GEOMETRIA ANALÍTICA. PROBLEMES AFINS I MÈTRICS

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1 GEOMETRIA ANALÍTICA. PROBLEMES AFINS I MÈTRICS Pàgina 7 REFLEXIONA I RESOL Punt mitjà d un segment Pren els punts P(, ), Q(0, ) i representa ls en el pla: P (, ) Q (0, ) Localitza gràficament el punt mitjà, M, del segment PQ i dóna n les coordenades. Trobes algunes relació entre les coordenades de M i les de P i Q? M(6, 4) Q' P (, ) M M" M' Q" Q (0, ) P" P' Fes el mateix amb els segments d extrems: a) P' (, ), Q' (9, 7) b) P''(0, ), Q'' (0, ) a) M'(7, 4) b) M''(, ) Basant-te en els resultats anteriors, intenta donar un criteri per obtindre les coordenades del punt mitjà d un segment a partir de les dels seus extrems. Observamos que las coordenadas del punto medio de cada segmento son la semisuma de las coordenadas de sus extremos. Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

2 Equacions de la recta Comprova que les quacions: x = + t y = 4 t corresponen també a una recta, trobant-hi divesos del seus punts. (Dóna a t els valors,, 0,,,, i representa els punts corresponents; hi comprovaràs que tots estan sobre la mateixa recta). Elimina el paràmetre procedint de la manera següent: Aïlla t en la primera equació. Substituïx el seu valor en la segona. Reordena els termes de l equació resultant. I obtindràs, així, l eqaució d aquesta recta, en la forma habitual. t 0 (x, y ) ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) Y ( 4, 6) (, ) (, 4) (, ) (, ) (, ) r X x t = t = 4 y x x + 4 = 4 y x = y y = y = x + 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

3 UNITAT Distàncies en el pla s Q (, 7) P (, ) r s Q(, 7) P' Q'' P(, ) r P'' Q' Troba la distància dels punts P i Q a les rectes r i s. d (P, r) = ; d (P, s) = ; d (Q, r) = ; d (Q, s) = Troba la distància dels punts P i Q (ajuda t del teorema de Pitàgores). d (P, Q) = + 4 =, pues P y Q son dos vértices de un triángulo rectángulo de catetos y 4. Troba, també, la distància entre: a) P' (0, ), Q' (, 0) b) P'' (, ), Q'' (7, 4) Basant-te en els resultats anteriors, intenta donar un criteri per trobar la distància entre dos punts a partir de les seues coordenades. a) d (P', Q') = + = 69 = b) d (P", Q") = 4 + = = d (A, B) = (b a ) + (b a ), donde A (a, a ) y B (b, b ). d (A, B) = AB Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

4 Pàgina 9. Troba les coordenades de MN i NM, sent M (7, ) i N (, ). MN = (, ) (7, ) = ( 9, 6) NM = (7, ) (, ) = (9, 6). Esbrina si estan alineats els punts P (7, ), Q (4, ) i R (0, ). PQ = (, 4) QR = (6, ) 4 = P, Q y R están alineados. 6. Calcula el valor de k per tal que els punts de coordenades A (, 7) B (, 4) C (k, ) estiguen alineats. AB = ( 4, ) BC = (k +, ) 4 = 4 = k 9 k = k = k + Pàgina Donats els punts P (, 9) i Q (, ): a) Troba el punt mitjà de PQ. b) Troba el simètric de P respecte de Q. c) Troba el simètric de Q respecte de P. d) Obtín un punt A de PQ tal que PA/ AQ = /. e) Obtín un punt B de PQ tal que PB/ PQ = /. a) M ( ( ), ) = (, 4 ) b) + x = x = 9 + y = y = P' (, ) P' (x, y) Q (, ) P (, 9) c) Llamamos Q'(x', y') al simétrico de Q respecto de P. Así: x' + = x' = y' + ( ) = 9 y' = 9 Q' (, 9) Q P Q' 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

5 UNITAT d) Llamamos A(x, y) al punto que buscamos. Debe cumplirse que: PA = AQ (x, y 9) = ( x, y) x = ( x) x = y 9 = ( y) y = A (, ) e) Llamamos B(x, y) al punto que buscamos. PB = PQ (x, y 9) = (, 0) = (, ) x = x = 4 y 9 = y = 7 B (4, 7) Pàgina 9. Troba les equacions paramètriques, contínua, implícita i explícita de la recta que passa per A i B, sent: a) A(, ), B (, ) b) A(0, 4), B (6, 0) c) A(, ), B (, ) d) A(, ), B (, ) a) A(, ); B(, ) AB = (4, 4) x = + 4l x Paramétricas: Continua: = y = + 4l 4 Implícita: x y = 0 Explícita: y = x b) A(0, 4); B(6, 0) AB = (6, 4) x = 6l x y 4 Paramétricas: Continua: = y = 4 4l Implícita: 4x 6y + 4 = 0 Explícita: y = x c) A(, ); B(, ) AB = ( 4, 0) x = 4l x y Paramétricas: Continua: = y = 4 0 Implícita: y = 0 Explícita: y = d) A(, ); B(, ) AB = (0, ) x = x Paramétricas: Continua: = y = l 0 Implícita: x = 0 y 4 y Explícita: No existe, pues se trata de una recta vertical de ecuación x =. Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

6 . Obtín les equacions implícita, paramètriques i contínua de la recta y = x +. y = x + Buscamos dos puntos de la recta y su vector dirección: Si x = 0 y = 0 + = A(0, ) AB = (, ) Si x = y = + = B(, ) Implícita: x y + = 0 Paramétricas: x 0 Continua: =. a) Troba dos punts, P i Q, pertanyents a la recta r : x y + 6 = 0. b) Comprova que PQ és perpendicular a (, ). c) Escriu les equacions paramètriques de r. d) Escriu l equació explícita i comprova que el vector (, m) és paral lel a PQ (m és el pendent de r). a) r: x y + 6 = 0 Si x = 0 0 y + 6 = 0 y = P(0, ) Si x = ( ) y + 6 = 0 y = 0 Q(, 0) b) PQ = (, ) PQ x = l y = + l y (, ) ï PQ (, ) = 0 (, ) (, ) = ( ) + ( ) ( ) = = 0 x = l c) r: y = l d) Despejamos y en la ecuación de r: x y + 6 = 0 x + 6 = y x + = y Explícita: y = x + m = (, m) =, ( ) El vector (, es paralelo a ) PQ si sus coordenadas son proporcionales: (, ) = l (, ) l = Los vectores son proporcionales y, por tanto, paralelos. 6 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

7 UNITAT Pàgina 94. Troba la recta del feix de centre P(, ) que passa per (, 4). Hemos de hallar la recta que pasa por P(, ) y Q(, 4). PQ = (, ) x + y r: =. Els feixos de rectes els centres de les quals són P(4, 0) i Q( 6, 4) tenen una recta en comú. Quina és? Es la recta que pasa por P(4, 0) y Q( 6, 4). PQ = ( 0, 4) x 4 r: = 0 y 0 4. Les rectes r: x y 7 = 0 y s: x + y + 4 = 0 ormen part d un mateix feix. Quina de les rectes d aquest feix té pendent 4? El centro del haz es el punto de corte de r y s. Lo hallamos: x y 7 = 0 x + y + 4 = 0 ( y 4) y 7 = 0 y 9 = 0 y = 9 x = y 4 = 4 = 9 El centro del haz es el punto P,. Ecuación de la recta que pasa por P y tiene pendiente igual a 4: 9 y = + 4 x + x y + 7 = 0 ( ) x = y 4 ( ) 9 Pàgina 97. Escriu les equacions paramètriques de dues rectes que passen per P(4, ) i siguen paral lela i perpendicular, respectivament, a r. x = t r: y = 4 + t x = t r: Vector dirección de r: vr = (, ) y = 4 + t Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 7

