Matemàtiques II. Orientacions i solucionari BATXILLERAT

Transcripción

1 Mtemàtiques II Orientcions i solucionri BTXILLERT

2 Mtèri de Mtemàtiques II Orientcions i solucionri BTXILLERT Modlitt de Ciències i Tecnologi Segon curs de Btxillert Projecte i edició: grup edebé Direcció generl: ntoni Grrido González Direcció editoril: Josep Lluís Gómez Cutills Direcció d edició de text: Mri Bnl Mrtínez Direcció de l àre de Ciències i Tecnologi: Ros Combell Bernt Direcció pedgògic: Sntigo Centelles Cerver Direcció de producció: Jon López Nvrro Equip d edició d edebé: Edició: Josep Estel Herrero, Núri Lorente Pl, Pu Brberá Fábregs i Ferrn Monsó Ferré Pedgogi: Els Escolno Lumbrers Il lustrció: Robert Ms Olives Correccions: Núri Csls Cmpmny i Rosn Rodríguez Mrzo Cobert: Lluís Vilrdell Pnicot Col lbordors: Text: Crolin Estudillo Pérez, Rquel Sorin Hounie i Eugeni González Sierr Dibuixos: Luis Bogjo Peñrroy Preimpressió: Tecf quest llibre form prt del projecte editoril Edebé i h estt elbort segons les disposicions i normes curriculrs que desenvolupen l Llei Orgànic d Educció (LOE) de de mig de 6. Qulsevol form de reproducció, distribució, comunicció públic o trnsformció d quest obr només pot ser dut terme mb l utoritzció dels seus titulrs, tret de les excepcions previstes en l Llei. dreceu-vos CEDRO ( si necessiteu fotocopir o escnejr cp frgment d quest obr. És propiett de grup edebé grup edebé, 9 Psseig Snt Jon Bosco, 6 87 Brcelon ISBN Dipòsit Legl. B Imprès Espny Printed in Spin Tecfoto, S.L. Tecfoto, S.L.

3 ÍNDEX Orientcions didàctiques Solucionri Àlgebr linel Unitt. Mtrius Unitt. Determinnts Unitt. Sistemes d'equcions linels Geometri Unitt 4. Vectors en l'espi (I) Unitt 5. Vectors en l'espi (II) Unitt 6. Geometri fí Unitt 7. Geometri mètric nàlisi Unitt 8. Límits Unitt 9. Continuïtt Unitt. Derivdes Unitt. pliccions de les derivdes Unitt. Integrls i pliccions Propostes d vlució Trebll de recerc

4

5

6 Mtrius. MTRIUS NUMÈRIQUES. L mtriu té files i 4 columnes. Per tnt, l sev dimensió és 4. L element ij és el que ocup l fil i-èsim i l column j-èsim, d on:. Respost suggerid: ) b) c) d) 5 6 ; 4 ;. és un mtriu esglond i té files no nul. les. leshores, rng (). B no és esglond i, per tnt, hem d plicr-li trnsformcions elementls fins convertir-l en esglond. L element j és igul. Sumem cd fil k-èsim, k, i multipliquem l primer per k perquè els elements de l primer column, excepte, siguin : F F + ( F ) F F F F + ( F ) F + F Hem trnsformt B en un mtriu esglond mb un únic fil no nul. l. leshores, rng (B). C no és esglond i, per tnt, hem de trnsformr-l en esglond: L element j és igul. Fem els ltres elements de l primer column sumnt cd fil l primer multiplicd pel nombre rel propit: Posem les files nul. les l finl perquè l mtriu pugui ser esglond: Com que hem obtingut un mtriu esglond mb dues files no nul. les, rng (C).. OPERCIONS MB MTRIUS 4. ) F F F F F + F F 4 F 4 5 F F F B b) + B + C ( + B) + C Mtrius

7 c) d) e) B + ( B) B B + ( ) C B C + ( B) l) 5. ) 5( C B) + ( C ) B 5C 5B + C B 7C 8B B Mtrius f) g) h) i) j) B C ( C B) B ( 4) C ( 4) ( ) B k) B 6C ( B ) 6C b) c) d) B C B C B C ( ) ( B + C) és l mtriu identitt d ordre, I; per tnt, per tot mtriu B d ordre es compleix: B B B En prticulr, per B I ( ) es compleix: Per tnt: I I I I

8 Clculem B prtir de l definició: B b c d e f és l mtriu que compleix: g h i b c B B B B d e f g h i, és dir: F C ( b c) + b () + c F C ( b c) 4 + b + c (4) F C ( b c) 9 + b () + c 9 F C ( d e f) d + e () + f F C ( d e f) 4 d + e + f (4) F C ( d e f) 9 d + e () + f 9 F C ( g h i) g + h () + i F C ( g h i) 4 g + h + i (4) F C ( g h i) 9 g + h () + i Hem de resoldre, doncs, tres sistemes d equcions: b + c + b 4c b + 9c L solució és: d g b e h 8 8 c f i L invers de B és: Clculem C pel mètode de Guss-Jordn. L mtriu mplid és: L element j és igul. nul. lem els ltres elements de l primer column: F F + F F F F F 4 F 4 + F g h + i g + h 4i g h + 9i B Trnsformem en l element : F F 9 4 d e + f d + e 4f d e + 9f. Mtrius

9 nul. lem els ltres elements de l segon column: F F + F F 4 F 4 F L element j és. nul. lem els ltres elements de l tercer column: F F F F F F F 4 F 4 7 F Fem que l element 44 sigui : F 4 F4 5 nul. lem els ltres elements de l qurt column: F F F t B t C t 8. Per veure que ( t ) ( ) t, clculrem ( t ) i ( ) t, i veurem que són iguls. Càlcul de ( t ) : L trnsposd de Clculem ( t ) usnt el mètode de Guss-Jordn: ( t ) leshores, F F F F 4 Càlcul de ( ) t : Clculem prtir de l definició: b h de complir: c d b c d t 5 5 t 4 4 t F F F t 4 + b + b, c + d c + d és. Mtrius L invers de C és: 5 C és dir: L solució d quest sistem és: ; b ; c 4 ; d Per tnt: + b b 4,. c + d d 4

10 L trnsposd de és t ( ) 4. Nombre de connexions () B () C () D () B () B B () B C () B D () C () C B () C C () C D () D () D B () D C () D D () Finlment, comprovem que t 4 t ( ) ( ) B C D B C D Not: L igultt ( t ) ( ) t és cert per tot mtriu invertible.. PLICCIONS 9. En un grf, els elements es representen mb punts, i l relció d un element mb un ltre, mitjnçnt un corb del primer l segon. Per tnt, un grf ssocit quest relció és: b) El producte de l mtriu ssocid l grf per ell mteix és tl que cd component ij ens indic el nombre de connexions que hi h entre l nten corresponent l fil i i l corresponent l j pssnt per un ltr nten, que és el que ens demnen: 9 B C D B C D RESOLUCIÓ D EXERCICIS I PROBLEMES L mtriu ssocid un grf té tntes files i tntes columnes com punts tingui el grf, cdscun ssocid un dels punts. L element ij de l mtriu és: si l element (del conjunt) corresponent l fil i està relciont mb el corresponent l column j. en cs contrri. L mtriu ssocid l nostre grf és: ) l grf de l figur podem ssocir-li un mtriu en què cd element indic el nombre de connexions entre dos elements que formen un sistem de rdiocomunicció. 4. Ho resoldrem prtir de les definicions de les opercions: b Busquem l mtriu X c d tl que X B C. Substituint cd mtriu per l sev expressió explícit: b c d 5 Efectuem les opercions: 4 b 4 c d b c d 4c b 4d c d b c d 4c b 4d + c d. Mtrius 5

