Apunts de Càlcul Tema 3. Integració de funcions d una variable

Transcripción

1 Apunts de Càlcul Tem 3. Integrció de funcions d un vrible Lli Brrière, Josep M. Olm Deprtment de Mtemàtic Aplicd 4 - UPC Enginyeri de Sistemes de Telecomunicció Enginyeri Telemàtic EETAC Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

2 Continguts Continguts 3. Integrl indefinid 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrció per prts Integrció de funcions rcionls Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques 3.3 Integrl definid 3.4 Apliccions 3.5 Integrls impròpies Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

3 3. Integrl indefinid Primitiv d un funció Definició. Siguin F, f : A R = R. Diem que F és un primitiv de f en A si i només si F (x) = f(x), x A Exemples.. F (x) = x és un primitiv de f(x) = x.. F (x) = x + és un primitiv de f(x) = x. Propiett. Siguin F, F dues primitives d un funció f. Aleshores, l sev diferènci és un constnt: c R tl que F (x) F (x) = c Exercici. Demostrr l propiett nterior. Observció. Això signific que, conegud un primitiv F d un funció f, totes les ltres primitives són de l form F (x) + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 3 / 7

4 3. Integrl indefinid Concepte d integrl indefinid Definició. El conjunt de totes les primitives d un funció, f, rep el nom d integrl indefinid de f, i es represent per: f(x) dx = F (x) + c, c R on F és un primitiv qulsevol de f. L constnt rbitràri c rep el nom de constnt d integrció, mentre que dx és l noment diferencil de x. Observció. Segons l definició nterior: f(x) dx = F (x) + c, c R F (x) = f(x) Exemple. x dx = x + c, c R, perquè [ x ] = x Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 4 / 7

5 3. Integrl indefinid Interpretció geomètric (I) Trobr un primitiv, F, d un funció, f, represent reconstruir F prtir de l informció fcilitd per l sev derivd, f, és dir, prtir del pendent de l rect tngent F en cd punt x. y = F(x) f(x) = F (x) Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 5 / 7

6 3. Integrl indefinid Interpretció geomètric (II) L integrl indefinid de f represent l fmili de funcions obtingud per desplçment verticl d un primitiv qulsevol, F. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 6 / 7

7 3. Integrl indefinid Sobre el diferencil de x El diferencil de x, dx, represent un vrició molt, molt petit de x. De fet, escrivim x = dx qun x 0 Dond un funció y = f(x) derivble, definim el diferencil de y, dy, com: dy = f (x) dx Exemple. Clculr dy per y = x. y = x = dy = [ x ] dx = x dx D ltr bnd, de dy = f (x) dx s obté que f (x) = dy notció lterntiv per l derivd dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 7 / 7

8 3. Integrl indefinid Interpretció de l expressió dy = f (x) dx Qun x vri infinitesimlment, l vrició experimentd per y = f(x) coincideix mb l que experiment l sev rect tngent: Escrivim y = f (x) x { + α. x dx, Qun x 0 es té α 0. Per tnt, y f (x) dx = dy. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 8 / 7

9 3. Integrl indefinid Primeres propietts de l integrl indefinid Sigui F un primitiv de f, és dir, tl que F (x) = f(x). Aleshores: [ P. f(x) dx] = f(x) [ Prov: f(x) dx] = [F (x) + c] = F (x) = f(x) [ ] P. d f(x) dx = f(x) dx Prov: [ ] d f(x) dx = d [F (x) + c] = [F (x) + c] dx = F (x) dx = f(x) dx P3. df (x) = F (x) + c, c R Prov: df (x) = F (x) dx = f(x) dx = F (x) + c Aquestes propietts ens indiquen que l integrció és l operció invers de l derivció. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 9 / 7

10 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrls immedites Són les que s obtenen directment prtir de les tules de derivció: dx = x + c x n dx = xn+ + c, n n + dx = ln x + c x dx = x x ln + c, > 0 cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c cos x dx = ( + tn x) dx = tn x + c sin x dx = ( + cot x) dx = cot x + c dx = rctn x + c + x dx = rcsin x + c = rccos x + c x Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 0 / 7