8 Recta paralela a r que pasa por P. P(4, ) vs = vr = (, ) s: x = 4 t y = + t Recta perpendicular a r que pasa por P. P(4, ) vl = (, ) l: x = 4 + t y = + t. El pendent de r és /. Troba: a) Les coordenades d un vector paral lel a la recta r. b) El pendent d una recta perpendicular a la recta r. c) Les coordenades d un vector perpendicular a la recta r. a) m r = v = (, ) es paralelo a r. b) = m r m = m c) m = w = (, ) es perpendicular a r. x = t. s:. Troba: y = t a) Equació contínua d una recta, r, perpendicular a s que passe per P (, ). b) Equació implícita de r paral lela a s que passe per P (0, 4). c) Equació explícita de r perpendicular a s que passe per P (, 0). x = t s: P(, 0) é s; vs = (, ) y = t a) El vector dirección de r es vr = (, ). P (, ) é r. x y + r : = b) El vector dirección de r es el mismo que el de s: vr = (, ). P (0, 4) é r. x 0 y 4 r : = x = y + 4 x + y 4 = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

9 UNITAT c) El vector dirección de r es el mismo que el de r : vr = (, ). P (, 0) é r. x + y 0 r : = y = x + 4. Determina les equacions implícites de dues rectes que passen per P(, 4) i siguen paral lela i perpendicular, respectivament, a r. r: x y + = 0 r: x y + = 0 x + = y y = x + La pendiente de r es m r =. Recta s paralela a r que pasa por P(, 4). m s = m r = s: y 4 = (x + ) s: x y + = 0 Recta l perpendicular a r que pasa por P(, 4). l m l = = m r l: y 4 = (x + ) l: x + y 4 = 0 Pàgina 99. Esbrina la posició relativa d aquests parells de rectes: a) r: x + y = 0 b) r: x + y 6 = 0 s: 6x + 0y + 4 = 0 s: x y = 0 x = 7 + t x = + t c) r:, s: y = t y = t x = + t d) r: x y = 0, s: y = + t a) r: x + y = 0 n r = (, ) s: 6x +0y + 4 = 0 n s = (6, 0) =? Las dos rectas son paralelas Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 9

10 b) r: x + y 6 = 0 n r = (, ) s: x y = 0 n s = (, )? Las dos rectas se cortan. x = 7 + t c) r: v r = (, ) y = t x = + t s: v s = (, ) y = t? Las dos rectas se cortan. d) r: x y = 0 n r = (, ) v r = (, ) x = + t s: v s = (, ), P s = (, ) y = + t Como v r = v s y P s è r, las rectas son paralelas. Pàgina 00. Troba l angle que formen els següents parells de rectes: x = t x = 4t a) r :, r : y = 7 + t y = 4 + t x = t b) r :, r : x y + 4 = 0 y = 7 + t c) r : y = x, r : y = 4x + a) vr = (, ); v r = ( 4, ) (, ) ( 4, ) cos a = = 0,96990 a = 0 ' 7,4'' (, ) ( 4, ) ( ) () b) vr = (, ); v r = (, ) (, ) (, ) 7 cos a = = 0,6749 a = 7 ' 4,7'' (, ) (, ) ( ) ( 4) c) m r = ; m r = 4 4 tg a = = 0, a = 4' 4,7'' Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

11 UNITAT Pàgina 0. P( 6, ), Q(9, ) r: x 4y + 9 = 0, s: x +=0 Troba la distància entre els dos punts. Troba també les distàncies de cada un dels punts de la recta. P( 6, ), Q(9, ) r: x 4y + 9 = 0 s: x + = 0 dist (P, Q) = PQ = (, ) = + = 9 = 7 ( 6) 4( ) + 9 dist (P, r) = = +( 4) ( 6) + dist (P, s) = = = dist (Q, r) = = dist (Q, s) = = =. a) Troba l àrea del triangle de vèrtexs A(, ), B(, ), C(, ) amb la fórmula d Heró. b) Troba-la, també, mitjançant la fórmula habitual S = b h b /, sent b el costat AC. Hi ha una forma més senzilla? a) A(, ), B(, ), C(, ) Fórmula de Herón: S = p(p a)(p b)(p c) a = BC = (, 0) = b = AC = (, 6) = + ( 6) = 0 c = AB = (0, 6) = p = = S = ( ) ( 0) ( 6) = 4 6 = 76 = 4 u b h b) S = b b = AC = 0 (del apartado anterior) Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A(, ) y C(, ): 6 Pendiente: m = = y = (x ) r: x + 4y = Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

12 ( ) + 4() h b = dist [B, r] = = (4/) S = = 4 u Habría sido más sencillo si hubiéramos dibujado el triángulo. Observa: 4 A Es claro que AB = 6 y BC =. B C Como el triángulo es rectángulo: AB BC 6 S = = = 4 u Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

13 UNITAT Pàgina 06 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Coordenades de punts Determina en els casos següents si els punts A, B i C estan alineats: a) A(, ), B(, ), C(, ) b) A(, ), B(, 7), C(, ) c) A(0, ), B(, ), C(4, ) a) AB = (, ) (, ) = (, 0) BC = (, ) (, ) = (, 0) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales, por tanto, A, B y C están alineados. b) AB = (, 7) (, ) = (, 9) BC = (, ) (, 7) = (, ) Las coordenadas de AB y BC no son proporcionales, por tanto, A, B y C no están alineados. c) AB = (, ) (0, ) = (, ) BC = (4, ) (, ) = (, ) Las coordenadas de AB y BC coinciden, por tanto, los puntos están alineados. Determina k per tal que els punts A(, ), B(, ) i C(6, k) estiguen alineats. Debe ocurrir que AB y BC sean proporcionales. AB = (, 4) BC = (4, k ) 4 = k = 6 k = 4 k El punt P(, ) és el punt mitjà del segment AB, del qual coneixem l extrem A(, ). Troba B. x + y + Si B = (x, y), (, ) = (, ). Si B = (x, y) Como P es punto medio de AB x + = 0 x = B = (, 7) y + = 4 y = 7 x + y + (, ) = (, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

14 4 Troba el punt simètric de P (, ) respecte del punt H(, 0). H és el punt mitjà entre P i el seu simètric. Si P'(x, y) es simétrico de P (, ) respecto de H (, 0) H es el punto medio de PP' x + y (, ) x + = 6 x = = (, 0) P' (, ) y = 0 y = Dóna les coordenades del punt P que dividix el segment d extrems A(, 4) i B(0, ) en dues parts tals que BP = PA. Sea P (x, y). Sustituimos en la condición que nos imponen: BP = PA (x 0, y ( )) = ( x, 4 y) x = ( x) x = 6 x x = 6 y + = (4 y) y + = y y = 6 x = P (, ) y = 6 Troba les coordenades del vèrtex D del paral lelogram ABCD, sabent que A(, ), B(, ) i C(6, ). Sea D (x, y). D (x, y) Debe cumplirse: AB = DC (, ) = (6 x, y) C (6, ) A (, ) 4 = 6 x x = D (, 6) = y y = 6 B (, ) Equacions de rectes 7 Escriu les equacions vectorial i paramètriques de la recta que passa per A i té una direcció paral lela al vector d. a) A(, 7), d(4, ) b) A(, 0), d(0, ) Obtín punts en cada cas. a) Ecuación vectorial: (x, y) = (, 7) + k(4, ) x = + 4k Ecuaciones paramétricas: y = 7 k Dando valores al parámetro k, obtenemos puntos: (, 6); (, ); (9, 4); (, ); (7, ). 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

15 UNITAT b) Ecuación vectorial: (x, y) = (, 0) + k(0, ) Ecuaciones paramétricas: x = + 0 k y = k Puntos: (, ); (, 4); (, 6); (, ); (, 0). Escriu l equació de la recta que passa per P i Q de totes les formes possibles. a) P(6, ) i Q(0, ) b) P(, ) i Q(, 6) c) P (0, 0) i Q(, 0) Troba, en tots els casos, un vector de direcció unitari. a) PQ = ( 6, 7) Ec. vectorial: (x, y) = (6, ) + t( 6, 7) x = 6 6t Ec. paramétricas: y = + 7t x 6 y + Ec. continua: = 6 7 Ec. implícita: 7x + 6y 0 = 0 7 Ec. explícita: y = x + 6 b) PQ = (0, 4) Ec. vectorial: (x, y) = (, ) + t(0, 4) Ec. paramétricas: x y Ec. continua: = 0 4 Ec. implícita: x = 0 c) PQ = (, 0) Ec. vectorial: (x, y) = (0, 0) + t(, 0) Ec. paramétricas: x = y = + 4t x = t y = 0 x 0 y 0 Ec. continua: = 0 Ec. implícita y explícita: y = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