11 Hem de trobr els nombres rels, b, c, d tls que: 4c b 4d + c d 5 Per definició d igultt de mtrius: 4c c Els sistemes tenen com solució: 9 b c d 6 b X c d 9 L mtriu buscd és 6. Usrem les definicions de les opercions entre mtrius. b Busquem un mtriu X c d que compleixi X + B. Substituint cd mtriu per l sev expressió explícit: b + c d 4 Si operem el membre de l esquerr: 6 b 4d + d 5 b c d 6 c b 6 + c 6b + d b d. Usrem les propietts de les opercions entre mtrius. Si té invers,, i multipliquem per l esquerr per els dos membres de l igultt, obtenim: X B 4 C I Per l ssocitivitt entre el producte d esclrs i mtrius, 4 C 4 C; leshores, qued l equció: X B 4 C Si B és invertible, podem multiplicr per l dret els dos membres de l igultt nterior per l invers de B, B : X B B 4 C B I Per tnt, l mtriu buscd és X 4 C B. Per efectur questes opercions, clculem i B pel mètode de Guss-Jordn: F F F F I 4 F F F I b c d + 4 b c 6 b + d + 4 B I F F Hem de resoldre, doncs: b + + c b + d F F + F 8 Per definició d igultt entre mtrius: b c 6b + d + 4 Els sistemes tenen com solució: F F Mtrius 6 b c d L mtriu buscd és, doncs: b X c d F 4 8 F F 4 8 I B

12 J podem efectur els càlculs que ens donrn l mtriu X: X 4 C B Usrem les propietts de les opercions mb mtrius. Si és invertible, podem multiplicr l igultt X I per l invers de,, per tots dos costts: X I I I X ( ) Per tnt, per clculr X n hi h prou de clculr l invers de, per exemple mb el mètode de Guss-Jordn, i multiplicr-l per ell mteix: F F F F F ixí, X I 5. Clculem les tres primeres potències de : I ixí, proposem com solució. n Comprovem-ho mb el mètode d inducció complet. Demostrem que és cert per n : ixò, efectivment, es compleix. Suposem que és cert per n k (hipòtesi d inducció): k k Comprovem que, si és cert per n k, és cert per n k : k + k k k + Efectivment, hem obtingut el resultt que preteníem demostrr. 6. Si I és l mtriu identitt d ordre, I podem expressr k I. Busquem un cndidt expressió generl de n temptejnt: (k I) (k I) k k I I k I (k I) (k I) k k I I k I Proposem que l expressió generl de n és n k n I Demostrem que quest identitt és cert per inducció sobre n: És cert per n : n k I k I. Mtrius 7

13 Suposem que és cert per n m, m k m, (hipòtesi d inducció), i vegem que ho és per n m : m + m (k m I) (k I) Hipòtesi d inducció k m k I I k m + I Qued provt el que volíem demostrr. CTIVITTS bns de començr Mtriu de dimensió m n (pàg. 8); rng d un mtriu (pàg. ); mtriu invers (pàg. 6); mtriu trnsposd (pàg. 8). Trnsformcions elementls (pàg. ). ddició de mtrius (pàg. ); multiplicció d un mtriu per un nombre rel (pàg. ). Qüestions 7. No, j que no està definid l digonl principl d un mtriu que no sigui qudrd. 8. En fer trnsformcions elementls per esglonr-l, l dimensió no cnvi i, per tnt, obtindrem un mtriu esglond de dimensió 5. quest mtriu esglond pot tenir,, o files no nul. les. Com que el rng de l mtriu de prtenç és per definició el nombre de files no nul. les de l mtriu obtingud en esglonr-l, quest rng pot ser,, o. 9. Dues mtrius es poden sumr si i només si tenen l mteix dimensió, m n. Dues mtrius es poden multiplicr l un per l ltr si i només si l primer té tntes columnes com files té l segon, és dir, si tenen dimensions m h i h n, respectivment. En quest cs, és útil de multiplicr per per l esquerr: L error és, doncs, el ps de X B X B. EXERCICIS I PROBLEMES. Diem que un mtriu té dimensió m n si té m files i n columnes. L mtriu té files i 4 columnes. leshores, l sev dimensió és 4. L mtriu B té 4 files i 4 columnes. leshores, l sev dimensió és 4 4 (és dir, és un mtriu qudrd d ordre 4). 4. ) b) c) d) X B X B, X B I L respost suggerid és: L respost suggerid és: L respost suggerid és: És l mtriu I 4. No. Considerem el contrexemple següent: Sigui (). Si es pot invertir, existiri un mtriu B tl que B B I però B () B; ixí, I (). Però ixò no és cert i, per tnt, () no es pot invertir. 5. Sí, j que és de l form, mb.. Que un mtriu tingui dimensió m n signific que té m files i n columnes. Com que trnsposr consisteix intercnvir files i columnes, l mtriu trnsposd tindrà n files i m columnes, és dir, tindrà dimensió n m. Per tnt, l mtriu trnsposd d un mtriu de dimensió 5 tindrà dimensió Per clculr el rng d un mtriu, hem d plicr-hi trnsformcions elementls fins obtenir-ne un d esglond i comptr el nombre de files no nul. les de l mtriu j esglond. Esglonem l mtriu : Fem l element :. Mtrius. Si tenim un equció X B i és invertible, podem multiplicr els dos membres de l igultt per l invers de,, però com que el producte de mtrius no és commuttiu, hem de fer-ho pel mteix costt F F

14 Fem els ltres elements de l primer column, i : F F F F F F Fem l element : F F Fem els elements de l segon column per sot de : F F + 4 F Hem obtingut un mtriu esglond mb tres files no nul. les. leshores, rng (). Esglonem l mtriu B: Fem l element : B F F 4 Fem els ltres elements de l primer column per sot de : F F 4 F F 4 F 4 7 F Simplifiquem dequdment les files, i 4: Fem els elements de l segon column per sot de (és dir, esglonem l segon column): F F + F F 4 F 4 + F Esglonem l tercer column: Hem obtingut un mtriu esglond mb tres files no nul. les. leshores, rng (B). Esglonem l mtriu C: 7 F F 5 8 F4 F F F4 F Fem l element : C F F Mtrius 9

15 . Mtrius Esglonem l primer column: F F F 5 F 4 F 4 + F F 5 F 5 5 F Esglonem l segon column: F 5 F + 6 F F 4 F 4 4 F Esglonem l tercer column: F4 F4 + F F 5 F5 + F 4 Esglonem l cinquen column: F 5 F 5 6 F Hem obtingut un mtriu esglond mb 4 files no nul. les. leshores, rng (C) N hi h prou d plicr l definició de cd operció: ) B ( ) () b) B + (B) ( ) + + ( ) + + ( 5) + ( ) ( ) ( 4) + ( ) + ( 5) c) B ( B) d) ( 4) 5 ( 4) 5 ( )

