Classificació per temes

Transcripción

1 Recull PAU Matemàtiques Classificació per temes

2

3 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques Notes Aquest document inclou tots els eercicis de les PAU de Matemàtiques de batillerat des de la seva primera convocatòria de l'any 997. La classificació dels eercicis s'ha realitzat a partir dels següents temes: TRIGONOMETRIA... GEOMETRIA DEL PLA... 8 CIRCUMFERÈNCIA... 9 FUNCIONS... DERIVABILITAT... PROBLEMES D'OPTIMITZACIÓ... CÀLCUL INTEGRAL... 0 MATRIUS I SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS... 9 GEOMETRIA DE L'ESPAI SOLUCIONS A partir de la convocatòria del 004, els continguts de les proves es restringeien als de segon curs de batillerat. Aií doncs, a partir d aquest any ja no apareien eercicis dels temes: trigonometria, geometria del pla, circumferència. En quant a la codificació de l'eercici: PAUNNCSXN: NN indica l'any; C la convocatòria (Juny/Setembre); S la sèrie; X Problema/Qüestió; N el número d'eercici Salvador Cardona Peris, scardon@tec.cat Institut Pere Fontdevila (Gironella), pàgina

4 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila pàgina

5 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques TRIGONOMETRIA [PAU97JAP] La figura ens mostra tres jardins circulars mútuament tangents. Els radis d'aquests jardins són respectivament de 8, de 0 i de metres. La zona del jardí més petit que està ombrejada en el dibui (sector circular delimitat pels dos radis pels punts de tangència amb els altres dos jardins i l'arc de circumferència corresponent) es vol sembrar d'una gespa especial i es vol envoltar completament amb una petita tanca metàl lica. Quina superfície té? Quina longitud de tanca farà falta? [PAU97JBQ] Quina és la superfície del cercle en el qual podem inscriure un triangle equilàter de perímetre 60 centímetres? [PAU97SAQ4] Determineu l'amplada d'un riu sabent que des d'una torre de 40 metres d'altura i situada a 0 metres en horitzontal de la riba del riu l'amplada d'aquest es veu sota un angle de 45 graus. [PAU97SBP] Per fiar eactament una direcció terrestre respecte als quatre punts cardinals (nord, sud, est i oest) convindrem a mesurar l'angle que la direcció nord forma amb la direcció donada, prenent com a sentit positiu el sentit nord est sud oest. Aií, per eemple, una direcció de 0 graus voldrà dir la direcció nord, i una direcció de 70 graus voldrà dir la direcció oest. Un vaiell demana ajut per ràdio i els senyals es reben en dues estacions P i Q distants entre si 65 km. L'estació P veu l'estació Q en una direcció de graus (utilitzant el conveni anterior). P rep el senyal de ràdio del vaiell en una direcció de 5 graus. Q rep el senyal de ràdio del vaiell en una direcció de 64 graus. A quina distància de cada estació es troba el vaiell? [PAU97S4AP]. Estic situat davant la paret d'una casa il luminada pel sol. Em trobo a una distància de metres d'aquesta paret. En aquest moment el meu cos fa una ombra sobre terra que té una longitud d',6 m i seguei una direcció perpendicular al pla de la paret (a la figura I, el meu cos està representat pel segment AB; l'ombra, pel segment AB', i la línia discontínua representa el raig de sol que passa pel meu cap). Si avanço un pas d'un metre en direcció a la paret (si em situo, doncs, a metre de la paret), la meva ombra es trencarà en dos trossos, un tros estarà contingut al pla de terra (segment AC de la figura II) i l'altre estarà contingut al pla de la paret (segment CB' de la figura II). pàgina

6 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila Sabent que la meva alçada és d',7 metres, calculeu l'alçada que atenyerà l'ombra sobre la paret (segment CB'). [PAU98JP] Suposem que les òrbites de la Terra i de Venus al voltant del Sol són circumferències de radis respectius km i 0,9 0 7 km. a) A quina distància es troba Venus de la Terra quan l'angle d'observació Sol Terra Venus és de 0º? b) A quina distància es trobaran la Terra i Venus quan l'angle Terra Sol Venus sigui de 90º? [PAU98J6P] Es vol mesurar l'amplada d'un riu. A una distància de 5 m d'una de les ribes hi ha una torre de telecomunicacions de 5 m d'alçària. Pugem dalt de la torre i observem l'angle que formen les visuals que van cap a una riba i cap a l'altra, que és de 0º. Feu un croquis de la situació i calculeu, amb aquestes dades, l'amplada del riu. [PAU98S5P] Des dels dos etrems de la badia d'alcúdia (Mallorca), que són a 5,5 km l'un de l'altre, es pot veure el cim del Puig Major. Un equip de topògrafs ha pres les mides dels angles que es poden veure en el croquis següent: pàgina 4

7 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques on A i B són els dos etrems de la badia i C, el peu del cim. A més, l'angle d'elevació del cim vist des del punt A és de º. Calculeu: a) L'angle entre la línia AC i la línia BC. b) Les distàncies de A a C i de B a C. c) L'alçària del cim. [PAU98SQ] Les diagonals d'un paral lelogram mesuren 0 cm i 0 cm i es tallen formant un angle de 40º. Calculeu ne els costats. [PAU99JQ4] Des d'una certa distància, l'angle amb l'horitzontal de la visual cap al punt més alt d'un arbre és de 60º. Ens allunyem 0 metres i l'angle anterior és ara de 0º. Quina és l'alçària de l'arbre? [PAU99J6Q] Des de terra veiem el terrat d'un gratacel sota un angle de 60º. Amb quin angle el veuríem des d'una distància al peu del gratacel doble de l'anterior? [PAU99J6P] Per mesurar l'altura d'un núvol s'han fet simultàniament dues observacions des dels punts A i B distants entre si quilòmetre i situats tots dos al nivell del mar. La inclinació de la visual des de A al núvol respecte a l'horitzontal és de 47º. Els angles que formen les visuals des de A i des de B amb la recta AB són, respectivament, de 8º i 5º tal com s'indica a la figura següent: Calculeu l'altura del núvol respecte al nivell del mar. pàgina 5

8 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU99SQ4] L'angle entre els dos costats iguals d'un triangle isòsceles és de 40º i el costat desigual té una longitud de 40 centímetres. Quina és la longitud de cada un dels costats iguals d'aquest triangle? [PAU99S5Q4] Us situeu en un punt d'un terreny horitzontal i l'angle que forma la visual dirigida al punt més alt d'un arbre amb l'horitzontal és de 60º. Quin serà l'angle que formarà amb l'horitzontal la visual dirigida al punt més alt de l'arbre si us n'allunyeu a una distància triple de la que éreu abans? [PAU99S5P] Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d'una habitació. Per fer ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels etrems en dos punts del sostre separats per una distància de 40 centímetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre són de 40º i 60º a cada un dels etrems. a) Quina serà la longitud total de la corda? b) A quina distància del sostre quedarà el llum? [PAU00JQ4] El circ és a la ciutat i s'ha d'instal lar. L'especialista a muntar lo encara no ha arribat i els altres no saben la quantitat de cable d'acer que necessiten. El més espavilat recorda que, un cop tensat el cable des de l'etrem del pal principal fins a un punt determinat del terra amb el qual forma un angle de 60º, calen dos metres més de cable que si forma amb el terra un angle de 70º. En total han de posar sis cables tensats formant amb el terra un angle de 60º. Quants metres de cable necessiten? [PAU00JQ4] Els costats d'un triangle són de longituds 8 cm, cm i cm. Calculeu el valor del sinus de l'angle més petit. [PAU00SQ4] D'un angle α del primer quadrant coneieu que sin α /. Calculeu el valor eacte de: a) tan α b) sin α [PAU00S6P] Dos amics, l'àle i la Berta, són cadascun al terrat de casa seva, veuen un vaiell i els interessa determinar la distància a què es troba. a) Primer de tot volen calcular la distància que separa el teodolit de l'àle del de la Berta. Sigui A el punt on l'àle té plantat el teodolit i B el punt on la Berta té situat el seu. L'Àle mesura eactament al seu terrat una distància AC 0 m, de manera que el triangle ACB és rectangle a A. Llavors la Berta mesura l'angle a B d'aquest triangle i resulta que és de 5,6º. Calculeu la distància AB. b) Per determinar a quina distància és el vaiell, l'àle mesura l'angle que formen a A les visuals A vaiell i A B, que resulta que és 75,5º, i la Berta l'angle que formen a B les visuals B A i B vaiell, que és de 8,6º. A quina distància és el vaiell de la Berta? Es pot saber, sense fer més càlculs, qui és més a prop del vaiell? Per què? [PAU0SQ4] Els tres costats d'un triangle mesuren cm, 4 cm i 5 cm. Calculeu els seus angles i la seva àrea. pàgina 6

9 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU0SP] Hem de fer un mapa d'una certa zona geogràfica. A, B i C són els cims de tres muntanyes de la mateia alçària, de manera que les posicions de A i B són ben conegudes i ja estan representades en el mapa, mentre que la posició de C s'ha de determinar. Pugem a dalt del cim A i mesurem l'angle entre la línia A B i la línia A C, que és de 68. Pugem a dalt del cim B i aquí mesurem l'angle entre les línies B C i B A, que resulta ser de 5. En el mapa que tenim, la distància sobre el paper entre A i B és de cm. a) Feu un diagrama de la situació i determineu quin angle formen en C les línies C A i C B. b) Quines seran, sobre el mapa, les distàncies entre A i C i entre B i C? c) Si el mapa és a escala :50000, calculeu la distància real entre els punts A,B i C. [PAU0S5P] L'àrea del triangle de vèrtes A, B i C és de 50 m. L'angle en A d'aquest triangle és de 45 i l'angle en B és de 0. Sigui D el peu de l'altura des del vèrte C, és a dir, el punt del segment AB tal que CD és perpendicular a AB. Calculeu la longitud dels segments CD, AD, BD, AB, BC i AC. [PAU0S4Q] Siguin A, B i C els tres vèrtes d'un triangle equilàter de costat cm i P el punt del costat AB que és a cm del vèrte A. Quina és la longitud del segment CP? [PAU0JP] D'un paral lelogram sabem que el costat més llarg mesura 0 cm, que la seva àrea és de 0 cm i que l'angle més petit val 0. Determineu: a) El valor de l'altre angle del paral lelogram (el més gran). b) La longitud del costat petit. c) El que mesura la diagonal més llarga. [PAU0JP] Sobre una circumferència de radi m i centre en el punt O considerem els cinc vèrtes A, B, C, D, E d'un pentàgon regular (és a dir, amb els cinc costats de la mateia longitud) com el del dibui següent: (on hem dibuiat també els costats AB, BC, CD i DE; les diagonals AC, BD, CE, DA i EB; i els radis que acaben en cada un dels vèrtes OA, OB, OC, OD i OE). Calculeu: pàgina 7

10 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila a) L'angle que formen el radi que acaba en el vèrte A amb el costat AB i l'angle que formen en el vèrte A els dos costats que el tenen com a etrem (és a dir, l'angle A entre els costats EA i AB). b) La longitud de cada un dels costats del pentàgon. c) La longitud de qualsevol de les diagonals (per eemple la EB). b) L'àrea del triangle EAB. [PAU0SQ4] Les agulles d'un rellotge de paret fan 0 i centímetres, respectivament. a) Quina és la distància entre els seus etrems quan el rellotge assenyala les quatre? b) Quina és la superfície del triangle que determinen a aquesta hora? [PAU0JP] D un triangle sabem que la suma de les longituds de dos costats a i b és d m, que l angle C oposat al tercer costat val 0 i que l àrea és de 7 m. Calculeu a) La longitud de cada un dels costats del triangle. b) Els angles del triangle. [PAU0J5P] Al terrat d'un edifici hi ha instal lada una antena de telefonia mòbil. Des d'un punt P del carrer, l'angle entre l'horitzontal i la línia que va de P cap a l'etrem superior de l'antena és de 4. Ens apropem fins a un punt Q que és 5 metres més a prop de l'edifici i ara l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'etrem superior de l'antena és de 4, mentre que l'angle entre l'horitzontal i la línia que apunta cap a l'etrem inferior de la mateia antena és de 5. a) Feu un esquema de la situació marcant molt clarament quins són els angles que es donen a l'enunciat. b) Calculeu les distàncies de Q als dos etrems de l'antena. c) Calculeu l'altura de l'antena i l'altura de l'edifici. [PAU0SQ] Calculeu l àrea del triangle ABC representat en l esquema següent: GEOMETRIA DEL PLA [PAU97JAP] De la representació d'un rombe en uns eios cartesians en sabem que té dos vèrtes situats en els punts (, ) i (, ), i que una de les diagonals està sobre la recta d'equació y 0. Determineu les coordenades de tots els vèrtes del rombe. Justifiqueu la resposta. [PAU97JQ] Considereu els dos punts del pla P (, 5) i Q (6, ) i la recta d'equació y. Digueu quants punts hi ha sobre aquesta recta que equidistin de P i de Q. Calculeu les coordenades de tots aquests punts. [PAU97JAQ] Epliqueu raonadament algun mètode per decidir si tres punts del pla donats per les seves coordenades, A (a, a ), B (b, b ) i C (c, c ), estan alineats o pàgina 8

11 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques no ho estan. Decidiu, tot aplicant el mètode que hagueu eplicat, si els punts (, ), (, 0) i (6, ) estan alineats o no. [PAU97SAP] Considereu les tres rectes del pla d'equacions + y 4, y i a + y. Digueu per a quins valors del paràmetre a formen un triangle. Digueu per a quins valors de a formen un triangle d'àrea. Epliqueu en general com es pot saber si tres rectes del pla determinen un triangle. [PAU97SBQ4]. Quantes rectes del pla passen pel punt (, ) i formen un angle de 45 graus amb la recta d'equació 4 y + 0? Doneu les equacions de totes les que hi hagi. [PAU98J6P] L'ei OX representa la banda d'una taula de billar. Una bola que està situada al punt A (, 6) ha de tocar una bola situada al punt B (5, ) després d'haver rebotat a la banda (quan una bola de billar rebota a la banda, els angles α i β de la figura són iguals). Determineu: a) El punt eacte P on la bola hauria de topar amb la banda. b) L'equació de la trajectòria inicial que ha de seguir la bola. c) L'equació de la trajectòria que seguei la bola després d'haver topat amb l a banda, fins a tocar la bola en el punt B. d) L'angle entre les trajectòries AP i PB. [PAU98S5Q] Siguin u r i v r els dos vectors del pla: r r u (, ) v ( +, Calculeu l'angle que formen u r i v r. ) [PAU04S5Q4] Donats els vectors u r (, ) i v r (,) : a) comproveu que u r i v r formen una base de l espai vectorial dels vectors del pla; b) trobeu els components del vector (, 5) u r, v r w r en la base { } CIRCUMFERÈNCIA [PAU97JAQ4] D'una circumferència representada en uns eios cartesians de coordenades sabem que té el centre sobre l'ei de les, i que és tangent a la recta + y 8 0 en el punt (6, ). Quines són les coordenades del centre? Quina és la longitud del radi? pàgina 9