16 9 Troba les equacions paramètriques de cada una de les rectes següents: a) x y = 0 b) x 7 = 0 c) y 6 = 0 d) y = x x y + + x e) = f) = y x = t a) Si x = t t y = 0 y = t r: y = t x = 7 b) y = t c) x = t y = 6/ = d) y = x Obtenemos un punto y un vector de esta ecuación, P(0, 0), v (, ), y a partir de ellos, las ecuaciones paramétricas: x = t y = t x y + e) = Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P(, ); v (, ). Las ecuaciones paramétricas son: x = + t y = + t + x x + y f) = y = Obtenemos un punto, P, y un vector dirección, v : P(, ); v (, ). Las ecuaciones paramétricas son: x = + t y = t 0 Troba l equació contínua de cada una de les rectes següents: x = t x = a) r : b) r : y = t y = t c) r : x + y = 0 d) r 4 : y + = (x ) x + t = x = t x + a) = y y = t y t = 6 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

17 UNITAT x = 0 x = x b) y = y = t t = 0 y y x c) x + y = 0 x = y x = = x d) y + = (x ) = y + y + Determina l equació implícita de cada una de les rectes següents: x + x = t + a) r : = y b) r : y = t c) r : x = t d) r 4 : y = x + y = Obtín, en cada cas, un vector normal a la recta. x + a) = y x + = y + x +y = 0 Vector normal: n(, ) x = t + x y + b) = x = y x + y = 0 y = t Vector normal: n(, ) x = t c) y = 0 y = Vector normal: n(0, ) d) y = x + 0y = x + 4 x + 0y 4 = 0 Vector normal: n(, 0) Escriu les equacions paramètriques i implícites dels eixos de coordenades. Ambdós eixos passen per l origen de coordenades i els seus vectors directors són els vectors de la base. O(0, 0) é eje X x = t Eje X: Eje X: y = 0 d y = 0 X = (, 0) O(0, 0) é eje Y x = 0 Eje Y: Eje Y: x = 0 d y = t Y = (0, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 7

18 Obtín, per a cada una de les rectes següents, un vector de direcció, un vector normal i el seu pendent: a) r : x = t x + b) r : = y = t c) r : x + = 0 d) r 4 : y = x + y 4 a) Vector dirección: v = (, ) b) Vector dirección: v = (, 4) Vector normal: n = (, ) Vector normal: n = ( 4, ) 4 Pendiente: m = Pendiente: m = = c) Vector dirección: v = (0, ) d) Vector dirección: v = (, ) Vector normal: n = (, 0) Vector normal: n = (, ) Pendiente: No tiene, es una Pendiente: m = recta vertical. 4 Comprova si el punt P(, ) pertany a alguna de les rectes següents: r : x y + = 0 r : x = + t y = + t x = r : y + 4 = 0 r 4 : y = 0 t r : x y + = 0 + +? 0 P è r r : x = + t = + t t = y = + t = + t t = P è r r : y + 4 = 0 ( ) + 4 = 0 P é r x = = r 4 : y = 0 t = 0 t t = P é r 4 Troba, en cada cas, el valor de k per tal que la recta x + ky 7 = 0 continga el punt donat: a) (, ) b) (7, ) c) (, 4) a) (, ) + k( ) 7 = 0 k = k = b) (7, ) 7 + k 7 = 0 k = 0 k = 0 c) (, 4) + 4k 7 = 0 4k = 0 k = Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

19 UNITAT Pàgina 07 6 Donada la recta r: x = t, escriu les equacions (en forma explícita) y = + t de les rectes següents: a) Paral lela a r que passa per A(, ). b) Perpendicular a r que passa per B(, ). r: x = t v r = (, ) y = + t a) v s = (, ), A(, ) s: y = (x + ) s: y = x b) v s = (, ), B(, ) s: y = (x + ) + s: y = x Troba, per a cada cas, l equació de la recta que passa pel punt P (, ) i és: a) Paral lela a la recta x y + = 0. En forma paramètrica. b) Perpendicular a la recta x + y = 0. En forma contínua. c) Paral lela a la recta y = 0. d) Perpendicular a la recta x + = 0. a) v x = + t r = (, ), P (, ) r: y = t b) v x r = (, ), P (, ) r: = y + c) v x = + t r = (, 0), P(, ) r: r: y = y = d) v x = + t r = (, 0), P(, ) r: r: y = y = Troba l equació de la paral lela a x y = 0 l ordenada en l origen de la qual és. La recta passa pel punt (0, ). r: x y = 0 s // r la pendiente de s ha de ser igual a la de r P(0, ) é s m s = m r = / y = x x y 6 = 0 P (0, ) é s ECUACIÓN EXPLÍCITA ECUACIÓN IMPLÍCITA Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 9

20 9 Donada la recta 4x + y 6 = 0, escriu l equació de la recta perpendicular a ella en el punt de tall amb l eix d ordenades. L eix d ordenades és el vertical: x = 0: x = 0. Veamos primero cuál es el punto de corte, P (x, y), de la recta con el eje de ordenadas. 4x + y 6 = 0 r: y 6 = 0 y = 6 y = Eje Y: x = 0 Luego P (0, ) ér y también debe ser P (0, ) és, donde s r. Como s r sus pendientes deben cumplir: m s m r = m s = = = 4/ Como P (0, ) és y m s = y = x + x 4y + = Escriu les equacions paramètriques de les rectes següents: a) El seu vector de posició és a(, ) i el vector de direcció és perpendicular a v(0, ). b)passa per A(, ) i és paral lela a: x = t y = t c) Passa per A(, ) i és perpendicular a la recta d equació x y + 6 = 0. d) És perpendicular al segment PQ en el seu punt mitjà, sent P(0, 4) i Q( 6, 0). a) La ecuación vectorial será: OX = a + t v (x, y) = (, ) + t (, 0) x = + t y = b) El vector dirección de la recta buscada debe ser el mismo (o proporcional) al de la recta x = t (pues debe ser paralela a ella). y = t Luego: d (, ) Como debe pasar por A(, ) x = t y = + t c) La pendiente de la recta r: x y + 6 = 0 es: m r = m s = (pues m r m s = por ser r s) Un vector dirección puede ser s = (, ). Además, A (, ) é s. m r 4 Por tanto, s: x = + t y = t 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

21 UNITAT 6 4 d) El punto medio de PQ es m (, ) PQ = ( 6, 4) = (, ) m (, ) é s d (4, 6) es un vector dirección de s, pues d PQ Luego, s: x = + 4t y = 6t D una certa recta r en coneixem el pendent m =. Troba la recta s en cada cas: a) s és paral lela a la recta r i passa per l origen de les coordenades. b) s és perpendicular a la recta r i conté el punt (, ). a) Al ser paralela, tiene la misma pendiente. Además, pasa por (0, 0): s: y = x b) Al ser perpendicular, su pendiente es = : m 7 y = (x ) + y = x + Feix de rectes Considerem el feix de rectes de centre (, ). a) Escriu l equació d aquest feix de rectes. b) Troba l equació de la recta d aquest feix que passa pel punt (, ). c) Quina de les rectes del feix és paral lela a x + y = 0? d) Troba la recta del feix la distància a l origen del qual és igual a. a) a(x ) + b(y + ) = 0; o bien y = + m(x ) b) Si pasa por (, ), entonces, sustituyendo en y = + m(x ), obtenemos: 7 = + m( ) 7 = 4m m = ; es decir: 4 7 y = (x ) 4y = 7x + 7x + 4y = 0 4 c) Si es paralela a x + y = 0 tendrá pendiente. Por tanto, será: y = (x ) y = x + 6 x + y 4 = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

