Seccions còniques. 1 Introducció. 2 Seccions d un con per un pla. Ramon Nolla Departament de Matemàtiques IES Pons d Icart

Transcripción

1 IES Pons d Icrt Seccions còniques 1 Seccions còniques Rmon Noll Deprtment de Mtemàtiques IES Pons d Icrt 1 Introducció S tribuei Menecm (iv C) el descobriment de les seccions còniques. No se sp de quin mner el mtei Menecm o lgun ltre investigdor trobà lgun d questes corbes en el curs dels seus treblls. No hi h cp prov que l interpretció que tribuei el descobriment prtir de l estudi de les seccions d un con, sigui encertd. Aquestes corbes hguessin pogut prèier en l estudi d lgun ltre problem i després ser relciondes mb les seccions d un con. L cit en què es bs l suposició que Menecm en fos el descobridor permet interpretcions diverses. 1 En quests punts s introduirn questes corbes mitjnçnt les seccions d un con. Després es crcteritzrn utilitznt un relció mètric dels seus punts mb diversos elements del seu pl de secció. Aiò permetrà fer-ne un trducció, prèvi introducció d un sistem de referènci, l llengutge lgebric de l geometri nlític. Seccions d un con per un pl Considerem el con genert per l rect d en girr l voltnt de l rect l, de mner que d l = V és un punt fi i l ngle α entre les dues rectes és constnt. Sigui un pl π que no conté el punt V i tll el con en diferents seccions, i l ngle β que form mb l rect l. Llvors, estblim les definicions següents: Anomenem el lipse l intersecció de les dues superfícies qun β > α. Anomenem pràbol l intersecció de les dues superfícies qun β = α. Anomenem hipèrbol l intersecció de les dues superfícies qun β < α. l l l d d d V V V ¼ ¼ ¼ 1 Vegeu l pèndi finl Anomenem genertriu qulsevol rect d que generi el con, i l rect l rep el nom d ei del con.

2 IES Pons d Icrt Seccions còniques Pretenem fer un trctment lgebric en el pl d questes seccions. Per conseguir-ho cercrem un crcteritzció mètric dels seus punts. Utilitzrem el cmí seguit per Germinl Dndelin( ) l n Crcteritzció de l el lipse per punts Considerem les esferes S 1 i S inscrites en el con, tngents l pl π de l secció. Siguin F 1 i F els punts de tngènci. Si estudiem per qulsevol punt P de l el lipse l sum de distàncies d(p, F 1 )+d(p, F ), es complei que és independent de P i igul l distànci determind pel segment Q 1 Q, seguint qulsevol genertriu del con, entre les dues circumferències C 1 i C de contcte de les esferes mb el con. Efectivment, C 1 V C S Q F 1 F Sigui l genertriu V P del con. Aquest toc les circumferències C 1 i C en els punts Q 1 i Q. En ser questes circumferències perpendiculrs l ei del con, l distànci d(q 1, Q ) és constnt qun P es mou sobre l el lipse. Llvors, en ser P Q 1 i P F 1 tngents l esfer S 1, i P Q i P F tngents l esfer S, d(q 1, Q ) = d(p, Q 1 ) + d(p, Q ) = d(p, F 1 ) + d(p, F ). Per tnt, tenim crcteritzts els punts P de l el lipse, prtir de dos punts F 1 i F i un sum de distàncies que es mnté constnt i mjor, per l desigultt tringulr, que d(f 1, F ).. Crcteritzció de l hipèrbol per punts P Q1 S 1 ¼ Considerem, com bns, les esferes S 1 i S inscrites en el con i tngents l pl π de l secció. Siguin F 1 i F els punts de tngènci. Si estudiem per qulsevol punt P de l hipèrbol l diferènci de distàncies d(p, F 1 ) d(p, F ), es complei que el seu vlor bsolut és independent de P i igul l distànci determind per Q 1 Q, seguint qulsevol genertriu del con, entre les dues circumferències C 1 i C de contcte de les esferes mb el con. Efectivment, Com en el cs de l el lipse, l genertriu V P toc les circumferències C 1 i C en els punts Q 1 i Q, i d(q 1, Q ) és mnté constnt en vrir P. Llvors, en ser P Q 1 i P F 1 tngents l esfer S 1, i P Q i P F tngents l esfer S, ¼ P S F Q C V Q 1 F 1 S 1 C 1