12 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU97JBQ] Calculeu un punt P de coordenades (a, 0), amb a > 0, tal que les dues tangents a la circumferència + y 4 traçades des del punt P formin un angle de 60 graus. [PAU98SP] Considereu dues circumferències C i C del pla que compleien les condicions següents: C passa pel punt P (, 0) i en aquest punt té per tangent la recta y. El centre de C és a sobre de la recta y. C té per equació + y 8 8y k, on k és una certa constant. Les circumferències C i C són tangents eteriors, tal com s'indica en la figura següent: a) Calculeu el centre i el radi de C i escriviu l'equació de C. b) Calculeu les coordenades del centre C. c) Calculeu les coordenades del punt d'intersecció de C amb C. d) Calculeu el valor de la constant k de l'equació de C. [PAU99J6Q] Calculeu el radi i les coordenades del centre de la circumferència que té per equació + y y 0. [PAU99S5Q] Una circumferència del pla passa pels punts (, ) i (, 5) i té el centre sobre la recta + y. Trobeu el centre, el radi i l'equació d'aquesta circumferència. [PAU00S6Q4] Considereu la circumferència del pla d'equació + y 6 + 4y a) Calculeu ne el centre i el radi. b) Comproveu que el punt (4, 0) pertany a la circumferència i determineu l'equació de la seva tangent en aquest punt (la recta tangent en un punt d'una circumferència és la que és perpendicular al radi que passa per aquest punt). [PAU0SQ] La circumferència C passa pel punt A (4, 0) i és tangent a la recta y en el punt B (4, 4). a) Determineu l'equació de la recta que passa per B i pel centre de la circumferència C. b) Trobeu el centre de C i calculeu el seu radi. [PAU0S5Q] Considereu en el pla els punts P (, ) i Q (, 5) i la recta r d'equació + y + 0. Calculeu l'equació de la circumferència que passa per P i Q i que té el centre a r. pàgina 0

13 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques FUNCIONS [PAU97JBQ] Calculeu el límit quan i quan de la funció polinòmica f a + a + a + K + a n ( ) n, on els coeficients a 0, a,, a n són nombres reals, i 0 a n > 0 (haureu de considerar el cas que n sigui parell i el cas que sigui senar). Justifiqueu després el fet que tot polinomi de grau senar amb els coeficients reals té sempre, pel cap bai, una arrel real. [PAU97SAQ] Feu un esquema de la representació gràfica del polinomi 4 f ( ) i digueu quantes arrels reals té. Per a cada arrel, determineu la seva part entera. [PAU97S4AQ4] El carboni 4 es desintegra seguint la llei eponencial següent: kt Q( t) Q 0 e, on t indica el temps transcorregut a partir d'un cert instant inicial que es pren com a origen per comptar el temps (aquest origen és arbitrari i es pot prendre com a tal qualsevol constant de temps), Q(t) indica la quantitat d'àtoms que encara no s'han desintegrat a l'instant t, Q 0 la quantitat d'àtoms que no s'havien desintegrat a l'instant que s'ha escollit com a instant inicial, i k és una certa constant. El carboni 4 té un període de semidesintegració de anys. Aiò vol dir que cada anys la quantitat d'àtoms que encara no s'han desintegrat es reduei a la meitat. A partir d'aquesta dada determineu el valor de la constant k. Digueu després quin tant per cent d'àtoms encara no s'han desintegrat al cap de anys de l'instant inicial. [PAU0JQ] Determineu el valor que ha de tenir k perquè la funció k + 5 f ( ) tingui límit quan tendei a (és a dir, eisteii lim f ( ) ) i calculeu el valor que tindrà aquest límit. [PAU06JQ4] Trobeu el domini i les asímptotes de la funció definida per 4 + f ( ) [PAU0SQ] Trobeu les asímptotes de la funció f ) ( a [PAUS4Q] Sigui f ( ),en què a 0. + b a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b. b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f() tingui la recta y 4 com a asímptota obliqua a +. DERIVABILITAT [PAU97JBQ4] Calculeu els etrems relatius de la funció f ( ) ( ) pàgina

14 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila 4 [PAU97JAQ] a) En quin punt la corba d'equació y té una recta tangent + 4 horitzontal? b) És possible que aquesta corba tingui una tangent paral lela a la recta y en algun punt d'abscissa negativa? [PAU97JBP] a) Calculeu els màims i mínims locals de la funció f ( ) + + b i doneu en funció de b el valor que pren la funció en aquests màims i mínims. b) Feu un esbós de la gràfica de la funció quan el paràmetre b és positiu, i quan aquest paràmetre és nul. c) Calculeu el valor negatiu de b per al qual la gràfica de f() és tangent a l'ei de les en el màim local d'aquesta funció. Dibuieu la gràfica de la funció per a aquest valor de b. d) Determineu (fent servir l'estudi de la funció realitzat en els apartats anteriors) els valors de b per als quals l'equació f() 0 només té una solució. [PAU97SBQ] Epliqueu la relació que hi ha entre la derivada d'una funció en un punt i l a tangent a la gràfica d'aquesta funció en el matei punt. La corba y i la recta y 5 són tangents en algun punt? [PAU97S4BQ] Determineu per a quins valors de n la recta gràfica de la funció f ( ) 6 +. y + n és tangent a la [PAU98JQ4] En quin punt de la corba f ( ) ln la recta tangent és paral lela a la corda AB determinada pels punts A(, 0) i B(e, ) [PAU98J6Q] Sigui f ( ) + a + + 5b. Trobeu els valors de a i b de manera que la gràfica de f() tingui la tangent horitzontal per a i, a més, la corba passi pel punt (, 8) [PAU98SQ4] Trobeu el punt de la gràfica de perpendicular a la recta + 6y 5. y + ln tal que la recta tangent sigui + 5 [PAU98SP] Sigui f ( ) 9 a) Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de f() en el punt d'abscissa. b) Estudieu el domini de definició de f() i les asímptotes. c) Estudieu els intervals de creiement i decreiement. Feu ne la representació gràfica [PAU99J6P] Considereu la funció y f ( ) + a) Feu un estudi de les seves asímptotes. b) Calculeu els punts en què aquesta funció té etrem relatiu i digueu per a quins intervals del domini la funció és creient. c) Feu un esbós de la gràfica de la funció a partir de les dades obtingudes en els apartats anteriors. pàgina

15 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU99SQ] La gràfica d'una funció és la que hi ha en el dibui següent. Quina és la gràfica de la seva funció derivada? En quins punts és discontínua la derivada? [PAU99SP] Considereu la funció f ( ) 8 a) Trobeu el domini de f() i les asímptotes. b) Determineu el signe de la funció en el seu domini (determinar el signe de f() vol dir establir per a quins valors de es complei f ( ) 0 i per a quins f ( ) 0 ). c) Trobeu ne els intervals de creiement i decreiement i els etrems relatius. d) Feu un esquema de la gràfica de la funció. [PAU00JQ] Calculeu els valors de a tals que les tangents a la gràfica de la funció f ( ) a + + en els punts d'abscisses i siguin perpendiculars entre si. [PAU00JQ] Determineu els punts de la gràfica de f ( ) on la recta tangent és paral lela a la bisectriu del primer quadrant. Calculeu l'equació d'aquestes rectes tangents. [PAU00JP] Considereu la funció f ( ), on a és un paràmetre. + a a) Calculeu a sabent que la recta y + és una asímptota obliqua d'aquesta funció. b) Prenent el valor de a obtingut en l'altre apartat, calculeu el domini, les interseccions de la gràfica amb els eios, els intervals de creiement i decreiement i els etrems relatius de la funció f. Feu una gràfica aproimada d'aquesta funció a partir de les dades que heu obtingut. [PAU00SQ] a) Trobeu els etrems relatius de la funció polinòmica f ( ) 6 i calculeu els valors de f() en aquests punts. A partir d'aquestes dades, feu un dibui aproimat de la seva gràfica. b) Demostreu que l'equació 6 0 té, eactament, tres solucions reals. [PAU00S6Q] D'una funció y f ( ) sabem a) El seu domini de definició és tot R. b) La seva funció derivada és f ( ) si < si > pàgina

16 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila c) f() és contínua en tot punt i f ( ). Determineu el valor de f() i dibuieu la gràfica de la funció f(). + [PAU00S6Q] Donada la funció f ( ), determineu l'equació de la recta tangent e a la seva gràfica en el punt on s'anul la la segona derivada. [PAU0SP] Considereu la funció f ( ) + a) Determineu les seves asímptotes. b) Calculeu els intervals on crei i on decrei, i els etrems relatius. c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuieu aproimadament la seva gràfica. d) Fiant vos en la gràfica anterior, epliqueu quina seria la gràfica de la funció g ( ) f ( ) + (feu ne un esquema). En quins punts té màims la funció g()? a [PAU0S5Q] Per a cada valor del paràmetre a R, considereu la funció f ( ) + (definida per a tots els valors de diferents de 0). a) Determineu per a cada valor del paràmetre a, els etrems relatius que té la funció f(). b) Per a quins valors del paràmetre a la funció f() és sempre creient? [PAU0S5Q] Teniu una funció f() definida per a (,) sabeu que el gràfic de f () és de la forma (on f ' ( ) 0, f' (0), f' () ) i que f (0). Dibuieu un gràfic aproimat de f() indicant en quins punts hi ha etrems relatius. [PAU0S4Q] Considereu la funció definida per a e si 0 f ( ) on a és un nombre real. + si > 0 a) Calculeu lim f ( ) i comproveu que f() és contínua en 0. 0 b) Per a quin valor del paràmetre a la funció f() és derivable en 0? pàgina 4

17 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU0JQ] Sabent que la funció y ( + a)( 4), on a és un nombre real, té un màim i un mínim relatius, i que el màim relatiu s'assolei en el punt, trobeu l'abscissa del mínim relatiu. m [PAU0JQ] Sigui f ( ), on m és un paràmetre. a) Determineu per a cada valor del paràmetre m el valor del límit lim f ( ) (si eistei). b) Per a quins valors de m la derivada f'() de la funció f() és positiva per a tot? + 6 [PAU0SQ] Se sap que la derivada d'una funció f() és f ( ) + Calculeu les abscisses dels punts on la funció f() té els seus etrems relatius, especificant per a cada un dels valors que obtingueu si es tracta d'un màim o d'un mínim relatiu. [PAU0JQ] Calculeu les equacions de les dues rectes del pla que passen pel punt P (, ) i que són tangents a la corba d equació y ( ) + a [PAU0J5P] a) Determineu el valor del paràmetre a que fa que la funció f ( ) presenti un etrem relatiu en el punt d'abscissa. b) Per a aquest valor del paràmetre a, calculeu els intervals de creiement i decreiement, i les asímptotes de la funció. c) A partir de les dades que heu obtingut, feu una gràfica aproimada d'aquesta funció. [PAU0SQ] Calculeu el punt de la corba paral lela a la recta y. y + en què la tangent és [PAU04JQ] Considereu la funció f ( ) + +. a) Calculeu l equació de la recta tangent a la gràfica de f() en el punt d abscissa. b) Eistei alguna altra recta tangent a la gràfica de f() que sigui paral lela a la que heu trobat? Raoneu la resposta i, en cas afirmatiu, trobeu-ne l equació. a 6 [PAU04JQ] Considereu la funció f ( ) + + on a és un paràmetre. a) Calculeu el valor del paràmetre a sabent que f() té un etrem relatiu en el punt d abscissa. b) Aquest etrem relatiu, es tracta d un màim o d un mínim? Raoneu la resposta. [PAU04J4Q4] Considereu la funció f() de la figura definida a l interval [0, ]. pàgina 5

18 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila a) Calculeu la funció derivada f () a l interval (0, ) b) Hi ha algun punt de (0, ) en el qual f () no eisteii? c) Calculeu f ( ) d 0 Raoneu totes les respostes. [PAU04S5Q] La gràfica següent correspon a una funció f [, 6] R derivada contínua. Feu un esbós de la gràfica de f (, 6) R perquè. : derivable i amb : i justifiqueu-ne el [PAU04S5P] Considereu la funció polinòmica de tercer grau f ( ) a + b + c + d, ( a 0). a) Trobeu els valors de a, b, c i d per als quals f() talla l ei OX en els punts 0 i i presenta un mínim relatiu en el punt 0. b) Feu un esbós de la gràfica de la funció que heu trobat, i acabeu de calcular els elements necessaris per dibuiar-la. [PAU05J4Q] Trobeu els màims i mínims relatius de la funció 5 4 f ( ) [PAU05J4Q4] Sigui la paràbola y + + i sigui A el punt de la paràbola d abscissa 0. a) Trobeu l equació de la recta tangent a la paràbola en el punt A. b) En quin punt de la paràbola la recta tangent és perpendicular a la recta que heu trobat en l apartat anterior? pàgina 6

19 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques + + b si < 0 [PAU05SP] Considereu la funció f ( ) on a i b són b a e si 0 nombres reals. a) Quina condició han de complir a i b per tal que f sigui contínua a tot R? b) Trobeu els valors de a i b per als quals f sigui contínua però no derivable a tot R. c) Per a a i b, calculeu f ( ) d 4 [PAU06JP] Considereu la funció f ( ) + a + b + c + 7 a) Calculeu c sabent que la seva recta tangent en el punt d abscissa 0 és horitzontal. b) Per al valor de c trobat a l apartat anterior, calculeu a i b sabent que aquesta funció té un etrem relatiu en el punt d abscissa i que talla l ei OX quan. c) Per als valors obtinguts als altres apartats, calculeu els intervals on la funció crei i decrei, els seus etrems relatius i feu una representació gràfica aproimada. + [PAU06JQ] Considereu la funció definida per f ( ). Calculeu quant val el + pendent de la recta tangent a la seva gràfica pel punt d abscissa 0. Trobeu si hi ha altres punts en els quals el pendent de la tangent sigui igual al que s ha obtingut. + [PAU06JP] Donada la funció f ( ) e a) Trobeu el seu domini i les possibles interseccions amb els eios. b) Trobeu els intervals on crei i decrei i els etrems relatius. c) Trobeu les possibles asímptotes. d) Feu la representació gràfica aproimada de la funció. [PAU06S4Q] Sigui f : R R la funció definida per f ( ) e ( a + b), on a i b són nombres reals. a) Calculeu els valors de a i b per tal que la funció tingui un etrem relatiu en el punt (, e ) b) Per als valors de a i b obtinguts, digueu quin tipus d etrem té la funció en el punt esmentat. [PAU07JQ] La funció derivada f () de certa funció contínua funció a trossos formada per les semirrectes del dibui. f : R R és una a) Digueu si f() és derivable en tots els punts de R i per què. b) Estudieu el creiement i el decreiement de f(). pàgina 7

