ) Clculeu el vlor del pràmetre sbent que f() té un etrem reltiu en el punt d bsciss. b) Aquest etrem reltiu, es trct d un màim o d un mínim? Roneu l respost. [PAU4J4Q4] Considereu l funció f() de l figur definid l intervl [, ]. ) Clculeu l funció derivd f () l intervl (, )

6 b) Hi h lgun punt de (, ) en el qul f () no eisteii? c) Clculeu f ( ) d Roneu totes les respostes. [PAU4S5Q] L gràfic següent correspon un funció f [, 6] R derivd contínu. Feu un esbós de l gràfic de f (, 6) R perquè. : derivble i mb : i justifiqueu-ne el [PAU4S5P] Considereu l funció polinòmic de tercer gru f ( ) b c d, ( ). ) Trobeu els vlors de, b, c i d per ls quls f() tll l ei OX en els punts i i present un mínim reltiu en el punt. b) Feu un esbós de l gràfic de l funció que heu trobt, i cbeu de clculr els elements necessris per dibuir-l. [PAU5J4Q] Trobeu els màims i mínims reltius de l funció 5 4 f ( ) 6 5 [PAU5J4Q4] Sigui l pràbol i sigui A el punt de l pràbol d bsciss. ) Trobeu l equció de l rect tngent l pràbol en el punt A. b) En quin punt de l pràbol l rect tngent és perpendiculr l rect que heu trobt en l prtt nterior? b si < [PAU5SP] Considereu l funció f ( ) on i b són b e si nombres rels. ) Quin condició hn de complir i b per tl que f sigui contínu tot R? b) Trobeu els vlors de i b per ls quls f sigui contínu però no derivble tot R. c) Per i b, clculeu f ( ) d 4 [PAU6JP] Considereu l funció f ( ) b c 7 ) Clculeu c sbent que l sev rect tngent en el punt d bsciss és horitontl.

7 b) Per l vlor de c trobt l prtt nterior, clculeu i b sbent que quest funció té un etrem reltiu en el punt d bsciss i que tll l ei OX qun. c) Per ls vlors obtinguts ls ltres prtts, clculeu els intervls on l funció crei i decrei, els seus etrems reltius i feu un representció gràfic proimd. [PAU6JQ] Considereu l funció definid per f ( ). Clculeu qunt vl el pendent de l rect tngent l sev gràfic pel punt d bsciss. Trobeu si hi h ltres punts en els quls el pendent de l tngent sigui igul l que s h obtingut. [PAU6JP] Dond l funció f ( ) e ) Trobeu el seu domini i les possibles interseccions mb els eios. b) Trobeu els intervls on crei i decrei i els etrems reltius. c) Trobeu les possibles símptotes. d) Feu l representció gràfic proimd de l funció. [PAU6S4Q] Sigui f : R R l funció definid per f ( ) e ( b), on i b són nombres rels. ) Clculeu els vlors de i b per tl que l funció tingui un etrem reltiu en el punt (, e ) b) Per ls vlors de i b obtinguts, digueu quin tipus d etrem té l funció en el punt esmentt. [PAU7JQ] L funció derivd f () de cert funció contínu funció trossos formd per les semirrectes del dibui. f : R R és un ) Digueu si f() és derivble en tots els punts de R i per què. b) Estudieu el creiement i el decreiement de f(). c) Trobeu si f() té lgun etrem reltiu i, si és ií, per quin vlor i de quin tipus. d) Sbent que f(), clculeu el vlor de f(). Justifiqueu totes les respostes. [PAU7JQ] Clculeu els vlors del pràmetre,, que fn que les tngents l 4 corb d equció 5 en els punts d infleió siguin perpendiculrs. [PAU7JQ] En quin punt l rect tngent l funció f ( ) e és prl lel l ei d bscisses? Escriviu l equció de l rect tngent en quest punt.

8 [PAU8JP] Considereu un funció tl que l sev representció gràfic l intervl (,) és l següent: ) Determineu les bscisses dels punts etrems (màims i mínims) reltius. b) Estudieu el creiement i decreiement de l funció l intervl (, ). c) Feu un esbós de l gràfic de l derivd d quest funció. d) Sbent que l funció és de l form f () 4 b c, trobeu de quin funció es trct. [PAU8J5Q] Trobeu els vlors dels pràmetres i b per tl que l funció següent sigui contínu i derivble en. si < f ( ) b 5 si [PAU8J5Q] Digueu per quin vlor de l rect tngent l corb ln( ) és prl lel l rect. Escriviu l equció d quest tngent. [PAU8S4Q] Considereu l funció f ( ) b (, b R). Trobeu els vlors de i b que fn que l rect sigui tngent l gràfic de f qun. e e e e [PAU8S4P] Dondes les funcions f ( ) i g( ) : ) Comproveu que [g()] [f()]. b) Comproveu tmbé que f () g() i g () f(). c) Comproveu que f( ) f() g() f() g(). f ( ) d) Clculeu lim dividint per e el numerdor i el denomindor; mb un g ( ) f ( ) procediment similr (però no igul), trobeu lim. g ( ) [PAU9SQ] Sigui f ( ). Dondes r : i r : 7 ) Epliqueu, rondment, si lgun de les dues rectes pot ser tngent l corb f () en lgun punt. b) En cs que lgun d elles ho sigui, trobeu el punt de tngènci.

9 [PAU9SP] Considereu l funció rel de vrible rel f ( ) ) Trobeu-ne el domini. b) Clculeu l equció de les seves símptotes, si en té. c) Estudieu-ne els intervls de creiement i de decreiement, ií com les bscisses dels seus etrems reltius, si en té, i clssifiqueu-los. [PAUJ4Q] Sigui P() b c un polinomi qulsevol de segon gru. ) Trobeu l relció eistent entre els pràmetres, b i c sbent que es complei que P() i P(). b) Qun es complei l condició nterior, indiqueu quins vlors pot tenir P (/) [PAUJ4Q5] En l figur següent es representen dues funcions. L un és l derivd de l ltr. Decidiu si l funció f() és l derivd de l funció g() o és l inrevés, estudint què pss en els punts, b i c. [PAUJ5Q] Determineu el vlor dels pràmetres, b i c perquè l gràfic de l funció f ( ) sigui l següent: b c