11 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Propietts de l integrl indefinid: linelitt Propiett. Siguin f, g funcions i λ R. Aleshores:. Integrl de l sum: [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx. Integrl d un esclr per un funció: λf(x) dx = λ f(x) dx Exercici. Clculr:. ( x 3x + 4 ) dx. ( 3 sin x + 4 x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

12 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrls qusi-immedites (I) S obtenen prtir de les integrls immedites i l regl de l cden g (f(x)) f (x) dx = g (f(x)) + c, c R dx = x + c x n dx = xn+ + c, n n + dx = ln x + c x e x dx = e x + c x dx = x ln + c cos x dx = sin x + c sin x dx = cos x + c f (x) dx = f(x) + c f (x)(f(x)) n dx = (f(x))n+ + c, n n + f (x) dx = ln f(x) + c f(x) f (x)e f(x) dx = e f(x) + c f (x) f(x) dx = f(x) ln + c f (x) cos(f(x)) dx = sin(f(x)) + c f (x) sin(f(x)) dx = cos(f(x)) + c Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

13 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrls qusi-immedites (II) cos x dx = ( + tn x) dx = f (x) cos (f(x)) dx = f (x)( + tn (f(x))) dx = = tn x + c = tn(f(x)) + c sin x dx = ( + cot f (x) x) = sin (f(x)) dx = f (x)( + cot (f(x))) dx = = cot x + c = cot(f(x)) + c x dx = rcsin x + c = f (x) f(x) dx = rcsin (f(x)) + c = = rccos x f(x) + c = rccos + c dx + x = rctn x + c f (x) + (f(x)) dx = f(x) rctn + c Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 3 / 7

14 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrls qusi-immedites (III) Exercici 3. Provr que: f (x) (f(x)) n dx = (f(x))n+ n + + c, c R, n Solució. Sbem que: [ (f(x)) n+ ] = (n + ) (f(x)) n f (x), n per tnt: Fent tenim que: (f(x)) n f (x) dx = [ (f(x)) n+ ] [ (f(x)) (f(x)) n f n+ ] (x) = =, n. n + n + F (x) = (f(x))n+ n + F (x) dx = F (x) + c = (f(x))n+ n + + c, c R, n. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 4 / 7

15 3. Càlcul de primitives Integrls immedites i qusi-immedites Integrls qusi-immedites: exercicis Exercici 4. Clculr i comprovr derivnt que l solució trobd és correct:. x ( x + ) dx e x x dx 3x 3 x 4 3 dx e x cos ( e x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 5 / 7

16 3. Càlcul de primitives Integrció per prts Integrció per prts Utilitz un relció integrl bsd en l derivd del producte. Propiett. Siguin u = u(x) i v = v(x). Aleshores: u dv = u v v du Exercici 5. Demostrr l propiett nterior. Notem que: [uv] = u v + uv = [uv] dx = (u v + uv ) dx = vu dx + uv dx. Així tenim que d (uv) = v du + u dv i, per tnt, u dv = d (uv) v du. Integrnt: u dv = [d (uv) v du] = d(uv) v du = uv v du. Cl trir u i dv dequdment, de mner que dv i v du siguin més simples que u dv. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 6 / 7

17 3. Càlcul de primitives Integrció per prts Integrció per prts: exemples (I). Clculr xe x dx. { u = x du = dx Triem dv = e x dx v = e x dx = e x xe x dx = xe x }. Així: e x dx = xe x e x + c = x (e x ) + c, c R. Clculr ln x dx. { u = ln x du = Triem x dx } dv = dx v =. Així: dx = x ln x dx = x ln x x dx = x ln x dx = x = x ln x x + c = x (ln x ) + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 7 / 7

18 3. Càlcul de primitives Integrció per prts Integrció per prts: exemples (II) 3. Clculr e x cos x dx. { u = e Triem x du = e x } dx dv = cos x dx v =. Així: cos x dx = sin x I = e x cos x dx = e x sin x e x sin x dx Integrem { tmbé per prts l integrl resultnt. u = e Triem du = e x } dx dv = sin x dx v =. Ar, sin x dx = cos x ( ) I = e x sin x e x cos x e x ( cos x) dx = = e x (sin x + cos x) e x cos x dx = e x (sin x + cos x) I Per tnt, I = e x (sin x + cos x), i tenim: e x cos x dx = ex (sin x + cos x) + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 8 / 7