22 d) Una recta del haz tiene por ecuación: y = + m(x ) y = + mx m mx y m = 0 Su distancia al origen ha de ser igual a : m = ; es decir: m + m = m +. Elevamos al cuadrado y operamos: 9m + m + 4 = 9(m + ) 9m + m + 4 = 9m + 9 m = m = Por tanto, será: x y = 0 x y 9 = 0 Determina el centre del feix de rectes d equació: kx + y k + 4 = 0 Llamamos (x 0, y 0 ) al centro del haz. Vamos a escribir la ecuación que nos dan de la forma: a(x x 0 ) + b(y y 0 ) = 0 kx + y k + 4 = 0 k(x x 0 ) + (y y 0 ) = 0 kx kx 0 + y y 0 = 0 kx + y kx 0 y 0 = 0 Han de ser iguales las dos ecuaciones. Por tanto: kx 0 = k x 0 = y 0 = 4 y 0 = El centro del haz es el punto (, ). 4 Les rectes r: y = i s: y = x formen part del mateix feix de rectes. Troba l equació de la recta d aquest feix de pendent. Si r: y = y s: y = x están en el mismo haz de rectas, el centro de dicho haz es el punto de corte de estas rectas: P(, ). Buscamos la recta que pasa por P(, ) y tiene pendiente m = : y = (x ) + y = x + 7 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

23 UNITAT Posició relativa de dues rectes Troba el punt de tall de les rectes r i s per a cada cas: a) r: x y + = 0; s: x + y + 4 = 0 b) r: x y 4 = 0; s: x = + t y = t x = x = + t c) r: ; s: y = + t y = t r: x y + = 0 a) Resolviendo el sistema: P(, ) s: x + y + 4 = 0 b) s: x = + t y x = x + = y x + y = 0 y = t r: x y 4 = 0 s: x + y = 0 Resolviendo el sistema: P(, ) c) Por las ecuaciones de r: x = (*) s: x = + t (*) x = + y Ä = + y y = y = t Por tanto, P,. ( ) 6 Calcula el valor dels paràmetres k i t per tal que les rectes següents es tallen en el punt A(, ): r: kx ty 4 = 0 s: tx + ky = 0 A é r k t 4 = 0 A é s t + k = 0 k t 4 = 0 k + t = 0 Resolviendo el sistema: k = ; t = 7 Determina el valor de k per tal que les rectes r i s siguen paral leles. x y r: = x + y s: = 6 k Para que sean paralelas, sus vectores dirección han de ser proporcionales; es decir: 6 = k = 4 k Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

24 Troba el valor de k per tal que les rectes següents siguen coincidents: r: x + y + = 0 s: x = 6t + k y = 4t + Expresamos ambas rectas en forma implícita: r: x + y + = 0 s: 4x + 6y 4k = 0 Para que r = s, estas ecuaciones tienen que ser proporcionales, y por tanto: 4k = 0 k = = 4 Pàgina 0 9 Estudia la posició relativa dels parells de rectes següents: a) r: x + y + 7 = 0 b) r: x + y + 0 = 0 s: x = t + s: x + y + 0 = 0 y = 0t x = t c) r: x = t s: y = t + y = t a) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x + y + 7 = 0 n r = (, ) v r = (, ) s: x = t + v s = (, 0) y = 0t Como los vectores dirección son proporcionales ( v s = v r ), las rectas o son paralelas o son coincidentes. Como P(, ) é s y P è r, las rectas son paralelas. b) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x + y + 0 = 0 n r = (, ) v r = (, ) s: x + y + 0 = 0 n s = (, ) v s = (, ) Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. c) Buscamos un vector dirección de cada recta: r: x = t v r = (, ) y = t + s: x = t v s = (, ) y = t Como los vectores dirección no son proporcionales, las rectas son secantes. 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

25 UNITAT Angles 0 Troba l angle que formen els parells de rectes següents: a) y = x + x y + 7 = 0 b) y = x + 0x + 6y = 0 x = t x = t x y = 0 c) d) y = t y = 4 + t y + = 0 r: y = x + a) sus pendientes son: s: y = x + m r = m s = b) m r m s tg a = = = = a = 4 + m r m s v = (, ) r w = (0, 6) r ( ) + ( ) ì ì a ~ r r = v, w v w 0 0 cos a = = = 0 a = 90 v w v w c) Los vectores dirección de esas rectas son: d = (, ) y d = (, ) Entonces: d d + cos a = = = = = a = 4 0 d d d) a = (, ) r a = (0, ) r ì a ~ r r = a, a cos a = a a = a a 0 = = = = 0,447 a = 6 6'," 4 Quin angle forma la recta x y + 6 = 0 amb l eix d abscisses? No és necessari que hi apliques cap fórmula. Saps que el pendent de r és la tangent de l angle que forma r amb l eix d abscisses. Troba l angle amb el pendent de r. Y r La pendiente de r es m r =. La pendiente de r es, además, tg a: a X m r = tg a tg a = a = 6 '," Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

26 Quin angle forma la recta x y + = 0 amb l eix d ordenades? L angle demanat és el complement de l angle que la recta forma amb l eix d abscisses. El ángulo pedido, a, es complementario de b tg b = tg a Por otro lado, tg b = m r = : tg a = = a = 6 ' 4," tg b Y r a b X Calcula n de tal forma que la recta x + ny = 0 forme un angle de 60 amb el OX. Y 60 r X tg 60 = Como tg 60 = m r, se tiene que: m r = n = n = = = n 4 Calcula m i n en les rectes d equacions: r: mx y + = 0 s: nx + 6y = 0 sabent que r passa pel punt P (, 4) i que r i s formen un angle de 4º. Les coordenades de P han de verificar l equació de r. Així calcules m. Expressa tg 4º en funció dels pendents de r i s per obtindre n. O bé mira el problema resolt número. P é r m 4 + = 0 m = r: x y + = 0 y = x + m r = n s: nx +6y = 0 y = x + m s = n Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

27 UNITAT m tg 4 = s m r (n/6) (/) n = = = + m s m r (n/6)(/) n Hay dos posibilidades: n = n = n n = 0 n n 6 = n = + n n = n Distàncies i àrees Troba la distància entre els punts P i Q en cada cas: a) P(, ), Q(, 7) b) P(, 4), Q(, ) c) P( 4, ), Q(0, 7) a) PQ = ( ) + (7 ) = = 4 b) PQ = ( + ) + ( 4) = + = c) PQ = (0 + 4) + (7 + ) = = 60 = Calcula k de tal manera que la distància entre els punts A(, k) i B(, ) siga igual a. A(, k), B(, ), AB = (, k) dist (A, B) = AB = ( ) + ( k) = k + k = 4 k + 4k + 4 = 0 k = 7 Troba el valor que ha de tindre a per tal que la distància entre A(a, ) i B(, ) siga igual a. AB = ( a) + ( ) = ( a) + 9 = ( a) = 4 a = a = a = a = Troba la longitud del segment que determina la recta x y + = 0 en tallar els eixos de coordenades. Hay que calcular la distancia entre los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas. Calculamos primero dichos puntos: x y + = 0 y + = 0 y = x = 0 A ( ) 0, es el punto de corte con el eje Y. Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 7

28 x y + = 0 x + = 0 x = y = 0 B (, 0) es el punto de corte con el eje X. Luego AB = dist (A, B) = ( 0) + ( 0 ) = + = = Troba la distància del punt P(, ) a les rectes següents: a) x = t 9 b) y = c) x + = 0 y = t 4 a) Veamos primero la ecuación implícita de la recta: t = x/ x = y x + y = 0 t = y Entonces: + ( ) 6 4 dist (P, r) = = = = b) y = y = Por tanto: ( ) 9/4 9/4 dist (P, r) = = = c) dist (P, r) = = Calcula la distància de l origen de coordenades a les rectes següents: a) x 4y + = 0 b) y 9 = 0 c) x = d) x y = a) dist (O, r) = = + ( 4) 0 9 b) dist (O, r) = = c) dist (O, r) = = = d) dist (O, r) = = = 0 + (es decir, la recta x y = 0 pasa por el origen). 9 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