20 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila c) Trobeu si f() té algun etrem relatiu i, si és aií, per a quin valor i de quin tipus. d) Sabent que f(0), calculeu el valor de f(). Justifiqueu totes les respostes. [PAU07JQ] Calculeu els valors del paràmetre a, a 0, que fan que les tangents a la 4 corba d equació y a + a a + 5 en els punts d infleió siguin perpendiculars. [PAU07JQ] En quin punt la recta tangent a la funció f ( ) e és paral lela a l ei d abscisses? Escriviu l equació de la recta tangent en aquest punt. [PAU08JP] Considereu una funció tal que la seva representació gràfica a l interval (,) és la següent: a) Determineu les abscisses dels punts etrems (màims i mínims) relatius. b) Estudieu el creiement i decreiement de la funció a l interval (, ). c) Feu un esbós de la gràfica de la derivada d aquesta funció. d) Sabent que la funció és de la forma f () a 4 + b + c, trobeu de quina funció es tracta. [PAU08J5Q] Trobeu els valors dels paràmetres a i b per tal que la funció següent sigui contínua i derivable en. a + + si < f ( ) + b + 5 si [PAU08J5Q] Digueu per a quin valor de la recta tangent a la corba y ln( + ) és paral lela a la recta y. Escriviu l equació d aquesta tangent. [PAU08S4Q] Considereu la funció f ( ) a + + b ( a, b R). Trobeu els valors de a i b que fan que la recta y + sigui tangent a la gràfica de f quan. e e [PAU08S4P] Donades les funcions f ( ) i a) Comproveu que [g()] [f()]. b) Comproveu també que f () g() i g () f(). c) Comproveu que f( + y) f() g(y) + f(y) g(). e + e g( ) : pàgina 8

21 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques f ( ) d) Calculeu lim dividint per e el numerador i el denominador; amb un g ( ) f ( ) procediment similar (però no igual), trobeu lim. g ( ) [PAU09SQ] Sigui f ( ) + +. Donades r : y + i r : y 7 a) Epliqueu, raonadament, si alguna de les dues rectes pot ser tangent a la corba y f () en algun punt. b) En cas que alguna d elles ho sigui, trobeu el punt de tangència. [PAU09SP] Considereu la funció real de variable real f ( ) a) Trobeu-ne el domini. b) Calculeu l equació de les seves asímptotes, si en té. c) Estudieu-ne els intervals de creiement i de decreiement, aií com les abscisses dels seus etrems relatius, si en té, i classifiqueu-los. [PAU0J4Q] Sigui P() a + b + c un polinomi qualsevol de segon grau. a) Trobeu la relació eistent entre els paràmetres a, b i c sabent que es complei que P() 0 i P() 0. b) Quan es complei la condició anterior, indiqueu quins valors pot tenir P (/) [PAU0J4Q5] En la figura següent es representen dues funcions. L una és la derivada de l altra. Decidiu si la funció f() és la derivada de la funció g() o és a l inrevés, estudiant què passa en els punts a, b i c. [PAU0J5Q] Determineu el valor dels paràmetres a, b i c perquè la gràfica de la funció a f ( ) sigui la següent: + b + c pàgina 9

22 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila a [PAUJQ6] Sigui f ( ) e quan a 0. a) Calculeu el valor de a perquè aquesta funció tingui un etrem relatiu en el punt d abscissa. b) Quan a, classifiqueu-ne els etrems relatius. [PAUJ4Q] La gràfica corresponent a la derivada d una funció f() és la següent: a) Epliqueu raonadament quins valors de corresponen a màims o a mínims relatius de f(). b) Determineu els intervals de creiement i decreiement de la funció f(). [PAUSQ] Donada la funció f() +a +b+c: a) Determineu la relació que han de complir els paràmetres a, b i c perquè f() tingui un etrem relatiu en el punt d abscissa. b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè hi hagi un punt d infleió de la funció f() en el punt d abscissa 0. c) Determineu la relació entre els paràmetres a, b i c sabent que la gràfica de f() talla l ei OX en el punt d abscissa. d) Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c perquè es compleiin les tres propietats anteriors alhora. [PAUJQ] Donades la recta y + b i la paràbola y, a) Calculeu l abscissa del punt on la recta tangent a la paràbola és paraŀlela a la recta donada. b) Calculeu el valor del paràmetre b perquè la recta sigui tangent a la paràbola. [PAUS4Q6] Donades la recta y a + i la paràbola y, a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè siguin tangents. pàgina 0

23 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques b) Calculeu els punts de tangència. [PAUJ4Q6] La funcio f() és derivable i passa per l origen de coordenades. La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí dibuiada, essent f () creient als,+ intervals (,] i [ ) a) Trobeu l equació de la recta tangent a la gràfica de la funcio f() en el punt d abscissa 0. b) Indiqueu les abscisses dels etrems relatius de la funció f() i classifiqueu aquests etrems. [PAUJQ6] Sigui f() + a + b + c. Sabem que la gràfica d aquesta funció és tangent a la recta r : y + en el punt d abscissa, i que en el punt d abscissa la recta tangent és paraŀlela a la recta r. Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. [PAUJ5Q4] Per a, considereu la funció f ( ) +. a) Trobeu l equació de la recta tangent a la gràfica de f() en el punt d abscissa igual a 0. b) Calculeu l area del recinte limitat per la gràfica de f(), la recta d equació 5 i l ei OX. [PAUSQ] De la funció polinòmica P() + a + b + sabem que té un etrem relatiu en el punt d abscissa ; la integral definida en l interval [0, ] val Calculeu el valor dels paràmetres a i b [PAU4J4Q] Considereu la funció f ( ). a) Calculeu les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües de la funció f. b) Trobeu l equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en aquells punts en què la recta tangent sigui paraŀlela a la recta y e b [PAU4S5Q] Siguin les funcions f ( ) i g ( ) a) Determineu el domini i el recorregut de la funció g. b) Calculeu per a quins valors de a i de b les gràfiques de les dues funcions són tangents (és a dir, tenen la mateia recta tangent) en el punt d abscissa 0. a + pàgina

24 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU4S5Q4] Sabem que una funció f té per derivada la funció f ( ) ( ) ( ) a) Calculeu els valors de en què la funció f té un màim relatiu, un mínim relatiu o un punt d infleió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. b) Determineu la funció f sabent que s anul la en el punt d abscissa. PROBLEMES D'OPTIMITZACIÓ [PAU97JBP] Una noia vol travessar el riu Ebre des d'un punt A fins a un punt B, tal com ens indica el dibui adjunt. Per fer ho anirà nedant fins a un punt C que encara no sabem quin ha de ser, i des d'allí anirà corrent fins a B. Podem considerar que en aquesta zona el riu té una amplada constant de 00 metres i que la distància entre A i B mesurada sobre el matei marge del riu és de 4 quilòmetres (sobre el dibui, distància entre A' i B). Aquesta noia sap que durant tota l'estona que vagi nedant podrà mantenir una velocitat constant de 6 km/h, i que tota l'estona que vagi corrent podrà mantenir una velocitat constant de km/h. Fins a quin punt C haurà d'anar nedant per tal d'arribar al més ràpidament possible a B? [PAU97JBQ4] S'ha d'editar un llibre i cada full ha de contenir 8 centímetres quadrats de tet. Els marges superior i inferior de cada full han de tenir centímetres cada un, i els marges laterals, centímetre cada un. Calculeu les dimensions de cada full del llibre per tal que la despesa de paper sigui mínima. [PAU97S4BP] L'ajuntament d'una ciutat que passa greus dificultats pressupostàries ha decidit acceptar l'oferiment d'una coneguda fàbrica de galetes de contribuir a les despeses del parc municipal a canvi d'instal lar sis metres de tanca publicitària dins del parc. Aquesta tanca encerclaria una zona que passaria a ser per a ús privat del personal de la fàbrica. Per raons estètiques l'empresa vol que la tanca s'instal li segons una de les tres possibilitats següents: delimitant un recinte quadrat, delimitant un recinte circular o bé dos recintes, un de circular i l'altre de quadrat. Suposant que a l'ajuntament l'interessa preservar el màim de superfície del parc per a ús públic, decidiu quina de les tres possibilitats és l a millor i quina seria l'àrea (mínima) de parc que es perdria per a ús públic. [PAU98JP] Una via de tren passa a km del poble A i a km del poble B, de manera que el tram de via comprès entre ambdós pobles és de 5 km, tal com s'indica en l a figura. Volem construir una nova estació ferroviària i una carretera formada per dos trams rectes que uneii A amb B passant per l'estació. En quin punt del tram de via hem de col locar l'estació si volem que el recorregut de A a B passant per la nova carretera sigui mínim? Quina serà la longitud total de la nova carretera? pàgina

25 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU98J6Q] Trobeu els costats d'un rectangle d'àrea màima inscrit a l'el lipse d'equació + y, tal com s'indica en la figura següent: 6 4 [PAU98S5Q] Considereu els rectangles del pla, els vèrtes A, B, C i D dels quals compleien les condicions següents: a) A és l'origen de coordenades; b) B és a sobre del semiei de les y; c) C és a sobre del semiei de les > 0; d) D és a sobre de la recta d'equació + y, tal com es veu en la figura següent: De tots aquests rectangles, trobeu l'àrea del que la té màima. [PAU99S5P] Trobeu l'altura i el radi de la base del cilindre de volum màim inscrit en una esfera de radi. [PAU00JP] Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren AB 60 m i AC 45 m. En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent: pàgina

26 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila Voleu vendre aquest terreny i us paguen pessetes per cada metre quadrat no edificable i pessetes per cada metre quadrat edificable. a) Determineu la relació que hi ha entre l'amplada i la profunditat y del rectangle que determina la part edificable. b) Determineu l'epressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada del rectangle edificable. c) Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màim per a aquest terreny? d) Quin és aquest valor màim? [PAU00SP] El costat desigual d'un triangle isòsceles mesura m, i l'altura sobre aquestcostat és de 5 m. a) Donat un punt arbitrari sobre aquesta altura, obtingueu una epressió de la suma de les distàncies d'aquest punt a cada un dels vèrtes del triangle. b) Determineu els punts sobre l'altura que compleien que la suma de les distàncies als tres vèrtes del triangle sigui màima i els punts per als quals sigui mínima. [PAU0S4P] La riba d'un tram de riu descriu la corba y, per a entre i, i 4 en el punt A (0, 4) hi ha un poble, tal com es pot veure en l'esquema següent: a) Epresseu la distància des d'un punt qualsevol d'aquesta vora del riu fins al poble, en funció de l'abscissa. b) Quin és el punt de la vora d'aquest tram de riu que és més lluny del poble? c) Hi ha algun punt de la vora del riu a una distància del poble inferior a? [PAU0JP] S'ha de construir un gran dipòsit cilíndric de 8π m de volum. La superfície lateral ha de ser construïda amb un material que costa 0 el m i les dues bases amb un material que costa 45 el m. pàgina 4

27 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Determineu la relació que hi haurà entre el radi r de les bases circulars i l'altura h del cilindre, i doneu el cost C(r) del material necessari per construir aquest dipòsit en funció de r. b) Quines dimensions (radi i altura) ha de tenir el dipòsit perquè el cost del material necessari per construir lo sigui el mínim possible? c) Quin serà, en aquest cas, el cost del material? [PAU0SP] Suposem que el Sol es troba a l'origen d'un sistema de coordenades i que un cometa seguei una trajectòria donada per la paràbola y, tal com es veu a la figura següent: a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol? b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa? c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la màima distància del Sol? d) Hi ha algun punt en què la distància entre el Sol i el cometa sigui un màim local o relatiu? Nota: Teniu present que la distància entre dos punts és màima o mínima quan el quadrat de la distància és màim o mínim. [PAU0JP] Volem unir el punt M situat en un costat d un carrer de m d amplada amb el punt N situat a l altre costat i 9 m més avall mitjançant dos cables rectes, un des de M fins a un punt P situat a l altre costat del carrer i un altre des de P fins a N seguint el matei costat del carrer, segons l esquema següent: El cost de la instal lació del cable MP és de per metre i del cable PN de 6 per metre. Quin punt P haurem d escollir de manera que la conneió de M amb N sigui tan econòmica com sigui possible? Quin serà aquest cost mínim? [PAU0J5Q] Determineu quin és el punt de la gràfica de (, ) ), que és més a prop del punt P (4, 0). y (és a dir, de la forma [PAU0SP] Un camp té forma de trapezi rectangle, de bases 40 m i 400 m, i el costat perpendicular a les bases també de 400 m. Es vol partir tal com indica la figura per fer dos camps rectangulars C i C. Anomenem i y els catets d un dels triangles rectangles que es formen. pàgina 5

28 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila 5 a) Comproveu que y. b) Utilitzant la igualtat anterior, escriviu la suma de les àrees dels dos camps en funció de. c) El camp C es vol sembrar amb blat de moro i el camp C amb blat. Amb el blat de moro s obté un benefici de 0, per m i amb el blat un benefici de 0,0 per m. Determineu les mides de cada un dels camps per obtenir el benefici màim. [PAU04JP]6. Donats la funció f ( ) i el punt A(, 0) situat sobre l ei de les abscisses: a) Trobeu la funció que epressa la distància del punt A a un punt qualsevol de la gràfica de la funció. b) Trobeu les coordenades del punt de la gràfica de f() més proper a A. [PAU04J4Q] El consum d un cote depèn de la seva velocitat v (epressada en km/h) 0,0v e segons la funció f ( v) (en litres/km). Quina és la velocitat més econòmica? v [PAU05JP] La recta tangent a la paràbola y en un punt M situat dins del primer quadrant ( > 0, y > 0), talla l ei OX en el punt A i l ei OY en el punt B. a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fan que el triangle OAB tingui l àrea mínima. [PAU05SP] Considereu la funció f ( ) i un punt de la seva gràfica, M, situat en el primer quadrant ( 0, y 0). Si pel punt M tracem paral leles als eios de coordenades, la seva intersecció amb OX i OY determina dos punts, A i B, respectivament. a) Feu un gràfic dels elements del problema. b) Trobeu les coordenades del punt M que fa que el rectangle OAMB tingui l àrea màima. [PAU07JP] Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i un volum de 768 m. Se sap que la pèrdua de calor a través de les parets laterals val 00 unitats per m, mentre que a través del sostre és de 00 unitats per m. La pèrdua pel sòl és molt petita i es pot considerar nul la. Calculeu les dimensions del magatzem perquè la pèrdua de calor total sigui mínima. pàgina 6

29 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU08J5P] De tots els triangles rectangles d hipotenusa 0 cm, trobeu la longitud dels catets del triangle que té el perímetre màim. Comproveu que la solució trobada correspongui realment al perímetre màim. [PAU0JQ] Un segment de longitud fiada m recolza sobre els eios de coordenades. Calculeu el valor de l angle α que forma el segment amb l ei OX perquè el triangle rectangle determinat pel segment amb els eios i del qual m és la hipotenusa tingui àrea màima. Comproveu que es tracta realment d un màim. [PAU0SQ] Considereu tots els prismes rectes de base quadrada amb un volum V fiat. Anomeneu el costat de la base del prisma i y la seva altura. a) Trobeu l epressió del volum i de l àrea total del prisma en funció de les variables i y. b) Comproveu que el que té àrea total mínima és en realitat un cub. [PAUJ4Q6] Dins d un triangle rectangle, de catets i 4 cm, hi ha un rectangle. Dos costats del rectangle estan situats en els catets del triangle i un dels vèrtes del rectangle és a la hipotenusa del triangle. a) Feu un esbós de la situació descrita. b) Si és la longitud del costat del rectangle que està situat en el catet petit i y és l altre costat del rectangle, comproveu que es complei que 4 +y. c) Determineu les dimensions del rectangle perquè l àrea sigui màima. [PAUJQ5] Un triangle equilàter de vèrtes A, B i C té els costats de 8 cm. Situem un punt P sobre una de les altures del triangle, a una distància de la base corresponent. a) Calculeu l altura del triangle de vèrtes A, B i C. b) Indiqueu la distància del punt P a cadascun dels vèrte (en funció de ). pàgina 7