16 e) f) ( ) 4 8 4B ( ) ( ) ( ) N hi h prou d usr l definició: ( ) B ( ) No és possible clculr el producte B, j que el nombre de columnes de l primer, B, que és, és diferent del nombre de files de l segon,, que és. 9. bns d operr, simplificrem les expressions usnt les propietts de les opercions mb mtrius: ) M + N ( M N) M + N M + N (M M) + (N + N) M + 4N b) B M N ( M + I) ( N I) M N ( M ( N I) + I ( N I)) NI M N ( M N M I + N I) M N M N + M I N + I M + ( M N + I) M N + I ( M N) + I Per veure que es compleix l identitt de l enuncit, desenvoluprem el membre de l esquerr usnt les definicions i propietts de les opercions mb mtrius i veurem que, si es compleix l hipòtesi (M N N M), obtenim el membre de l dret: (M + N) (M + N) (M + N) (M + N) [(M + N) (M + N)] (M + N) [M (M + N) + N (M + N)] (M + N) [M + M N + N M + N ] (M + N) [M + M N + N M + N ] M + + [M + M N + N M + N ] N M + M N M + N M + N M + M N + + M N + N M N + N M + M N + M N M + N M + M N + + N M N + N M + N r bé, si M i N commuten, es compleix: N M (N M) M (M N) M M N M M (N M) M (M N) M N Cnvint les lletres: N M N M N M N Per tnt, l igultt nterior equivl : (M + N) M + M N + M N + M N + + M N + M N + M N + N M + M N + M N + N que és el que volíem demostrr.. Mtrius

17 . Hem de clculr M N, (M N), T i (T M N) : M N ( ) + + ( ) + + ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) T + M + N Clculem les inverses pel mètode de Guss-Jordn: (M N) : (T + M N) : M N I F F F F + F T + M N I F F I ( M N) T : T I F F F F F F F + F I T Finlment: F F F T + ( M N) + + ( T M N) per tnt, l igultt no es compleix. I ( T + M N). ) Hem de veure si es compleix l igultt M N N M: cos α sin α cos β sin β M N sin α cos α sin β cos β cos α cos β sin α sin β cos α sin β + sin α cos β cos( α + β) sin( α + β) sin α cos β cos α sin β sin α sin β + cos α cos β sin( α + β) cos( α + β) Intercnvint i : cos β cos α sin β sin α cos β sin α + sin β cos α + + N M sin β cos α cos β sin α sin β sin α + cos β cos α cos ( β α) sin ( β α) sin( β + α) cos( β + α) Comprovem que el producte de M per N és commuttiu. b) L invers de N és un mtriu N tl que N N N N I. Observem que si considerem en l prtt, tenim: cos( β + β) sin( β + β) cos sin M N N M I sin( β + β ) cos( β + β) sin cos. Mtrius N cos( β) sin( β) cos β leshores sin( β) cos( β) ( sin β) Per tnt, N N t. sin β cos β cos β sin β sin β N t cos β

18 . Busquem un mtriu simètric S i un mtriu ntisimètric T, d ordre, tls que S T. Com que S és simètric, serà de l form: b c S b d e c e f Com que T és ntisimètric, serà de l form: T g h Imposnt l igultt S T: b c g b d e + g c e f h i b + g c + h b g d e + i c h e i f Per definició d igultt de mtrius, ixò signific que: 9 b + g 8 c + h 7 b g 6 d 5 e + i 4 c h e i f i, resolent quest sistem, obtenim: 9 ; b 7 ; c 5 ; d 5 ; e f ; g ; h ; i Les mtrius buscdes són: S 7 5 y T 5 4. Considerem un mtriu genèric: Volem expressr-l de l form S T, en què S és un mtriu simètric i T un mtriu ntisimètric. Com que S és simètric, serà de l form: s s s S s s s s s s Com que T és ntisimètric, serà de l form: T t t g i h i t t t t h i Imposnt que es compleixi S T: Per definició d igultt de mtrius: s s + t s + t s t s s + t s t s t s Resolent quest sistem, obtenim: s + s s s t ixí, les mtrius buscdes són: S T t 5. Clculem t i : s s s t t s s s + t t s s s t t s s + t s + t s t s s + t s t s t s t t s t + I 4 t 4 4 s t +. Mtrius

19 . Mtrius 4 F F F Clculem t : t 4 ( ) ( ) Finlment, clculem ( t ) : ( t ) Sigui l mtriu buscd M b. c d Si imposem que compleixi l igultt: c Per l definició d igultt de mtrius: 4 + c + 5c L solució d quests sistemes és: 6 c 6 b d Per tnt, l mtriu M és: F F F 7. Si és l mtriu invers de, multi- F F plicnt l igultt que volem demostrr per l mtriu per l esquerr, obtenim l igultt equivlent: I b + c b + d d + 5c b + 5d 6 b + d b + 5d 6 M 6 X Clculem l mtriu pel mètode de Guss-Jordn: F F F I I F F F F I Opernt, podem obtenir X: X

20 Clculem les primeres potències de per proposr un expressió generl de n : k k k k Proposem que: k k k k k k k k n Vegem per inducció sobre n que quest fórmul és vàlid: És cert per n : nk nk k k k k leshores, l fórmul és vàlid. Clculem les primeres potències de B: B B B k k k B B B k k k Proposem l expressió generl: Demostrem-l per inducció sobre n: És cert per n : ( m + ) k ( m + ) k B B k k Suposem que és cert per n m i vegem que ho és per n m : m+ m B B B mk k Hipòtesi d inducció + mk k ( m + ) k Qued demostrd l vlides de l fórmul. 9. ) N hi h prou de representr cd loclitt mb un punt i cd crreter mb un líni: E B n nk D Suposem que és cert per n m i vegem que ho és per n m : C B m + m Hipòtesi d inducció mk k mk k mk + k mk + k L mtriu ssocid indic si l loclitt corresponent cd fil està relciond mb l corresponent cd column: B C D E B M C D E. Mtrius 5

21 b) Sbem que l element ij de M n ens dón el nombre de cmins en n etpes entre l loclitt corresponent l fil i i l corresponent l column j. Per obtenir els cmins en dues etpes entre i B, clculem M i mirem quin és l element : M M M Entre i B hi h cmins en dues etpes. Per obtenir els cmins en tres etpes entre i B, n hi h prou de clculr l element de M, que és: (M ) (M M) F C ( ) Entre i B hi h cmí en tres etpes. 4. L mtriu que busquem h de tenir entrdes per ls nys i per ls pïsos, i cd element h d indicr les vendes brutes corresponents l ny i l pís que el loclitzen en l mtriu. D ltr bnd, les vendes brutes s obtenen multiplicnt el nombre d unitts exportdes de cd electrodomèstic, corresponents l ny i l pís considerts, pel seu preu i sumnt per ls diversos electrodomèstics. De tot ixò, se n desprèn que l mtriu que ens interess és l obtingud en multiplicr per C, que ens donrà les vendes brutes de cd ny cd pís, en milions d unitts monetàries (j que els elements de i C indiquen milers). C P P El vlor del que s h exportt l últim ny cd pís ve dont per l últim column de l mtriu C. Com que , en concloem que el vlor del que s h exportt l segon pís l últim ny és més grn que el vlor del que s h exportt l primer. 4. ctivitt TIC. 4. ctivitt TIC.. Mtrius 6