29 UNITAT 4 Determina c perquè la distància de la recta x y + c = 0 al punt (6, ) siga de 0 unitats. (Hi ha dues solucions). 6 + c c c dist (P, r) = = = = Hay dos soluciones: c = 0 c = 0 0 c 0 = 0 c = 0 Las dos rectas solución serán dos rectas paralelas: 0 x y + 0 = 0 P x y 0 = 0 4 Troba la distància entre les rectes r: x y + = 0 i r': x + 4y 7 = 0. Comprova que són paral leles; pren un punt qualsevol de r i troba n la distància a r'. Sus pendientes son m r = = m r' Son paralelas. Entonces, la distancia entre r y r' será: dist (P, r') donde P ér Sea x = 0. Sustituyendo en r y = = 4 P (0, 4) ér Así: dist (r, r') = dist (P, r') = = = = ( ) En el triangle els vèrtexs del qual són O(0, 0), A(4, ) i B(6, ), calcula: a) La longitud del costat OB. b) La distància de A al costat OB. c) L àrea del triangle. a) OB = 6 + ( ) = 0 A(4, ) b) Ecuación de OB: m = = ; y = x x + y = 0 6 O Distancia de A a OB: B(6, ) d = = (es la altura del triángulo) c) Área = 0 = 0 u 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 9

30 44 Comprova que el triangle de vèrtexs A(, ), B(0, ) i C(4, ) és rectangle i troba n l àrea. Veamos si se cumple el teorema de Pitágoras: AB = (0 + ) + ( ) = AC = (4 + ) + ( ) = 0 BC = 4 + ( ) = 0 + = ( ) Por tanto, el triángulo es rectángulo. Área = AB BC = =, u 4 Troba l àrea del triangle els vèrtexs del qual són P(, ), Q(4, 7), R(7, 0). PR = (7 + ) + (0 ) = 6 = 7 (Base del triángulo) Ecuación de PR: 0 m = = y = 0 (x 7) y = x +7 x +4y 7 = Altura: d (Q, PR) = = +4 7 Área = 7 = u 7 P(, ) O Q(4, 7) R(7, 0) Pàgina 09 PER A RESOLDRE 46 Troba les equacions de les rectes r, s, t i p. Y 0 t s X t Y 0 p s r p 0 a b 0 b X r 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

31 UNITAT p: Pasa por los puntos (, ) y (, 4). Así, su pendiente es: Por tanto: 4 ( ) m = = ( ) 7 p: y = + (x 4) 7x 4y + 9 = 0 4 r : Su pendiente es 0 y pasa por el punto ( 0, ). Por tanto: r : y = s: Su vector dirección es (0, ) y pasa por (, 0). 7 4 Por tanto: s: x = y = t t: Pasa por los puntos (, 0) y (, ). Así, su pendiente es: 0 m = = = 4 Por tanto: t: y = (x ) x + y = 0 47 Donada la recta: r: x = + t y = + kt troba un valor per a k de tal forma que r siga paral lela a la bisectriu del segon quadrant. La bisectriz del segundo cuadrante es x = y x = t y = t Su vector dirección es d = (, ). (en paramétricas). El vector dirección de r es r = (, k). Como queremos que r // bisectriz del segundo cuadrante, entonces sus vectores dirección deben ser proporcionales: = k = k Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

32 4 En el triangle de vèrtexs A(, ), B(, ), C(, 4), troba les equacions de: a) L alçària que partix de B. b) La mitjana que partix de B. c) La mediatriu del costat CA. a) La altura que parte de B, h B, es una recta perpendicular a AC que pasa por el punto B: h B AC (, 7) el vector dirección de h B es h B (7, ) B (, ) é h B x t = x = + 7t 7 x y h B : = h B : x 7y = 0 y = + t y 7 t = b) m B (mediana que parte de B) pasa por B y por el punto medio, m, de AC: + 4 m (, ) = (, ) é m B B (, ) é m B m B (, + ) = (, ) es vector dirección de m B. Luego: 9 x 0 x = + t x = 0 + 9t t = 9 m B : y t = y y = + t t = x 0 y = m B : 6x y = 0 9 c) La mediatriz de CA, z, es perpendicular a CA por el punto medio del lado, m'. Así: CA = (, 7) z vector dirección de z: z(7, ) 4 + m' (, ) = (, ) é z x x = +7t t = 4 x y + z: = y y = +t t = 0 z: 0x y 4 = 0 z: x 7y 6 = 0 9 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

33 UNITAT 49 La recta x + y 6 = 0 determina, en tallar els eixos de coordenades, el segment AB. Troba l equació de la mitjana de AB. Després de trobar els punts A i B, troba el pendent de la mediatriu, inversa i oposada a la de AB. Amb el punt mitjà i el pendent, ja pots escriure l equació. Y A B X x + y 6 = 0 A = r» eje Y: x = 0 y 6 = 0 y = A (0, ) x + y 6 = 0 B = r» eje X: y = 0 x 6 = 0 x = B (, 0) AB = (, ) m AB (mediatriz de AB) m AB = (, ) M AB (, ) = (, ) (punto medio de AB) é mediatriz y = ( x ) y = x m AB : 6x 4y = 0 0 Determina els punts que dividixen el segment AB, A(, ), B(, 4), en tres parts iguals. Si P i Q són aquests punts, AP = AB. Escriu les coordenades de AP i de AB, i obtín P. Q és el punt mitjà de PB. B 4 A P Q AP = AB (x +, y ) = (7, ) 7 7 x + = x = = P (, ) y = y = + = Q es el punto medio de PB Q ( / + + 4, ) Q (, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

34 Quines coordenades ha de tindre P per tal que es verifique que PQ QR = 0, sent Q(, ) i R(, )? PQ = QR ( x, y) = ( 4, ) 9 x = x = 7 P (, 0 6 y = 6 ) Els punts mitjans dels costats de qualsevol quadrilàter formen un paral lelogram. Comprova-ho amb el quadrilàter de vèrtexs: A(, ) B(, ) C(, 0) D(, 6) A S D P R B 7 y = 0 Q C + + P (, ) = (4, ) Q (, ); R (0, ); S (, 7) PQ = ( 4, ) = (, 4) SR = (0, 7) = (, 4) SP = (4, 7) = (, ) RQ = ( 0, ) = (, ) Troba el peu de la perpendicular traçada des de P(, ) a la recta: r: x y + 4 = 0 Escriu la perpendicular a r des de P i troba el punt de tall amb r. PQ SP = = SR RQ P (, ) r : x y + 4 = 0 P' (x, y) Sea s la recta perpendicular a r desde P y r = (, ) vector director de r. s Así, PP ' r ò el vector dirección de s, s, también es perpendicular a r( s r), luego podemos tomar s(, ). Como P (, ) é s: x = + t t = x y + s: y + x = x + = y + y = t t = s: x + y = 0 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

35 UNITAT El punto P' (x, y) es tal que: s: x + y = 0 y = x P' = s» r r: x y + 4 = 0 Sustituyendo en la segunda ecuación: x ( x) + 4 = 0 x + 4x + 4 = 0 4 Luego: P' (, ) 4 4 x = y = ( ) = 4 Troba l àrea del quadrilàter de vèrtexs: A( 4, ) B(0, ) C(4, ) D(, ) Traça una diagonal per descompondre l en dos triangles de la mateixa base. A ( 4, ) B (0, ) D (, ) C (4, ) La diagonal AC divide el cuadrilátero en dos triángulos con la misma base, cuya medida es: AC = (, ) = 9 Sean h B y h D las alturas desde B y D, respectivamente, a la base: h B = dist (B, r) y h D = dist (D, r) donde r es la recta que contiene el segmento AC. AC, la ecuación de dicha rec- Tomando como vector dirección de r el vector ta es: x + y + k = 0 Como ( 4, ) é r k = 0 ò k = 4 ò r: x + y 4 = 0 Luego: h B = dist (B, r) = = ( ) + ( ) 4 h D = dist (D, r) = = 9 9 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