30 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila c) Determineu el valor de perquè la suma dels quadrats de les distàncies del punt P a cadascun dels tres vèrtes sigui mínima. [PAUJQ4] Un rectangle és inscrit en el triangle que té els costats en les rectes d equacions y, + y 8, y 0, i té un costat sobre la recta y 0. Trobeu-ne els vèrtes perquè la superfície sigui màima. [PAUS4Q4] Una fàbrica produei diàriament tones d un producte A i (40 5)/(0 ) tones d un producte B. La quantitat màima de producte A que es pot produir és 8 tones. El preu de venda del producte A és 00 per tona i el del producte B és 50 per tona. a) Construïu la funció de la variable que ens proporciona els ingressos diaris, suposant que es ven tota la producció. b) Calculeu quantes tones de cada producte s han de produir diàriament per a obtenir el màim d ingressos, i comproveu que és realment un màim relatiu. [PAUJ4Q4] Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que l amplària superior del canal sigui el doble de l amplària inferior i que els costats no paral lels siguin de 8 metres. A la dreta teniu un esquema de la secció del canal. a) Trobeu el valor del segment L de la gràfica en funció de la variable (amplària inferior del canal). b) Sabem que l àrea d un trapezi es igual a l altura multiplicada per la semisuma de les bases. Comproveu que, en aquest cas, l àrea de la secció es donada per 56 A( ) 4 c) Calculeu el valor de perquè l àrea de la secció del canal sigui màima (no cal que comproveu que es realment un màim). [PAUJQ5] En una semiesfera de radi R inscrivim un con situant el vèrte al centre de la semiesfera, tal com es veu en el dibui. pàgina 8

31 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Sabent que el volum d un con és igual a l àrea de la base multiplicada per l altura i dividida per, comproveu que, en aquest cas, podem epressar el volum com h V π ( R h ) b) Trobeu les dimensions d aquest con (el radi de la base i l altura) perquè el seu volum sigui màim i comproveu que es tracta realment d un màim. [PAUJ5Q6] Un triangle rectangle situat en el primer quadrant te el vèrte A en l origen de coordenades, el vèrte B (, 0) en el semiei positiu d abscisses i el vèrte C pertany a la recta + y 8. L angle recte es el que correspon al vèrte B. a) Comproveu que l area del triangle es pot epressar de la manera següent: A( ) 4 b) Trobeu els vèrtes B i C perquè l àrea del triangle sigui màima i comproveu que es tracta realment d un màim. [PAUSQ6] Volem construir una tenda en forma de piràmide regular de base quadrada. Disposem de 00 m de tela per a la fabricació de les quatre cares de la tenda (se suposa que en l elaboració de les cares no es perd gens de tela). Designem la longitud d un costat de la base de la tenda. a) Sabent que el volum d una piràmide és igual a un terç del producte de l àrea de la base per l altura, comproveu que, en aquest cas, V ( ) 4 ( 9 0 ) 6 b) Determineu el valor de perquè el volum sigui el més gran possible (no cal que comproveu que el valor obtingut correspon realment a un màim). [PAU4JQ] Un nedador és al mar en un punt N, situat a km d una platja recta, i just al davant d un punt S, situat a la platja arran de l aigua; i vol anar a un punt A, situat també arran de l aigua i a 6 km del punt S, de manera que el triangle NSA és rectangle 4 pàgina 9

32 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila en el vèrte S. El nedador neda a una velocitat constant de km/h i camina a una velocitat constant de 5 km/h. a) Si P és un punt entre el punt S i el punt A que està a una distància de S, demostreu que el temps, en hores, que necessita el nedador per a nedar del punt N al punt P i caminar des del punt P fins al punt A és determinat per l epressió t( ) + 5 b) Calculeu el valor de que determina el temps mínim que cal per a anar del punt N al punt A, passant per P. Quin és el valor d aquest temps mínim? CÀLCUL INTEGRAL [PAU97JAQ] Calculeu els valors de m de manera que la recta y delimitin una àrea de 6 unitats de superfície. y m i la paràbola [PAU97SBQ] Calculeu l'àrea que en el primer quadrant tanquen les corbes y 4 i y 6. y, [PAU97S4AQ] Què vol dir que una funció F() sigui primitiva d'una altra funció f()? Quantes primitives té una determinada funció? Calculeu la primitiva de la funció cos cot( ) (cotangent de ) que complei la condició que la seva gràfica passa pel sin π punt, ) π (. [PAU98JQ] Considereu la funció aproimadament la del dibui següent: f ( ) la gràfica de la qual és Calculeu l'àrea de la regió ombrejada. [PAU98S5Q] Trobeu el valor de k per tal que k k + d k [PAU98SQ] Calculeu l'àrea limitada per les corbes. y e, y e i la recta vertical [PAU99JQ] Calculeu l'àrea determinada per les corbes d'equacions 4 y i y representada en el dibui següent: pàgina 0

33 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU99JQ] Calculeu raonadament l'epressió d'una funció f() tal que i que f ( 0). f ( ) e 6 [PAU99JP] Donada la funció f ( ) a) Estudieu ne la continuïtat. b) Estudieu ne els intervals de creiement i decreiement i els màims i mínims locals. c) Calculeu l'àrea limitada per la gràfica de la funció, l'ei OX i les rectes verticals 0 i. [PAU99J6Q] Sigui f ( ). Calculeu l'àrea de la regió que limita la gràfica de f() i l'ei d'abscisses i que està representada en el dibui següent: [PAU99S5Q] Trobeu el valor del coeficient k de manera que l'àrea limitada per la funció f ( ) + k i l'ei d'abscisses sigui igual a 6 u. [PAU00JQ] Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les 6 funcions y + 7 i y representat en el dibui següent: [PAU00JQ] El polinomi p ( ) d 4. 0 Calculeu raonadament a i b. p ( ) + a + b s'anul la per a i complei pàgina

34 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU00SQ] Calculeu per integració la superfície del recinte delimitat per les corbes y i la recta d'equació y 6 0 representat en el dibui següent: [PAU0SQ] a) Quin és l'angle en radians (0 < < π ) tal que sin() cos()? b) Considereu les funcions f() sin() i g() cos(). Calculeu la superfície del recinte delimitat superiorment per les gràfiques d'aquestes funcions, inferiorment per l'ei d'abscisses i lateralment per les rectes verticals 0 i π representat en l'esquema següent: [PAU0S5Q4] Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de la funció per a 0, l'ei d'abscisses i la recta vertical. f ( ) e [PAU0S4Q4] Sabeu que la gràfica de la funció f() passa pel punt (, 4) i que la seva funció derivada és f '(). a) Determineu l'epressió de f(). b) Calculeu l'àrea de la regió limitada per la gràfica de f() i l'ei d'abscisses OX. [PAU0JQ] Calculeu la primitiva de la funció f ( ) que s'anul la en el punt d'abscissa. [PAU0JQ] Calculeu l'àrea compresa entre les gràfiques de les corbes y e i la recta 5 y representada en l'esquema següent: y e i [PAU0SQ] Calculeu el valor positiu de a que fa que l'àrea compresa entre la recta d'equació y a + a i la paràbola y a valgui 8. pàgina

35 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU0JQ] Calculeu e ln d [PAU0J5Q] Considerem la regió S del pla limitada per la paràbola y representada en l'esquema següent: y i la recta Siguin A i B els punts d'intersecció de la recta i la paràbola, i T el triangle que té per vèrtes A, B i l'origen de coordenades (0, 0). Calculeu l'àrea de la regió que resulta quan es treu el triangle T a la regió S. + ) [PAU0SQ] Donada f ( ) ( + ) e, determineu la funció g() tal que g () f () (és a dir, una primitiva de f ()) i que el seu gràfic passa pel punt (0, ). [PAU04JQ] Donada la funció f ( ) cos cos : a) trobeu la seva integral indefinida; π b) quina és la primitiva de f() que passa pel punt,0 Indicació: recordeu que sin + cos ( [PAU04JP] Considereu la funció f ( ) + m +, m 0. a) Calculeu el valor de m per tal que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció, l ei OX i les rectes 0 i sigui de 0 unitats quadrades. b) Per a m, indiqueu el punt o els punts on la recta tangent a la gràfica de la funció forma un angle de 45 amb el semiei positiu de OX. [PAU04J4Q] Calculeu l àrea del recinte tancat que delimiten la gràfica de la funció y i la recta y. [PAU04S5Q] Calculeu el valor de la integral següent: d [PAU05J4Q] Donada la funció f ( ) a) Calculeu la integral f ( ) d. 5 4 b) Trobeu la primitiva F de f que compleii F(). [PAU05JP] Considereu la funció f ( ) 4 a) Calculeu l equació de les rectes tangents a la gràfica de f en els punts d abscisses 0 i 4. pàgina

36 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila b) Feu un gràfic dels elements del problema. c) Calculeu l àrea compresa entre la gràfica de f i les rectes tangents que heu trobat a l apartat a). [PAU06JQ] Considereu la funció y f () definida per a [ 0,5] dibuiada a la figura adjunta que aparei a) Quina és l epressió de la seva funció derivada quan eistei? b) Calculeu 0 f ( ) d [PAU06S4Q] El gràfic de la funció f ( ), quan >0, és com seguei + a) Trobeu una primitiva de la funció f. b) Calculeu l àrea de la regió ombrejada. [PAU06S4P] Considereu la paràbola d equació y + a) Calculeu les equacions de les rectes tangents a la paràbola en els punts d abscissa i. b) Calculant el mínim de la funció y +, trobeu el vèrte de la paràbola. c) Trobeu les interseccions de la paràbola amb els eios i feu una representació gràfica de la paràbola i de les tangents obtingudes al primer apartat. d) Calculeu l àrea compresa entre la paràbola i les rectes tangents. [PAU07JQ] Busqueu els etrems relatius i els punts de tall amb els eios, i feu una 4 representació aproimada de la corba d equació y. A continuació, calculeu l àrea del recinte tancat per aquesta corba i l ei d abscisses. [PAU07SQ4] La funció derivada F () d una funció contínua F : R R que passa per l origen és una funció a trossos formada per les semirectes del dibui. pàgina 4

37 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques Escriviu l epressió de la funció F() com una funció a trossos. [PAU07SP] Donades les funcions f ( ) a 4 i g ( ) + b : a) Calculeu a i b de manera que les gràfiques de f() i de g() siguin tangents en el punt d abscissa, és a dir, que tinguin la mateia recta tangent en aquest punt. b) Trobeu l equació de la recta tangent esmentada en l apartat anterior. c) Pel valor de a obtingut en el primer apartat, calculeu el valor de l àrea de la regió limitada per l ei d abscisses OX i la funció f (). [PAU08JQ] Se sap que certa funció derivable F() verifica les condicions següents: F ( ) i F() 4 a) Trobeu F(). b) Calculeu l àrea compresa entre F() i l ei OX des de 0 fins a. ( a ) [PAU09J4Q] Considereu la funció f ( ), amb a>0. a a) Trobeu els punts de tall de la funció f() amb l ei OX. b) Comproveu que l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f () i l ei d abscisses no depèn del valor del paràmetre a. [PAU09J4P] La gràfica de la funció f ( ) +, des de fins a 4, és la següent: pàgina 5

38 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila a) Calculeu l equació de les rectes tangents a aquesta funció en els punts d abscissa i. b) Dibuieu el recinte limitat per la gràfica de la funció i les dues rectes tangents que heu calculat. c) Trobeu els vèrtes d aquest recinte. d) Calculeu la superfície del recinte damunt dit. [PAU09JQ] Considereu les corbes y 4 i y 6. a) Trobeu-ne els punts d intersecció. b) Representeu les dues corbes en una mateia gràfica, on es vegi clarament el recinte que limiten entre elles. c) Trobeu l àrea d aquest recinte limitat per les dues corbes. 4 b [PAU09JP] Sigui la funció f ( ) a + + a) Calculeu els valors de a i b, sabent que la recta + y 4 és tangent a la gràfica de la funció f () en el punt d abscissa. Per a la resta d apartats, considereu que a i que b 4. b) Trobeu els intervals de creiement i de decreiement de la funció f (). Trobeu i classifiqueu els etrems relatius que té la funció. c) Calculeu els punts de tall de la funció f () amb l ei OX. d) Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f (), l ei OX i les rectes i. [PAU0JQ5] La gràfica de la funció f () sin() és la següent: pàgina 6

39 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Trobeu-ne una primitiva. b) Aplicant el resultat de l apartat anterior, calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de la funció f () i l ei d abscisses des de 0 fins a π [PAU0J5Q6] En la figura es mostra la corba y (4 ) i una recta r que passa per l origen i talla la corba en un punt P d abscissa k, amb 0 < k < 4. a) Trobeu l àrea ombrejada, delimitada per la corba i la recta, en funció de k. b) Trobeu per a quin valor de k l àrea de la regió ombrejada és la meitat de l àrea del recinte limitat per la corba i l ei OX. 8 [PAU0SQ5] Sigui f ( ). Trobeu l àrea del recinte limitat per la gràfica + d aquesta funció, l ei OX i les rectes 0 i. [PAUJQ] Definim les funcions f ( ) a( ) i g( ), en què a>0. a a) Comproveu que l àrea del recinte limitat per les gràfiques de les funcions és: 4( + a ) a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè aquesta àrea sigui mínima. pàgina 7

40 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAUJ4Q] Calculeu l àrea del recinte limitat per les corbes d equació f ( ) + i g( ) 5 / a [PAUSQ6] Sigui f a ( ) ( a + ) d per a>0. 0 a) Comproveu que f ( a) + a a b) Calculeu el valor del paràmetre a perquè la funció f(a) tingui un mínim relatiu. [PAUJQ] La gràfica de la funció f ( ) 9 és la següent: a) Trobeu el punt de tall, (a, 0), de la funció amb la part positiva de l ei OX. b) Calculeu l àrea del recinte limitat per la gràfica de f() i l ei OX en el primer quadrant. [PAUJ4Q] La corba y i la recta y k, amb k > 0, determinen una regió plana. a) Calculeu el valor de l àrea d aquesta regió en funció del paràmetre k. b) Trobeu el valor de k perquè l àrea limitada sigui 6 u. [PAUJQ] Donada la funció f ( ) i la recta horitzontal y k, amb k > 0, a) Feu un esbós del recinte limitat per les gràfiques de la funció i la recta, i els eios de coordenades. b) Trobeu el valor de k sabent que l àrea d aquest recinte és igual a 4/. [PAU4JQ4] Calculeu l àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions y, y 4 i y 9. [PAU4J4Q6] Responeu a les qüestions següents: a a) La funció f ( ) ( b ) e, amb a i b constants, té la representació gràfica següent pàgina 8