22 Determinnts. DETERMINNTS D ORDRE U, DOS I TRES. 5 5 ; B ; C 4 ( ) 7; D 5 ( 5) ; (89) E ( 5) ( ) ; Desenvolupnt per l primer column: 5 F ( 5) 9 ( 5) B () + () (4) [() (4) 7 (5) + (5) () 7] ; G + (7) (4) [ + (4) (7) ] 9 ; H ( ) ( ) 5 4 ( 7) (64) () () [ () () + 4 () ()] 5 ; Desenvolupnt per l tercer column: I () (4) () [ () + + () + 6 (4) ]. DETERMINNTS D ORDRE N C ( ) Desenvolupnt per l primer fil: Determinnts 7

23 . PROPIETTS DELS DETERMINNTS I PLICCIONS. ) Si multipliquem l tercer column per xyz, el determinnt quedrà multiplict per xyz. ixí: yz x x xz y y xy z z D b) Suposem que x : yz x yz xz y xz xyz xy z xy D F4 F4 + F y z x y z y z y z x y z y z y z y z yz x x xz y y xy z z yz (yz y z) y z y z yz y y y y yz z z z z nàlogment, l igultt es compleix si y o si z. En el cs restnt, (x, y i z ): Considerem l mtriu: yz x x xz y y xy z z b) t z y x z z y x y y y x x x x x F F F 4 F F F 4 F F F 4 t x z x y x z x z x y x y x y x y x x x x x F F F F F F Si multipliquem l primer fil per x, l segon fil per y i l tercer fil per z, el determinnt quedrà multiplict per totes tres, és dir, per xyz; leshores: yz x x xz y y xy z z x x xyz y y xyz z z D xyz x x yxz y y xyz zxy z z D D x y z x y z t y z y z y z y y x y x y x x x x x t z z y z y y x y x y x x x x x x (y x) (z y) (t z) F F F. Determinnts 4. Utilitzrem el mètode de Guss: 5 F F F F F + F F F F ) F F + F 7 F4 F4 + F c) F F + F F F F F 4 F F F 5 F 5 5 F 8

24 F 4 F 4 F F4 F4 + F F F F (9) rng (B) 4 Com que l mtriu té dimensió 4 4, rng (B) 4. D D7 4. CÀLCULS MB DETERMINNTS 5. 5 rng () Com que l mtriu té dimensió 4, rng (). 4 7 rng ( ) rng ( B) 5 rng ( ) 4 rng (C) F F F F F + F F 4 F 4 F rng ( C) rng ( C) rng ( B) rng (B) rng (C) 4 Com que C té dimensió 4 5, rng (C) Observem que qun un mtriu té dimensió, no està definid l sev mtriu d djunts i, per tnt, no podem usr l fórmul dj ( t ). Però les mtrius de dimensió es multipliquen com nombres rels; leshores: () 5 5. Determinnts 9

25 . Determinnts B C Determinnt de C: C 7 Trnsposd de C: djunt de C t : Invers de C: D Determinnt de D: D Trnsposd de D: djunt de D t : Invers de D: E ( ) 4 dj ( C t ) C C t 4 dj ( ) C dj ( D t ) D D t 5 dj ( ) D 5 5 Determinnt de E: E Trnsposd de E: E t C t D t t t t 5 5 djunt de E t : Invers de E: F Determinnt de F: F F no és invertible. G Determinnt de G: G 9 Trnsposd de G: G t djunt de (G t ): dj ( G t ) Invers de G: dj ( E t ) 5 5 E E t dj ( ) E G G t dj ( ) 45 G t

26 H Determinnt de H: H 5 Trnsposd de H: djunt de H t : dj ( H t ) Invers de H: 8 6 H H t H dj ( ) I Determinnt de I: I Trnsposd de I: djunt de I t : H t I t dj ( I t ) t t Invers de I: 5 I I t dj ( ) 4 4 I RESOLUCIÓ D EXERCICIS I PROBLEMES 7. Els elements de totes les files de l mtriu sumen el mteix. Per tnt, procedirem com en l exercici resolt: Sumem l primer column les ltres: Triem el fctor (k ) k k k for del determinnt: Restem l últim fil totes les ltres: ( k k + ) ( k k + ) ( k ) k + k k ( k ) k + k k ( k ) k + k k ( k ) k + k k k k k k k k k k k k k k k k k k (k k + ) ( k) k 8. El menor és d ordre. leshores rng (). Com que l mtriu té dimensió 4, rng () lgun orlt del menor nterior és no nul.. Determinnts

27 Clculem tots els orlts del menor nterior: + ( + + ) ( + ) Els vlors de que nul. len els orlts nteriors són:, ( ) o, Com que n hi h prou que un dels orlts sigui no nul perquè el rng de l mtriu no sigui sinó : Estudiem primerment els csos en què rng (B) 4, és dir, B : B k k 5 5 k k 4 k k 4 F F F F 4 F 4 + F k k k 4 5 k F F k F F 4 F 4 F k k k 4 4 k ( k) (4 k) ( k) D4. Determinnts rng () rng () 9. rng () rng ( ) rng () Com que l únic menor d ordre 4 de l mtriu és el determinnt de l mteix mtriu, el rng de serà 4, si, i, si. Clculem, doncs, : F F F F 4 F 4 F D4 4 4 k 4 F F + F F 4 F 4 F k k 6 k (k ) k + Finlment, k k, leshores: k rng () k rng () 4 CTIVITTS r, B ( k) k Per tnt, k rng (B) 4 Estudiem el cs prticulr de k : Clculem els menors d ordre que s obtenen orlnt el menor no nul d ordre,, i veiem si n hi h lgun de no nul: Com que tots els orlts són nuls, rng (B). En resum, hem obtingut: bns de començr ; ; k rng (B) 4 k rng (B) Menor complementri (pàg. ); djunt d un element d un mtriu (pàg. ). Mètode de Guss (pàg. 7). B ; 5 4 ; Rng d un mtriu per determinnts (pàg. 9); mtriu invers d un mtriu per determinnts (pàg. 4).

28 Qüestions. Efectuem el producte B: 4 5 B 4 + ( ) ( ) ( ) 5 + ( ) ( ) 4 Clculem els determinnts de les mtrius que ens interessen: 4 5 ; B B 6 4 En efecte, B 6 B.. Utilitzrem que: Per tot prell de mtrius qudrdes del mteix ordre, i B, es compleix: B B ) Suposem que es compleix C C. Si prenem determinnts: C C r bé, C C C C C C ixí, substituint en l igultt nterior: C C C (C ) C o C Per tnt, l firmció és cert. b) Suposem que C C t I. Si prenem determinnts: C C t I r bé, C C t C C t C C C y I. D leshores: C C o C Finlment, en sumr l tercer fil un combinció linel de les nteriors, el determinnt no cnvi. ixí: F F F F F F + F Per tnt, el determint de l nov mtriu és.. És vertder, j que: és invertible té un menor no nul d ordre màxim, n (que és ) rng n. EXERCICIS I PROBLEMES 4. ) b) c) d) e) f) 5. ) b) ( ) ( 4) ( ) 6 5 ( 7) 9 ( ) ( ) 55 4 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) + + ( ) ] ( ) [ + ( ) 5 ( ) + + ] 5 Per tnt, l firmció és cert. c) Per definició d invers, C C I. Prenent determinnts: C C I r bé, C C C C i I, leshores: C C C. Per l propiett D4, en permutr les files F i F, el determinnt cnvi de signe. En multiplicr l segon fil per, el determinnt qued multiplict per. C c) d) ( ) + + [ + ( ) ] ( ) + ( ) ( ) [ ( ) + 4 ( ) + + ( )] 7. Determinnts