10 PROBLEMES D'OPTIMITZACIÓ [PAU97JBP] Un noi vol trvessr el riu Ebre des d'un punt A fins un punt B, tl com ens indic el dibui djunt. Per fer ho nirà nednt fins un punt C que encr no sbem quin h de ser, i des d'llí nirà corrent fins B. Podem considerr que en quest on el riu té un mpld constnt de metres i que l distànci entre A i B mesurd sobre el mtei mrge del riu és de 4 quilòmetres (sobre el dibui, distànci entre A' i B). Aquest noi sp que durnt tot l'eston que vgi nednt podrà mntenir un velocitt constnt de 6 km/h, i que tot l'eston que vgi corrent podrà mntenir un velocitt constnt de km/h. Fins quin punt C hurà d'nr nednt per tl d'rribr l més ràpidment possible B? [PAU97JBQ4] S'h d'editr un llibre i cd full h de contenir 8 centímetres qudrts de tet. Els mrges superior i inferior de cd full hn de tenir centímetres cd un, i els mrges lterls, centímetre cd un. Clculeu les dimensions de cd full del llibre per tl que l despes de pper sigui mínim. [PAU97S4BP] L'juntment d'un ciutt que pss greus dificultts pressupostàries h decidit cceptr l'oferiment d'un conegud fàbric de gletes de contribuir les despeses del prc municipl cnvi d'instl lr sis metres de tnc publicitàri dins del prc. Aquest tnc encerclri un on que pssri ser per ús privt del personl de l fàbric. Per rons estètiques l'empres vol que l tnc s'instl li segons un de les tres possibilitts següents: delimitnt un recinte qudrt, delimitnt un recinte circulr o bé dos recintes, un de circulr i l'ltre de qudrt. Suposnt que l'juntment l'interess preservr el màim de superfície del prc per ús públic, decidiu quin de les tres possibilitts és l millor i quin seri l'àre (mínim) de prc que es perdri per ús públic. [PAU98JP] Un vi de tren pss km del poble A i km del poble B, de mner que el trm de vi comprès entre mbdós pobles és de 5 km, tl com s'indic en l figur. Volem construir un nov estció ferroviàri i un crreter formd per dos trms rectes que uneii A mb B pssnt per l'estció. En quin punt del trm de vi hem de col locr l'estció si volem que el recorregut de A B pssnt per l nov crreter sigui mínim? Quin serà l longitud totl de l nov crreter? [PAU98J6Q] Trobeu els costts d'un rectngle d'àre màim inscrit l'el lipse d'equció, tl com s'indic en l figur següent: 6 4

11 [PAU98S5Q] Considereu els rectngles del pl, els vèrtes A, B, C i D dels quls compleien les condicions següents: ) A és l'origen de coordendes; b) B és sobre del semiei de les ; c) C és sobre del semiei de les > ; d) D és sobre de l rect d'equció, tl com es veu en l figur següent: De tots quests rectngles, trobeu l'àre del que l té màim. [PAU99S5P] Trobeu l'ltur i el rdi de l bse del cilindre de volum màim inscrit en un esfer de rdi. [PAUJP] Un terren té form de tringle rectngle, els ctets mesuren AB 6 m i AC 45 m. En quest terren es pot construir un cs de plnt rectngulr com indic l prt ombrejd de l figur següent: Voleu vendre quest terren i us pguen 5. pessetes per cd metre qudrt no edificble i 5. pessetes per cd metre qudrt edificble. ) Determineu l relció que hi h entre l'mpld i l profunditt del rectngle que determin l prt edificble. b) Determineu l'epressió que dón el vlor del terren en funció de l'mpld del rectngle edificble. c) Quines són les dimensions de l prt edificble que ens permeten obtenir un vlor màim per quest terren? d) Quin és quest vlor màim?

12 [PAUSP] El costt desigul d'un tringle isòsceles mesur m, i l'ltur sobre questcostt és de 5 m. ) Dont un punt rbitrri sobre quest ltur, obtingueu un epressió de l sum de les distàncies d'quest punt cd un dels vèrtes del tringle. b) Determineu els punts sobre l'ltur que compleien que l sum de les distàncies ls tres vèrtes del tringle sigui màim i els punts per ls quls sigui mínim. [PAUS4P] L rib d'un trm de riu descriu l corb, per entre i, i 4 en el punt A (, 4) hi h un poble, tl com es pot veure en l'esquem següent: ) Epresseu l distànci des d'un punt qulsevol d'quest vor del riu fins l poble, en funció de l'bsciss. b) Quin és el punt de l vor d'quest trm de riu que és més llun del poble? c) Hi h lgun punt de l vor del riu un distànci del poble inferior? [PAUJP] S'h de construir un grn dipòsit cilíndric de 8π m de volum. L superfície lterl h de ser construïd mb un mteril que cost el m i les dues bses mb un mteril que cost 45 el m. ) Determineu l relció que hi hurà entre el rdi r de les bses circulrs i l'ltur h del cilindre, i doneu el cost C(r) del mteril necessri per construir quest dipòsit en funció de r. b) Quines dimensions (rdi i ltur) h de tenir el dipòsit perquè el cost del mteril necessri per construir lo sigui el mínim possible? c) Quin serà, en quest cs, el cost del mteril? [PAUSP] Suposem que el Sol es trob l'origen d'un sistem de coordendes i que un comet seguei un trjectòri dond per l pràbol, tl com es veu l figur següent: ) Quin és el punt en què el comet es trob més proper l Sol? b) Qunt vl en quest cs l distànci del Sol l comet? c) Hi h lgun punt en què el comet es trobi l màim distànci del Sol? d) Hi h lgun punt en què l distànci entre el Sol i el comet sigui un màim locl o reltiu?

13 Not: Teniu present que l distànci entre dos punts és màim o mínim qun el qudrt de l distànci és màim o mínim. [PAUJP] Volem unir el punt M situt en un costt d un crrer de m d mpld mb el punt N situt l ltre costt i 9 m més vll mitjnçnt dos cbles rectes, un des de M fins un punt P situt l ltre costt del crrer i un ltre des de P fins N seguint el mtei costt del crrer, segons l esquem següent: El cost de l instl lció del cble MP és de per metre i del cble PN de 6 per metre. Quin punt P hurem d escollir de mner que l conneió de M mb N sigui tn econòmic com sigui possible? Quin serà quest cost mínim? [PAUJ5Q] Determineu quin és el punt de l gràfic de (, ) ), que és més prop del punt P (4, ). (és dir, de l form [PAUSP] Un cmp té form de trpei rectngle, de bses 4 m i 4 m, i el costt perpendiculr les bses tmbé de 4 m. Es vol prtir tl com indic l figur per fer dos cmps rectngulrs C i C. Anomenem i els ctets d un dels tringles rectngles que es formen. 5 ) Comproveu que. b) Utilitnt l igultt nterior, escriviu l sum de les àrees dels dos cmps en funció de. c) El cmp C es vol sembrr mb blt de moro i el cmp C mb blt. Amb el blt de moro s obté un benefici de, per m i mb el blt un benefici de, per m. Determineu les mides de cd un dels cmps per obtenir el benefici màim. [PAU4JP]6. Donts l funció f ( ) i el punt A(, ) situt sobre l ei de les bscisses: ) Trobeu l funció que epress l distànci del punt A un punt qulsevol de l gràfic de l funció.