3 IES Pons d Icrt Seccions còniques 3 d(q 1, Q ) = d(p, Q 1 ) d(p, Q ) = d(p, F 1 ) d(p, F ). Per tnt, s hn crcteritzt els punts P de l hipèrbol, prtir de dos punts F 1 i F i un diferènci de distàncies que es mnté constnt en vlor bsolut i menor, per l desigultt tringulr, que d(f 1, F )..3 Crcteritzció de l pràbol per punts. Presentció focus directriu de les còniques El pl π de secció de l pràbol i el con només determinen un esfer S tngent inscrit que tingui el seu centre, com en els csos nteriors, en l ei del con. Per trobr un crcteritzció mètric dels punts P de l pràbol es consider el pl π C que conté l circumferènci de contcte d quest esfer mb el con. Llvors, l líni d ctució pss per considerr l rect r, nomend directriu, d intersecció del pl π C mb el pl π de secció de l pràbol, el punt de tngènci F de l esfer mb el pl π i l sev relció mètric mb els punts P de l pràbol. Aquest trctment tmbé es pot fer mb les ltres dues seccions còniques i proporcion un crcteritzció mètric lterntiv unificd de les tres seccions còniques. ¼ C C V Q r Z T S F P = ¼ Sigui α l meitt de l ngle en el vèrte del con, i β l ngle del pl π de l secció mb l ei del con. Siguin els punts: R: Intersecció del cercle C mb l genertriu V P. Z: Projecció ortogonl de P sobre el pl π C. T : Projecció ortogonl de P sobre l rect r. El trctment generl, el qul il lustrem per l cs de l pràbol, β = α, es f prtir dels tringles P ZQ, P ZT i l comprció dels segments P F i P T. Per trigonometri de tringles rectngles i per les propietts de les rectes tngents un esfer observem, P Z = P R cos α P Z = P T cos β P R = P F = P F cos α = P T cos β.

4 IES Pons d Icrt Seccions còniques 4 Llvors, en ser P T perpendiculr r, tenim d(p, T ) = d(p, r) i, per tnt, d(p, F ) = cos β d(p, r). cos α Utilitzem l notció e = cos β, i nomenem el seu vlor ecentricitt. Llvors, hem obtingut cos α un crcteritzció mètric, nomend focus-directriu, per ls punts P de l pràbol i, tmbé, de les ltres dues seccions còniques. Efectivment, Cònic Ecentricitt Crcteritzció mètric Pràbol β = α e = 1 d(p, F ) = d(p, r) El lipse β > α e < 1 d(p, F ) = e d(p, r) Hipèrbol β < α e > 1 d(p, F ) = e d(p, r). 3 Trctment mètric i equcions de les còniques Les propietts trobdes l secció nterior, que crcteritzven mètricment cdscun de les seccions còniques, permeten definir-les d un form lterntiv. 3.1 El lipse Definició 1 En un pl π, donts dos punts F 1 i F diferents, i un nombre rel tl que > d(f 1, F ), nomenem el lipse de focus F 1 i F, i ei mjor o principl, el lloc geomètric dels punts P π tls que d(p, F 1 ) + d(p, F ) =. (1) Anomenrem distànci focl l distànci d(f 1, F ) i l representrem per c en què c és un nombre rel positiu. L inclusió del fctor en c permet que el trctment nlític de l corb sigui més còmode. c PF1 + PF = ) F 1 F F 1 F P Equció reduïd de l el lipse Frem un elecció d un sistem de referènci en el pl de l el lipse, que proporcionrà un representció lgebric de l el lipse forç simplificd. Concretment, considerem l referènci O és el punt mitjà de F 1 i F, OF {O; e 1, e }, tl que e 1 = OF, ngle orientt ( e 1, e ) = +90, i e = 1. Ar, el càlcul del lligm entre les coordendes, dels punts de l el lipse es reduei un mic d àlgebr de segon gru.