41 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques i sabem que passa pels punts A (0, ) i B (, 0), i que en el punt A la recta tangent a la gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de a i b. b) Calculeu d ln MATRIUS I SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS [PAU97S4BQ4] Epliqueu què vol dir que un sistema d'equacions lineals sigui compatible i què vol dir que sigui indeterminat. Poden haver hi sistemes que siguin a la vegada incompatibles i indeterminats? Digueu finalment per a quins valors del paràmetre a el sistema d'equacions següent és indeterminat, i per a quins valors de a és incompatible: a + y 0 + y + z a + y + z [PAU98JQ] Donada la matriu una matriu X tal que B X B B 4., utilitzeu la matriu inversa B per trobar [PAU98S5Q4] Discutiu el sistema d'equacions a y + z ( a) + y z a + y z a segons els valors del paràmetre a. [PAU99JQ] Resoleu el sistema següent per als valors de k que el facin compatible + y y 4 + y k pàgina 9

42 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU00JQ] Donat el sistema d'equacions - y + z 5 - y + z 4 a) Afegiu hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui incompatible. b) Afegiu hi una equació lineal de manera que el sistema resultant sigui compatible indeterminat. Resoleu el sistema que s'obtingui. [PAU00JQ] Se sap que el sistema d'equacions + y az + y 8z y + 0z 5 té més d'una solució. Calculeu a i digueu quina és la interpretació geomètrica que té el conjunt de totes les solucions d'aquest sistema. [PAU0JQ4] Per a quin o quins valors del paràmetre real λ el sistema d equacions + y + ( λ + ) z 0 + (λ) y + z 0 z 4 és compatible i indeterminat? [PAU0J5Q4] Considereu el sistema d'equacions a + y + z a + y + a z a + y + z 4 on a és un paràmetre. Si, y, z és una solució, quin és el valor del paràmetre a? [PAU04JP] Donat el sistema y + z + y + z ( m) + (m ) z m on m és un paràmetre: a) discutiu el sistema segons els valors de m; b) resoleu els casos compatibles; c) en cada un dels casos de la discussió de l apartat a), feu una interpretació geomètrica del sistema. [PAU04JQ] La matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, un cop reduïda pel mètode de Gauss, és pàgina 40

43 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) El sistema, és compatible o incompatible? Raoneu la resposta. b) En cas que sigui compatible resoleu-lo. [PAU04JQ] Considereu les matrius A, B Trobeu una matriu X que compleii A X + A B. [PAU04J4P] Considereu el vector w r i la matriu A a) Trobeu tots els vectors v r r r y que fan que A v w. z a b) Quina condició han de complir a, b i c per tal que A v r b no tingui cap vector v r c solució? [PAU04S5Q] Donades les matrius A, B : a) trobeu una matriu X tal que A X B ; b) calculeu B 00. Raoneu la resposta. a b [PAU05J4Q] Donades les matrius A i B, on a i b són nombres 0 0 reals, trobeu els valors de a i b que fan que les dues matrius commutin, és a dir, que fan que es compleii A B B A [PAU05J4P] De tres nombres,, y, z, sabem el següent: que el primer més el segon sumen 0; que el primer més el tercer sumen ; que la suma de tots tres és 0 i, per acabar, que el primer multiplicat per un nombre k més el doble de la suma del segon i del tercer dóna. a) Què podeu dir del valor de k? b) Quant valen els tres nombres? [PAU05JQ] Considereu el sistema següent en funció del paràmetre real a: ay a + y a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu els casos compatibles. [PAU05JQ] La matriu següent epressa els preus unitaris, en euros, de quatre articles, A, B, C i D, procedents de les fàbriques f, f i f: pàgina 4

44 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila P Si una comanda és representada per un vector fila C ( y z t), què representa cadascun dels elements del resultat del producte C P? Si volem comprar 5 unitats de A, 0 de B, 60 de C i 75 de D, quina de les fàbriques ens oferei el millor preu? [PAU05SQ] En un sistema hi ha, entre d altres, aquestes dues equacions: + y z 5 i + 4y 6z Què podeu dir de les solucions del sistema? [PAU06JQ] Esbrineu si el sistema següent pot ser compatible indeterminat per a algun valor del paràmetre m. + y + z 0 + 4y + z 0 + y + mz 0 És incompatible per a algun valor de m? [PAU06JQ] Donades les matrius A i B 4 a) Calculeu A B i B A b) Comproveu que ( A + B) A + B 0 [PAU06JQ4] Sigui la matriu A 4 m. Determineu els valors de m per als 0 m quals rang ( A) <. Pot ser rang ( A) per a algun valor de m? p + 7 y + 8z 70 [PAU06S4P] Considereu el sistema d equacions + y + z py + 8z 95 a) Discutiu-lo en funció del paràmetre p. b) Doneu la interpretació geomètrica en els casos en què el sistema és incompatible. c) Resoleu el sistema per a p 6. + y + z 5 [PAU07JP] Discutiu el sistema següent + py + z 0 en funció del paràmetre p + 6y + z p. Doneu la interpretació geomètrica del sistema en cada cas i resoleu-lo quan sigui compatible. pàgina 4

45 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques 0 [PAU07SQ] Considereu la matriu A. Trobeu els valors de p i q que fan p q que es verifiqui A A. En aquest cas, raoneu sense calcular què val A 0. [PAU08JQ] Considereu les matrius A i B. a) Trobeu la matriu M, quadrada d ordre, tal que M A B. b) Comproveu que M I (matriu identitat d ordre ) i deduïu l epressió de M n. [PAU08JQ] Discutiu el sistema d equacions lineals següent en funció dels valors del paràmetre m. + y + ( m ) z + ( m ) y + z m ( m ) + y + z m + a + b [PAU08J5Q] Considereu la matriu A, on a i b són nombres reals. 0 a b a) Calculeu el valor de a i b per tal que A. 0 b) Segons els valors obtinguts en l apartat anterior, calculeu A i A 4. c) Si n és un nombre natural qualsevol, doneu l epressió de A n en funció de n. [PAU08J5P] Considereu el sistema d equacions següent: + y ( a ) z 4 y + z 4 4 ( a + ) y + z a a) Discutiu-lo en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan sigui compatible indeterminat. c) En el cas de l apartat anterior, trobeu una solució del sistema en què, y i z tinguin valors enters. 0 0 [PAU08S4Q] Considereu la matriu A a) Calculeu A i A. b) Determineu, raonadament, el valor de A 604. [PAU08S4Q] Considereu un sistema de dues equacions amb tres incògnites. a) Pot ser incompatible? b) Pot ser compatible determinat? Raoneu les respostes. pàgina 4

46 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila pàgina 44 [PAU09J4Q] Siguin A i B a) Comproveu que la inversa de A és A. b) Comproveu també que A 58 B. [PAU09J4Q4] En la resolució pel mètode de Gauss d un sistema de tres equacions amb tres incògnites ens hem trobat amb la matriu següent: a) Epliqueu, raonadament, quin és caràcter del sistema inicial. b) Si és compatible, trobeu-ne la solució. [PAU09JQ] Considereu la matriu a b b a A. Trobeu els valors dels paràmetres a i b perquè la matriu tingui rang. [PAU09JQ] Donat el sistema + + p y p p py a) Discutiu-ne el caràcter en funció del paràmetre p. b) Resoleu-lo quan p. [PAU09SQ] Considereu la matriu b a A 0. Calculeu el valor dels paràmetres a i b perquè 0 A [PAU09SP] Considereu el sistema d equacions següent: ) ( ) ( 0 ) ( 0 5 a z a y a y z a a z y a) Epliqueu, raonadament, si es tracta d un sistema lineal homogeni. b) Construïu-ne la matriu de coeficients i la matriu ampliada. c) Trobeu els valors del paràmetre a per als quals el sistema no és compatible determinat, i estudieu el caràcter del sistema en cada un d aquests casos. d) Resoleu-lo solament quan el conjunt de les seves solucions és una recta de R. [PAU0JQ6] Sigui y A. Trobeu els valors de les variables i y perquè es compleii que A A. [PAU0J4Q] Considereu la igualtat matricial (A + B) A + AB + B.

47 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Comproveu si les matrius i compleien o no la igualtat anterior. b) En general, donades dues matrius qualssevol A i B quadrades del matei ordre, epliqueu raonadament si hi ha alguna condició que hagin de complir perquè la igualtat de l enunciat sigui certa. + y z [PAU0JQ] Donat el sistema d equacions lineals + y + z 4 y + ( p ) z 5 a) Estudieu-ne el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) en funció del paràmetre p. b) Comproveu que si p 5 la solució del sistema no depèn del valor d aquest paràmetre. [PAU0J4Q4] Hem escalonat la matriu ampliada d un sistema d equacions lineals, A X b, i hem obtingut: ( A b) ~ 0 a a a) Discutiu aquest sistema en funció del paràmetre a. b) Resoleu-lo quan a. [PAU0J5Q] Considereu un sistema qualsevol de dues equacions amb tres incògnites. Responeu raonadament a les qüestions següents: a) És possible que el sistema considerat sigui compatible determinat? b) Pot ser incompatible? [PAU0J5Q4] Siguin A, B i C matrius quadrades d ordre n. a) Epliqueu raonadament si és possible que det A 0, det B 0 i det (A B) 0. Si és possible, poseu-ne un eemple. b) Si sabem que det A 0 i que A B A C, epliqueu raonadament si podem assegurar que B C. [PAU0SQ4] Considereu la matriu A. 7 a) Comproveu que complei la igualtat A 5A I, on I és la matriu identitat d ordre. b) Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de A. 0 c) Resoleu l equació matricial A X, utilitzant la matriu inversa de A. 0 [PAUJQ] Si tenim la matriu invertible A i l equació matricial X A+BC: a) Aïlleu la matriu X. b) Trobeu la matriu X quan A, B i C pàgina 45

48 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila pàgina 46 [PAUJQ4] Considereu el sistema d equacions següent: ) ( 4 4 5) ( z y a a z y a az y a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè el sistema no sigui compatible determinat. b) Hi ha algun valor de a per al qual, y, z sigui l única solució del sistema? [PAUJ4Q4] Analitzeu, segons els valors del paràmetre k, el caràcter (és a dir, si és compatible o no i si és determinat o no) del sistema d equacions següent: ) ( 0 6) ( 4 y k z y k k z y [PAUSQ] Donada la matriu + k k k k M 0 0 : a) Calculeu els valors del paràmetre k per als quals la matriu M no és invertible. b) Per a k0, calculeu M. [PAUSQ4] Sigui la matriu / / 0 / / A a) Calculeu A i A. b) Deduïu el valor de A 0. [PAUJQ4] Donades les matrius A i B, a) Comproveu que es complei la igualtat (A+B)(A B)A B. b) És certa aquesta igualtat per a qualsevol parell de matrius quadrades A i B del matei ordre? Responeu raonadament utilitzant les propietats generals de les operacions entre matrius, sense utilitzar matrius A i B concretes. [PAUJQ] Sigui A una matriu quadrada d ordre n de manera que A O, en què O és la matriu nul la (la formada completament per zeros). a) Comproveu que (A+ I n ) A+ I n b) Comproveu que les matrius B I n A i CA+I n són l una inversa de l altra. [PAUJQ5] Contesteu les preguntes següents: a) Epliqueu raonadament si una matriu d ordre i una matriu d ordre poden tenir el matei determinant. b) Considereu les matrius següents: p p p A i p p B

49 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques Calculeu, si és possible, el valor del paràmetre p perquè det A det B. [PAUS4Q] Determineu el rang de la matriu paràmetre k. k A k en funció del k [PAUS4Q] Considereu el sistema d equacions lineals següent: + y z + ay 5z a + y + ( a ) z 9 a) Calculeu el valor o els valors del paràmetre a per al qual o per als quals el sistema és compatible indeterminat. b) Quantes solucions té aquest sistema quan a? [PAUJ4Q] Sabem que el vector (,, ) es una solució del sistema a + by + cz a + c b y + bz a b c c by + z b Calculeu el valor dels paràmetres a, b i c. 6 [PAUJ4Q] Sigui A 0. 6 p 6 a) Què significa que la matriu B sigui la matriu inversa de A? b) Trobeu el valor del paràmetre p perquè la matriu inversa de A i la matriu transposada de A coincideiin. Nota: No aproimeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals. [PAUJQ] Considereu la matriu d ordre. A a +. Sigui I la matriu identitat a a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè es compleii que A A I. b) Calculeu la matriu inversa de la matriu A quan a. [PAUJ5Q] La matriu de coeficients d un sistema d equacions lineals homogeni és pàgina 47

50 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila pàgina a a A a) Per a quins valors del paràmetre a el sistema té una sola solució? Quina és aquesta solució única? b) Resoleu el sistema si a. [PAUSQ4] Siguin les matrius 5 4 c b a A, a c b B, a b C, on a, b i c són paràmetres reals. Calculeu el valor d aquests paràmetres perquè cap de les tres matrius tingui inversa. [PAU4JQ] Considereu la matriu + + ) ( ) ( a a a a a a M, per a R a. a) Calculeu el rang de la matriu M en funció dels valors del paràmetre a. b) Discutiu i resoleu el sistema d equacions lineals z y M segons els valors del paràmetre a. [PAU4JQ6] Responeu a les qüestions següents: a) Demostreu que si A és una matriu quadrada que satisfà la igualtat I A, on I çes la matriu identitat, aleshores A és invertible i A satisfà ( ) I A b) Calculeu l epressió general de les matrius de la forma c b a A amb 0 b que satisfan la igualtat I A. [PAU4J4Q] Responeu a les qüestions següents: a) Discutiu el sistema d equacions lineals ) (4 0 ) ( ) ( z y z y k z k y k en funció dels valors de k. b) Resoleu el sistema per a k. [PAU4J4Q5] Responeu a les qüestions següents: a) Si A i B són dues matrius quadrades d ordre n, demostreu que ( ) BA AB B AB A B A + + +

51 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a b b) Si M i M són dues matrius de la forma, amb a, b R, comproveu que el b a producte M M té també la mateia forma i que M M M M m y m [PAU4S5Q] Considereu el sistema d equacions lineals, per a + ( m 4) y m + m R. a) Discutiu el sistema d equacions per als diferents valors del paràmetre m. b) Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible [PAU4S5Q6] Considereu l equació matricial X A B, en què A a a i 0 4 B 5 5 a) Per a quins valors del paràmetre a l equació matricial té una solució única? b) Trobeu la matriu X que satisfà l equació matricial quan a. GEOMETRIA DE L'ESPAI [PAU97JBQ] Estudieu la posició relativa de les dues rectes r i s de l'espai donades per les equacions següents: + z 9 y r : s : y y + z + 5 [PAU97JAQ4] Estudieu, segons els diferents valors que pot tenir el paràmetre m, les posicions relatives del pla p i de la recta r que es donen a continuació: + y p : m y + z r : y + mz [PAU97SAQ]. a) Si A, B i M són tres punts de l'espai que compleien la relació AB AM digueu quin serà el valor de r a l'epressió MA r MB b) Si la relació anterior entre vectors s'hagués produït al pla i les coordenades de A i B fossin respectivament (, 5) i ( 5, 7), quines serien les coordenades del punt M? Justifiqueu la resposta. [PAU97S4AQ] Un vector v r de l'espai forma un angle de 60 graus amb l'ei de les i de 0 graus amb l'ei de les y. Sabent que les seves dues primeres coordenades són positives i que el seu mòdul és 7, calculeu les seves tres coordenades. pàgina 49

