3º A d'eso Capítol 5: Equacions de segon grau i sistemes lineals

Transcripción

1 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes : Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO º A d'eso Cpítol : Equcions de segon gru i sistemes linels Revisors: Sergio Hernández i Mrí Molero Il lustrcions: Rquel Hernández i Bnc d'imtges d'intef Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

2 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO Índe. EQUACIONS DE n GRAU.. CONCEPTE D EQUACIÓ DE n GRAU.. RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE n GRAU COMPLETES.. NOMBRE DE SOLUCIONS D UNA EQUACIÓ DE n GRAU COMPLETA.. RESOLUCIÓ D EQUACIONS DE n GRAU INCOMPLETES.. SUMA I PRODUCTE DE LES ARRELS. SISTEMES D EQUACIONS LINEALS.. CONCEPTE DE SISTEMES D EQUACIONS LINEALS.. CLASSIFICACIÓ DE SISTEMES D EQUACIONS.. RESOLUCIÓ DE SISTEMES PEL MÈTODE DE SUBSTITUCIÓ.. RESOLUCIÓ DE SISTEMES PEL MÈTODE D IGUALACIÓ.. RESOLUCIÓ DE SISTEMES PEL MÈTODE DE REDUCCIÓ. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MITJANÇANT EQUACIONS DE n GRAU.. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES MITJANÇANT SISTEMES D EQUACIONS LINEALS Resum J sps resoldre lgunes equcions de segon gru. Si l àre d un qudrt és sps que el seu costt és, i si l àre és 9, sps que el costt mesur. Sps resoldre, les solucions del qul són i, perquè (), i (). Record Si el producte de dos fctors és zero, un dels fctors h de ser zero. Per tnt l'equció: ( ) ( ) 0 o bé 0 o bé 0, per l qul cos i. Per resoldre ( ) ( ) 0, observes que les solucions són i perquè ( ) ( ) 0, i (() ) (() ) 0. En quest cpítol prendrem resoldre les equcions de segon gru, j siguen completes o incompletes, i utilitzr llò que s h prés per resoldre problemes de l vid quotidin per mitjà de les equcions. Veurem més què són els sistemes d equcions linels, com es resolen per diferents mètodes i l seu plicció per resoldre problemes que ens rodegen. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

3 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO. EQUACIONS DE n GRAU Hi h equcions de segon gru que j sps resoldre. En quest cpítol profundirem i prendrem resoldre quest tipus d equcions. Per eemple, el següent problem j sps resoldre'l: Activitts resoltes S ugment el costt d un tulell qudrt en cm i l seu àre h quedt multiplicd per, Quin costt teni el tulell? Plntegem l equció: ( ) Aquest equció si sps resoldre-l!, doncs el costt és de cm. Hi h un ltr solució,, que no té sentit com costt d un qudrt. Estudirem de form ordend questes equcions... Concepte d equció de n gru Un equció de segon gru és un equció polinómic en l que l mjor potènci de l incògnit és. Les equcions de segon gru es poden escriure de l form: on, b i c són nombres rels, mb 0. Eemple : Són equcions de º gru per eemple Eemple : b c 0 0; 0; 9 0. Els coeficients de les equcions de n gru són nombres rels, per tnt poden ser frccions o rrels. Per eemple: 0 ; 0 ;,, 0, 0; 0. Activitts proposdes. Indic si són equcions de segon gru les equcions següents: ) 8 0 c) e) 0 b) 0 d) 8, 0 f) 0. A les següents equcions de segon gru, indic qui són, b i c. ) 9 0 b) 0 c) 0 d) 8 0 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

4 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Resolució d equcions de º gru completes S nomen equció de segon gru complet quell que té vlors diferents de zero per, b i c. Per resoldre les equcions de segon gru completes, usrem l fórmul: b ± b c Aquest fórmul ens permet clculr les dues solucions de l nostr equció. Anomenrem discriminnt l prt de l fórmul que està l interior de l rrel: Activitts resoltes Resol l equció de segon gru 6 0 Primer hem de sber qui són, b i c: b c ; b ; c 6 Substituint quests vlors l nostr fórmul, obtenim: b ± b c ± 6 ± Per tnt, les nostres dues solucions són: ; ± En efecte, , , doncs i són solucions de l equció. Activitts proposdes. Resol les següents equcions de n gru completes: ) 0 0 b) 0 c) d) 0 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