14 b) Trobeu les coordendes del punt de l gràfic de f() més proper A. [PAU4J4Q] El consum d un cote depèn de l sev velocitt v (epressd en km/h),v e segons l funció f ( v) (en litres/km). Quin és l velocitt més econòmic? v [PAU5JP] L rect tngent l pràbol en un punt M situt dins del primer qudrnt ( >, > ), tll l ei OX en el punt A i l ei OY en el punt B. ) Feu un gràfic dels elements del problem. b) Trobeu les coordendes del punt M que fn que el tringle OAB tingui l àre mínim. [PAU5SP] Considereu l funció f ( ) i un punt de l sev gràfic, M, situt en el primer qudrnt (, ). Si pel punt M trcem prl leles ls eios de coordendes, l sev intersecció mb OX i OY determin dos punts, A i B, respectivment. ) Feu un gràfic dels elements del problem. b) Trobeu les coordendes del punt M que f que el rectngle OAMB tingui l àre màim. [PAU7JP] Un mgtem té form de prism recte de bse qudrd i un volum de 768 m. Se sp que l pèrdu de clor trvés de les prets lterls vl unitts per m, mentre que trvés del sostre és de unitts per m. L pèrdu pel sòl és molt petit i es pot considerr nul l. Clculeu les dimensions del mgtem perquè l pèrdu de clor totl sigui mínim. [PAU8J5P] De tots els tringles rectngles d hipotenus cm, trobeu l longitud dels ctets del tringle que té el perímetre màim. Comproveu que l solució trobd correspongui relment l perímetre màim. [PAUJQ] Un segment de longitud fid m recol sobre els eios de coordendes. Clculeu el vlor de l ngle α que form el segment mb l ei OX perquè el tringle rectngle determint pel segment mb els eios i del qul m és l hipotenus tingui àre màim. Comproveu que es trct relment d un màim.

15 [PAUSQ] Considereu tots els prismes rectes de bse qudrd mb un volum V fit. Anomeneu el costt de l bse del prism i l sev ltur. ) Trobeu l epressió del volum i de l àre totl del prism en funció de les vribles i. b) Comproveu que el que té àre totl mínim és en relitt un cub. CÀLCUL INTEGRAL [PAU97JAQ] Clculeu els vlors de m de mner que l rect delimitin un àre de 6 unitts de superfície. m i l pràbol [PAU97SBQ] Clculeu l'àre que en el primer qudrnt tnquen les corbes 4 i 6., [PAU97S4AQ] Què vol dir que un funció F() sigui primitiv d'un ltr funció f()? Quntes primitives té un determind funció? Clculeu l primitiv de l funció cos cot( ) (cotngent de ) que complei l condició que l sev gràfic pss pel sin π π punt, ). ( [PAU98JQ] Considereu l funció proimdment l del dibui següent: f ( ) 6 8 l gràfic de l qul és Clculeu l'àre de l regió ombrejd. [PAU98S5Q] Trobeu el vlor de k per tl que k d k k [PAU98SQ] Clculeu l'àre limitd per les corbes. e, e i l rect verticl [PAU99JQ] Clculeu l'àre determind per les corbes d'equcions 4 i representd en el dibui següent:

16 [PAU99JQ] Clculeu rondment l'epressió d'un funció f() tl que i que f ( ). f ( ) e 6 [PAU99JP] Dond l funció f ( ) 4 4 ) Estudieu ne l continuïtt. b) Estudieu ne els intervls de creiement i decreiement i els màims i mínims locls. c) Clculeu l'àre limitd per l gràfic de l funció, l'ei OX i les rectes verticls i. [PAU99J6Q] Sigui f ( ). Clculeu l'àre de l regió que limit l gràfic de f() i l'ei d'bscisses i que està representd en el dibui següent: [PAU99S5Q] Trobeu el vlor del coeficient k de mner que l'àre limitd per l funció f ( ) k i l'ei d'bscisses sigui igul 6 u. [PAUJQ] Clculeu l'àre que té l'únic recinte tnct limitt per les gràfiques de les 6 funcions 7 i representt en el dibui següent: [PAUJQ] El polinomi p ( ) d 4. Clculeu rondment i b. p ( ) b s'nul l per i complei

17 [PAUSQ] Clculeu per integrció l superfície del recinte delimitt per les corbes i l rect d'equció 6 representt en el dibui següent: π [PAUSQ] ) Quin és l'ngle en rdins ( < < ) tl que sin() cos()? b) Considereu les funcions f() sin() i g() cos(). Clculeu l superfície del recinte delimitt superiorment per les gràfiques d'questes funcions, inferiorment per l'ei π d'bscisses i lterlment per les rectes verticls i representt en l'esquem següent: [PAUS5Q4] Clculeu l'àre de l regió limitd per l gràfic de l funció per, l'ei d'bscisses i l rect verticl. f ( ) e [PAUS4Q4] Sbeu que l gràfic de l funció f() pss pel punt (, 4) i que l sev funció derivd és f '(). ) Determineu l'epressió de f(). b) Clculeu l'àre de l regió limitd per l gràfic de f() i l'ei d'bscisses OX. [PAUJQ] Clculeu l primitiv de l funció f ( ) que s'nul l en el punt d'bsciss. [PAUJQ] Clculeu l'àre compres entre les gràfiques de les corbes e i l rect 5 representd en l'esquem següent: e i [PAUSQ] Clculeu el vlor positiu de que f que l'àre compres entre l rect d'equció i l pràbol vlgui 8.