36 Así: b h A ABCD = A ABC + A ADC = B b h + D b = (h B + h D ) = 9 6 = ( + ) = Calcula l àrea del triangle els costats del qual estan sobre les rectes: r: x = s: x + y 6 = 0 t: x y 7 = 0 r A s C B t x = A = r» s 6 + y 6 = 0 y = 0 x + y 6 = 0 Luego: A (, 0) x = B = r» t y 7 = 0 y = 4 x y 7 = 0 Luego: B (, 4) x + y 6 = 0 C = s» t x y 7 = 0 x = y + 7 (y + 7) + y 6 = 0 y y 6 = 0 y + = 0 y = x = + 7 = 7 Luego: C (, ) 7 Consideramos el segmento AB como base: AB = (0, 4) = 6 = 4 ( /) La altura desde C es h C = dist (C, r) = = + 0 Así: AB h C 4 / Área = = = 46 6 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

37 UNITAT 6 En el triangle de vèrtexs A(, ), B(, 4) i C(4, ), troba les longituds de la mitjana i de l altura que partixen de B. Mediana. Es el segmento BM donde M es el punto medio de AC. M (, 0) = (, 0 4) ( ) = BM, 4 La longitud de la mediana es: BM = /4 + 6 = Altura. Es el segmento BP donde P es el pie de la perpendicular a AC desde B. AC = (, ) la recta que contiene ese segmento es: x = + t x + y + r: = x y = 0 y = + t v = (, ) AC la recta s r que pasa por B: x = t x y 4 s: = x + y = 0 y = 4 + t r: x y = 0 P = r» s s: x + y = 0 Multiplicamos la primera por y la segunda por, y sumamos: 4x 0y 6 = 0 x + 0y 90 = x 96 = 0 x = y = y = = y = : = Luego: P (, ) 9 BP Así: h B = = (, ) = =, 9 7 Troba el punt de la recta x 4y + = 0 que equidista de A ( 6, 0) i B(0, 6). P r A ( 6, 0) B (0, 6) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 7

38 P (x, y) debe verificar dos condiciones:. P (x, y) é r ò x 4y + = 0. dist (A, P) = dist (B, P) ò (x + 6) + y = x + (y + 6) x 4y + = 0 x + x y = x + y + y + 6 x 4y + = 0 x = y x 4x + = 0 x = = y P (, ) Determina un punt en la recta y = x que diste unitats de la recta x y + = 0. P (x, y) é r: y = x dist (P, r') =, donde r': x y + = 0 y = x x x + x + x y + = = = dos posibilidades: x + = 0 x = 0 x + = 0 x = 0 y = y = P ( 0, 6 0 6) P ( 0, 6 0 6) r' P P r 9 Troba els punts de la recta y = x + que equidisten de les rectes x + y = 0 i 4x y + = 0. Sean r, r y r las tres rectas del ejercicio, respectivamente. Buscamos los puntos P (x, y) que cumplan: P é r ò y = x + dist (P, r ) = dist (P, r ) x + y 4x y + = 0 x + ( x + ) 4x ( x + ) + = Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

39 UNITAT 6x x =, o bien 6x x = 6x + x = x = 6x, o bien x = x = / x x = 6x + 4x = = /4 y = + = y = + = Calcula c per tal que la distància entre les rectes 4x + y 6 = 0 i 4x + y + c = 0 siga igual a. Sea P é r donde x 0 = 0 y 0 = P (0, ) é r c Así, dist (r, r ) = dist (P, r ) = = c = P ( ), P ( ), c = c = c = c = 6 El costat desigual del triangle isòsceles ABC, té per extrems A(, ) i B(4, ). El vèrtex C està en la recta x y + = 0. Troba les coordenades de C i l àrea del triangle. La recta del lado desigual (base) tiene como vector dirección AB = (, ): x = + t x y + r: = r: x y = 0 y = + t La recta que contiene la altura tiene por vector dirección a = (, ) AB y pasa por el punto medio del lado desigual AB, es decir, por M (, ) : x = / t x y h c : = y = / + t 0 6 h c : x + 0y 40 = 0 h c : 6x + 0y 0 = 0 C = s» h c donde s: x y + = 0 x y + = 0 6x + y 6 = 0 6x + 0y 0 = 0 6x + 0y 0 = 0 6 y 6 = 0 y = = x + = 0 x + = 0 x = Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 9

40 Luego: C (, ) Área = base Ò altura = AB CM AB = (, ) AB = 4 (*) 0 CM (, ) CM = 6 6 (*) 4 ( 0/6) = 4,7 6 Troba l equació de la recta que passa pel punt de la intersecció de les rectes r i s i forma un angle de 4º amb la recta: x + y 6 = 0. r: x y 9 = 0 s: x = 0 x y 9 = 0 P = r» s: 9 y 9 = 0 y = 0 x = 0 Luego: P (, 0) Como la recta pedida y x + y 6 = 0 forman un ángulo de 4, entonces si sus pendientes son, respectivamente, m y m, se verifica: m tg 4 = m ( /) m = + m m + ( /) m = m m m = m, o bien ( m ) = m 4m = 6 m = 6/4 6m = 4 m = 4/6 Hay dos posibles soluciones: 6 9 t : y 0 = (x ) t : y = x t : y 0 = (x ) t : y = x 6 6 Donades r: x y 7 = 0 i s: x ky = 0, calcula el valor de k per tal que r i s es tallen i formen un angle de 60º. Troba el pendent de r. El pendent de s és /k. Hi obtindràs dues solucions. Las pendientes de r y s son, respectivamente: m r = y m s = k 40 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

41 UNITAT Entonces: /k + /k tg 60 = = dos casos: k k + 6 (k + 6) = k (k + 6) = k 6 k + = = k + = = Les rectes r: x y + 6 = 0, s: x + y 6 = 0 i t: x y 4 = 0 són els costats d un triangle. Representa l i troba n els angles. Y X t r s m r = ; m s = ; m t = ì / ( ) 7/ r, s + / ( ) ì Luego: ( r, s ) = 60 ',4" tg ( ) = = = 7 4 ì r, t / / + / / tg ( ) = = = 6 ì Luego: ( r, t ) = 4 0' 0,7" ì ì ì Por último: ( s, t ) = 0 ( r, s ) ( r, t ) = 4' " 6 Troba els angles del triangle els vèrtexs del qual són A(, ), B(, ) i C(, 4). Representa el triangle i observa si té algun angle obtús. AB = (, ); BA (, ) AC = (6, 6); CA ( 6, 6) BC = (, ); CB (, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 4

42 cos ^A AB AC 66 + = = 0,6 AB AC 0 7 Luego: ^A = 9 44' 4,6" cos ^B BA BC 9 = = 0,69 BA BC 0 4 Luego: ^B = 46 ' 7,9" A (, ) Y C (, 4) B (, ) X Así, ^C = 0 ( ^A + ^B) = 04 ' 0," Pàgina 0 66 Troba l equació de la recta que passa per (0, ) i forma un angle de 0º amb x =. La recta que busquem forma un angle de 60º o de 0º amb l eix OX. r Y 0 x = (0, ) 60 0 X r La recta r forma un ángulo de 60 o de 0 con el eje OX. Su pendiente es: m = tg 60 =, o bien m = tg 0 = Teniendo en cuenta que debe pasar por P (0, ), las posibles soluciones son: r : y = x + r : y = x + 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