5 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Nombre de solucions d un equció de n gru complet Abns hem definit el que er el discriminnt, et recordes? b c Per sber quntes solucions té un equció de n gru, ens nem fir en el signe del discriminnt. Si b c > 0, l equció té dues solucions rels i distintes. Si b c 0 l equcióté dues solucions rels iguls, (un solució doble). Si b c < 0 l equcióno té solució. Eemple : ) L equció 0 té com discriminnt: b c () () 6 8 > 0 Per tnt, l equció dond té solucions rels i distintes, i. (Comprobció: 0 0 i () () 0). b) L equció 0 té com discriminnt: b c () 0 Per tnt, l equció té dues solucions rels iguls. Es pot escriure com: ( ) 0, que té l solució doble. c) L equció 8 0 té com discriminnt b c () (8) 9 < 0 Per tnt, l equció no té solució rel. Cp nombre rel verific l equció. Activitts proposdes. Esbrin quntes solucions tenen les següents equcions de º gru: ) 0 b) c) 6 0 d) 0 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

6 6 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Resolució d equcions de n gru incompletes Anomenem equció de n gru incomplet quell equció de segon gru en què el coeficient b vl 0 (flt b), o el coeficient c vl 0 (flt c). Eemple : L'equció de n gru 8 0 és incomplet perquè el coeficient b 0, és dir, flt b. L'equció de n gru 0 és incomplet perquè no té c, és dir, c 0. Les equcions de n gru incompletes es resolen d un mner o un ltr depenent del tipus que siguen. Si el coeficient b 0: Aïllem l incògnit normlment, com féiem les equcions de primer gru: c 0 c c Si el coeficient c 0: Triem fctor comú: b 0 ( b) 0. c ± c Perquè el producte de dos fctors vlg zero, un dels fctors h de vldre zero. Per tnt 0, o b 0 b b Eemple : En l equció 8 0 flt l b. Per resoldre-l ïllem l incògnit, és dir, : / 9 Resum Si b 0, c 0, ïllem l incògnit: ± c Si c 0, b 0, triem fctor comú: 0 i b Un vegd que rribem cí, ens flt llevr quei qudrt que port nostr incògnit. Per iò, frem l rrel qudrd ls membres de l equció: ± 9 ± Aií hem obtingut les dues solucions de l nostr equció, i. En efecte, , i () Eemple 6: A l equció 0 flt l c. Per resoldre-l, triem fctor comú: 0 ( ) 0 Un vegd que rribem cí, tenim dues opcions ) 0 0. ) 0. Aií hem obtingut les dues solucions de l equció 0 i Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

7 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO Un equció de segon gru incomplet tmbé es pot resoldre utilitznt l fórmul de les completes però és un procés més lent i és més fàcil equivocr-se. Activitts resoltes Resol l equció de n gru 0: Solució: Es trct d un equció de n gru incomplet on flt l b. Per tnt, ïllem l incògnit 0 / 6 ± 6 ±. Les rrels són i. Resol l equció de n gru 0: Solució: Es trct d un equció de n gru incomplet on flt l c. Per tnt, triem fctor comú: 0 ( ) 0 i obtenim les dues solucions: 0 i 0. Activitts proposdes. Resol les següents equcions de n gru incompletes: ) 6 0 b) 0 c) 0 d) 0 e) 9 0 f) 0 0 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

8 8 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Sum i producte d rrels Si un equció de segon gru: b c 0, mb, coneiem les seues solucions: i sbem que podem escriure l equció de form fctorizd: Fem opercions: 0 ( ) 0, ( ) ( ) 0 per tnt el coeficient c és igul l producte de les solucions i l sum de les solucions és igul l opost del coeficient b, és dir, b. c; b. Si l equció és b c 0, dividint per, j tenim un de coeficient, i obtenim que: c ; Aquest propiett ens permet, de vegdes, resoldre mentlment lgunes equcions de segon gru. Activitts resoltes Resol mentlment l equció 6 0. Busquem, mentlment dos nombres el producte del qul sig 6 i l sum del qul sig. En efecte, 6, i, doncs les solucions de l equció són i. Resol mentlment l equció El producte h de ser 9. Provem mb com solució, i en efecte 6. Les solucions són l rrel doble. b Resol mentlment l equció 0. Les solucions són i, perquè el seu producte és i l seu sum. Resol mentlment l equció 0. Les solucions són i, perquè el seu producte és i l seu sum. Activitts proposdes 6. Resol mentlment les següents equcions de n gru: ) 6 0 b) 8 0 c) 0 d) e) 0 f) 0. Escriu un equció de segon gru les solucions de l qul siguen i. 8. El perímetre d un rectngle mesur 6 cm i l seu àre cm. Clcul les seues dimensions. 9. Si és un solució de 0, qunt vl? Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