52 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU97S4BQ] Considereu els punts de l'espai O (0, 0, 0), A (,, ) i B (,, ). Epresseu el vector OA com a suma d'un vector de la mateia direcció que OB i d'un vector perpendicular a OB. Calculeu la distància del punt A a la recta determinada per O i per B. [PAU98JQ] Trobeu les equacions d'un pla paral lel al pla d'equació y + z 8 0 i que dista d'aquest sis unitats. N'hi ha més d'un, de pla, que compleii aquestes condicions? [PAU98J6Q] Sigui π el pla de l'espai que passa pel punt (0, 0, ) i que conté els vectors u r (,, 5) i v r (,, ). Sigui r la recta d'equacions: 4 y + z 0 + y + z 0 a) Escriviu l'equació cartesiana de pla π (equació de la forma a+by+czd). b) Estudieu la posició relativa de r respecte a π (heu de dir si r és paral lela a π, si està continguda en π o bé si talla π) [PAU98J6Q4] a) Sigui P un punt de l'espai, i π, un pla. Definiu el concepte de distància del punt P al pla π. b) Sigui P en punt de coordenades (,, 0), i π, el pla d'equació + y + z 5. Trobeu la distància de P a π. [PAU98S5P] Donat el pla π d'equació + 4 y + z 8 i sent A, B i C els punts d'intersecció d'aquest pla amb els eios de coordenades OX, OY i OZ, respectivament: a) Determineu les coordenades dels punts A, B i C. b) Determineu les equacions de la recta perpendicular al pla π que passa per l'origen de coordenades. c) Calculeu el volum del tetràedre determinat per OABC, on O és l'origen de coordenades. d) Calculeu la distància de l'origen de coordenades al pla π. Determineu l'àrea del triangle ABC (podeu utilitzar el volum calculat en l'apartat anterior). [PAU98SQ] Donat el pla π d'equació y + z 4 i el punt H (,, ), determineu les coordenades de la projecció ortogonal de H sobre π. (Recordeu que la projecció ortogonal d'un punt H sobre un pla π és el peu de la perpendicular a π traçada des de H.) [PAU99JP] Donat el tetràedre de vèrtes A (0, 0, 0), B (,, ), C (, 0, 0) i D (0,, 0) a) Calculeu l'equació del pla que conté la cara BCD i la del pla que conté la cara ACD. b) Calculeu les equacions de dues de les altures del tetràedre, la que passa pel vèrte A i la que passa pel vèrte B, respectivament. (Nota: altura d'un tetràedre és la recta que passa per un vèrte i és perpendicular al pla que determina la cara oposada.) c) Comproveu que les dues altures anteriors es tallen en un punt P. d) Comproveu si la recta que unei qualsevol vèrte del tetràedre amb P és perpendicular a la cara oposada (i és, per tant, una altura del tetràedre). pàgina 50

53 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques z 5 [PAU99J6Q4] Considereu les rectes r : y z i s : y Comproveu que aquestes dues rectes són paral leles i calculeu l'equació del pla que les conté. [PAU99SQ] Considereu la recta r de l'espai d'equacions z + y Trobeu l'equació cartesiana del pla que conté r i que passa pel punt P (,, ) (equació cartesiana vol dir la de la forma a + by + cz d). [PAU99SQ] Si el rang de la matriu d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites és i el de la matriu ampliada és, quines interpretacions geomètriques podeu donar a aquest sistema? Doneu un eemple de sistema amb aquestes característiques i la seva interpretació geomètrica. [PAU99SP] Donats els punts de l'espai A (,, 0), B (0,, 0), C (, 0, 0) i D (0,, 0) a) Són coplanaris? Formen un paral lelogram? b) Calculeu l'àrea del polígon ABCD. c) Calculeu el punt simètric del punt E (,, ) respecte del pla que determinen A, B i C. d) Calculeu la distància entre la recta que passa per E i A i la recta que passa per B i C. 4 y z 0 [PAU99S5Q] Donades les rectes r : i r y : z + y z 0 Calculeu l'equació del pla paral lel a les dues rectes que passa per l'origen. [PAU00JP] Donats el pla π d'equació + y + z 0, la recta r d'equacions z - i el punt P (,, ), calculeu: y z + 4 a) Unes equacions de la recta que passa per P i és perpendicular a π. b) L'equació del pla que passa per P i és perpendicular a la recta r. c) Unes equacions de la recta que passa per P i talla perpendicularment r. d) Unes equacions de la recta que passa per P, és paral lela al pla π i tal que el seu vector director és perpendicular al de r. [PAU00JP] Un quadrat de l'espai té tres dels seus vèrtes consecutius situats en els punts de coordenades enteres P (,, 4), Q (a,, a + ) i R (,, 0). a) Tenint en compte que els vectors PQ i QR han de ser perpendiculars, calculeu el valor del nombre enter a. b) Calculeu l'equació del pla que conté aquest quadrat. c) Calculeu el quart vèrte d'aquest quadrat. d) Calculeu l'àrea d'aquest quadrat. [PAU00SQ] Donats els vectors u r (,, 4), v r (,, ) i w r (, 0, 0) a) Determineu si són vectors linealment dependents o independents. pàgina 5

54 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila b) Calculeu la relació que hi ha d'haver entre els valors de a i b per tal que el vector (a,, b) sigui combinació lineal de u r i v r [PAU00SP] Considereu la recta 5y z 0 y z 0 el pla y + az + 0, on a és un paràmetre. a) Per a quin valor de a la recta i el pla són paral lels? Quina serà llavors la distància entre el punt P (, 0, ) de la recta i el pla? b) Eistei algun valor de a per al qual la recta i el pla siguin perpendiculars? c) Determineu el valor de a perquè la recta i el pla formin un angle de 0º. [PAU00S6Q] Calculeu el peu de la recta perpendicular a la recta (, y, z) (,, ) + λ(0,, ) traçada des del punt (, 0, ). [PAU00S6P] Considereu la recta r de l'espai que passa pel punt P (,, ) i té per vector director v r ( a, a, ). Sigui π el pla que té per equació + y z. a) Determineu per a cada valor del paràmetre a la posició relativa de la recta r respecte al pla π (paral lela, continguda o amb un punt d'intersecció). b) Hi ha alguna de les rectes r que sigui perpendicular al pla π? c) Calculeu la distància que hi ha entre el punt P i el pla π. [PAU0SQ] Donats els punts de l'espai A (, 0, 0), B (0,, 0) i C (0, 0, ). a) Determineu l'equació del pla π que els conté. b) Calculeu l'equació de la recta r perpendicular al pla π i que passa per l'origen. y + z + [PAU0S5P] Considereu a l'espai la recta r d'equacions i la recta s 4 d'equacions + 4 y + z a) Determineu el punt de tall de la recta r amb el pla z 0. b) Comproveu que les rectes r i s són paral leles i calculeu la distància entre elles. c) Quina és l'equació del pla que conté les dues rectes? d) Calculeu la distància del pla anterior a l'origen de coordenades. [PAU0S4Q] Determineu per a quins valors del paràmetre a el pla π: a + y + z a ay + z és paral lel a la recta r: a + z a + [PAU0S4P] Sigui π el pla d'equació y + z i P el punt (,, 0). a) Calculeu la distància d de P a π. b) Determineu l'equació de l'altre pla π' paral lel a π que també dista d del punt P. c) Determineu l'equació de la recta r perpendicular a π que passa per P. d) Calculeu la intersecció de la recta r amb el pla π. [PAU0JQ] Considereu els plans d'equacions: π : + y z i π : a + (a )y + z 4. pàgina 5

55 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Hi ha algun valor del paràmetre a per al qual la intersecció dels plans π i π no és una recta? b) Calculeu un vector director de la recta que s'obté quan es fa la intersecció de π i π per al valor del paràmetre a 0. y 5 [PAU0JQ4] Considereu la recta r d'equacions: punts d'aquesta recta situats a una distància del punt A (, 0, ). z 7. Calculeu els 4 [PAU0JQ4] Calculeu l'angle que forma el pla y + z amb la recta determinada t per les equacions y + t z [PAU0JP] Considereu les rectes r i s amb les equacions següents: y + 0 y + 0 r : s : z + 0 z 0 a) Calculeu, de cada una de les rectes, un punt i un vector director. b) Determineu si eistei cada un dels objectes següents i en cas afirmatiu calculeu la seva equació: i) El pla paral lel a la recta s que conté la recta r. ii) El pla perpendicular a la recta s que conté la recta r. iii) La recta perpendicular a les rectes r i s que passa per (0, 0, 0). [PAU0SQ] Comproveu que la recta que passa pels punts A (4, 0, 0) i B (0,, ) és paral lela al pla d'equació y + 5z, i calculeu la distància entre la recta i el pla. [PAU0SP] Considerem el cub de vèrtes A, B, C, D, E, F, G, H que té l'aresta de longitud 4 dm. a) Determineu l'equació del pla inclinat EHBC si prenem com a origen de coordenades el vèrte D i com a eios de coordenades DA, DC i DH en aquest ordre, tenint en compte que el sentit positiu de cada un d'ells és el que sortint de l'origen D va cap a A, C i H, respectivament. b) Calculeu les equacions de les diagonals CE i AG i utilitzeu les per calcular les coordenades del seu punt d'intersecció. y + z [PAU0JQ] Considereu el punt P ( 5,,9) i la recta r : 6 a) Calculeu l equació de la recta s que talla perpendicularment r i que passa per P. b) Calculeu el punt de tall T entre les rectes r i s. pàgina 5

56 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila y [PAU0J5Q] Determineu l'equació del pla que conté a la recta z + i passa per l'origen de coordenades. [PAU0SQ4] Considereu els punts de l espai A (0, a, 4a ), B (,, 4), C (, 5, ). a) Comproveu que el triangle de vèrtes A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor de a. b) Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isòsceles. [PAU0SP] Un segment d etrems A (5,, ) i B (4,, ) es dividei en tres parts iguals mitjançant dos plans perpendiculars a aquest segment. Calculeu les equacions dels dos plans i la distància entre ells. [PAU04JQ4] Considerem els punts de l espai A(,, 0), B(0,, ) i C(,, ). Ens diuen que aquests tres punts formen part del conjunt de solucions d un sistema de tres equacions lineals amb tres incògnites. Es demana: a) aquests punts, estan alineats? b) podem saber el rang de la matriu del sistema d equacions? Raoneu adequadamant les respostes. [PAU04JP] Tenim quatre punts a l espai: A(0, 0, 0); B(0, 0, ); C(0,, 0) i D(, 0, 0). Es demana: a) representeu gràficament els quatre punts; b) calculeu el volum del tetràedre (piràmide de base triangular) ABCD; c) trobeu l equació del pla que passa per B, C i D; d) calculeu la distància de l origen al pla de l apartat anterior. [PAU04JQ] Considereu els punts de l espai A(0, 0, ), B(,, ) i C(0,, ). a) Trobeu l equació del pla ABC. b) Si D és el punt de coordenades (k, 0, 0), quant ha de valer k per tal que els quatre punts A, B, C i D siguin coplanaris? [PAU04JQ4] Els punts A(k,, 4), B(0, k +, ) i C(, 6, k + ) són tres dels vèrtes d un rombe ABCD (vegeu la figura). a) Calculeu el valor de k. b) Demostreu que el rombe és un quadrat. [PAU04J4Q] Considereu els punts de l espai A(,, ), B(0,, ) i C(k,, 5). a) Trobeu l equació de la recta que passa per A i B. b) Per a quins valors de k els punts A, B i C formen un triangle? pàgina 54

57 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques + t [PAU04J4P] Considereu la recta r d equació y 5 t z + t a) Trobeu, en funció de t, la distància de M a un punt qualsevol de la recta r. b) Trobeu les coordenades dels punts A i B de r situats a distància del punt M. c) El triangle AMB, és rectangle en M? d) Els punts A i B formen part d un paral lelogram de vèrtes ABCD que té el centre de simetria en el punt M. Calculeu les coordenades de C i D. [PAU04S5P] Considereu les rectes y + z r : i a) Estudieu la seva posició relativa. b) Trobeu l equació del pla que conté s i és paral lel a r. c) Calculeu la distància entre r i s. + t s : y 4t z 5 + t [PAU05J4P] Una piràmide de base quadrada té el vèrte en el pla d equació z. Tres dels vèrtes de la base són els punts del pla OXY: A (, 0, 0), B (,, 0) i C (0,, 0). a) Feu un gràfic dels elements del problema. Quines són les coordenades del quart vèrte de la base, D? àreabase altura b) Quin és el volum de la piràmide? Volum c) Si el vèrte de la piràmide és el punt V (a, b, ), quina és l equació de la recta que conté l altura sobre la base? [PAU05JQ] Trobeu la distància entre la recta π : + 4y y z + r : i el pla 4 [PAU05JQ4] Un segment d origen en el punt A (, 4, ) i etrem en el punt B està dividit en cinc parts iguals mitjançant els punts de divisió A, A, A i A4 (vegeu la figura). Si sabem que A (, 0, ), quines són les coordenades de B? [PAU05SQ] Considereu els vectors de R : v r (,, 4), v r (,, ) i v r (, k +, k + ) a) Trobeu l únic valor de k per al qual aquests vectors no són una base de R : b) Per a un valor de k diferent del que heu trobat en l apartat a), quins són els r r r r r r r components del vector w v + v + v en la base { v, v, v }? [PAU05SQ] Trobeu la distància entre la recta π : y + z y z + r : i el pla pàgina 55

58 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU05SQ4] Donats els punts A (, 0, 0) i B (0, 0, ): a) Trobeu un punt C sobre la recta d equació paramètrica triangle ABC sigui rectangle en C. b) Trobeu l àrea del triangle ABC. y + λ que faci que el z + λ [PAU06JQ] Trobeu les coordenades dels punts situats sobre la recta d equació (, y, z) (,,) + t (,,) que estan a distància del pla + y + z 5 [PAU06JP] Una recta r passa pel punt A (,0,) i té la direcció del vector (,,4 ) a) Trobeu quin angle forma r amb el pla horitzontal. b) Comproveu que no passa pel punt A (,,0 ) c) Trobeu l equació de la recta que passa per A i B. y 0 [PAU06JQ] Determineu l equació del pla perpendicular a la recta r : + z + 0 que passa pel punt (,, ). Quina distància hi ha d aquest pla a l origen de coordenades? 5y z 0 [PAU06JP] Considereu la recta r : i el pla y z 0 p : z y + az + 0 on a és un paràmetre. a) Trobeu un vector director de la recta i un vector perpendicular al pla. b) Quin ha de ser el valor de a per tal que la recta i el pla siguin paral lels? c) Esbrineu si eisteien valors de a per als quals la recta i el pla siguin perpendiculars. En cas afirmatiu, calculeu-los. d) Esbrineu si eisteien valors de a per als quals la recta i el pla formin un angle de 0º. En cas afirmatiu, calculeu-los. [PAU06S4Q] Calculeu l equació de la recta paral lela a la recta passa pel punt ( 0,,0 ) + y z 0 r : que y + z [PAU06S4Q4] Determineu els etrems d un segment AB sabent que el punt A pertany al y z pla + y + z 0. el punt B pertany a la recta i el punt mitjà del segment és ( 0,0,0) [PAU07JQ] Trobeu l equació del pla perpendicular a la recta passa per l origen de coordenades. + y + z r : que + y [PAU07JQ4] Trobeu els punts de la recta r : y + z que equidisten dels plans π : 4 z 0 i π : + 4y 0 pàgina 56