43 UNITAT 67 La recta x + y = 0 és la bisectriu d un angle recte el vèrtex del qual és,. Troba les equacions dels costats de l angle. Las pendientes de las tres rectas son: m b =, m r, m r' r ( ) V (, ) 4 4 b: x + y = 0 r' tg 4 = = m r = m r m r = + m r' = m r' m r' = / m b m r + m b m r r: y = ( x + ) y = x + m r m r r': y = ( x + ) y = x Troba un punt a la recta x y 6 = 0 que equidiste dels eixos de coordenades. Eje X: y = 0 Eje Y: x = 0 P (x, y) é r dist (P, eje X) = dist (P, eje Y ) x y 6 = 0 y = x dos casos: x y 6 = 0 x = y x = y y y 6 = 0 y P = 6 x = 6 ( 6, 6) y y 6 = 0 y = x = P (, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 4

44 Y r X P P 69 Troba les equacions de les rectes que passen per A(, ) i formen un angle de 60º amb x = y. b: x = y su pendiente es m b = m + m tg 60 = = + m = m m = + + m = m m = + Teniendo en cuenta que pasan por A (, ): r : y = (x + ) + + r : y = (x + ) + ECUACIONES PUNTO-PENDIENTE 70 Escriu l equació de la recta r que passa per A (, ) i B (, 6) i troba l equació d una recta paral lela a r, la distància a r de la qual siga igual a la distància entre A i B. vector dirección AB = (, ) x = + t r: r: pasa por A (, ) y = + t x y = x y + = 0 r: x y + = 0 s // r m s = m r = y = x + c s: x y + c = 0 dist (r, s) = dist (A, s) = dist (A, B) + c = AB + ( ) + c = s : x y + 7 = 0 s : x = 0 m + m + c = 6 ò c = 6 + = 7 + c = 6 ò c = 6 + = 44 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

45 UNITAT 7 Troba el punt simètric de P(, ) repecte de la recta x y 4 = 0. PP ' v donde P' es el simétrico de P respecto a esa recta y v es el vector dirección de la misma. PP ' v = 0 (x, y ) (, ) = 0 (x ) + (y ) = 0 x + y = 0 Además, el punto medio de PP', M, debe pertenecer a la recta. Luego: x + y + M(, ) é r x + y + 4 = 0 x + y = 0 x y 9 = 0 Así, teniendo en cuenta las dos condiciones: x + y = 0 x y 9 = 0 x = 9 + y (9 + y) + y = 0 + 4y + y = 0 y = = x = 9 + ( ) = 9 6 = Luego: P' = (, ) 7 Un rombe ABCD té un vèrtex a l eix de les ordenades; dos vèrtexs oposats són B(, ) i D(, ). Troba les coordenades dels vèrtexs A i C i l àrea del rombe. Sea A é eje Y A = (0, y ) y sea el punto C = (x, y ). Como estamos trabajando con un rombo, sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio, M. Además, AC BD. D(, ) A C B(, ) + M (, ) = (, ) es el punto medio de BD (y de AC). Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 4

46 Sea d la recta perpendicular a BD por M (será, por tanto, la que contiene a AC): BD = ( 4, 4) d = (4, 4) es vector dirección de d M (, ) é d 4 La pendiente de d es m d = = 4 M(, ) é d d : y = (x + ) y = x + 4 Así: y = x + 4 A = d» eje Y: y = 4 A (0, 4) x = 0 M es punto medio de AC (, ) = (, ) x = x = y C ( 6, ) = y = 0 + x 4 + y AC BD Área = AC = ( 6, 6) = 7 = 6 BD = ( 4, 4) = = 4 Área = = 4 u En el triangle de vèrtexs A(, ), B(, ) i C(4, ), troba l ortocentre i el circumcentre. L ortocentre és el punt d intersecció de les altures. El circumcentre és el punt d intersecció de les mediatrius. ORTOCENTRO: R = h A» h B» h C donde h A, h B y h C son las tres alturas (desde A, B y C, respectivamente). a BC = (, ) a = (, ) x = + t h A h A : A é h A y = + t x + y = h A : x y + = 0 b AC = (7, ) b = (, 7) x = + t h B h B : B é h B y = + 7t y x = h B : 7x y 4 = Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

47 UNITAT c AB = (4, ) c = (, 4) x = 4 + t h C h C : C é h C y = 4t y x 4 = h C : 4x + y 7 = 0 4 Bastaría con haber calculado dos de las tres alturas y ver el punto de intersección: 7x y 4 = 0 h B» h C : 4x + y 7 = 0 Sumando: x = 0 x = y = 7x 4 = 7 4 = = NOTA: Puede comprobarse que el ortocentro, R, está también en h A. Basta con sustituir en su ecuación. CIRCUNCENTRO: S = m A» m B» m C, donde m A, m B y m C son las tres mediatrices (desde A, B y C, respectivamente). 0 a BC a = (, ) m A Punto medio de BC: M (, ) é m A 0 R (, ) y = ( x ) y = x 7 4 c AB = (4, ) c = (, 4) m C Punto medio de AB: M' (, ) é m C y = 4 (x + ) y = 4x Así: 7 y = x 4 7 S = m A» m C : x = 4x 4 y = 4x 6x 7 = 6x 6 x = x = 4 7 y = 4 = = 7 Así, S (, ). NOTA: Se podría calcular m B y comprobar que S é m B. Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 47

48 74 La recta x + y 4 = 0 és la mediatriu d un segment que té un extrem en el punt (0, 0). Troba n les coordenades de l altre extrem. r: x + y 4 = 0 O (0, 0) A (x, y) Un vector dirección de la recta es el v = (, ). Debe verificarse que: v OA = v OA = 0 (, ) (x, y) = 0 x y = 0 x = y Además, el punto medio de OA, M, pertenece a la recta: x y M (, ) é r + 4 = 0 y y + 4 = 0 4y + y = 0 x y 6 Luego: A (, ) y = x = = 6 7 Els punts P(, 4) i Q(6, 0) són vèrtexs consecutius d un paral lelogram que té el centre en l origen de les coordenades. Troba: a) La resta de vèrtexs. b) Els angles del paral lelogram. P (, 4) Y S O X Q (6, 0) R 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

49 UNITAT a) Como las dos diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio, que es el centro, se tienen fácilmente los otros dos vértices: R (, 4), S ( 6, 0) b) PQ = SR = (, 4) QP = RS = (, 4) PS = QR = ( 4, 4) SP = RQ = (4, 4) cos ^P PS PQ + 6 = = = 0,6 ^P = 0 6'," = ^R PS PQ 0 ^ S = 60 ( ^P + ^R) = 7 ' 4" = ^Q NOTA: Podríamos haber calculado ^S con los vectores: cos ^S SP SR 6 = = = 0,6 ^S = 7 ' 4" SP SR 0 76 Dos dels costats d un paral lelogram estan sobre les rectes x + y = 0 i x y + 4 = 0 i un dels vèrtexs és el punt (6, 0). Identifica la resta de vèrtexs. Como las rectas no son paralelas, el punto donde se corten será un vértice: r : x + y = 0 r : x y + 4 = 0 Luego un vértice es A (0, ). x + y = 0 x + y 4 = 0 y 6 = 0 y = x + = 0 x = 0 El vértice que nos dan, C (6, 0), no pertenece a ninguna de las rectas anteriores (pues no verifica sus ecuaciones, como podemos comprobar fácilmente sustituyendo los valores de x e y por las coordenadas de C ). Así pues, el vértice C no es consecutivo de A. Sean s // r una recta que pasa por C y s // r una recta que pasa por C. Se trata de las rectas sobre las que están los otros lados. s A r Así, los otros vértices, B y B D, serán los puntos de corte de: r r» s = B D C s r» s = D Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics 49