19 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (I) Les integrls rcionls són integrls de l form p(x) q(x) dx on p(x) i q(x) són polinomis. Es resolen descomponent el quocient p(x) q(x) en un sum de termes d integrl immedit o qusi-immedit. Mètode de descomposició en sum d integrls més senzilles. Si gru(p(x)) gru(q(x)), dividim p(x) entre q(x).. Si gru(p(x)) < gru(q(x)):. Si p(x) = kq (x), k R = L integrl és immedit.. Si p(x) kq (x) = Descomposició en frccions simples. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 9 / 7

20 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (.). Si gru(p(x)) gru(q(x)), dividim p(x) entre q(x). Divisió: p(x) = c(x)q(x) + r(x), mb gru(r(x)) < gru(q(x)). p(x) c(x)q(x) + r(x) q(x) dx = dx = q(x) r(x) c(x) dx + q(x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 0 / 7

21 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (.). Si gru(p(x)) < gru(q(x)). p(x) = k q (x), k R c Aleshores: p(x) kq (x) q (x) q(x) dx = q(x) dx = k dx = k ln q(x) + c, q(x) Exemple. Clculr 3x + 4x + 3 x 3 + 4x + 6x dx 3x + 4x + 3 x 3 + 4x + 6x dx = 3x + 4x + 3 x 3 + x + 3x dx = R. p(x) k q (x) En quest cs, cl descomposr p(x) q(x) = ln x3 + x + 3x + c, c R en sum de frccions simples. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

22 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (.). p(x) k q (x) L descomposició es bs en l fctoritzció de q(x) com producte de polinomis irreduïbles. El teorem següent ens diu que q(x) sempre fctoritz en producte de polinomis rels irreduïbles de gru o. Teorem. Sigui el polinomi de gru n q(x) = nx n + n x n + + x + 0, i R. Aleshores existeixen α,..., α r, β,..., β s, γ,..., γ s R únics tls: q(x) = n (x α ) l (x α r) lr ( x + β x + γ ) m (x + β x + γ ) ms, mb: α,..., α r : rrels rels de q(x), mb multiplicitts respectives l,..., l r, i α i α j, i j β j 4γ j < 0, j, i (β i, γ i ) (β j, γ j ), i j n = l + + l r + (m + + m s ) Observció. Recordem que, per β 4γ < 0, tenim que: x + βx + γ = (x ) + b,, b R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible / 7

23 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (..).. q(x) = (x α) (... ) És dir, q(x) té un rrel rel, α, de multiplicitt. Per cd fctor de l form (x α) tenim un terme en l descomposició de p(x) q(x) de l form A x α on A és un constnt que s h de clculr. L integrl d un d quests termes és immedit: A x α dx = A dx = A ln x α + c x α Exercici 6. Clculr x dx. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 3 / 7

24 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (..).. q(x) = (x β) m (... ) És dir, q(x) té un rrel rel, β, de multiplicitt m. Per cd fctor de l form (x β) m tenim m termes en l descomposició de p(x) q(x) de l form B x β + B (x β) + + B m (x β) m on B,..., B m són constnts que s hn de clculr. Les integrls de cdscun d quests termes són immedites: B x β dx = B ln x β + c B k (x β) k dx = B k + c, k (k )(x β) k Exercici 7. Clculr x(x ) dx. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 4 / 7

25 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (..3)..3 q(x) = ((x ) + b ) (... ) És dir, q(x) té fctors irreduïbles de gru, de multiplicitt. Per cd fctor de l form (x ) + b, tenim un terme en l descomposició de p(x) q(x) de l form Mx + N (x ) + b que es pot descompondre en sum de dues prts: Mx + N M (x ) (x ) = + b (x ) + b + N + M (x ) + b Les integrls de cdscun d quests termes són immedites: x (x ) + b dx = ln((x ) + b ) + c (x ) + b dx = b rctn x + c b Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 5 / 7

26 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls (..3) Exemple. Clculr 5x x 4x + 3 dx Notem que x 4x + 3 = (x ) + 9, per tnt: 5x x 4x + 3 dx = 5 x x 4x + 3 dx = 5 x x 4x + 3 dx = = 5 x 4 x 4x + 3 dx x 4x + 3 dx = 5 ln x 4x (x ) dx = 5 ln x 4x ( ) x dx = 3 = 5 ln x 4x = 5 ln x 4x ( x 3 rctn 3 + ( ) x dx = 3 ) + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 6 / 7