18 [PAUJQ] Clculeu e ln d [PAUJ5Q] Considerem l regió S del pl limitd per l pràbol representd en l'esquem següent: i l rect Siguin A i B els punts d'intersecció de l rect i l pràbol, i T el tringle que té per vèrtes A, B i l'origen de coordendes (, ). Clculeu l'àre de l regió que result qun es treu el tringle T l regió S. ) [PAUSQ] Dond f ( ) ( ) e, determineu l funció g() tl que g () f () (és dir, un primitiv de f ()) i que el seu gràfic pss pel punt (, ). [PAU4JQ] Dond l funció f ( ) cos cos : ) trobeu l sev integrl indefinid; π b) quin és l primitiv de f() que pss pel punt, Indicció: recordeu que sin cos ( [PAU4JP] Considereu l funció f ( ) m, m. ) Clculeu el vlor de m per tl que l àre del recinte limitt per l gràfic de l funció, l ei OX i les rectes i sigui de unitts qudrdes. b) Per m, indiqueu el punt o els punts on l rect tngent l gràfic de l funció form un ngle de 45 mb el semiei positiu de OX. [PAU4J4Q] Clculeu l àre del recinte tnct que delimiten l gràfic de l funció i l rect. [PAU4S5Q] Clculeu el vlor de l integrl següent: d [PAU5J4Q] Dond l funció f ( ) ) Clculeu l integrl f ( ) d. 5 4 b) Trobeu l primitiv F de f que compleii F(). [PAU5JP] Considereu l funció f ( ) 4 ) Clculeu l equció de les rectes tngents l gràfic de f en els punts d bscisses i 4.

19 b) Feu un gràfic dels elements del problem. c) Clculeu l àre compres entre l gràfic de f i les rectes tngents que heu trobt l prtt ). [PAU6JQ] Considereu l funció f () definid per [,5] dibuid l figur djunt que prei ) Quin és l epressió de l sev funció derivd qun eistei? b) Clculeu f ( ) d [PAU6S4Q] El gràfic de l funció f ( ), qun >, és com seguei ) Trobeu un primitiv de l funció f. b) Clculeu l àre de l regió ombrejd. [PAU6S4P] Considereu l pràbol d equció ) Clculeu les equcions de les rectes tngents l pràbol en els punts d bsciss i. b) Clculnt el mínim de l funció, trobeu el vèrte de l pràbol. c) Trobeu les interseccions de l pràbol mb els eios i feu un representció gràfic de l pràbol i de les tngents obtingudes l primer prtt. d) Clculeu l àre compres entre l pràbol i les rectes tngents. [PAU7JQ] Busqueu els etrems reltius i els punts de tll mb els eios, i feu un 4 representció proimd de l corb d equció. A continució, clculeu l àre del recinte tnct per quest corb i l ei d bscisses. [PAU7SQ4] L funció derivd F () d un funció contínu F : R R que pss per l origen és un funció trossos formd per les semirectes del dibui.

20 Escriviu l epressió de l funció F() com un funció trossos. [PAU7SP] Dondes les funcions f ( ) 4 i g ( ) b : ) Clculeu i b de mner que les gràfiques de f() i de g() siguin tngents en el punt d bsciss, és dir, que tinguin l mtei rect tngent en quest punt. b) Trobeu l equció de l rect tngent esmentd en l prtt nterior. c) Pel vlor de obtingut en el primer prtt, clculeu el vlor de l àre de l regió limitd per l ei d bscisses OX i l funció f (). [PAU8JQ] Se sp que cert funció derivble F() verific les condicions següents: F ( ) i F() 4 ) Trobeu F(). b) Clculeu l àre compres entre F() i l ei OX des de fins. ( ) [PAU9J4Q] Considereu l funció f ( ), mb >. ) Trobeu els punts de tll de l funció f() mb l ei OX. b) Comproveu que l àre del recinte limitt per l gràfic de l funció f () i l ei d bscisses no depèn del vlor del pràmetre. [PAU9J4P] L gràfic de l funció f ( ), des de fins 4, és l següent:

21 ) Clculeu l equció de les rectes tngents quest funció en els punts d bsciss i. b) Dibuieu el recinte limitt per l gràfic de l funció i les dues rectes tngents que heu clcult. c) Trobeu els vèrtes d quest recinte. d) Clculeu l superfície del recinte dmunt dit. [PAU9JQ] Considereu les corbes 4 i 6. ) Trobeu-ne els punts d intersecció. b) Representeu les dues corbes en un mtei gràfic, on es vegi clrment el recinte que limiten entre elles. c) Trobeu l àre d quest recinte limitt per les dues corbes. 4 b [PAU9JP] Sigui l funció f ( ) ) Clculeu els vlors de i b, sbent que l rect 4 és tngent l gràfic de l funció f () en el punt d bsciss. Per l rest d prtts, considereu que i que b 4. b) Trobeu els intervls de creiement i de decreiement de l funció f (). Trobeu i clssifiqueu els etrems reltius que té l funció. c) Clculeu els punts de tll de l funció f () mb l ei OX. d) Trobeu l àre del recinte limitt per l gràfic de l funció f (), l ei OX i les rectes i. [PAUJQ5] L gràfic de l funció f () sin() és l següent:

22 ) Trobeu-ne un primitiv. b) Aplicnt el resultt de l prtt nterior, clculeu l àre del recinte limitt per l gràfic de l funció f () i l ei d bscisses des de fins π [PAUJ5Q6] En l figur es mostr l corb (4 ) i un rect r que pss per l origen i tll l corb en un punt P d bsciss k, mb < k < 4. ) Trobeu l àre ombrejd, delimitd per l corb i l rect, en funció de k. b) Trobeu per quin vlor de k l àre de l regió ombrejd és l meitt de l àre del recinte limitt per l corb i l ei OX. 8 [PAUSQ5] Sigui f ( ). Trobeu l àre del recinte limitt per l gràfic d quest funció, l ei OX i les rectes i. MATRIUS I SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS [PAU97S4BQ4] Epliqueu què vol dir que un sistem d'equcions linels sigui comptible i què vol dir que sigui indetermint. Poden hver hi sistemes que siguin l vegd incomptibles i indetermints? Digueu finlment per quins vlors del pràmetre el sistem d'equcions següent és indetermint, i per quins vlors de és incomptible:

23 [PAU98JQ] Dond l mtriu B, utiliteu l mtriu invers B per trobr un mtriu X tl que B X B 4. [PAU98S5Q4] Discutiu el sistem d'equcions ) ( segons els vlors del pràmetre. [PAU99JQ] Resoleu el sistem següent per ls vlors de k que el fcin comptible k 4 [PAUJQ] Dont el sistem d'equcions ) Afegiu hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui incomptible. b) Afegiu hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui comptible indetermint. Resoleu el sistem que s'obtingui. [PAUJQ] Se sp que el sistem d'equcions 5 8 té més d'un solució. Clculeu i digueu quin és l interpretció geomètric que té el conjunt de totes les solucions d'quest sistem. [PAUJQ4] Per quin o quins vlors del pràmetre rel λ el sistem d equcions 4 ) ( ) ( λ λ és comptible i indetermint? [PAUJ5Q4] Considereu el sistem d'equcions