29 . Determinnts 4 6. ) Desenvolupem per l primer fil: 7. ) b) Desenvolupem per l primer fil: b) c) d g e b h f c i D + b c d + e d f g + h g i b c e d f h g i b c e d f h g i D D6 i D4 b c d e f k g h i d e f b c b c d e f k g h i g h i D ( ) ( ) D4 c d d f g g i b c d e f g h i + D b c ( ) e d f h g i D4 d) + D D4 i D5 8. Les propietts dels determinnts són: D. El determinnt d un mtriu i el de l sev trnsposd coincideixen. D. Si es multipliquen per un nombre tots els elements d un líni d un mtriu, el seu determinnt qued multiplict per quest nombre. D. Si els elements d un líni d un mtriu es descomponen en dos sumnds, el seu determinnt és igul l sum dels dos determinnts obtinguts en considerr seprdment cd sumnd d quest líni, i l rest de les línies, iguls les del determinnt inicil. D4. Si s intercnvien dues línies prl. leles d un mtriu, el seu determinnt cnvi de signe. D5. Si un mtriu té dues línies prl. leles proporcionls, el seu determinnt és igul zero. D6. Si un mtriu té dues línies prl. leles iguls, el seu determinnt és igul zero. D7. Si un mtriu té un líni mb tots els elements nuls, el seu determinnt és igul zero. D8. Si un de les línies d un mtriu és combinció linel d unes ltres línies prl. leles, el seu determinnt és igul zero. D9. Si un líni de l mtriu se li sum un combinció linel d unes ltres línies prl. leles, el seu determinnt no vri. + b b + c c + b + c c + d + e e + f f + d d e + f f + d g + h h + i i + g g h + i i + g c + b f + d d e i + g g h b d d e g g h b c + d e f + d g h i + g b b c ( ) d e f 6k g h i C C + C C D i D5 b c d e f + g h i D c b f d e i g h b c + d e d d e f + g h g g h i b c d e f k g h i b c d e f g h i + D + C C C + C b c d e f g h i

30 9. ) b) F F F F F + F F 4 F 4 + F ( ) b) Finlment: + + b + c (bc) + (c + b + bc) bc + b + c + bc F F F F F F F 4 F 4 F ( ) ( ) ( ) ( ) 4 F F F F F F F 4 F 4 + F ( ) F F F F 4 F 4 F. ) bc b c b c b c F F F b F F c F b c b c bc bc cb D. ) D + + b + c + b + + b + c + c Si clculem el vlor de cd sumnd: + b + c b c F F F F F F b) bc bc b c + b c b + c + c b D6 + + b + c c + + b + c + + b + c b C C + C + C c D6 ( + + b + c) b D b c b c + b + c + b + c b + + c + c + b( + c) + c F F F + b + bc c [ c + b + bc] c + b + bc D. Desenvolupem el determinnt: x x x x x F F x F 4 F F + F 4 x x x x x x x x x x x F F + F F F F x x x x x D D. Determinnts 5

31 . Determinnts 6 Per tnt, hem de resoldre l equció x (4 x ), les solucions de l qul són: x Vegem que els vlors x, x i x són solució de l equció: x : F 4 F 4 + F x : x x ( 4 x ) 4 x x ± x : x x x + ( ) x x x x x x F F + F + F F + F D7 4 + ( 4) + ( 4) + ( ) 4 x ( 4 x ). ) b).... n n n n n 4 n C C + C C n C n + C C C C C n C n C n n n... (n ) n! 4. Clculrem el rng per determinnts: ) rng () i com que l únic menor d ordre és, ixò signific que rng (). b) rng () 5 rng () Com que l únic menor d ordre és, rng (). n

32 c) rng () 6 rng () Com que l mtriu és d ordre 4, rng () 4. més, com que és qudrd, l únic menor d ordre 4 és. Per tnt, rng () 4. Vegem, doncs, si rng () 4: f) rng () rng () rng () Si clculem els dos menors que es poden obtenir orlnt el menor nterior: D4 d) rng () rng () Com que l dimensió de és, rng (). e) 5 5 rng () rng () Si clculem els dos menors obtinguts en orlr el menor nterior: F F F F F F F 4 F 4 F Per tnt, rng (). 8 rng ( ) Per tnt, rng (). g) El mètode que estem utilitznt és mss llrg i, per tnt, clculrem el rng per Guss: F F F F F F F 5 F 5 F F F 7 F F F F F 4 F 4 F F F F F F F 8 F F 7 F F F F F 4 F 4 F D D5. Determinnts 7

33 . Determinnts F F F 6 6 F4 F4 F F F F 5 5 F 4 F ixí, rng (). 5. Determinnt de : Trnsposd de : djunt de t : dj ( t ) Invers de : dj t ( ) Determinnt de B: Trnsposd de B: B t t B djunt de B t : dj ( B t ) t t Invers de B: B dj ( Bt) B Determinnt de C: Trnsposd de C: C t cos α sin α djunt de C t : Invers de C: C C dj C t cos α ( ) sin α Determinnt de D: Trnsposd de D: D t cos α sin α C sin α cos α cos + sin Teorem fonmentl de l trigonometri sin α cos α dj ( C t cos α sin α ) sin α cos α cos α sin α sin α cos α D t cos α sin α t sin α cos α sin α cos α C t

34 djunt de D t : Invers de D: dj ( D t ) D dj ( Dt) D m m m m + + [m + m + m] m m + ixí, m m + m ( m ) ( m + ) m Com que rng (), podem resumir: m rng () m rng () m, rng () c) Com que l mtriu és qudrd d ordre 4, rng () 4 i rng () 4. Vegem per quins vlors de m el rng de és 4: m m m m m + m + m m + m m + m 6. ) rng () Com que l mtriu és qudrd d ordre, només hi h un menor d ordre, ; leshores: rng () C C + C + C + C 4 m ( m + ) m m D Si clculem el determinnt: m m m ± m Per tnt: m ± rng () m ± rng () ( m + ) (m + ) (m ) F F F F F F F 4 F 4 F m m m b) rng () Els menors d ordre que s obtenen orlnt quest menor són: m m m m m m m m m L únic vlor de m que nul. l tots quests orlts és m. leshores, en quest cs, rng (). Si m, podem considerr el menor: m m rng () L únic menor d ordre tres de és : ixí, m o m. Clculem el rng de per quests vlors de m: m : Utilitznt el mètode de Guss per determinr el rng: m : F F F F F F F 4 F 4 F rng (),. Determinnts 9