27 3. Càlcul de primitives Integrció de funcions rcionls Integrció de funcions rcionls: exemple Exemple. Assjr l descomposició en frccions simples de Solució. 3x x(x ) 3 (x + )((x + ) + 3 ) 3x x(x ) 3 (x + )((x + ) + 3 ) = A x + B x + + D (x ) 3 + Ex + F x + + Gx + H (x + ) + 3 C (x ) + Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 7 / 7

28 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció per cnvi de vrible (I) Propiett. Dond f(x) dx, el cnvi f(x) dx = { x = u(t) dx = u (t) dt f(u(t)) u (t) dt } f que L ide és trobr un cnvi dequt que fci el càlcul de l nov integrl més senzill que el de l originl. En cbr l integrl cl desfer el cnvi. Exemple. Clculr Amb el cnvi { x = 3t dx = 3 dt dx = 9 x = dx 9 x } tenim que: 3 dt = 9 (3t) t dt = rcsin t + c = rcsin x 3 + c, 3 9 9t dt = c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 8 / 7

29 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció per cnvi de vrible (II) A vegdes el cnvi es pot escriure: Exemple. Clculr e x dx. + e x { e x = t Fem el cnvi e x dx = dt dx = dt e x dx = e x + e x t + t dt t = { h(x) = t h (x) dx = dt = dt t }. Aleshores: }. + t dt = rctn t+c = rctn ex +c, c R. Les integrls qusi-immedites tmbé es poden fer mb cnvis de vrible. { } f(x) = t Exemple. Amb el cnvi f result que: (x) dx = dt (f(x)) n f (x) dx = t n dt = tn+ n + + c = (f(x))n+ + c, c R, n. n + Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 9 / 7

30 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Productes de potències del sinus i el cosinus. sin m x cos n x dx, m, n Z, n senr. Es poden resoldre mb el cnvi: { cos x dx = dt sin x = t cos x = t. sin m x cos n x dx, m, n Z, m senr. Es poden resoldre mb el cnvi: { sin x dx = dt t = cos x sin x = t En lguns csos, les integrls d quest tipus es poden reduir integrls qusi immedites utilitznt sin x + cos x = Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 30 / 7

31 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Productes de potències del sinus i el cosinus 3. sin m x cos n x dx, m, n Z, m, n prells. Es redueix el gru utilitznt les fórmules trigonomètriques: sin A = cos A, cos + cos A A = 4. Integrls que contenen productes de sinus i cosinus d ngles diferents: es simplifiquen usnt les identitts trigonomètriques propides. sin sin b = (cos( b) cos( + b)) cos cos b = (cos( + b) + cos( b)) sin cos b = (sin( + b) + sin( b)) Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 3 / 7

32 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Exemples. Clculr l integrl sin 4 x cos 3 x dx. Es trct d un integrl de tipus. Cnvi: sin x = t cos x dx = dt cos x = t sin 4 x cos 3 x dx = sin 4 x cos x cos x dx = t 4 ( t ) dt = (t 4 t 6) dt = t5 5 t7 7 + c = sin5 x sin7 x + c, c R 5 7 Exercici 8. Resoldre l mteix integrl utilitznt sin x + cos x = per convertir-l en un integrl qusi-immedit. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 3 / 7

33 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Exemples. Clculr l integrl sin x dx. Es trct d un integrl de tipus. Cnvi: sin x sin x dx = sin x dx = cos x = t sin x dx = dt sin x = t sin x cos x dx = t dt Resolent l integrl rcionl s obté: sin x dx = ( ) 4 t dt t + dt = t ln 4 t + + c = cos x = ln 4 cos x + + c Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 33 / 7

34 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Exemples 3. Clculr l integrl sin x cos x dx Es trct d un integrl de tipus 3. Usem: cos x sin x cos x dx = Ar: cos x = sin x cos x dx = = 8 ( x 4 + cos 4x = ( + cos 4x 4 8 ) 4 cos 4x dx sin cos x x = cos + cos x x = + cos x cos x dx = dx 4 = 8 ) dx = ( cos 4x) dx = 8 (x 4 sin 4x ) + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 34 / 7