24 4 on és un pràmetre. Si,, és un solució, quin és el vlor del pràmetre? [PAU4JP] Dont el sistem ) ( ) ( m m m on m és un pràmetre: ) discutiu el sistem segons els vlors de m; b) resoleu els csos comptibles; c) en cd un dels csos de l discussió de l prtt ), feu un interpretció geomètric del sistem. [PAU4JQ] L mtriu mplid d un sistem d equcions linels, un cop reduïd pel mètode de Guss, és ) El sistem, és comptible o incomptible? Roneu l respost. b) En cs que sigui comptible resoleu-lo. [PAU4JQ] Considereu les mtrius A, B Trobeu un mtriu X que compleii B A X A. [PAU4J4P] Considereu el vector 4 w r i l mtriu 5 A ) Trobeu tots els vectors v r que fn que w v A r r. b) Quin condició hn de complir, b i c per tl que c b v A r no tingui cp vector v r solució? [PAU4S5Q] Dondes les mtrius A, B : ) trobeu un mtriu X tl que B X A ;

25 b) clculeu B. Roneu l respost. b [PAU5J4Q] Dondes les mtrius A i B, on i b són nombres rels, trobeu els vlors de i b que fn que les dues mtrius commutin, és dir, que fn que es compleii A B B A [PAU5J4P] De tres nombres,,,, sbem el següent: que el primer més el segon sumen ; que el primer més el tercer sumen ; que l sum de tots tres és i, per cbr, que el primer multiplict per un nombre k més el doble de l sum del segon i del tercer dón. ) Què podeu dir del vlor de k? b) Qunt vlen els tres nombres? [PAU5JQ] Considereu el sistem següent en funció del pràmetre rel : ) Discutiu-lo en funció del pràmetre. b) Resoleu els csos comptibles. [PAU5JQ] L mtriu següent epress els preus unitris, en euros, de qutre rticles, A, B, C i D, procedents de les fàbriques f, f i f: P 7 5 Si un comnd és representd per un vector fil C ( t), què represent cdscun dels elements del resultt del productec P? Si volem comprr 5 unitts de A, de B, 6 de C i 75 de D, quin de les fàbriques ens oferei el millor preu? [PAU5SQ] En un sistem hi h, entre d ltres, questes dues equcions: 5 i 4 6 Què podeu dir de les solucions del sistem? [PAU6JQ] Esbrineu si el sistem següent pot ser comptible indetermint per lgun vlor del pràmetre m. 4 m És incomptible per lgun vlor de m? [PAU6JQ] Dondes les mtrius A i B 4 ) Clculeu A B i B A b) Comproveu que ( A B) A B

26 [PAU6JQ4] Sigui l mtriu 4 m m A. Determineu els vlors de m per ls quls ) ( < A rng. Pot ser ) ( A rng per lgun vlor de m? [PAU6S4P] Considereu el sistem d equcions p p ) Discutiu-lo en funció del pràmetre p. b) Doneu l interpretció geomètric en els csos en què el sistem és incomptible. c) Resoleu el sistem per p 6. [PAU7JP] Discutiu el sistem següent 6 5 p p en funció del pràmetre p. Doneu l interpretció geomètric del sistem en cd cs i resoleu-lo qun sigui comptible. [PAU7SQ] Considereu l mtriu q p A. Trobeu els vlors de p i q que fn que es verifiqui A A. En quest cs, roneu sense clculr què vl A. [PAU8JQ] Considereu les mtrius A i B. ) Trobeu l mtriu M, qudrd d ordre, tl que M A B. b) Comproveu que M I (mtriu identitt d ordre ) i deduïu l epressió de M n. [PAU8JQ] Discutiu el sistem d equcions linels següent en funció dels vlors del pràmetre m. ) ( ) ( ) ( m m m m m [PAU8J5Q] Considereu l mtriu b b A, on i b són nombres rels. ) Clculeu el vlor de i b per tl que A. b) Segons els vlors obtinguts en l prtt nterior, clculeu A i A 4. c) Si n és un nombre nturl qulsevol, doneu l epressió de A n en funció de n. [PAU8J5P] Considereu el sistem d equcions següent:

27 ) ( ) ( ) Discutiu-lo en funció del pràmetre. b) Resoleu-lo qun sigui comptible indetermint. c) En el cs de l prtt nterior, trobeu un solució del sistem en què, i tinguin vlors enters. [PAU8S4Q] Considereu l mtriu A. ) Clculeu A i A. b) Determineu, rondment, el vlor de A 64. [PAU8S4Q] Considereu un sistem de dues equcions mb tres incògnites. ) Pot ser incomptible? b) Pot ser comptible determint? Roneu les respostes. [PAU9J4Q] Siguin A i B ) Comproveu que l invers de A és A. b) Comproveu tmbé que A 58 B. [PAU9J4Q4] En l resolució pel mètode de Guss d un sistem de tres equcions mb tres incògnites ens hem trobt mb l mtriu següent: ) Epliqueu, rondment, quin és cràcter del sistem inicil. b) Si és comptible, trobeu-ne l solució. [PAU9JQ] Considereu l mtriu b b A. Trobeu els vlors dels pràmetres i b perquè l mtriu tingui rng. [PAU9JQ] Dont el sistem p p p p ) Discutiu-ne el cràcter en funció del pràmetre p. b) Resoleu-lo qun p.

