A C T I V I T A T S D E R E C U P E R A C I Ó D E M A T E M À T I Q U E S II

Transcripción

1 A C T I V I T A T S D E R E C U P E R A C I Ó D E M A T E M À T I Q U E S II NOM...

2 ANÀLISI. Dond l funció f() ln( ), es demn : ) Monotoni ) Curvtur c) Gràfic. ) Determin el vlor del pràmetre que f que l funció f ( ) presenti un etrem reltiu en. ) Per quest vlor del pràmetre clcul intervls de creiements, decreiement i símptotes. c) Feu un gràfic de l funció.. Es consider l equció t. Empr el teorem de Bolno per demostrr : ) Si t>, l equció dmet qulque solució menor que. ) Si t<, l equció dmet qulque solució mjor que. cos si <. Sigui f ( ) si <.Trou i perquè sigui si contínu R. Pels vlors trots, estudiu l sev derivilitt.. Trou el punt on l cor oliqu es tllen. i l sev símptot ( ) 6. Dond l funció ( ) c f trou,, c perquè es verifiqui el teorem de Rolle [-, ]. Trou el punt on es verific. 7. Dond l funció ) Monotoni ) Asímptotes c) Gràfic e f ( ) ( ) es demn : 8. ) En quin punt l cor d equció f ( ) té l tngent horitontl?. ) És possile que quest cor tengui un rect tngent prl lel l rect 7 en lgun punt d sciss

3 negtiv?. 9. Dond l funció f() ln, estudiu monotoni i curvtur. Féu l gràfic.. Demostru que les funcions f() i g() - per es tllen en un sol punt. Clculu el punt de tll m un error d un dècim.. Estudiu l continuïtt de l funció f ( ) e e si si. Sigui f : R R un funció m derivd f () sin ( sin ), sent que f(), pot ser f()?. Indicció : Empr el teorem del vlor mitjà [, ]. e.dond l funció f ( ), es demn : ) Monotoni ) Asímptotes c) Gràfic..Determin els punts de l pràol que estn mínim distànci del punt A (, )..Dond l funció si f ( ) e si < Trou perquè sigui contínu en. Per quest vlor de, és derivle l funció en?. 6.En quin punts l rect tngent l el lipse és prl lel l isectriu del primer qudrnt. 7.Demostru que les cores f ( ) sin i g( ) es tllen en lgun punt. 8.Sigui h() un funció derivle en tots els punts, de l que coneiem els següents vlors : h() i h (). Es consider l funció f() definid per f ( ) [ h( ) ]. Trou l equció de l rect tngent en. e 9.Dond l funció f ( ), es demn : ) Monotoni ) Asímptotes c) Gràfic..Demostr que l funció f ( ) ( ) sin té un màim reltiu π l intervl,..demostru que l equció sin només té un solució rel..clculu : 8 ) lim )lim.

4 .Clculu i perquè l funció ln si f ( ) si sin ( π ) si > < sigui contínu tot R..Es consider l funció rel f() c, on,, c són nomres rels.. Trou els vlors de i perquè les rectes tngents l gràfic de f() en els punts i siguin prl leles l ei OX.. Am els vlors de i trots nteriorment, otenir el vlor de c perquè el punt d infleió de l gràfic de f() estigui sore l ei OX..Integru: ) ( ) cos d e ) d c) d d ) 9 e e) 6 d 6.Clculu l àre de l regió del pl limitd per l cor 6 i l ei. 7.Trou l àre de l regió del pl limitd per l pràol 6 i l rect. 8.Clculu l àre limitd per, l ei d ordendes i l rect tngent l pràol prl lel l rect ) Trou un funció f() de l que sem f ( ) i més més f ( ) f (). )Demostru que l funció f() trod l prtt nterior, tll l ei d scisses..trou un funció polinòmic de tercer gru tl que tengui un etrem reltiu en (, ) i un punt d infleió en (, ). Féu un gràfic de dit funció. d.dond l funció f ( ) i g() -, es demn : ) Féu un diui del recinte del pl limitt per elles. ) Clculu l àre d quest recinte..dond l funció f ( ) ln, es demn : ) Domini ) Asímptotes

5 c) Etrems reltius d) Gràfic.. Demostru que l equció nomès té un solució rel.. Clculu i perquè l funció si < ( ) si f verifiqui les hipòtesis del teorem de Lgrnge l intervl [, ]. Trou tmé el punt que ho verific.. Clculu els límits : tg ) lim ( sin) ) lim sin 6. De tots els tringles isòsceles de perímetre 6, tro les dimensions del d àre màim. 7. Estudi l derivilitt de l funció ( ) Clcul l sev derivd. f. 8. L cor c tll l ei OX en i té un punt d infleió en (, ). Clcul els punts de l cor que tenguin l rect tngent prl lel l ei OX.