9 9 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO. SISTEMES D EQUACIONS LINEALS.. Concepte de sistem d equcions linels Un sistem d equcions linels mb dues incògnites es pot epressr de l form: ' ' ' c b c b On, b, ' i b' són nombres rels que es denominen coeficients i c i c' tmbé són nombres rels denomints termes independents. Anomenem solució del sistem l prell de vlors (, ) que stisfn les dues equcions del sistem. Es diu que dos sistemes d equcions són equivlents, qun tenen l mtei solució. Eemple : Són sistemes d equcions linels, per eemple: ; 0 ; ; Eemple 8: No és un sistem linel 9 8 perquè té termes en. Tmpoc ho és 9 8 perquè té un terme en. Activitts proposdes 0. Ron si són o no sistemes d equcions linels els sistemes següents: ) 6 b) c) d) Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

10 0 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Clssificció de sistemes d equcions A un sistem d equcions linels mb dues incògnites, cd un de les equcions represent un rect l pl. Aquestes rectes poden estr posiciondes entre si de tres mneres distintes, l qul cos ens judrà clssificr el nostre sistem en: ) Comptible determint: el sistem té un únic solució, per l qul cos les rectes són SECANTS, es tllen en un punt. ) Comptible indetermint: el sistem té infinites solucions, per l qul cos les rectes són COINCIDENTS. ) Incomptible: el sistem no té solució, per l qul cos les rectes són PARAL LELES. Comptible determint Comptible indetermint Incomptible Rectes secnts Rectes coincidentes Rectes prl leles Activitts resoltes Afig un equció perquè el sistem resultnt sig: Solució: ) Comptible determint b) Incomptible c) Comptible indetermint ) Perquè el sistem sig comptible determint, fegirem un equció que no ting els mteios coeficients que l que ens donen. Per eemple,. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

11 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO b) Perquè sig incomptible, els coeficients de les incògnites hn de ser els mteios (o proporcionls) però tindre diferent terme independent. Per eemple, (o 0). c) Perquè sig comptible indetermint, posrem un equció proporcionl l què tenim. Per eemple. Activitts proposdes. Represent els següents sistemes i clssific ls: ) b) c) Resolució de sistemes pel mètode de substitució El mètode de substitució consistei ïllr un incògnit d un de les equcions del sistem i substituir l epressió obtingud en l ltr equció. Aií, obtenim un equció de primer gru en l què podem clculr l incògnit ïlld. Amb el vlor obtingut, obtenim el vlor de l ltr incògnit. Eemple 8: Resoldrem el sistem pel mètode de substitució: Aïllem de l segon equció: Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

12 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO i l substituïm en l primer: ( ) 6 6 ( )/( ) Amb el vlor obtingut de, clculem l :. Solució: Activitts proposdes. Resol els següents sistemes pel mètode de substitució: ) b) 0 c) 0.. Resolució de sistemes pel mètode d igulció El mètode d igulció consistei ïllr l mtei incògnit de les dues equcions que formen el sistem i igulr els resultts obtinguts. Aií, obtenim un equció de primer gru en què podrem clculr l incògnit ïlld. Amb el vlor obtingut, clculem el vlor de l ltr incògnit. Eemple 8: Resoldrem el sistem pel mètode d igulció: Aïllem l mtei incògnit les dues equcions que formen el sistem: Igulem r els resultts obtinguts i resolem l equció resultnt: 6 6 ) ( Amb el vlor obtingut de, clculem l : () Solució: Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

13 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO Activitts proposdes. Resol els següents sistemes pel mètode d igulció: ) b) c).. Resolució de sistemes pel mètode de reducció El mètode de reducció consistei eliminr un de les incògnites sumnt les dues equcions. Per iò es multipliquen un o mbdues equcions per un nombre de mner que els coeficients de o siguen iguls però de signe contrri. Eemple 9: Resoldrem el sistem { pel mètode de reducció: Multipliquem l segon equció per - perquè els coeficients de l siguen iguls però de signe contrri i sumem les equcions obtingudes: ( ) 6 Amb el vlor obtingut de,clculem l : / summos ( )/( ) Solució: Activitts proposdes. Resol els següents sistemes pel mètode de reducció: ) b) c) 0 Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