28 [PAU9SQ] Considereu l mtriu b A. Clculeu el vlor dels pràmetres i b perquè A [PAU9SP] Considereu el sistem d equcions següent: ) ( ) ( ) ( 5 ) Epliqueu, rondment, si es trct d un sistem linel homogeni. b) Construïu-ne l mtriu de coeficients i l mtriu mplid. c) Trobeu els vlors del pràmetre per ls quls el sistem no és comptible determint, i estudieu el cràcter del sistem en cd un d quests csos. d) Resoleu-lo solment qun el conjunt de les seves solucions és un rect de R. [PAUJQ6] Sigui A. Trobeu els vlors de les vribles i perquè es compleii que A A. [PAUJ4Q] Considereu l igultt mtricil (A B) A AB B. ) Comproveu si les mtrius i compleien o no l igultt nterior. b) En generl, dondes dues mtrius qulssevol A i B qudrdes del mtei ordre, epliqueu rondment si hi h lgun condició que hgin de complir perquè l igultt de l enuncit sigui cert. [PAUJQ] Dont el sistem d equcions linels 5 ) ( 4 p ) Estudieu-ne el cràcter (és dir, si és comptible o no i si és determint o no) en funció del pràmetre p. b) Comproveu que si p 5 l solució del sistem no depèn del vlor d quest pràmetre. [PAUJ4Q4] Hem esclont l mtriu mplid d un sistem d equcions linels, b X A, i hem obtingut: ( ) ~ b A ) Discutiu quest sistem en funció del pràmetre. b) Resoleu-lo qun. [PAUJ5Q] Considereu un sistem qulsevol de dues equcions mb tres incògnites. Responeu rondment les qüestions següents: ) És possible que el sistem considert sigui comptible determint? b) Pot ser incomptible?

29 [PAUJ5Q4] Siguin A, B i C mtrius qudrdes d ordre n. ) Epliqueu rondment si és possible que det A, det B i det (A B). Si és possible, poseu-ne un eemple. b) Si sbem que det A i que A B A C, epliqueu rondment si podem ssegurr que B C. [PAUSQ4] Considereu l mtriu A. 7 ) Comproveu que complei l igultt A 5A I, on I és l mtriu identitt d ordre. b) Utiliteu quest igultt per clculr l mtriu invers de A. c) Resoleu l equció mtricil A X, utilitnt l mtriu invers de A. GEOMETRIA DE L'ESPAI [PAU97JBQ] Estudieu l posició reltiv de les dues rectes r i s de l'espi dondes per les equcions següents: 9 r : s : 5 [PAU97JAQ4] Estudieu, segons els diferents vlors que pot tenir el pràmetre m, les posicions reltives del pl p i de l rect r que es donen continució: p : m r : m [PAU97SAQ]. ) Si A, B i M són tres punts de l'espi que compleien l relció AB AM digueu quin serà el vlor de r l'epressió MA r MB b) Si l relció nterior entre vectors s'hgués produït l pl i les coordendes de A i B fossin respectivment (, 5) i ( 5, 7), quines serien les coordendes del punt M? Justifiqueu l respost. [PAU97S4AQ] Un vector v r de l'espi form un ngle de 6 grus mb l'ei de les i de grus mb l'ei de les. Sbent que les seves dues primeres coordendes són positives i que el seu mòdul és 7, clculeu les seves tres coordendes. [PAU97S4BQ] Considereu els punts de l'espi O (,, ), A (,, ) i B (,, ). Epresseu el vector OA com sum d'un vector de l mtei direcció que OB i d'un vector perpendiculr OB. Clculeu l distànci del punt A l rect determind per O i per B.

30 [PAU98JQ] Trobeu les equcions d'un pl prl lel l pl d'equció 8 i que dist d'quest sis unitts. N'hi h més d'un, de pl, que compleii questes condicions? [PAU98J6Q] Sigui π el pl de l'espi que pss pel punt (,, ) i que conté els vectors u r (,, 5) i v r (,, ). Sigui r l rect d'equcions: 4 ) Escriviu l'equció crtesin de pl π (equció de l form bcd). b) Estudieu l posició reltiv de r respecte π (heu de dir si r és prl lel π, si està contingud en π o bé si tll π) [PAU98J6Q4] ) Sigui P un punt de l'espi, i π, un pl. Definiu el concepte de distànci del punt P l pl π. b) Sigui P en punt de coordendes (,, ), i π, el pl d'equció 5. Trobeu l distànci de P π. [PAU98S5P] Dont el pl π d'equció 4 8 i sent A, B i C els punts d'intersecció d'quest pl mb els eios de coordendes OX, OY i OZ, respectivment: ) Determineu les coordendes dels punts A, B i C. b) Determineu les equcions de l rect perpendiculr l pl π que pss per l'origen de coordendes. c) Clculeu el volum del tetràedre determint per OABC, on O és l'origen de coordendes. d) Clculeu l distànci de l'origen de coordendes l pl π. Determineu l'àre del tringle ABC (podeu utilitr el volum clcult en l'prtt nterior). [PAU98SQ] Dont el pl π d'equció 4 i el punt H (,, ), determineu les coordendes de l projecció ortogonl de H sobre π. (Recordeu que l projecció ortogonl d'un punt H sobre un pl π és el peu de l perpendiculr π trçd des de H.) [PAU99JP] Dont el tetràedre de vèrtes A (,, ), B (,, ), C (,, ) i D (,, ) ) Clculeu l'equció del pl que conté l cr BCD i l del pl que conté l cr ACD. b) Clculeu les equcions de dues de les ltures del tetràedre, l que pss pel vèrte A i l que pss pel vèrte B, respectivment. (Not: ltur d'un tetràedre és l rect que pss per un vèrte i és perpendiculr l pl que determin l cr oposd.) c) Comproveu que les dues ltures nteriors es tllen en un punt P. d) Comproveu si l rect que unei qulsevol vèrte del tetràedre mb P és perpendiculr l cr oposd (i és, per tnt, un ltur del tetràedre). 5 [PAU99J6Q4] Considereu les rectes r : i s : Comproveu que questes dues rectes són prl leles i clculeu l'equció del pl que les conté.