35 . Determinnts 4 i com que: prtt b) rng (), i com que rng () 4, h de ser rng (). Resumint: m rng () m rng () m, rng () 4 d) 4 rng () 4 4 rng () Clculem els dos orlts del menor nterior: 6 m m m + 5 m Perquè els dos menors siguin nuls: m m + 5 m o m 5 m 9 m ixí, com que té dimensió 4, rng () ; i com que sbem que rng (), en concloem que rng () o rng (). Concretment, en funció de m: m rng () m rng () 7. Un mtriu qudrd té invers si i només si. Determinrem, doncs, per quins vlors de m és : 5 m 9 m m m 4 8 m + [6 m + + ] m 6m 8 leshores, m 6m 8 m o m 4. Per tnt, té invers si i només si m, 4. Clculem en el cs prticulr m. Determinnt de : Trnsposd de : djunt de t : t Invers de : dj t ( ) djt ( t ) Primerment efectuem les opercions del membre de l dret: X Clculem r l invers de l mtriu que multiplic X: t 4

36 Determinnt: Trnsposd: djunt de l trnsposd: t 4 Invers: Multiplicnt per l esquerr els dos membres de l igultt per quest invers, obtenim l mtriu X: 9. ctivitt TIC.. ctivitt TIC. 4 5 X Determinnts 4

37 Sistemes d equcions linels. EQUCIONS LINELS. ) b) x + 5y z + t Els coeficients són, 5,,. El terme independent és. x x + 7x + x x 4 5 Els coeficients són,, 7,,. El terme independent és. c) x + y + z Els coeficients són,,. El terme independent és.. Un tern (, b, c) és solució de x y z si es compleix l igultt b c ; leshores: ) () + (,, ) no és solució. b) (4) 8 + (4, 8, ) és solució. c) 7 + (8) 5 (7,, 8) no és solució.. Un equció linel mb 4 incògnites és del tipus Rect x y : Rect x + 5y : Y Tot i que el punt de tll no es veu de mner exct, està clr que n hi h un i és únic. leshores, es trct d un sistem comptible determint. b) Representem gràficment les rectes prtir dels punts de ps: Rect 5x + y : x y x y 4 x y x + 5y x y 5 X 4 x + y + z + 4 t b Perquè (,,, ) sigui solució, s h de complir: Rect 5 x y 8: x y () b Si fixem, per exemple, 4, el vlor de b que f cert l igultt nterior és: Y 5x y 8. Sistemes d equcions linels b + L respost suggerid és x y z t.. SISTEMES D EQUCIONS LINELS 4. ) Representem gràficment les rectes prtir dels punts de ps: 4 5x + y 4 X 4

38 Es trct de dues rectes prl. leles, i ixò comport que el sistem no té solució. leshores, és un sistem incomptible. c) Representem gràficment les rectes: Rect x + y : Rect x + y : x + y Resulten ser dues rectes coincidents i, per tnt, el sistem té infinites solucions. leshores, es trct d un sistem comptible indetermint.. RESOLUCIÓ I CLSSIFICCIÓ DE SISTEMES Y 5. ) Es trct d un sistem esglont que podem resoldre per substitució regressiv: Resolem l tercer equció, que ens dón el vlor de z: x y + 5z 7y + z 7 z Substituïm el vlor de z en l segon equció i obtenim el vlor de y: x y + 5z 7y + 7 z Substituïm els vlors de z i y en l primer equció i obtenim el vlor de x: x ( ) + 5 y z x y + 5z 7y + z 7 z x y + 5z y z x y z Per tnt, l solució del sistem és,,. b) Sumem l segon equció l primer multiplicd per, i sumem l tercer l primer multiplicd per 4: x y x y 4 X x + y x + y z 4 x + y + z 5 4x + 4y + z 6 Multipliquem l segon equció per perquè el coeficient de y sigui l: x + y z 4 7y + 7z 7 8y + z Sumem l tercer equció l segon multiplicd per 8: x + y z 4 y z 8y + z Resolem el sistem esglont, equivlent l de prtid, per substitució regressiv: z y + z + ( ) x 4 y + z 4 + ( ) L solució del sistem és (,, ). 6. L mtriu mplid ssocid l sistem és: 9 6 Si pliquem el mètode de Guss mb notció mtricil: 9 6 F F + F F F + F F F F x y + z y + z 9z 6 Resolent per substitució regressiv: 6 z 9 5 y z + + x y + z L solució és.,, x + y z 4 7y + 7z 7 8y + z x + y z 4 y z 8y + z x + y z 4 y z z Sistemes d equcions linels 4

39 . Sistemes d equcions linels ) L mtriu mplid ssocid quest sistem d equcions és: plicnt el mètode de Guss: F F 5 F quest mtriu està ssocid un sistem mb el mteix nombre d equcions que d incògnites: ixí, tenim un sistem comptible determint. Per substitució regressiv: L solució és (, 4) F 7 F 4 5 x y 7 y b) L mtriu ssocid l sistem és: 5 Si pliquem el mètode de Guss: F F F F F F y 4 x F 4 8 F F F F Obtenim l mtriu ssocid un sistem mb les mteixes equcions que incògnites: x + y z 5 4y + z 8 z 5 El sistem és comptible determint i, fent substitució regressiv, obtenim: z 5 y ( ( 5) + 8) 4 x ( + 5 ( 5 )) ixí, l solució és (,, 5). c) L mtriu mplid ssocid l sistem és: 5 plicnt el mètode de Guss: F F F quest és l mtriu ssocid un sistem mb més incògnites que equcions: x + y z y + z 5 Es trct, doncs, d un sistem comptible indetermint dependent de pràmetre. Prenent com pràmetre l vrible z, tenim: z λ y λ + + λ 5 5 [ ] 5 x + λ + λ 5 5 Les solucions són, +,, λ. λ λ d) L mtriu mplid ssocid quest sistem és: Si pliquem el mètode de Guss: F F 4 F 5 L segon fil correspon l equció x + y

40 que no té solucions. Per tnt, el sistem és incomptible. e) L mtriu mplid ssocid l sistem és: Hi pliquem el mètode de Guss: F F F F F F F F F quest és l mtriu ssocid un sistem esglont mb el mteix nombre d equcions que d incògnites: x 5y + z 9 9y 6z 4 z Es trct d un sistem comptible determint. Podem obtenir l solució per substitució regressiv: z y 9 6 [ ] 9 x L solució és 9. 8, 9, f) L mtriu mplid ssocid quest sistem és: plicnt el mètode de Guss: F F F F F F F F L últim fil correspon l equció x + y que és redundnt, j que es compleix per tot vlor de x i y. Per tnt, el sistem de prtid és equivlent l següent sistem esglont mb equcions i incògnites: Es trct, doncs, d un sistem comptible determint. Podem obtenir-ne l solució per substitució regressiv: L solució és (, ). x 4y 5 y y x ) Podem escriure el sistem mtricilment: 4 5 x y z Comprovem que l mtriu de coeficients,, és regulr; és dir, : Per tnt, podem resoldre el sistem pel mètode de l mtriu invers: x 4 5 y z L solució del sistem és x, y, z. b) Escrivim el sistem en notció mtricil: x y 8 z 4 Comprovem que l mtriu de coeficients és regulr: Multipliquem per l esquerr els dos membres de l equció mtricil nterior per l invers de l mtriu de coeficients:. Sistemes d equcions linels 45