14 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.. Resolució de problemes mitjnçnt equcions de n gru Per resoldre problemes per mitjà d equcions de n gru, primer hurem de pssr llengutge lgebric l enuncit del problem i després resoldre'l seguint els pssos següents:.- Comprendre l enuncit.- Identificr l incògnit.- Trduir l enuncit l llengutge lgebric.- Plntejr l equció i resoldre-l.- Comprovr l solució obtingud Activitts resoltes Resoldrem el problem següent: Quin és el nombre nturl el quíntuple del qul ugmentt en 6 és igul l seu qudrt? Un vegd comprés l enuncit, identifiquem l incògnit, que en quest cs, és el nombre que estem buscnt..- nombre busct.- Trduïm r el problem l llengutge lgebric:.-resolem l equció: b ± b c ( ) ± 6 ; ( ) ( 6) ± ± 9 Solució: Com l enuncit diu nombre nturl el nombre busct és el 6..- Comprobció: En efecte ± Activitts proposdes. Quin nombre multiplict per és 0 unitts menor que el seu qudrt? 6. Clcul tres nombres consecutius tls que l sum dels seus qudrts sig 6.. El triple del qudrt d un nombre ugmentt en el seu doble és 8. Quin és el nombre? 8. Un tringle isòsceles té un perímetre de 0 cm i l bse mesur cm, clcul els costts del tringle i l seu àre. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

15 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO.. Resolució de problemes mitjnçnt sistemes d equcions Per resoldre problemes per mitjà de sistemes d equcions, primer hurem de pssr llengutge lgebric l enuncit del problem i després resoldre'l seguint els pssos següents:.- Comprendre l enuncit.- Identificr les incògnites.- Trduir l enuncit l llengutge lgebric.- Plntejr el sistem i resoldre'l.- Comprovr l solució obtingud Activitts resoltes Resoldrem el problem següent: L sum de les edts d un pre i el seu fill és 9 i l seu diferènci. Quin és l edt de cd un? Un vegd comprés l enuncit, identifiquem les incògnites que, en quest cs, són l edt del pre i el fill.- Edt del pre Edt del fill.-pssem l enuncit llengutge lgebric: L sum de les seues edts és 9: I l seu diferènci : 9.- Plntegem el sistem i el resolem pel mètode que ens resulte més senzill. En quest cs, el fem per reducció: 9 sumem 6 6/ Solució: El pre té ns i el fill té ns..-comprovció: En efecte, l sum de les edts és 9 i l diferènci és. Activitts proposdes 9. L sum de les edts de Rquel i Lluis són 6 ns. L edt de Lluis més qutre vegdes l edt de Rquel és igul 0. Quin edt tenen cd un? 0. L sum de les edts de Mri i Albert és ns. D cí 8 ns, l edt d Albert serà dues vegdes l edt de Mri. Quin edt té cd un en l ctulitt?. Trob dos nombres l diferènci dels quls sig i l seu sum sig. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

16 6 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO CURIOSITATS. REVISTA Obtenció de l fórmul per resoldre equcions de segon gru. b c 0, mb 0 b c Multipliquem por b c Sumem b b b c b Completem qudrts ( b) b c Clculem l'rrel qudrd b Aïllem l b± b ²c ± b² c b± b ² c Tres equcions de segon gru interessnts Aquest equció ens prei l plicr el Teorem de Pitàgores un tringule rectngle isòsceles de costts iguls, o l clculr l digonl d'un qudrt de costt. L seu solució és l longitud de l hipotenus o de l digonl. Té d interessnt que es demostr que l dit solució NO és un nombre rcionl, un nombre que pug escriure s com quocient de dos nombres enters. Tmbé es pot escriure com: que és un proporció, on pren el vlor,68... nombre irrcionl. que és el nombre d'or, ltre L tercer equció no té solució rel, cp nombre rel l elevr-lo l qudrt pot donr un nombre negtiu, pero si mpliem el cmp rel mb l seu rrel, i, result que j totes les equcions de segon gru tenen solució, i ls nombres b i se'ls nomen nombres compleos. Emm Noether v ser un mtemàtic lemn d'origen jueu els treblls del qul en Àlgebr vn permetre resoldre el problem de l conservció de l energi. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