59 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques [PAU07JP] A l espai es consideren els tres plans d equacions: π : + y + z, π : p + y + pz i π : p + y + z, on p és un paràmetre real. a) Esbrineu per a quins valors de p els tres plans es tallen en un únic punt. Trobeu aquest punt quan p. b) Hi ha algun valor de p que faci que la intersecció comuna sigui una recta? Si és aií, escriviu l equació vectorial d aquesta recta. c) Trobeu quina és la posició relativa dels tres plans quan p /. [PAU07JQ] Considereu els punts de l espai P (, a,), Q ( 0, a, a) i R (,, 6 6a) a) Trobeu el valor de a per al qual els tres punts estan alineats. b) Quan els tres punts estan alineats, quina és l equació de la recta que els conté? [PAU07JQ4] Trobeu l equació de la recta continguda en el pla π : + y + 6z 0, que talla els eios OY i OZ. y z [PAU07JP] Considereu la recta d equació r : a) Epresseu el quadrat de la distància d un punt qualsevol (, y, z) de la recta al punt P (,, 5) com una funció de la coordenada. b) Trobeu quin valor de fa mínima aquesta funció, deduïu quin punt Q de la recta és el més proper a P i calculeu la distància del punt a la recta. c) Escriviu l equació de la recta que passa per P i Q i comproveu que és perpendicular a r. [PAU07SQ] Trobeu les equacions dels plans paral lels a π : y + z situats a 6 unitats de distància d aquest. [PAU07SQ] Donada la matriu següent dependent d un paràmetre m: A m m m + m a) Estudieu-ne el rang segons els valors de m. b) Digueu quina és la posició relativa dels plans π : + y + z, π : + my + mz + m i π : m + y + ( + m) z 0, segons els valors de m. [PAU07SP] Una recta r és paral lela a la recta s: y z, talla en un punt y y z A la recta t : z +, i en un punt B la recta l :. a) Trobeu l equació del pla determinat per les rectes r i t. b) Trobeu el punt B calculant el punt d intersecció del pla anterior amb la recta l. c) Trobeu l equació de la recta r. d) Trobeu el punt A. pàgina 57

60 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAU08JQ4] Trobeu l equació de la recta perpendicular al pla π : y + z + 0, que passa pel punt (,, a) del pla. y + z y + 7 z + 5 [PAU08JP] Donades les rectes r : i s : i el punt P (,, ), volem trobar l equació de la recta que passa per P i que talla r i s. Per aconseguir-ho: a) Trobeu l equació general o cartesiana (és a dir, l equació de la forma A + By + Cz + D 0) del pla π que conté la recta r i el punt P. b) Trobeu el punt M calculant el punt d intersecció del pla π amb la recta s. c) Trobeu l equació de la recta que passa pels punts P i M. d) Comproveu que la recta trobada en l apartat anterior és la que busquem. [PAU08J5Q4] Donats el pla π: y + 5z 6 i la recta busqueu el punt de tall, si eistei. y + z + r :, [PAU08S4Q4] Donats el punt P (7, 5, ), el pla π: y z 0 i la recta y + z 7 r : : 6y z 5 a) Trobeu la distància del punt P al pla π. b) Trobeu la distància del punt P a la recta r. c) Trobeu la distància de la recta r al pla π. a y z + + y b z 4 [PAU08S4P] Les rectes r : i r : són 4 coplanàries (és a dir, estan incloses en un matei pla). a) Epliqueu, raonadament, quina és la posició relativa d aquestes rectes. b) Trobeu la relació que hi ha entre els paràmetres a i b. c) Trobeu els valors de a i b si el pla que les conté passa pel punt P (, 4, 6). y + z 5 [PAU09J4Q] Donats el punt P(,,) i la recta r : a) Trobeu l equació cartesiana (és a dir, de la forma A+By+Cy+D0) del pla π que passa per P i és perpendicular a la recta r. b) Trobeu el punt de tall entre la recta r i el pla π. [PAU09J4P] Siguin r i s dues rectes de l espai les equacions respectives de les quals, que depenen d un paràmetre real b, són les següents: b + y + z y b z + r : s : + y + 5z b + a) Trobeu el punt de tall de la recta r amb el pla d equació 0 i el punt de tall de la recta s amb aquest matei pla. b) Calculeu un vector director per a cada una de les dues rectes. c) Estudieu la posició relativa de les dues rectes en funció del paràmetre b. [PAU09JQ4] Donats el pla π: +y-z0 i el punt P(,,) pàgina 58

61 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques a) Calculeu l equació contínua de la recta r que passa per P i és perpendicular a π. b) Calculeu el punt simètric del punt P respecte del pla π. [PAU09JP] Siguin P ( a, b, 4), Q (a, + b, 0) i R (,, ) tres punts de l espai R. a) Calculeu el valor dels paràmetres a i b per als quals aquests tres punts estiguin alineats. b) Trobeu l equació contínua de la recta que els conté quan estan alineats. c) Quan b 0, trobeu els valors del paràmetre a perquè la distància entre els punts P i Q sigui la mateia que la distància entre els punts P i R. d) Si b 0, calculeu el valor del paràmetre a perquè els punts P, Q i R determinin un triangle equilàter. [PAU09SQ] Considereu en l espai R les rectes r i s, les equacions respectives de les + y + mz 0 quals són: r : (, y, z) (4,,0) + λ( m,, ) s : en què m és un + y + z paràmetre real. Estudieu si hi ha cap valor d aquest paràmetre per al qual les rectes siguin perpendiculars i es tallin. r r [PAU09SQ4] Donats els vectors v ( a +, a,), v (, a, a) i v r ( a,, 4a ) de R a) Calculeu l angle que formen v r i v r quan a0. b) Trobeu el valor del paràmetre a perquè els vectors v r, v r i v r siguin perpendiculars dos a dos. [PAU0JQ] Trobeu l equació general (és a dir, de la forma A + By + Cz + D 0 ) del pla que conté la recta r : y z i és paral lel a la recta r y z 0 : y + z y z + y + z [PAU0JQ4] Donades les rectes r : i r : 4 y + z + 0 a) Comproveu que són paral leles. b) Trobeu l equació general (és a dir, de la forma A + By + Cz + D 0 ) del pla que les conté. [PAU0J4Q] Donats el pla π: + y + z 4 0 i els punts P (,, ) i Q (0,, ) : a) Calculeu l equació contínua de la recta perpendicular al pla π que passa pel punt P. b) Calculeu l equació general (és a dir, de la forma A + By + Cz + D 0 ) del pla perpendicular a π que passa pels punts P i Q. [PAU0J4Q6] Siguin u r (,, ), u r (,, 4) i u r ( a +, a, 4a + ) tres vectors de l espai vectorial R. a) Trobeu el valor del paràmetre a per al qual el vector u r és combinació lineal dels vectors u r i u r pàgina 59

62 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila b) Comproveu que per a a 0 el conjunt { u, u u } r r, r és linealment independent. 5 y z + [PAU0J5Q] Donats el punt P (, 0, ) i la recta r : : a) Trobeu l equació contínua de la recta que passa pel punt P i talla perpendicularment la recta r. b) Calculeu la distància del punt P a la recta r. [PAU0J5Q5] Siguin r i s dues rectes d equacions y z a r : (, y, z) ( 4,, 4) + t(,,) i s : + a) Trobeu el valor del paràmetre a perquè aquestes rectes es tallin. b) En el cas en què es tallen, trobeu l equació general (és a dir, de la forma A + By + Cz + D 0 ) del pla que les conté. [PAU0SQ] Donats el pla π:5 + y + z 4 i la recta posició relativa en funció del paràmetre a. a y r :, estudieu-ne la y + z + 4 y [PAU0SQ6] Considereu la recta r : z. a) Trobeu els dos punts, A i B, de la recta r que estan situats a una distància d 6 del punt P (,, ). b) Trobeu l àrea del triangle de vèrtes A, B i P y + z [PAUJQ] Donada la recta r : + z + 0 a) Trobeu-ne un vector director. b) Calculeu l equació contínua de la recta paral lela a r que passa pel punt P (,0, ) y z + [PAUJQ5] Siguin r : i r : + y + z a) Comproveu que r i r són perpendiculars. b) Comproveu que es tallen mitjançant la determinació del punt de tall. [PAUJ4Q] Donat el pla π : + y z 5 a) Calculeu l equació del pla paral lel al pla π que passa pel punt P (, 0, ) b) Determineu també la distància entre el punt P i el pla π [PAUJ4Q5] Calculeu l equació general (és a dir, de la forma A +By+ Cz+ D0) dels y plans que contenen la recta r : i que formen un angle de 45 amb el pla z0. z pàgina 60

63 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques y + z [PAUSQ] Donada la recta, calculeu l equació general (és a dir, + z + 0 de la forma A + By + Cz +D 0) del pla perpendicular a la recta que passa pel punt P (, 0, ). y + [PAUSQ5] Considereu la recta r : z a i el pla π :+ y5z5. a) Estudieu la posició relativa de la recta r i el pla π en funció del paràmetre a. b) Quan a, calculeu la distància de la recta r al pla π. [PAUJQ] Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π : y + mz, π : y + z m i π : my + z tenen com a intersecció una recta. + y + z 0 [PAUJQ] Donats el pla π : y + z 5 i la recta r :, y + z 0 a) Calculeu el punt d intersecció entre el pla i la recta. b) Trobeu l equació contínua de la recta s continguda en el pla π, que és perpendicular a la recta r i talla la recta r. [PAUJQ6] Donats els punts P (, 0, 0), Q (0,, 0), R (0, 0, ) i S (,, ), a) Calculeu l equació cartesiana (és a dir, de la forma A+By+Cz+D0) del pla que conté els punts P, Q i R. b) Comproveu si els quatre punts són coplanaris (és a dir, si els quatre estan continguts en un matei pla). [PAUJQ] Donats els plans π : + y z i π : + y + z 0 0 a) Comproveu que són perpendiculars. b) Calculeu l equació cartesiana (és a dir, de la forma A+By+Cz+D0) del pla perpendicular a π i π que passa pel punt P (,, ) [PAUJQ6] Siguin π : y + z i relativa segons el valor del paràmetre m. + y r :. Estudieu-ne la posició y + mz [PAUS4Q5] Considereu les rectes de l espai següents: : + z 4 y z r y, s : a) Comproveu que són secants. b) Calculeu l equació contínua de la recta que les talla i que és perpendicular a totes dues. [PAUJ4Q5] Donats els punts P (, 0, ) i Q (,, ), trobeu un punt R de la + y + 4 z recta r : que compleii que el triangle de vèrtes P, Q i R és isòsceles, en què PR i QR són els costats iguals del triangle. pàgina 6

64 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila [PAUJQ] Sigui π: y + z 0. a) Trobeu l equació continua de la recta r perpendicular a π que passa pel punt P (,,) b) Trobeu tambe l equació cartesiana (és a dir, de la forma A + By + Cz + D 0) del pla π paraŀlel a π que passa pel matei punt P. [PAUJQ4] Un triangle d àrea / té dos dels vèrtes als punts P (0, 0, 0) i Q (, + y + z 0 0, ). El tercer vèrte, R, és un punt de la recta r : y i té la primera coordenada no nul la. Calculeu les coordenades del vèrte R. [PAUJ5Q] Siguin π el pla + y z 4 i π el pla y 4z 0. a) Comproveu que els plans π i π són perpendiculars. b) Trobeu l equació contínua de la recta paral lela als plans π i π i que passa pel punt P (,, ). [PAUJ5Q] Donats els punts P (,, ), Q (, 0, ) i R (,, ), a) Trobeu l equació cartesiana (es a dir, de la forma A + By + Cz + D 0) del pla que determinen. 5 b) Trobeu un punt S pertanyent a la recta 5 y : z r., de manera que el tetraedre de vèrtes P, Q, R i S tingui un volum igual a /. [PAUJ5Q5] Considereu els punts A (,, 4) i B (, 0, ). a) Trobeu l equació del pla format per tots els punts que equidisten de A i B. b) Donat un punt C (, y, z), dividim el segment AC en tres parts iguals i obtenim els punts A, A, B i C. Trobeu el punt C. [PAUSQ] Sigui V {(,, ), (,, 0), (,, a)} un conjunt de vectors de R. a) Trobeu el valor o els valors de a perquè V sigui linealment dependent. b) Quan a 4, epresseu el vector v r (,9,4 ) com a combinació lineal dels vectors de V. z + m [PAUSQ] Donats el pla π: + y z i la recta r : y, 4 a) Comproveu que el vector característic (o normal) de π i el vector director de r són perpendiculars. b) Estudieu la posició relativa de π i r en funció del paràmetre m. [PAUSQ5] Donats el pla π: y + z 8 0 i el punt P (6,, 7), a) Trobeu l equació contínua de la recta que passa per P i és perpendicular a π. b) Trobeu el punt del pla π que està més proper al punt P. [PAU4JQ] Considereu el punt A(,,). a) Calculeu el punt simètric del punt A respecte de la recta d equació r : (, y, z) ( + λ,, λ) pàgina 6

65 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques b) Calculeu el punt simètric del punt A respecte del pla que té per equació π : + y + z [PAU4JQ5] Siguin r i s les rectes de R z + d equacions r : y i 4 s : (, y, z) ( + α, α,4 + α ), amb α R. a) Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un etrem situat sobre la recta r i l altre etrem situat sobre la recta s formen un pla. b) Trobeu l equació general (és a dir, que té la forma A + By + Cz D) del pla de l apartat anterior. [PAU4J4Q] Siguin els punts P (,, 0), Q (, 0,) i R (0,,) i el pla π : + y + z 4. a) Trobeu l equació general (és a dir, que té la forma A + By + Cz D) del pla que passa pels punts P, Q i R. b) Si S és un punt de π, comproveu que el volum del tetràedre de vèrtes P, Q, R i S no depèn del punt S. [PAU4J4Q4] Donats els plans π : 4y + z m i π : (m + ) y + z m +, a) Determineu els valors de m perquè els plans π i π s intersequin en una recta i calculeu un vector director de la recta resultant que no depengui de m. b) Sigui el pla π : y + z 8. Estudieu la posició relativa del pla π amb la recta r definida per la intersecció dels plans π i π quan m. [PAU4S5Q] Siguin r i s les rectes de R que tenen les equacions següents: z y z + r : + 5 y 5 i s : a) Estudieu el paral lelisme i la perpendicularitat entre les rectes r i s. b) Trobeu l equació general (és a dir, que té la forma A + By + Cz D) del pla π que conté la recta r i és paral lel a la recta s. Calculeu la distància entre la recta s i el pla π obtingut. [PAU4S5Q5] Donats els vectors u (,, 0), v (,, 4) i w (0, a, 4a), a) Calculeu els valors del paràmetre a perquè els vectors u, v i w siguin linealment dependents. b) Calculeu els valors del paràmetre a perquè un tetràedre d arestes u, v i w tingui un volum de / d unitats cúbiques. pàgina 6