41 . Sistemes d equcions linels 46 L solució del sistem és x, y, z. 9. ) Les mtrius ssocides l sistem són: El rng de és, j que: L dimensió de és rng (). Per tnt, el rng de tmbé és, j que: rng () rng () L dimensió de es rng (). Per tnt: rng () rng () Sistem comptible i, com que n, és un sistem comptible determint. b) Les mtrius ssocides l sistem són: El rng de és, j que: rng () L únic menor d ordre de és El rng de és tmbé, j que: rng () rng (). Els únics orlts de són: i x y z rng ( ) rng ( ) <, leshores, rng () < Per tnt: rng () rng () Sistem comptible i, com que n, és indetermint. c) Les mtrius ssocides l sistem són: Clculem el rng de : Per tnt, rng (). Clculem el rng de : tmbé és un menor no nul de rng () Els únics orlts del menor nterior són: leshores, rng (). Per tnt, rng (). ixí, rng () rng () Sistem comptible i, com que n, és un sistem indetermint. d) Les mtrius ssocides l sistem són: Clculem el rng de cdscun: rng ( ) Per tnt, rng (). 5 rng ( ) < rng ( ) 5 4 rng ( ) < 6 5 és un menor no nul de 5 rng ()

42 Els únics orlts d quest menor en són: leshores, rng (). L dimensió de és 4 rng () Per tnt, rng (). ixí, rng () rng () Sistem incomptible e) quest sistem s obté fegint l de l prtt nterior un equció (l últim, x y ). quell sistem er incomptible, i ixò comport que cp tern de vlors no stisfà simultàniment les tres primeres equcions. Per tnt, cp tern de vlors no stisfrà les qutre equcions d quest sistem. ixí, el sistem és incomptible.. ) L mtriu de coeficients i el seu determinnt són: 4 5 És un sistem de equcions mb incògnites mb l mtriu de coeficients regulr. leshores, és resoluble per Crmer: 4 5 x Δ 8 5 y Δ 8 4 z Δ 8 b) L mtriu de coeficients i el seu determinnt són:, És un sistem de equcions mb incògnites l mtriu de coeficients del qul és regulr. leshores, és resoluble per Crmer:. ) Segons l clssificció de l exercici 9 de l pàgin 58, els sistemes comptibles indetermints que cl resoldre corresponen ls prtts b i c. b) Tenim el sistem Que té ssocid un mtriu de rng, prenent el menor M, mb determinnt diferent de zero. Per tnt, el sistem es redueix l equció: D on, considernt l column del sistem, prenem l incògnit y com pràmetre λ. D on L solució del sistem és, doncs: c) Tenim el sistem x y + z x + y + z x + 5y + z mb l mtriu ssocid mb z Δ x Δ y Δ x y x + y x y x λ x λ + x + λ y λ 5 Sbem que és comptible indetermint per l exercici 9, i el menor que hem utilitzt per clssificr-lo h estt: De determinnt diferent de zero. Considerem l incògnit z com pràmetre λ, i reescrivim el sistem com: x y λ x + y λ. Sistemes d equcions linels 47

43 . Sistemes d equcions linels 48 El determinnt de l mtriu ssocid l nou sistem és no nul: Per tnt, el podem resoldre per Crmer: RESOLUCIÓ D EXERCICIS I PROBLEMES. ) L solució del sistem és: 4 x λ k 5 4 F F F F F F F + F F F k F F F ( k ) ( k ) 5 5 F 5 F λ x Δ λ 4 x ( 4λ) λ λ y Δ λ y ( + + λ) λ y + λ z λ k 5 4 k k ( k + ) 4 ( k + 8) Si 9 (k ), és dir, k, el sistem és comptible determint. b) Si k, l form esglond de l mtriu mplid és: L últim fil correspon l equció x y z, que no té solució. leshores, el sistem és incomptible. En resum: k Sistem comptible determint k Sistem incomptible k k k F F k k F F F F F k F k k k k k k F F + F k k k k k k k k k k k k k k k + k ( k) El determinnt de l mtriu de coeficients esglond és: k k k k k + (k )(k k + ) Si quest determinnt és no nul, el sistem és comptible determint. Vegem per quins vlors de k no succeeix ixò: (k ) (k k + ) k k k k + k o k ixí, si k i k, el sistem és comptible determint. Clssifiquem els sistemes obtinguts per ls dos vlors de k descrtts: k. L form esglond de l mtriu mplid és:

44 c) Les dues últimes files són redundnts i l equció restnt és: x + y + z Obtenim un sistem d un equció mb incògnites. leshores, el sistem inicil és comptible indetermint (dependent de pràmetres). k. L form esglond de l mtriu mplid és: L últim fil correspon l equció x + y + + z 6, que no té solució. leshores, el sistem és incomptible. En resum: k, Sistem comptible determint k Sistem comptible indetermint k Sistem incomptible k + k k 4 F F F F F k F 6 k + k k k k k k + 4 Per continur, hem de distingir dos csos: Si k, és dir, k, podem dividir l segon fil per k : k + k k k k k k + 4 F F k k + k k k k + 4 F F ( k) F k + k k k + Si observem l últim fil, veurem que si k, és dir, si k, tenim un sistem comptible determint. Si no és ixí, és dir, si k, l form esglond de l mtriu mplid és: L últim fil correspon l equció x y z, que no té solució. leshores, el sistem és incomptible. Si k, el pràmetre és k, per tnt: k + k k k k k k L segon fil correspon un equció redundnt i, per tnt, el sistem inicil és equivlent un sistem esglont de dues equcions mb incògnites. Es trct, doncs, d un sistem comptible indetermint (dependent de pràmetre). En resum: k, Sistem comptible determint k Sistem incomptible k Sistem comptible indetermint. Que el nombre busct estigui comprès entre i 999 signific que té exctment tres xifres. Sigui x l xifr de les centenes, y l de les desenes i z l de les unitts. D quest mner, el nombre busct és: x + y + z Per determinr els vlors x, y, z, imposrem les condicions de l enuncit: L sum de les seves xifres és 6: x y z 6 El triple de l xifr de les desenes és igul l de les unitts: y z Si invertim l ordre de les xifres, el nombre ugment en 99: z y x x y z 99 Hem de resoldre, doncs, el sistem de equcions mb incògnites: x + y + z 6 y z z + y + x x + y + z Sistemes d equcions linels 49

45 . Sistemes d equcions linels 5 que podem expressr de l mner hbitul: i si dividim l últim equció per 99: L mtriu de coeficients és:, i el seu determinnt és: x + y + z 6 y z 99 x + 99 z 99 Es trct, doncs, d un sistem que podem resoldre mb l regl de Crmer: 6 x Δ 7 6 y Δ 7 z Δ 7 x + y + z 6 y z x + z 7 6 El nombre busct és. Comprovem que compleix les condicions: L sum de les seves xifres és 6. El triple de l xifr de les desenes,, és igul l xifr de les unitts,. Si invertim l ordre de les xifres, el nombre ugment en Sigui x el preu d uns pntlons, y el d un brus i z el d un brret. Hem de determinr el vlor de x, y, z imposnt les hipòtesis de l enuncit: L nn pg 5 per pntlons, bruses i brret: x + y + z 5 L Roser compr uns pntlons, bruses i brret per : x + y + z L Susnn compr pntlons, bruses i brrets per 55 : x + y + z 55 Hem de resoldre el següent sistem d equcions mb tres incògnites: L mtriu de coeficients del sistem és qudrd: Es trct d un sistem que es pot resoldre per Crmer: Per tnt, el preu d uns pntlons és de 5 ; el d un brus, de 5 ; el d un brret, de. Comprovem que se stisfn les hipòtesis de l enuncit: L nn compr pntlons, bruses i brret per: L Roser compr uns pntlons, bruses i brret per: 5 5 L Susnn compr pntlons, bruses i brrets per: CTIVITTS bns de començr Equció linel (pàg. 48); sistem d equcions linels (pàg. 49). Mètode de Guss (pàg. 5). Teorem de Rouché-Frobenius (pàg. 57). Qüestions, i el seu determinnt és: 5. Sí. Per exemple: x + y + z 5 x + y + z x + y + z x Δ y Δ z Δ 6 55