17 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO Equció de segon gru Resolució S us l fórmul: d equcions de n gru completes RESUM Eemples És un equció lgebric en què l mjor potènci de 8 0 l incògnit és. Té l form: b c 0 on, b i c són nombres rels, mb 0. b ± b c 6 0: ± 6 ±, Discriminnt b c () 6 Nombre de solucions d un equció de n gru Resolució d equcions de n gru incompletes Sum i producte d rrels Si b c > 0, té dues solucions rels i distintes Si b c 0, té un solució doble. Si b c < 0, l equció no té solució Si b 0, c 0, ïllem l incògnit: c ±. b Si c 0, b 0: 0 i c ; Sistem d equcions linels b c ' b' c' Clssificció 0: 6 > 0, té dues solucions i. 0: 0, té un rrel doble:. 8 0:. No té solució rel 8 0: ± 9 ± 0 ( ) 0 0;. b 6 0 ; Comptible determint: Un únic solució, el punt d intersecció. Les rectes són secnts: Comptible indetermint: Infinites solucions, per l qul cos les rectes són coincidents: 6 6 Incomptible: No té solució, les rectes són prl leles: 6 Mètodes de resolució Substitució: ïllr un incògnit i substituir en l ltr equció. Igulció: ïllr l mtei incògnit de les dues equcions. Reducció: sumr les dues equcions, multiplicnt-les per nombres dequts. Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

18 8 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO EXERCICIS I PROBLEMES. Equcions de segon gru. Resol les següents equcions de n gru ) b) ( ) 6 c) 0 d) ( ) ( ) e) ( ) ( ) f) ( ) 6( ) 8 g) ( ) ( ) h) ( ) 68 i) 6( ) ( ). Resol les següents equcions de n gru mb denomindors: ) 0 b) 6 c) 0 d) 9 e) 8 0. Resol mentlment les següents equcions de n gru: 6 f) 0 ) 0 0 b) ( ) 0 c) 0 d) 0 0 e) 0 0 f) 0 0 g) 6 0 h) 6 0 i) 6 0. Fctoriz les equcions del problem nterior. Aií, si les solucions són i, escriu: 0 0 ( ) ( ) 0. Observ que si el coeficient de fór diferent d els fctors hn d estr multiplicts pel dit coeficient.. Qun el coeficient b és prell (b B), pots simplificr l fórmul: b ± b c B ± B c B ± B c B ± Aií per resoldre seri ± 9 8 ±, per tnt les seues solucions són i. Utilitz quei epressió per resoldre: ) 8 0 b) 0 0 c) 0 6. Resol mentlment les equcions següents, després desenrotll les epressions i utilitz l fórmul generl per tornr resoldre-les. ) ( ) ( 6) 0 b) ( ) ( ) 0 c) ( 9) ( ) 0 d) ( ) ( ) 0 e) ( ) ( ) 0 f) ( ) ( 6) 0 B c Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

19 9 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO. Determin el nombre de solucions rels que tenen les següents equcions de segon gru clculnt el seu discriminnt, i després resol-les. ) 0 b) 0 c) 0 0 d) 0 e) 6 0 f) Escriu tres equcions de segon gru que no tinguen cp solució rel. Ajud: Utilitz el discriminnt. 9. Escriu tres equcions de segon gru que tinguen un solució doble. 0. Escriu tres equcions de segon gru que tinguen dues solucions rels i distintes.. Escriu tres equcions de segon gru que no tinguen solució rel. Sistemes linels d equcions. Resol els següents sistemes pel mètode de substitució: ) b) c) 6. Resol els següents sistemes pel mètode d igulció: ) b) 0 c) 8 9. Resol els següents sistemes pel mètode de reducció: ) b) 6 c) 9. Resol de form gràfic els següents sistemes ) b) 6 c) Resol els següents sistemes pel mètode que cregues més propit: ) b) c). Copi l teu qudern i complet els següents sistemes incomplets de mner que es complisc el que es demn en cd un: Comptible indetermint Incomptible L seu solució sig i ) ( ) ( ) b) ( ) 6 c) ( ) ( ) Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