35 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Exemples 4. Clculr l integrl sin 3x cos 5x dx. Es trct d un integrl de tipus 4. Utilitzem: sin 5x cos 3x = (sin 8x + sin x). sin 3x cos 5x dx = (sin 8x + sin x) dx = cos 8x cos x = + c, c R 6 4 Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 35 / 7

36 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Funcions rcionls del sinus i el cosinus (I) Propiett. Dond l integrl R(sin x, cos x) dx mb R(sin x, cos x) funció rcionl del sinus i el cosinus, el cnvi de vrible tn x = t l converteix en F (sin x, cos x) dx = F ( t + t, ) t + t + t dt és dir, en l integrl d un funció rcionl. Aquest cnvi sol donr lloc integrls rcionls de resolució llrg. Exercici 9. Demostrr que del cnvi nterior es dedueix: sin x = t t, cos x = + t + t, dx = + t dt Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 36 / 7

37 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Funcions rcionls del sinus i el cosinus (II) Solució. sin x = sin x = cos x = cos x tn x + tn x = tn x + tn x = sin x cos x sin x + cos x = t + t = cos x sin x cos x + sin x = t + t = = sin x cos x ( + sin x cos x cos x cos x cos x ) = ( ) sin x cos x ( ) = + sin x cos x t = tn x x = rctn t dx = + t dt Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 37 / 7

38 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Funcions rcionls del sinus i el cosinus (III) Dond l integrl rcionl del sinus i el cosinus: R(sin x, cos x) dx, mb R(sin x, cos x) funció Si R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), es pot fer el cnvi sin x = t. sin x = t x = rcsin t, cos x dx = dt, cos x = t Inclou productes de potències de sinus i cosinus de tipus. Si R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), es pot fer el cnvi cos x = t. cos x = t x = rccos t, sin x dx = dt, sin x = t Inclou productes de potències de sinus i cosinus de tipus. Si R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), es pot fer el cnvi tn x = t. tn x = t x = rctn t, cos dx = dt, x cos x =, sin x = t + t + t Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 38 / 7

39 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció de funcions irrcionls (I) Les funcions irrcionls són les que contenen rrels. Es busquen cnvis que converteixin l integrl en un que no tingui rrels. Tipus. F ( m m x + b, x) dx. Es poden resoldre fent el cnvi x + b = t. F ( x, x) dx. Es poden resoldre fent el cnvi x = sin t. 3. F ( + x, x) dx. Es poden resoldre fent el cnvi x = tn t. 4. F ( x, x) dx. Es poden resoldre fent el cnvi x = cos t. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 39 / 7

40 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció de funcions irrcionls (II). F ( m x + b, x) dx. Amb el cnvi Exemple m x + b = t tenim: m x + b = t = x = tm b dx = mtm dt x x dx. Cnvi: x x t x x dx = t t tdt = = ( t t + t { x = t = x = t dx = t dt t t t dt = ) ( dt = + t ) dt = } t t + t dt = t dt = dt + t dt = = t + ln t + c = x + ln x + c, c R Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 40 / 7

41 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció de funcions irrcionls (III). F ( x, x) dx. Amb el cnvi x = sin t tenim: x = sin t = t = rcsin x dx = cos t dt x = cos t Exemple + x dx = x + x x dx. Cnvi: { x = sin t = t = rcsin x dx = cos t dt = + sin t sin t cos tdt = + sin t cos t cos tdt = ( + sin t) dt = t cos t + c = t sin t + c = = rcsin x x + c, c R } + sin t cos tdt = cos t Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 4 / 7

42 3. Càlcul de primitives Cnvis de vrible i fórmules trigonomètriques Integrció de funcions irrcionls (IV) 3. F ( + x, x) dx. Amb el cnvi x = tn t tenim: 4. x = tn t = t = rctn x dx = cos t dt + x = cos t F ( x, x) dx. Amb el cnvi x = cos t tenim: x = cos t = t = rccos x dx = sin t cos t dt x = tn t Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 4 / 7