66 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila SOLUCIONS PAU97J A (,), (-,), (,-4), (-5,-) A m6 o m-6 A Un sol punt: (7,4) A4 (4,0), radi,884 B A C 7,05 m B Si n parell lím f + lím f + Si n senar lím f + lím + f + Pel Teorema de Bolzano, si n és senar, f té almenys una arrel real. B Es creuen 8 B4 Mín rel 9, ) ( 4 PAU97J A Superfície 48,985 m Longitud 8,46 m A a) (0,-) b) No A A4 B AB i AC proporcionals No estan alineats Si m -0 i m secants Si m-0 paral lels Si m recta continguda al pla a) Mín rel (0,b) 4 Mà rel ( (, 7 + b) b) 4 c) b 7 d) b>0 400π B 4 B (, 0) B4 48 cm PAU97S A a a Si els tres pendents són diferents dos a dos A r M(7,-) A A4 B 64 B Dues arrels amb parts enteres - i 50 m 6,509 m de P; 4,809 m de Q B En cap B4 5 Dues rectes: y 7 7 y PAU97S4 A 0,675 m A Infinites ln sin + π pàgina 64

67 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques A 7 v r (,,0) A4 k, 0 4,,7% B Un quadrat de costat 6 0,840m i un cercle de radi 4+π 4+π 0,40m. Àrea mínima 6+ 9 ( 4+ π ) π,60m B n- o n 5 B OA ( 0, 5 OB +, ) B4 Si a - i a SCD Si a SCI Si a- SInc PAU98J Q Q 6 0 X 5 5 Hi ha dos plans y + z i y + z Q 8 Q4 (e-, ln(e-)) (.78, 0.54) P a) Dues possibles distàncies: km o 44787,77 km b) 8544, km P A km de la projecció de A i km de la de B. Longitud 5 7,07 km PAU98S5 Q ke 0,0855 o k-e -0,0855 Q 8 Q 60º Q4 Si a SCD; si a SCI P a) 7º b).ac9,67 km BC40,556km c) 58,6 m P a) A(8,0,0), B(0,,0), C(0,0,8) b) y z 64 c) 4 4 d) dist a O,8856 Àrea ABC PAU98S Q 9,7564 i,5545 Q (,,0) 4 e e + Q 5,544 e Q4 4,94 P a) y b) dom f R-{-,} AV i - AH y0 c) crei ( 9, ) decrei (, 9) (, + ) PAU98J6 Q 4 Q a- b 5 Q a) + 7 y + z 9 b) secant Q4 a) distància entre P i la seva projecció sobre el pla π b) P 05,997 m P a) P(4,0) b) y + 6 c) y 8 d) 5º7 48. P a) radi, centre (,) ( ) + ( y ) b) (4,4) c) (,) d) k-4 pàgina 65

68 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila PAU99J Q Compatible quan k7 (solució: y), Incompatible quan k 7 8 Q 5 Q f ( ) e + Q4 5 8, 660 m P a) discontínua en 4 (essencial) b) màim local 8, mínim local 0, decreient en ( 8, 0), creient en (, 8) (0, + ) c) 0,487 P a) +y+z 0 i z0 b) yz i y z + λ c) PB(,, ) d) En general no PAU99S Q Q Q Discontínua en 0 i y-z-0 PAU99J6 Q centre (-,5), radi Q 4 5 Q 40º5 6 Q4 Els vectors directors d r r (,, ) i d r s ( 4,, ) són proporcionals. +8y-0z+90 P a) AV -; AO y- b) Mín rel (, ) (-.44, -0,76) Màrel ( +, + ) (0.44, 5.884) crei (, ) ( +, + ) Q4 P 58,476 cm a) dom f R-{0,8} AV 0 i 8; AH y0 b) Positiva (0,8) Negativa (,0) (8, + ) c) Decrei (,0) (0, 4) Crei ( 4,8) (8, + ) Mín rel ( 4, 6) d) P 0,584 km P a) Sí coplanaris. No paral lelogram pàgina 66

69 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques 5 b) c) (,,-) 5 6 d),04 6 PAU99S5 5 Q Centre, ), radi ( 4,8856 Q Q k9 Q4 0º 5 ( + ) ) + ( y -4+y+z0 P altura,547 P 6 radi 0,865 a) 4,494 m b) 79,6 m 9 Q4 0,68 P a) a b) dom f R { } intersecció ei : (0, 0) intersecció ei y: (0, 0) creient: (, 0) (4, + ) decreient: ( 0, ) (, 4) mà: (0, 0), mín: (4, 8) PAU00J 5 5 Q i 4 Q 6ln Q a) una equació amb coeficients que no siguin combinació lineal dels de les donades. b) una equació combinació lineal de les dues donades. Q4 5,0708 m. P a) 45 4 b) V() c) 0 m y,5 m d) pts y z P a) b) +y+z 60 y c) z 7 y z d) 5 PAU00J Q 4 6 a, b Q, y+4 (+) Q a6, tres plans que es tallen dos a dos P a) a b) +y z+0 c) (4, 4, ) d) 9 PAU00S Q a) mà (, ), mín (, ) b) Cal aplicar el T.Bolzano als intervals d etrems 000,,, 000 Q 0 6 Q a) linealment independents b) 7a+b+50 Q4 a) tanα 4 4 b) sinα 9 pàgina 67

70 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila P a) f ( ) essent la distància del punt arbitrari al costat desigual. Per tant dom f [0, 5] b) mín. mà. 0 4 P a) a, d(p,π) 4 b) Cap a c) a 6+ 9, a 6 9 c) AB,5km, BC,47km, AC 88m P a) y horitzontal b) creient: (,) (,+ ) decreient (, ) mà, mín c) PAU00S6 Q f()6 d) Q y ( ) e e (,, Q P ) Q4 a) (, ) r 5 b) +y4 P a) Si a la recta és paral lela al pla, i si a la recta talla el pla en un punt. b) no hi ha cap 6 c) 6 P a) 0, 988 b) 5, 748 L Àle, perquè l angle ABV és més gran que el BAV. PAU0J Q a) 4 π b) 0,458 Q a) y 4 ( 4) b) C(6,) r 8 Q a) +6y+z 60 y z b) 6 Q4 90º,6.87º,5.º, 6cm P a) 77º b) AC,7659cm, BC,8547cm mà PAU0J5 Q a) Si a funció constant Si a> no té etrems locals Si a<, a mín.local a mà.local b) a> Q màim, mínim Q ( 5) +(y+7) 5 Q4 P a) (0, 0, 0) pàgina 68

71 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques P 07 b) d(r, s) c) +y 0z0 d) 0 CD5, AD5, BD0, AB5, BC 5 5, AC 5 PAU0S4 Q a Q 7 Q a) b) a Q4 a) f() b) P a) b) 0 c) no P a) b) y+z+0 y c) z,, d) ( ) PAU0J Q ( ) Q k 6 lím Q a) a b) (,, ) Q4 (,, ) i (,, ) π P a) h C( r) 90 r + π r r b) r m h 9 m c) 764,07 P a) 50º b) cm c) 0, 9789 cm PAU0J Q 4,047 Q 4 Q a) Si m lím, si m lím b) m< Q4 6,77º P a) v r (,, ) v r s (,0, ) r punts...qualssevol (,y,z) que compleii cada parella d equacions b) i) +y z 50 b) ii) no eistei y z b) iii) P a) 54º b),755m c),90m d) 0,6576m PAU0S Q a4 Q (mínim) (mínim) Q 5 Q4 a) 9,078 b) 5, 965, P a) (, ) i ( ) P b) c) cap d) 0 a) y+z4 b) (,, ) PAU0J Q y+ ( ) y+( ) Q Q s: y Q4 λ + z T (, 4,6 ) P OP, sent O la projecció de M Cost 85,769 P a) 7, 4 i 4.06 metres b) 0º, 0.506º i 9.497º PAU0J5 Q 7 7, ) ( Q -y+z0 Q Q4 a- P a) a- b) crei (,0) (0,) decrei (, + ) AV 0; AH y0 pàgina 69

72 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila c) c) Si m tres plans que estallen en un punt. Si m dos plans que es tallen en una recta. P a) P a) b) Fins etrem sup:60,695 m Fins etrem inf: 54,677 m c) Antena: 8,9666 m Edifici:,66 m PAU0S Q ( ) + ) g e + Q (0, ) Q 06,88 cm Q4 a) BA BC 0 4 b) a, a 5 P a) semblança de triangles b) , c) C : m C :40 50 m P +y+z 60 +y+z 80 6 dist PAU04J Q a) y 5 b) y+7 sin Q a) + C sin b) Q a) a 4 b) mínim Q4 a) No b) (o 0) P a) Si m SCD. Si m SCI b) Si m, y0, z Si m, y λ, zλ b) 4 c) +y+z 0 d) PAU04J Q a) SCI b) 5λ-, y λ, zλ Q a) +y z+0 b) k 0 Q X Q4 a) k b) AB AD 0 P a) m b), ) ( i (, ) P a) f ( ) + 4 b) (, ) PAU04J4 λ Q a) y z λ b) k 4 Q Q 8, km/h Q4 a) f ( ) b) 7 si 0 < < si < < pàgina 70

73 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques c) 4 7 4λ r P a) v 4 + 5λ, λ R λ b) c a b 0 P a) t 4t + 5 b) (,, 4), (,, 6) PAU04S5 Q 5 Q c) Sí, MA MB 0 d) (5,, 0), (, 7, 8) PAU05J4 Q commuten per a tot a i b Q a) C 5 b) Q no en té Q4 a) y b) (, ) P a) k b), y, z0 P a) D(0,0,0) b) a c) y b Q a) X b) Q4 a) en són dos i no proporcionals. r r r b) (, ) és a dir w u + v P a) a<0, b a, c0, d0 b) PAU05J Q a) SCD per a tot a + a b) y a + a + a Q f i f (445 ) Q 4 Q4 (4, 6, 8) P b) M(, ) P a) es creuen b) 7+4y 5z c) 5 pàgina 7

74 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila P a) y4, y 4+6 b) 6 c) PAU05S Q Sistema incompatible Q a) k b) (,, ) Q 0 Q4 a) C,, ) b) 4 P a) ( PAU06J Q (0,,) i (,, ) Q SCI sii m S.Inc: mai Q efectivament Q4 Dom f R { } AV AO y - P a) 70,59º 7 b) AB no és proporcional al vector director y z c) 8 P a) c 0 b) a 0, b -8 c) Crei en (,0) (, + ) decrei en (, ) (0,) mà (0,7), mín (-,-9) i (,-9) 7 7 P b) M(, ) a) ab b) a b ± c) e, PAU06J Q pendent Q a) f ( ) 0 b) 4 Q 0 Q4 m, m P si (0,) si (,4) si (4,5) rang(a) per a tot m a) Dom f R intersecció ei : no hi ha intersecció ei y: y b) crei: (,) decrei: (, + ) màim: (,e) c) AH y 0 pàgina 7

75 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques d) Si p9 Els tres plans es tallen dos a dos, sense cap punt comú als tres (forma de A) c) 85, y60, z55 P a) d r r (,, ) n (,, a) b) a c) No n eistei cap d) a , a 6 9,44998 PAU06S4 Q a) a -, b 4 b) màim Q a) ln( + ) b) ln 59 0, Q y + λ z λ Q4 ( 8 8 A,,), B (,, ) P a) y -4, y 4-4 b) (-,-4) c) intersecció ei : -, intersecció ei y: y- PAU07J Q -y+z0 Q a) A tots ecepte b) Crei (, ) Decrei (, + ) c) mà relatiu d) f() Q a, a - Q4 ( 5,, ) i (,, ) P 8 metres P a) p i p (,0,0) b) p (,y,z) 0,, ) +λ(,0,-) ( c) π, π paral les, π els talla PAU07J Q - y e Q a) a y b) z+ 5 Q àrea 5 4 P d) a) Si p7 S.Incompatible Si p9 S.Incompatible Si p 7, p 9 S.Comp.Det. b) Si p7 r i r pla paral les, el segon els talla Q4 P 0 y + λ z λ a) f()9-8+7 b) Q (,4,) dist 8 pàgina 7

76 Recull PAU Matemàtiques Institut Pere Fontdevila P c) y + λ z 5 λ Si p4 SCI, π i π coincidents i π els talla Si p SI, π i π paral lels i π els talla Si p i p 4 SCD, π, π i π es, 5 p, 0 tallen al punt ( ) p p mín rel 0 b) creient (-,-) (0,) decreient (-,0) (,) c) PAU07S Q -y+z+50 -y+z-0 Q a) Si m, rang Si m, rang b) Si m, es tallen en un punt Si m, π i π coincidents i π els talla Q p0, q A 0 A si < Q4 F( ) si P a) -y+z0 b) B(,,0) c) - y- z d) A(,0,-) 7 P a) a, b b) y+4(-) 5 c) 6 PAU08J 4 5 Q a) F ( ) b) 7 4 Q a) M b) Si n és senar M n M Si n és parell M n I Q Si m- SCI Si m SI Si m - i m SCD + y Q4 z P a) mà rel -, P 4 d) f ( ) + a) π: y+z+0 b) M(,-,) y z+ c) PAU08J5 4 8 Q a 7, b4 Q a) a, b0 4 4 b) A, A 0 0 n c) A n 0 Q, y-+ln Q4 (-,-,) P a) Si a SCD Si a4 SI Si a i a 4 SCD 4 b) λ + λ, y, zλ 5 5 c) agafant λ+5n, per qualsevol n enter P Els dos catets fan 5 pàgina 74

77 Institut Pere Fontdevila Recull PAU Matemàtiques PAU08S4 Q a, b Q a) 0 0 A A 0 0 I 0 0 b) A 604 -A + y + z Q a) Sí, per eemple + y + z b) No, el rang no pot arribar a ser igual al nombre d incògnites () 6 Q4 a) 4 b) 6 c) 0 P a)... b)... c)... d) dividint númerador i denominador per e P a) es tallen b) a+b+0 c) a-, b- P b) c) (,4), (,), ( 5, ) d) ln(7)- 0,958 a) (0,-,), (0,b,-) b) (-,-5b,b-), (,b+,-) c) Si b paral leles Si b secants Si b i b es creuen PAU09J Q a0 i b0, o a4 i b8 Q a) (-,-5) i (,) b) PAU09J4 Q a) +y-z-50 b) (,,4) Q a) A A A AI b) A 58 A B Q a) 0, a b) àrea 6 Q4 a) SCD 5+ 8λ b), y+λ, zλ P a) y7-, y Q 64 c) a) Si p- S.Incompatible Si p SCI Si p i p SCD b), y z Q4 a) y b) (,-,) P a) a, b pàgina 75