20 0 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO Incomptible L seu solució sig i Comptible indetermint d) ( ) ( ) ( ) e) ( ) f) ( ) 6 ( ) 8. Escriu tres sistemes linels que siguen incomptibles. 9. Escriu tres sistemes linels que siguen comptibles indetermints. 0. Escriu tres sistemes linels que siguen comptibles determints.. Resol els següents sistemes pel mètode d igulció i comprov l solució gràficment. De quin tipus és cd sistem? Problemes ) 6 b) 8 c). En un botig lloguen bicicletes i tricicles. Si tenen vehicles mb un totl de rodes, quntes bicicletes i qunts tricicles tenen?. Quin és l edt d un person si en multiplicr-l per li flten 00 unitts per completr el seu qudrt?. Descompon 8 en dos fctors l sum del qul sig 6. El triple del qudrt d un nombre ugmentt en el seu duple és 8. Quin nombre és? 6. L sum dels qudrts de dos nombres imprells consecutius és 9. Determin els dits nombres.. Vn crregts un se i un mul. L se es queiv del pes que portv dmunt. El mul li v contestr: Si jo portr un dels teus scs, portri el doble de càrreg que tu, però si tu prens un dels meus, els dos portrem l mtei càrreg. Qunts scs port cd un? 8. Quin nombre multiplict per és 0 unitts menor que el seu qudrt? 9. Clcul tres nombres consecutius l sum de qudrts del qul és 6 0. D cí ns, l edt de Mri serà l meitt del qudrt de l edt que teni f ns. Quin edt té Mri?. Dos nombres nturls es diferencien en unitts i l sum dels seus qudrts és 80. Quins són els dits nombres?. L sum de dos nombres és i el seu producte és 8. De quins nombres es trct?. Mri vol formr sftes d un quilogrm mb msspns i mntegdes. Si les mntegdes li costen euros el quilo i els msspns euros el quilo, i vol que el preu de cd sft sig de 6 euros, quin quntitt hurà de posr de cd producte? Si vol formr sftes, Quin quntitt de mntegdes i de msspns necessitrà?. Determin els ctets d un tringle rectngle l sum dels quls és cm i l hipotenus del dit tringle mesur cm.. El producte de dos nombres és i l sum dels seus qudrts. Clcul els dits nombres Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

21 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO 6. L sum de dos nombres és 0. El doble del primer més el triple del segon és. De quins nombres es trct?. A un grtge hi h 0 vehicles entre cotes i motos. Si en totl hi h 00 rodes, qunts cotes i motos hi h l grtge? 8. L edt ctul de Pere és el doble de l de Rquel. D cí 0 ns, les seues edts sumrn 6. Qunts ns tenen ctulment Pere i Rquel? 9. A l meu clsse hi h persones. Ens hn reglt cd ic bolígrfs i cd ic qudern. Si en totl hi hvi regls. Qunts ics i iques som clsse? 0. Entre el meu iio i el meu germà tenen 6 ns. Si el meu iio té 0 ns més que el meu germà, quin edt té cd un?. Dos entrepns i un refresc costen. Tres entrepns i dos refrescos costen 8. Quin és el preu de l entrepà i el refresc?. En un grnj hi h pollstres i vques. Si es compten els cps, són 0. Si es compten les potes, són. Qunts pollstres i vques hi h en l grnj?. Un rectngle té un perímetre de metres. Si el llrg és metres mjor que l mple, quines són les dimensions del rectngle?. A un boss hi h monedes d i. Si en totl hi h 0 monedes i, quntes monedes de cd vlor hi h l boss?. A un brll entre rnes i vespes, hi h 0 cps i 88 potes. Sbent que un rn té 8 potes i un vesp 6, quntes mosques i rnes hi h l brll? 6. Un clsse té estudints, i el nombre d lumnes és triple l d lumnes, qunts ics i iques hi h?. Violnt té 6 ns més que el seu germà Pblo, i s mre té 9 ns. D cí ns l edt de l mre serà doble de l sum de les edts dels seus fills, Quines edts té? Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes

22 Equcions n gru i sistemes linels ºA ESO AUTOAVALUACIÓ. Les solucions de l equció ( ) ( ) 9 són: ) i b) i c) i / d) i 6/. Les solucions de l equció 6 ( ) són: ) i b) i c) 0 i d) i. Les solucions de l equció són: ) i / b) / i c) i / d) / i. Les solucions de l equció ( ) ( ) són: ) i 8 b) i c) i 9 d) i. Les solucions de l equció ( ) ( ) 0 són: ) Infinites b) 9 i c) no té solució d) i 6. Les rectes que formen el sistem són: ) Secnts b) Prl leles c) Coincidents d) S encreuen. L solució del sistem és: ) i b) i c) i d) No té solució 8. L solució del sistem és: ) i b) i c) i d) i 9. A un grnj, entre pollstres i porcs hi h nimls i 6 potes. Qunts pollstres i porcs hi h l grnj? ) 6 pollstres i porcs b) pollstres i porcs c) pollstres i porcs 0. Quin és l edt d un person si en multiplicr-l per, li flten 00 unitts per rribr l seu qudrt? ) 6 ns b) ns c) ns d) 8 ns Mtemàtiques orientdes les ensennces plicdes º A ESO. Cpítol : Equcions i sistemes