43 3.3 Integrl definid Integrl definid: definició (I) Definició. Dond f : [, b] R R contínu i tl que f(x) 0, x [, b], es defineix l integrl definid de f en [, b] com l àre, A, limitd per l eix y = 0 i l corb y = f(x) entre les rectes x = i x = b. Això ho escrivim: A = b f(x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 43 / 7

44 En l figur tindrem: b 3.3 Integrl definid Integrl definid: definició (II) Definició. Dond f : [, b] R R contínu no necessàriment positiv, es defineix l integrl definid de f en [, b] com: l sum de les àrees limitdes per l eix y = 0 i l corb y = f(x) entre les rectes x = i x = b, per sobre de l eix y = 0, menys l sum de les àrees limitdes per l eix y = 0 i l corb y = f(x) entre les rectes x = i x = b, per sot de l eix y = 0. A A A 3 y=f(x) b f(x) dx = A + A 3 A Observció. En quest cs, l integrl definid no és un àre. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 44 / 7

45 3.3 Integrl definid Propietts de l integrl definid (I) P. f(x) dx = 0. P. Si f(x) 0 = P3. b f(x) dx = P4. Si c b = P5. P6. λ b b b b b (f(x) + g(x)) dx = f(x) dx = b f(x) dx 0. Si f(x) 0 = f(x) dx. f(x) dx = b c f(x) dx + f(x) dx + b λf(x) dx, λ R. b c g(x) dx. b f(x) dx. f(x) dx 0. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 45 / 7

46 3.3 Integrl definid Propietts de l integrl definid (II) P7. Si m f(x) M = m(b ) b f(x) dx M(b ). P8. Teorem del vlor mitjà c [, b]; b f(x) dx = f(c)(b ). Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 46 / 7

47 3.3 Integrl definid Definició d integrl definid: considercions finls Observció. L definició d integrl definid es pot extendre funcions no contínues: per exemple, les que tenen un nombre finit de discontinuïtts de slt en [, b]. Definició. Qun existeix l integrl definid de f en [, b] diem que f és integrble en [, b]. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 47 / 7

48 3.3 Integrl definid Càlcul d integrls definides (I). Descomposem l regió en rectngles que tenen per: Bse: un intervl de x. Altur: l imtge per f d un punt de l bse.. Clculem el ĺımit de l sum de les àrees dels rectngles qun l bse tendeix 0. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 48 / 7

49 3.3 Integrl definid Càlcul d integrls definides (II) Exemple. Clculr l àre limitd per l eix y = 0 i l corb f(x) = x, entre x = 0 i x =, usnt l proximció per rectngles. Notem que: Utilitznt l proximció per rectngles: dividim l intervl d integrció [0, ] en n prts iguls, és dir,cdscun de longitud /n. 0 0 n n n n n n n n n Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 49 / 7

50 3.3 Integrl definid Càlcul d integrls definides (III) Considerem els rectngles d ltur igul l vlor màxim que pren l funció en cd intervl, en quest cs l extrem dret. f() = = n n f ( ) n = n f ( ) n = n Així, [ f ( ) + f n 0 ( n ) n n ) + + f S n = n = ( n n + n + + n + n n n Fem tendir el nombre de rectngles : = n n ( n n ) ] + f() = = n(n + ) ( n) = n A = lim S n + n = lim n n n = = n + n n Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 50 / 7

51 3.3 Integrl definid Teorem Fonmentl del Càlcul i regl de Brrow Teorem Fonmentl del Càlcul. Dond f contínu en [, b] definim, x [, b], F (x) = x f(x) dx Aleshores F és un primitiv de f, és dir, F (x) = f(x). Teorem [Regl de Brrow]. Sigui f contínu en [, b] i sigui F un primitiv de f. Aleshores: b f(x) dx = F (b) F () És el que fem servir l pràctic! Exemple. Clculr l àre limitd per l eix y = 0 i l corb f(x) = x, entre x = 0 i x =. A = 0 [ x x dx = ] 0 = 0 = Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 5 / 7

52 3.3 Integrl definid Teorem Fonmentl del Càlcul: demostrció Teorem Fonmentl del Càlcul. Dond f contínu en [, b] definim, x [, b], F (x) = x f(x) dx Aleshores F és un primitiv de f, és dir, F (x) = f(x). Demostrció. Notem que A = F (x + h) = F (x) + F (x). Pel teorem del vlor mitjà (P8), c [x, x + h] tl que F (x) = h f(c). F (x + h) F (x) Aleshores: F (x + h) = F (x) + hf(c) = f(c). h Fent ps l ĺımit per h 0: F F (x + h) F (x) (x) = lim = lim f(c) = f(x). h 0 h h 0 Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 5 / 7