50 x + y + a = 0 s : s : x + y 6 = 0 C é s a = 0 a = 6 x y + b = 0 s : s : x y 6 = 0 C é s b = 0 b = 6 x + y = 0 B = r» s : x y 6 = 0 Resolviendo el sistema: De la primera ecuación x = y en la segunda y y 6 = y = x = B (, ) x + y + 4 = 0 D = r» s : 6 y y + 4 = 0 x + y 6 = 0 x = 6 y 0 0 y = x = D (, ) 77 Troba un punt de l eix d abscisses que equidiste de les rectes 4x + y + 6 = 0 i x + 4y 9 = 0. P (x, 0) debe verificar dist (P, r) = dist (P, s): 4x x = 4x + 6 = x 9 x = P (, 0), P (, 0) 4x + 6 = (x 9) x = /7 7 7 Troba el punt de la recta x 4y = 0 que amb l origen de coordenades i el punt P( 4, 0) determina un triangle d àrea 6. Si prenem com a base PQ = 4, l altura del triangle fa. El punt que busquem es troba a unitats de PO i en la recta donada. Hi ha dues solucions. Los vértices son O (0, 0), P ( 4, 0), Q (x, y). Si tomamos como base OP, entonces: OP h 4 h Área = 6 = h = El punto Q (x, y) é r x 4y = 0 y debe verificar que dist (Q, OP) =. La recta sobre la que se encuentra OP tiene por vector dirección pasa por (0, 0). Luego es el eje X: y = 0. OP ( 4, 0) y 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

51 UNITAT Así: x 4y = 0 y = 0 + y = y = x 4 = 0 x = x 4 ( ) = 0 x = Luego hay dos triángulos, OPQ y OPQ, donde: Q (, ) y Q (, ) 79 Siguen A, B, C, D els punts de tall de les rectes x y + = 0 i x y = 0 amb els eixos de coordenades. Prova que el quadrilàter ABCD és un trapezi isòsceles i identifica n l àrea. A Y D B C X A (, 0) B (0, ) C (, 0) D (0, ) Mira el problema resolt n.. x y + = 0 Sean: A = r» eje OX: x = ò A (, 0) y = 0 x y + = 0 B = r» eje OY: y = ò B (0, ) x = 0 x y = 0 C = s» eje OX: x = ò C (, 0) y = 0 x y = 0 D = s» eje OY: y = ò D (0, ) x = 0 Calculamos los vectores dirección de los lados: AB = (, ) BC = (, )] DA = BC BC // DA CD = (, ) AB = = CD DA = (, ) Luego, efectivamente, ABCD es un trapecio isósceles de bases BC y DA. Para calcular el área necesitamos la altura: Como AD (, ) y = x AD: x + y + = 0 D (0, ) Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

52 0 + + h = dist (B, AD) = = = Así: BC + DA + 9 Área = = = = La recta x + y = 0 i una recta paral lela a ella que passa pel punt (0, ) determinen, juntament amb els eixos de coordenades, un trapezi isòsceles. Troba n l àrea. s//r: x + y = 0 ò x + y + k = 0 P (0, ) é s Luego s: x + y = k = 0 k = x + y = 0 Sean: A = r» eje X: y = 0 x = ò A (, 0) x + y = 0 B = r» eje Y: x = 0 y = ò B (0, ) x + y = 0 C = s» eje X: y = 0 x = ò C (, 0) x + y = 0 D = s» eje Y: x = 0 y = ò D (0, ) AB = (, ); CD = (, ) AB + CD AB + CD Área = h = dist (A, s) = = = = = + Un punt P, que és equidistant dels punts A(, 4) i B(, 6), dista el doble de l eix d abscisses que de l eix d ordenades. Quines són les coordenades de P? d (P, OX ) = d (P, OY ) y = x y = x y = x AP = PB (x ) + (y 4) = ( x) + (6 y) x + 9 6x + y + 6 y = x + + 0x + y + 6 y 6x y + = 0x y + 6 6x 4y + 6 = 0 4x y + 9 = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

53 UNITAT Como deben cumplirse las dos condiciones, habrá dos soluciones: y = x 9 P : 4x x + 9 = 0 x = 4x y + 9 = 0 y = 9 Luego: P ( 9, 9) y = x 9 P : 4x + x + 9 = 0 x = = y = 4x y + 9 = 0 6 Luego: P (, ) De totes les rectes que passen pel punt A(, ), troba el pendent d aquella la distància a l origen de la qual és. L equació y = + m(x ) representa totes aquestes rectes. Passa-la a forma general i aplica-hi la condició d(o, r) =. Esas rectas tienen por ecuación: y = + m (x ) mx y + ( m) = 0 m m = m d (0, r) = = + m + m = m + ( m) = m m 4m = m + 4 4m = m = 4 Donat el triangle de vèrtexs A( 4, ), B(, ) i C(, ), troba les equacions de les rectes r i s que partixen de B i tallen AC, dividint el triangle en tres triangles d igual àrea. B Y A r s C X La altura de los tres triángulos es igual a la distancia de B al lado AC. Por tanto, tendrán la misma área si tienen la misma base. Así, se trata de hallar los puntos, P y Q, que dividen el lado AC en tres partes iguales: OA + OC = = ( ) (, ; = OC + OC = OQ, 0) OP La recta r es la que pasa por B y por P: 6 m = = = ( /) ( ) (/) y = (x + ) r: x + y + = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

54 La recta s es la que pasa por B y por Q: 0 m = = = ( ) (/) ( /) y = (x + ) y = x s: x + y 40 = 0 4 Donada la recta r: x y + = 0, troba l equació de la recta simètrica de r respecte a l eix d abscisses. Hallamos dos puntos de la recta dada. Por ejemplo: A (, ) y B (, ). Los dos puntos simétricos respecto al eje OX de A y B son A' (, ) y B' (, ). La recta, r', simétrica de r respecto al eje OX será la que pasa por A' y B': ( ) + m = = = La recta r' es: y = (x ) y = 9 x + 4 x + y + = 0 De otra forma: Si (x, y) es un punto de la recta r, entonces (x, y) es un simétrico respecto al eje OX. Por tanto, la ecuación de la recta r', simétrica de r respecto al eje OX, será: x ( y) + = 0 x + y + = 0 Pàgina QÜESTIONS TEÒRIQUES Prova que si les rectes ax + by + c = 0 i a'x + b'y + c' = 0 són perpendiculars, es verifica que aa' + bb' = 0. El vector (a, b) es perpendicular a la recta ax + by + c = 0. El vector (a', b' ) es perpendicular a la recta a' x + b' y + c' = 0. Si las dos rectas son perpendiculares, entonces: (a, b) (a', b' ) = 0; es decir, aa' + bb' = 0. 6 Donada la recta ax + by + c = 0, prova que el vector v = (a, b) és ortogonal a qualsevol vector determinat per dos punts de la recta. Identifica A(x, y ) i B(x, y ) i fes v AB. Tin en compte que els punts A i B verifiquen l equació de la recta. Si A(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Si B(x, y ) pertenece a la recta, entonces ax + by + c = 0 Restando las dos igualdades: a(x x ) + b(y y ) = 0 4 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

55 UNITAT Esta última igualdad significa que: (a, b) (x x, y y ) = 0; es decir, que el vector (a, b) es perpendicular al vector AB, siendo A y B dos puntos cualesquiera de la recta. 7 a) Què podem dir d una recta si en la seua equació general falta el terme independent? b) I si falta el terme en x? c) I si falta el terme en y? a) La recta pasa por (0, 0). b) Es una recta horizontal (paralela al eje OX). c) Es una recta vertical (paralela al eje OY). Prova que l equació de la recta que passa per dos punts P (x, y ) i y y y Q(x, y ) es pot escriure de la forma: = y. x x x x Un vector dirección de la recta es PQ = (x x, y y ) y un punto de la recta es P (x, y ). Entonces, las ecuaciones paramétricas de la recta serán: x = x + (x x ) t t = y = y + (y y ) t t = x x y y y = y = x x y y x x o, lo que es lo mismo: x x x x y y y y y y x x y y x x = y y x x PER A APROFUNDIR-HI 9 Un quadrat té una diagonal sobre la recta x + y 6 = 0 i un dels vèrtexs és A(, ). Troba n la resta de vèrtexs i la longitud de la diagonal. Se comprueba que A è s. Luego la otra diagonal en la que está A será r tal que r s: x y + G = 0 Como A é r G = 0 G = 9 r: x y + 9 = 0 Unitat. Geometria analítica. Problemes afins i mètrics

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