31 [PAU99SQ] Considereu l rect r de l'espi d'equcions Trobeu l'equció crtesin del pl que conté r i que pss pel punt P (,, ) (equció crtesin vol dir l de l form b c d). [PAU99SQ] Si el rng de l mtriu d'un sistem de tres equcions mb tres incògnites és i el de l mtriu mplid és, quines interpretcions geomètriques podeu donr quest sistem? Doneu un eemple de sistem mb questes crcterístiques i l sev interpretció geomètric. [PAU99SP] Donts els punts de l'espi A (,, ), B (,, ), C (,, ) i D (,, ) ) Són coplnris? Formen un prl lelogrm? b) Clculeu l'àre del polígon ABCD. c) Clculeu el punt simètric del punt E (,, ) respecte del pl que determinen A, B i C. d) Clculeu l distànci entre l rect que pss per E i A i l rect que pss per B i C. 4 [PAU99S5Q] Dondes les rectes r : i r : Clculeu l'equció del pl prl lel les dues rectes que pss per l'origen. [PAUJP] Donts el pl π d'equció, l rect r d'equcions - i el punt P (,, ), clculeu: 4 ) Unes equcions de l rect que pss per P i és perpendiculr π. b) L'equció del pl que pss per P i és perpendiculr l rect r. c) Unes equcions de l rect que pss per P i tll perpendiculrment r. d) Unes equcions de l rect que pss per P, és prl lel l pl π i tl que el seu vector director és perpendiculr l de r. [PAUJP] Un qudrt de l'espi té tres dels seus vèrtes consecutius situts en els punts de coordendes enteres P (,, 4), Q (,, ) i R (,, ). ) Tenint en compte que els vectors PQ i QR hn de ser perpendiculrs, clculeu el vlor del nombre enter. b) Clculeu l'equció del pl que conté quest qudrt. c) Clculeu el qurt vèrte d'quest qudrt. d) Clculeu l'àre d'quest qudrt. [PAUSQ] Donts els vectors u r (,, 4), v r (,, ) i w r (,, ) ) Determineu si són vectors linelment dependents o independents. b) Clculeu l relció que hi h d'hver entre els vlors de i b per tl que el vector (,, b) sigui combinció linel de u r i v r [PAUSP] Considereu l rect

32 5 el pl, on és un pràmetre. ) Per quin vlor de l rect i el pl són prl lels? Quin serà llvors l distànci entre el punt P (,, ) de l rect i el pl? b) Eistei lgun vlor de per l qul l rect i el pl siguin perpendiculrs? c) Determineu el vlor de perquè l rect i el pl formin un ngle de º. [PAUS6Q] Clculeu el peu de l rect perpendiculr l rect (,, ) (,, ) λ(,, ) trçd des del punt (,, ). [PAUS6P] Considereu l rect r de l'espi que pss pel punt P (,, ) i té per vector director v r (,, ). Sigui π el pl que té per equció. ) Determineu per cd vlor del pràmetre l posició reltiv de l rect r respecte l pl π (prl lel, contingud o mb un punt d'intersecció). b) Hi h lgun de les rectes r que sigui perpendiculr l pl π? c) Clculeu l distànci que hi h entre el punt P i el pl π. [PAUSQ] Donts els punts de l'espi A (,, ), B (,, ) i C (,, ). ) Determineu l'equció del pl π que els conté. b) Clculeu l'equció de l rect r perpendiculr l pl π i que pss per l'origen. [PAUS5P] Considereu l'espi l rect r d'equcions d'equcions 4 4 ) Determineu el punt de tll de l rect r mb el pl. b) Comproveu que les rectes r i s són prl leles i clculeu l distànci entre elles. c) Quin és l'equció del pl que conté les dues rectes? d) Clculeu l distànci del pl nterior l'origen de coordendes. i l rect s [PAUS4Q] Determineu per quins vlors del pràmetre el pl π: és prl lel l rect r: [PAUS4P] Sigui π el pl d'equció i P el punt (,, ). ) Clculeu l distànci d de P π. b) Determineu l'equció de l'ltre pl π' prl lel π que tmbé dist d del punt P. c) Determineu l'equció de l rect r perpendiculr π que pss per P. d) Clculeu l intersecció de l rect r mb el pl π. [PAUJQ] Considereu els plns d'equcions: π : i π : ( ) 4. ) Hi h lgun vlor del pràmetre per l qul l intersecció dels plns π i π no és un rect? b) Clculeu un vector director de l rect que s'obté qun es f l intersecció de π i π per l vlor del pràmetre.

33 5 [PAUJQ4] Considereu l rect r d'equcions: punts d'quest rect situts un distànci del punt A (,, ). 7. Clculeu els 4 [PAUJQ4] Clculeu l'ngle que form el pl mb l rect determind t per les equcions t [PAUJP] Considereu les rectes r i s mb les equcions següents: r : s : ) Clculeu, de cd un de les rectes, un punt i un vector director. b) Determineu si eistei cd un dels objectes següents i en cs firmtiu clculeu l sev equció: i) El pl prl lel l rect s que conté l rect r. ii) El pl perpendiculr l rect s que conté l rect r. iii) L rect perpendiculr les rectes r i s que pss per (,, ). [PAUSQ] Comproveu que l rect que pss pels punts A (4,, ) i B (,, ) és prl lel l pl d'equció 5, i clculeu l distànci entre l rect i el pl. [PAUSP] Considerem el cub de vèrtes A, B, C, D, E, F, G, H que té l'rest de longitud 4 dm. ) Determineu l'equció del pl inclint EHBC si prenem com origen de coordendes el vèrte D i com eios de coordendes DA, DC i DH en quest ordre, tenint en compte que el sentit positiu de cd un d'ells és el que sortint de l'origen D v cp A, C i H, respectivment. b) Clculeu les equcions de les digonls CE i AG i utiliteu les per clculr les coordendes del seu punt d'intersecció. [PAUJQ] Considereu el punt P ( 5,,9) i l rect r : 6 ) Clculeu l equció de l rect s que tll perpendiculrment r i que pss per P. b) Clculeu el punt de tll T entre les rectes r i s. [PAUJ5Q] Determineu l'equció del pl que conté l rect i pss per l'origen de coordendes.

34 [PAUSQ4] Considereu els punts de l espi A (,, 4 ), B (,, 4), C (, 5, ). ) Comproveu que el tringle de vèrtes A, B i C és rectngle en B per qulsevol vlor de. b) Clculeu els vlors de que fn que quest tringle sigui isòsceles. [PAUSP] Un segment d etrems A (5,, ) i B (4,, ) es dividei en tres prts iguls mitjnçnt dos plns perpendiculrs quest segment. Clculeu les equcions dels dos plns i l distànci entre ells. [PAU4JQ4] Considerem els punts de l espi A(,, ), B(,, ) i C(,, ). Ens diuen que quests tres punts formen prt del conjunt de solucions d un sistem de tres equcions linels mb tres incògnites. Es demn: ) quests punts, estn linets? b) podem sber el rng de l mtriu del sistem d equcions? Roneu dequdmnt les respostes. [PAU4JP] Tenim qutre punts l espi: A(,, ); B(,, ); C(,, ) i D(,, ). Es demn: ) representeu gràficment els qutre punts; b) clculeu el volum del tetràedre (piràmide de bse tringulr) ABCD; c) trobeu l equció del pl que pss per B, C i D; d) clculeu l distànci de l origen l pl de l prtt nterior. [PAU4JQ] Considereu els punts de l espi A(,, ), B(,, ) i C(,, ). ) Trobeu l equció del pl ABC. b) Si D és el punt de coordendes (k,, ), qunt h de vler k per tl que els qutre punts A, B, C i D siguin coplnris? [PAU4JQ4] Els punts A(k,, 4), B(, k, ) i C(, 6, k ) són tres dels vèrtes d un rombe ABCD (vegeu l figur). ) Clculeu el vlor de k. b) Demostreu que el rombe és un qudrt. [PAU4J4Q] Considereu els punts de l espi A(,, ), B(,, ) i C(k,, 5). ) Trobeu l equció de l rect que pss per A i B. b) Per quins vlors de k els punts A, B i C formen un tringle? t [PAU4J4P] Considereu l rect r d equció 5 t t ) Trobeu, en funció de t, l distànci de M un punt qulsevol de l rect r. b) Trobeu les coordendes dels punts A i B de r situts distànci del punt M.