53 3.3 Integrl definid Regl de Brrow: demostrció Teorem. Sigui f contínu en [, b] i sigui F un primitiv de f. Aleshores: b f(x) dx = F (b) F () Demostrció. Sbem pel Teorem Fonmentl del Càlcul que, x [, b], x Aleshores, per l propiett P, mner que b f(x) dx = F (x) + c, c R, mb F (x) = f(x) f(x) dx = F (b) + c = F (b) F (). f(x) dx = F () + c = 0 c = F (), de Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 53 / 7

54 3.3 Integrl definid Cnvi de vrible en l integrl definid S hn de cnvir, l vegd, els ĺımits d integrció. ln e x Exemple. Clculr 0 e x + dx. { t(x = 0) = e Cnvi: t = e x +, dt = e x dx = 0 + = + = 3 t(x = ln ) = e ln + = + = 4 Aleshores: ln e x x=ln 0 e x + dx = e x t=4 x=0 e x + dx = dt t=3 t = 4 dt = 3 t = [ln t]4 3 = ln 4 ln 3 = ln 4 3 Observció. Es pot clculr primer l integrl indefinid, desfer el cnvi, i després substituir en l integrl definid sense cnvir els ĺımits: e x dt e x + dx = t = ln t = ln(ex + ) ln 0 e x e x + dx = [ln(ex + )] ln 0 = ln 4 ln 3 = ln 4 3 Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 54 / 7

55 3.4 Apliccions Càlcul d àrees (I) Problem. Al clculr un integrl definid les àrees positives i negtives es compensen. Exemple. Integrl: Àre: x dx = [ x x dx = 0 x dx + ] 0 = ( ) = = 0 [ x x dx = ] 0 [ x + ] 0 = + = x Propiett. Àre limitd per l eix y = 0, l funció y = f(x) en [, b]: A = b f(x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 55 / 7

56 3.4 Apliccions Càlcul d àrees (II) A l pràctic es busquen els punts de tll de l funció mb l eix X i es descompon l integrl en sum: A = A + A = c f(x) dx b c f(x) dx Observció. Si f no cnvi de signe en [, b], leshores b A = f(x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 56 / 7

57 3.4 Apliccions Càlcul d àrees (III) En el cs de l àre limitd per dues funcions l ide és l mteix: A = b f(x) g(x) dx A = A + A = c [f(x) g(x)] dx b c [f(x) g(x)] dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 57 / 7

58 3.4 Apliccions Càlcul d àrees (IV) Dont que els punts de tll de f mb l eix X ens mrquen els intervls de signe constnt de f en [, b], no cl determinr-ne el signe en cd subintervl. Podem fer: A = c b f(x)dx + f(x)dx L tècnic es pot utilizr tmbé per clculr l àre tncd entre dues funcions c Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 58 / 7

59 3.4 Apliccions Càlcul d àrees: exemple Clculr l àre tncd entre y = 9 x i y = x + 3 Punts de tll: Àre: A = 3 = 9 x = 3 + x x + x + 6 = 0 (9 x (x + 3)) dx = 3 { x = 3 x = ( 6 x x ) dx = [6x x ) ( ) (6 3 6 ( 3) ( 3) ( 3)3 3 3 x3 3 ] = 5 6 u Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 59 / 7 3 =

60 3.4 Apliccions Càlcul de volums de sòlids de revolució: fórmul dels discs Propiett. El volum del sòlid de revolució genert pel gir de y = f(x) l voltnt de l eix de les x entre x = i x = b és V x = π b (f(x)) dx Exemple. Fent girr l voltnt de l eix de les x l regió determind per y = x entre x = 0 i x = s obté un sòlid de volum: V = π 0 x 4 dx = π 5 u3 Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 60 / 7