6 ÀLGEBRA. ) Trou totes les mtrius que verifiquen A X X A, on A. D questes mtrius, determinu les que tenen l sum de tots els elements igul. ) Clculu : 7 9. Clculu l mtriu C A A B A B A B A B n- on B i A. Trou k perquè l mtriu k k A dmeti invers. Trou l mtriu invers per k.. Trou totes les mtrius rels X tls que X X. Resoleu l equció :. 6. Dond l mtriu A A) Trou els vlors d per els quls A té invers. B ) Trou l mtriu invers de A per si és posile. 7. Estudi i resolució del sistem m m m 8.Dond l mtriu A t t per quins vlors de t, A és positiu. Tro tmé el mjor vlor que pren el determinnt. 9. Sigui A l mtriu

7 A ) Demostru que A t A és simètric ) Oté l mtriu invers de A t A. Per quins vlors de "m" el sistem 7 m té infinites solucions.. Estudiu i resoleu el sistem segons els vlors de m : m m m m m.estudiu i resoleu el sistem : 9. Determinu si és possile tror un vlor de t, tl que ( A t I ) sigui l mtriu nul l, on A i I és l mtriu identitt d ordre.. Per quins vlors d l mtriu cos cos sin sin A no té invers. Clculu l mtriu invers qun sigui possile.. Dond l mtriu A Trou i perquè A A. 6. Resoleu l equció : Un mtriu es diu idempotent si i sols si A A

8 ) Provu que B és idempotent. ) Demostru que si A és idempotent, B I A és idempotent i A B B A 8.Resoleu l equció mtricil : A X B C, on,, C B A 9.Suposem que c, c, c, i c són les qutre columnes d un mtriu qudrd A, i que el seu determinnt vl. Clcul rondment : ) El determinnt de l mtriu invers de A. ) El determinnt de l mtriu A c) El determinnt d un mtriu on les seves columnes són c -c, c, c i c.estudiu el sistem i resoleu-ho qun sigui comptile determint :.) Demostru ) ( ) ( ) ( c d c d c c c ) Trou les mtrius X que verifiquen A X X A on A. ) Si A és un mtriu qudrd d ordre i k R, quin relció hi h entre det ( A ) i det ( k A)?,

9 GEOMETRIA. Tro les equcions dels plns que són prl lels l pl - i estn situts 6 unitts de distànci d quest pl.. Clculu el punt del pl - més proper l punt A(, -, ).. ) Trou k perquè els plns K - 6 i siguin prl lels ) Trou l distànci entre ells.. Trou els punts de l rect r: que equidisten dels plns -- i -.. ) Trou l'equció del pl P que pss pels punts A(, -,), B (,, ) i C(,, -). ) Trou l'equció de l rect r que pss per A (,,) i es perpendiculr l pl - c) Clculu l ngle que formen el pl P i l rect r 6. Trou k perquè les rectes r : i k es tllin en un punt. Trou el punt de tll. s : 7.Clculu el simètric del punt A (, -, ) respecte del pl - 8. ) Trou l equció de l rect r que pss pel punt P (, -, ) i és perpendiculr l pl ) Trou l equció del pl Π que pss pel punt A (,,- ) i conté l rect s : 6. ) Trou l equció del pl que pss pel punt A (, -, ) i conté l rect r :. ) Angle que formen el pl trot en el prtt nterior i l rect : s.

10 . Clcul el punt de l rect : r que es tro l mínim distànci del punt A (,, - ).. Clculu l posició reltiv del pl m n i de l rect r : segons els vlors de m i n.. ) Són coplnris els punts A (,,- ), B (,, - ), C (,-, ) i D ( 8,, - ). ) Determinen les rectes r : - i s: un pl. En cs firmtiu, tro l sev equció.. Trou l perpendiculr comú les rectes r : i s :.) Trou l equció del pl Π que pss per A (,, - ) i conté l rect r:. Trou l equció de l rect que pss per B (, -, ) i és perpendiculr l pl Π.. Clculu els vlors del pràmetre, R, per ls quls els plns ( -) i - siguin perpendiculrs. 6.Trou l'equció de l rect que pss per l'origen de coordendes i tll les rectes r : i 6 7. Determinu "m" i "n" perquè els plns 6-m9 i 9- n-n siguin prl lels. 8.Trou el simètric del punt P (,,) respecte del pl 9. Tro un vector unitri i perpendiculr ls vectors v(,, ) i u(,, ). Trou l equció de l rect que pss per A (,,) i que tll les rectes : i s : r.