35 c) El tringle AMB, és rectngle en M? d) Els punts A i B formen prt d un prl lelogrm de vèrtes ABCD que té el centre de simetri en el punt M. Clculeu les coordendes de C i D. [PAU4S5P] Considereu les rectes r : i ) Estudieu l sev posició reltiv. b) Trobeu l equció del pl que conté s i és prl lel r. c) Clculeu l distànci entre r i s. t s : 4t 5 t [PAU5J4P] Un piràmide de bse qudrd té el vèrte en el pl d equció. Tres dels vèrtes de l bse són els punts del pl OXY: A (,, ), B (,, ) i C (,, ). ) Feu un gràfic dels elements del problem. Quines són les coordendes del qurt vèrte de l bse, D? àrebse ltur b) Quin és el volum de l piràmide? Volum c) Si el vèrte de l piràmide és el punt V (, b, ), quin és l equció de l rect que conté l ltur sobre l bse? [PAU5JQ] Trobeu l distànci entre l rect π : r : i el pl 4 [PAU5JQ4] Un segment d origen en el punt A (, 4, ) i etrem en el punt B està dividit en cinc prts iguls mitjnçnt els punts de divisió A, A, A i A4 (vegeu l figur). Si sbem que A (,, ), quines són les coordendes de B? [PAU5SQ] Considereu els vectors de R : v r (,, 4), v r (,, ) i v r (, k, k ) ) Trobeu l únic vlor de k per l qul quests vectors no són un bse de R : b) Per un vlor de k diferent del que heu trobt en l prtt ), quins són els r r r r r r r components del vector w v v v en l bse { v, v, v }? [PAU5SQ] Trobeu l distànci entre l rect π : 5 r : i el pl [PAU5SQ4] Donts els punts A (,, ) i B (,, ):

36 ) Trobeu un punt C sobre l rect d equció prmètric tringle ABC sigui rectngle en C. b) Trobeu l àre del tringle ABC. λ que fci que el λ [PAU6JQ] Trobeu les coordendes dels punts situts sobre l rect d equció (,, ) (,,) t (,,) que estn distànci del pl 5 [PAU6JP] Un rect r pss pel punt A (,,) i té l direcció del vector (,,4 ) ) Trobeu quin ngle form r mb el pl horitontl. b) Comproveu que no pss pel punt A (,,) c) Trobeu l equció de l rect que pss per A i B. [PAU6JQ] Determineu l equció del pl perpendiculr l rect r : que pss pel punt (,, ). Quin distànci hi h d quest pl l origen de coordendes? 5 [PAU6JP] Considereu l rect r : i el pl p : on és un pràmetre. ) Trobeu un vector director de l rect i un vector perpendiculr l pl. b) Quin h de ser el vlor de per tl que l rect i el pl siguin prl lels? c) Esbrineu si eisteien vlors de per ls quls l rect i el pl siguin perpendiculrs. En cs firmtiu, clculeu-los. d) Esbrineu si eisteien vlors de per ls quls l rect i el pl formin un ngle de º. En cs firmtiu, clculeu-los. [PAU6S4Q] Clculeu l equció de l rect prl lel l rect pss pel punt (,, ) r : que [PAU6S4Q4] Determineu els etrems d un segment AB sbent que el punt A pertn l pl. el punt B pertn l rect i el punt mitjà del segment és (,,) [PAU7JQ] Trobeu l equció del pl perpendiculr l rect pss per l origen de coordendes. r : que [PAU7JQ4] Trobeu els punts de l rect r : que equidisten dels plns π : 4 i π : 4 [PAU7JP] A l espi es consideren els tres plns d equcions:

37 π :, π : p p i π : p, on p és un pràmetre rel. ) Esbrineu per quins vlors de p els tres plns es tllen en un únic punt. Trobeu quest punt qun p. b) Hi h lgun vlor de p que fci que l intersecció comun sigui un rect? Si és ií, escriviu l equció vectoril d quest rect. c) Trobeu quin és l posició reltiv dels tres plns qun p /. [PAU7JQ] Considereu els punts de l espi P (,,), Q (,, ) i R (,, 6 6) ) Trobeu el vlor de per l qul els tres punts estn linets. b) Qun els tres punts estn linets, quin és l equció de l rect que els conté? [PAU7JQ4] Trobeu l equció de l rect contingud en el pl π : 6, que tll els eios OY i OZ. [PAU7JP] Considereu l rect d equció r : ) Epresseu el qudrt de l distànci d un punt qulsevol (,, ) de l rect l punt P (,, 5) com un funció de l coordend. b) Trobeu quin vlor de f mínim quest funció, deduïu quin punt Q de l rect és el més proper P i clculeu l distànci del punt l rect. c) Escriviu l equció de l rect que pss per P i Q i comproveu que és perpendiculr r. [PAU7SQ] Trobeu les equcions dels plns prl lels π : situts 6 unitts de distànci d quest. [PAU7SQ] Dond l mtriu següent dependent d un pràmetre m: A m m m m ) Estudieu-ne el rng segons els vlors de m. b) Digueu quin és l posició reltiv dels plns π :, π : m m m i π : m ( m), segons els vlors de m. [PAU7SP] Un rect r és prl lel l rect s:, tll en un punt A l rect t :, i en un punt B l rect l :. ) Trobeu l equció del pl determint per les rectes r i t. b) Trobeu el punt B clculnt el punt d intersecció del pl nterior mb l rect l. c) Trobeu l equció de l rect r. d) Trobeu el punt A. [PAU8JQ4] Trobeu l equció de l rect perpendiculr l pl π :, que pss pel punt (,, ) del pl.