61 3.4 Apliccions Càlcul de volums de sòlids de revolució: fórmul dels discs Propiett. El volum del sòlid de revolució genert pel gir de x = g(y) l voltnt de l eix de les y entre y = c i y = d és: V y = π d c (g(y)) dy Exemple. Fent girr l voltnt de l eix de les y l regió determind per y = x entre y = 0 i y = s obté un sòlid de volum: V = π 0 ( y) dy = π u3 Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 6 / 7

62 3.5 Integrls impròpies Integrls impròpies Definició. Diem que un integrl definid és un integrl impròpi si:. L funció que integrr té un ssímptot verticl en lgun(s) punt(s) de l intervl d integrció. Són les integrls impròpies de primer espècie o de funció no fitd. O bé:. Almenys un dels ĺımits d integrció és infinit. Són les integrls impròpies de segon espècie o d intervl no fitt. Observció. Qun l integrl impròpi existeix diem que és convergent. Altrment diem que és divergent. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 6 / 7

63 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de primer espècie (I). Sigui F un primitiv de f en [, b]. Si lim f(x) =, leshores x b b z f(x) dx = lim f(x) dx = lim [F z b z b (x)]z = lim [F (z) F ()] z b Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 63 / 7

64 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de primer espècie (II). Sigui F un primitiv de f en [, b]. Si lim f(x) =, leshores x + b f(x) dx = lim z + b z f(x) dx = lim [F z (x)]b + z = lim [F (b) F (z)] + z Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 64 / 7

65 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de primer espècie (III).3 Sigui F un primitiv de f en [, b]. Si lim f(x) = i/o x c + lim x c f(x) =, mb c (, b), leshores b f(x) dx = c f(x) dx + b c f(x) dx Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 65 / 7

66 3.5 Integrls impròpies Integrls impròpies de primer espècie: exemples Clculr 4 Clculr x dx 3 3 dx x = 4 lim z + z [ 9 = lim z + (x + ) 3 dx [ 3 3 dx = lim x z (z ) ] = dx = lim (x + ) z + 3 dx = lim z (x + ) [ ] [ = lim z + (z + ) = z (x ) ] 4 z = [ ] (x + ) = z ] ( + ) = + Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 66 / 7

67 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de segon espècie (I) Observció. És condició necessàri per l convergènci d un integrl impròpi de segon espècie que f(x) tendeixi 0 qun x tendeix l(s) extrem(s) no fitt(s).. Sigui F un primitiv de f en [, + ). Si lim f(x) = 0: x + + f(x) dx = z lim f(x) dx = z + lim [F (z) F ()] z + Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 67 / 7

68 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de segon espècie (II). Sigui F un primitiv de f en (, b]. Si lim f(x) = 0: x b f(x) dx = b lim z z f(x) dx = lim [F (b) F (z)] z Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 68 / 7

69 3.5 Integrls impròpies Càlcul d integrls impròpies de segon espècie (III).3 Sigui F primitiv de f en (, + ). Si lim f(x) = 0: x ± + f(x) dx = c f(x) dx + + c f(x) dx, mb c R qulsevol. Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 69 / 7

70 3.5 Integrls impròpies Integrls impròpies de segon espècie: exemples (I) Clculr + e 3x dx. Comprovem que en l extrem no fitt l funció té ĺımit 0. Si no fos ixí, l integrl seri divergent! En efecte: lim = x + e 3 (+ ) = + = 0. Clculem l integrl: + z e 3x dx = lim e 3x dx = z + = lim z + 3 lim z + 3 [ e 3z e 6] = 3e 6 [ e 3x ] z = Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 70 / 7

71 3.5 Integrls impròpies Integrls impròpies de segon espècie: exemples (II) Clculr 0 xe x dx. Comprovem que en l extrem no fitt l funció té ĺımit 0. Si no fos ixí, l integrl seri divergent! En efecte: lim x xex = e = e + = Apliquem l Regl de L Hôpitl: lim x xex = lim x x e x = lim x = lim = = x e x e + = 0 (x) (e x ) = Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 7 / 7

72 3.5 Integrls impròpies Integrls impròpies de segon espècie: exemples (III) Clculem l integrl: 0 xe x dx = lim z 0 z xe x dx = = lim [ (z z )ez ] = + lim z [ex (x )] 0 z = lim z ez lim z zez = Càlcul (EETAC-UPC) Tem 3. Integrció de funcions d un vrible 7 / 7