46 té solució: 6. No, j que x, x,, x n sempre és solució (és l nomend solució trivil). 7. No, j que si un sistem té n incògnites, l mtriu del sistem solment tindrà n columnes i, per tnt, el seu rng serà menor o igul que n. 8. Pel teorem de Rouché-Frobenius, perquè el sistem sigui comptible determint, s h de complir: rng () rng () n en què n és el nombre d incògnites. r bé, l mtriu és, j que el sistem té equcions i incògnites; leshores: rng () En quest cs, com que rng () rng () i només té files, s h de complir rng () rng (). Per tnt, és condició necessàri i suficient perquè el sistem sigui comptible determint que. EXERCICIS I PROBLEMES 9. Un tern és solució d un sistem si i només si és solució de totes i cdscun de les equcions del sistem: ) (4,, ) no és solució. b) () + 8 (,, ) no és solució. c) (,, ) és solució.. Usrem l notció mtricil: ) x + y x y y x F F + F F F + 4 F F F + 6 F F F F F quest és l mtriu mplid ssocid l sistem: x + y + z 4 y z x 4 y z L solució del sistem és (,, ). x, y b) F F F F F F F F F F + F quest és l mtriu mplid ssocid l sistem: x + y + z y z L solució del sistem és (,, ).. Si hi fegim un equció que sigui incomptible mb qulsevol de les equcions dondes del sistem, tindrem un sistem incomptible. Per tnt, l respost suggerid és: Observem que si z el sistem qued: que és comptible determint. ixí, si hi fegim l equció z, obtenim el sistem: x + y + z x + 5y z z que és comptible determint. Com que el sistem de prtid és comptible indetermint, si hi fegim un equció que sigui redundnt, el sistem que obtindrem serà equivlent l de prtid i, per tnt, comptible indetermint. ixí, l respost suggerid és:. Utilitzrem l notció mtricil: ) 6 x y z x + y + z x + 5y z x + 5y z x + y x + 5y x + y + z x + 5y z x + 5y z. Sistemes d equcions linels 5

47 . Sistemes d equcions linels b) c) F F F F F F F F F F 5 F L mtriu mplid esglond correspon l sistem: x + y + z y z 9z que té tntes equcions com incògnites. leshores, és un sistem comptible determint. Resolem per substitució regressiv i obtenim l solució:,,. F F F L mtriu mplid esglond correspon l sistem: x y + z y z que té equcions i incògnites. leshores, és un sistem comptible indetermint dependent de pràmetre. Prenent l vrible z com pràmetre, tenim que l solució del sistem és (,, ), F F F F F F F F F 4 F 4 4 F F 5 F 5 5 F d) e) F 5 F 5 F Les tres últimes files corresponen les equcions redundnts x y z ; leshores, podem considerr com sistem equivlent l de prtid: quest sistem té equcions i incògnites. leshores, és un sistem comptible indetermint que depèn de pràmetre. Prenent z com pràmetre, tenim que l solució del sistem és (4,, ) F F F F F F F + F L últim fil correspon l equció redundnt x y z ; leshores, el sistem de prtid és equivlent : que té equcions i incògnites. leshores, és un sistem comptible indetermint que depèn de pràmetre. Prenent l vrible z com pràmetre, tenim que l solució del sistem és: 5 7 F F F F F F 6 x + y z y x 5y + z 8 y + z λ λ,, λ 5 7 5

48 F F 4 F F + F F 4 F 4 F L últim fil correspon l equció x y z que no té solució. leshores, el sistem és incomptible.. ) Les mtrius ssocides l sistem són: En clculem els rngs: Com que i, tenim que rng () ; per tnt, rng (). Com que i els orlts d quest en són nuls, tenim que rng (). Pel teorem de Rouché-Frobenius, el sistem és comptible, j que rng () rng (). més, com que n, el sistem és indetermint. En clculem els rngs: Com que i els seus orlts en són, tenim que rng (). Com que 9, tenim que rng (). Pel teorem de Rouché-Frobenius: rng () rng () Sistem incomptible c) Les mtrius ssocides l sistem són: Com que , tenim que rng (). Com que 64, rng () Pel teorem de Rouché-Frobenius: rng () 4 rng () Sistem incomptible 4. ) L mtriu de coeficients i el seu determinnt són: i i b) L mtriu de coeficients i l mplid són: Com que quest mtriu és regulr, el sistem és resoluble per Crmer:. Sistemes d equcions linels 5

49 8 4 6 x Δ y Δ 4 b) L mtriu de coeficients i el seu determinnt són: z 4 5 Δ 4 4 Com que quest mtriu és regulr, el sistem és resoluble per Crmer: 5. ) Clssifiquem el sistem usnt el teorem de Rouché-Fröbenius: Les mtrius ssocides l sistem són:, 4 5 En clculem el rng: Com que i l únic menor d ordre tres de és, tenim rng (). Com que i els orlts d quest menor en són nuls, es compleix que rng (). Pel teorem de Rouché-Frobenius: rng () rng () 4 5 Sistem comptible. Sistemes d equcions linels x Δ 64 7 y Δ z Δ 64 c) L mtriu del sistem i el seu determinnt són: Com que quest mtriu és regulr, el sistem és resoluble per Crmer: x Δ 8 6 y Δ 8 6 z 8 Δ 6 5 i, com que n, el sistem és indetermint. Fent x i resolent el sistem per Crmer: tenim que: ixí, l solució és (,, ). b) Clssifiquem el sistem per Guss: 5 5 F F z y F F F F F F F 4 F 4 F y + z λ y + z λ 5 5 λ λ λ λ λ 54

50 F F 5 F 4 F F F L mtriu de coeficients és regulr, j que: F F F 4 F quest és l mtriu mplid esglond ssocid l sistem: x + y + z 4y + 5z 5 9 z 7 quest sistem esglont té equcions i incògnites. leshores, és un sistem comptible determint. leshores, és un sistem resoluble per Crmer: x Δ y Δ z 4 5 Δ ) pliquem el mètode de Guss: 4 k + k + k k + k + k k + k + k F F F F F (k + ) F 4 k + k + k 4 k k k k + k 5 4 k k k k 4k k + k + k F F + F 4 k + k + k 4 k k k k + k 5 4 k k k 5k 5k + 4k + k Si k + k k k k k (k k) k (k + ), és dir, k y k : rng () rng ( ) rng ( ) només té files. Per tnt, en quest cs, pel teorem de Rouché-Frobenius: rng () rng () Sistem comptible i, com que n, el sistem és determint. Resolem per substitució regressiv i tenim que l solució és: Si k (k + ), pot ser: rng ( ) (k +, k, k + k k ). Sistemes d equcions linels 55