11 .A) Determinu i perquè els plns es tllin en un rect r. ) Trou l equció del pl que conté r i pss per P (,, ).. Escriu en form prmètric l rect perpendiculr comun les rectes r : s :. Són coplnris els punts A (,, ) ( -,, ), C ( -, 6, ) i D (,,).. Clculu el punt del pl - més proper l punt A(, -, ). PROBABILITAT. En un loteri els números estn enumerts del l Trou l proilitt que el primer premi sigui un número que només tengui tres ifres distintes, tls com 9, 8, 8,.... Un du està truct, de mner que l proilitt d'otenir les diferents cres és directment proporcionl ls números d'questes. Es demn: ) L proilitt de cd un de les cres. ) L proilitt de treure un nomre prell.. Es tiren dos dus. Trou l proilitt de què les puntucions otingudes sumin 9.. Donts dos esdeveniments A i B, sem que p(a),6, p(b),7 i p( A B ) - p( A B ),. Clculu p( A B ) i p( A B ).. Dos tirdors A i B tenen proilitts,78 i,8 respectivment de donr l lnc. Trou l proilitt que lguns dels dos doni l lnc. 6. A un cert curs de n de tillert el % dels lumnes vren provr mtemàtiques. D'quests, el 7% vren provr Biologi. Per ltre prt, el % dels que no vren provr mtemàtiques vren provr Biologi. ) Quin percenttge v provr les dues ssigntures l vegd?. ) Quin percenttge d'provts hi h Biologi. c) Si un estudint no prov Biologi, quin proilitt hi h que hgi provt Mtemàtiques. 7. Considerm dos esdeveniments A i B. Si se coneien p(a),8, p(b), i p( Ac Bc ),8. Aleshores, es demn si són independents A i B. 8. Un prell per celerr el seu niversri plnej pssr un

12 cp de setmn l pís Bsc. Trien l'tr tres polcions B, SS i V. No ostnt iò es pronostic temps plujós el cp de setmn, en concret les proilitts són de /, /7 i / B, SS i V respectivment. ) Quin és l proilitt que no plogui durnt el cp de setmn?. ) Quin és l proilitt que l ciutt escollid sigui SS i no plogui el cp de setmn?. c) L prell h tengut un cp de setmn plujós. Quin és l proilitt que hgi estt l ciutt B?. 9. En un col legi hi h tres professors de mtemàtiques A, B i C. Qun un lumnes es mtricul l centre, té l mtei proilitt que li toqui un dels tres professors. Se sp que l proilitt d'otenir not finl un m el professor A és,; m el professor B,, i m el professor C és,. ) Clculu l proilitt que un lumne trit l'tr otengui com not finl un. ) Sent que un lumne h tret un, quin és l proilitt que hgi tengut el professor C?.. D'un polció en què l proilitt que els seus hitnts tenguin tuerculosi és de,, s'hn trit l'tr un person i s'h oservt per rig X que té tuerculosi. L proilitt que un prell de rig X detecti tuerculosi és,97 si en té relment i, si no en té. Què podem dir del dignostic de l person trid l'tr?.. Un rmri té dos clios, l primer hi h qutre monedes d'or i dues de plt, mentre que l segon hi h tres monedes d'or i cinc de plt. Orim un cli l'tr i n'etreim un moned. Clcul les següents proilitts: ) Que el cli oert hgi estt el segon i hàgim gft un moned d'or. ) Que el cli oert hgi estt el primer sent que se n'h etret un moned d'or.. Els pesos dels individus d'un polció es distriuei normlment m un mitjn igul 7 kg i un desvició típic igul 6 kg. D'un polció de dues mil persones, quntes persones tendrn un pes entre 6 kg i el 76 kg?.. D'un test plict persones s'h otingut un distriució norml de mitjn 6 i desvició típic. Si se suspèn l 67%, quin és l puntució mínim per conseguir provr?.. El pes de les tronges seguei un distriució norml de mitjn 8g i desvició típic g. Si un person h comprt. kg. Clcul: ) Quilos de tronges que s'esper que pesin mnco de g ) Quilos de tronges que s'esper que el seu pes estigui entre 6 i kg.. En un polció humn, un crcterístic es distriuei mitjnçt un distriució norml X. L proilitt que X sigui menor o igul que 7 és,8 i que X sigui més grn o igul que 8 és,. Trou l mitjn i l desvició típic de X.