5 IES Pons d Icrt Seccions còniques 5 En l referènci dond tenim F 1 ( c, 0) i F (c, 0) i, si P (, ) és qulsevol punt de l el lipse, de l igultt (1) s obté d(p, F 1 ) + d(p, F ) = ( + c) + + ( c) + = ( + c) + = ( c) ( c) + c + = ( c) + ( c ) = ( c ) +. () Llvors, en ser, per definició, > c, tenim c > 0. Per tnt podem representr c com un nombre qudrt. Aií, si fem b = c i dividim l últim equció () per l epressió b, obtenim l equció reduïd + b = Algunes observcions sobre l el lipse A prtir de l equció reduïd és de fàcil comprovció que: L el lipse té dos eios de simetri: L rect F 1 F determind pels dos focus i l rect perpendiculr F 1 F pel punt mitjà O de F 1 i F. Les interseccions d quests eios mb l corb reben el nom de vèrtes de l el lipse. Les coordendes dels vèrtes són (, 0), (, 0), (0, b) i (0, b). El punt en que es tllen els dos eios de simetri és centre de simetri de l el lipse. Cdscun dels dos segments d etrems un focus i un punt P de l el lipse, rep el nom de rdi vector del punt P. L ecentricitt e de l el lipse és igul l vlor de c. Si mntenim els vèrtes, sobre l ei principl, fios, l el lipse degener cp un segment qun e 1 i cp un circumferènci qun e 0. Y P (, ) F 1 c F b X + = 1 b 3. Hipèrbol Definició En un pl π, donts dos punts F 1 i F diferents, i un nombre rel tl que < d(f 1, F ), nomenem hipèrbol de focus F 1 i F, i ei principl, el lloc geomètric dels punts P π tls que d(p, F 1 ) d(p, F ) =. (3) Igul que per l el lipse, nomenrem distànci focl l distànci d(f 1, F ) i l representrem per c en què c és un nombre rel positiu. c jpf { PF j = 1 ) F 1 F F 1 F P

6 IES Pons d Icrt Seccions còniques Equció reduïd de l hipèrbol Frem un elecció d un sistem de referènci com en el cs de l el lipse. Recordem, O és el punt mitjà de F 1 i F, OF {O; e 1, e }, tl que e 1 = OF, ngle orientt ( e 1, e ) = +90, i e = 1. En l referènci dond tenim F 1 ( c, 0) i F (c, 0) i, si P (, ) és qulsevol punt de l hipèrbol, de l igultt (3) s obté d(p, F 1 ) d(p, F ) = ( + c) + ( c) + = ± ( + c) + = ( c) ± 4 ( c) + c + = ± ( c) + ( c ) = ( c ) +. (4) Llvors, en ser, per definició, < c, tenim c > 0. Per tnt podem representr c com un nombre qudrt. Ar, si com en el cs de l el lipse, fem b = c i dividim l últim equció (4) per l epressió b, obtenim b = b + b = Algunes observcions sobre l hipèrbol A prtir de l equció reduïd és de fàcil comprovció que: L hipèrbol té dos eios de simetri: L rect F 1 F determind pels dos focus i l rect perpendiculr F 1 F pel punt mitjà O de F 1 i F. Les dues interseccions de l ei F 1 F mb l corb reben el nom de vèrtes de l hipèrbol. El punt en que es tllen els dos eios de simetri és un centre de simetri de l hipèrbol. Les coordendes dels vèrtes són (, 0) i (, 0). Cdscun dels dos segments d etrems un focus i un punt P de l hipèrbol, rep el nom de rdi vector del punt P. L ecentricitt e de l hipèrbol es pot clculr mitjnçnt l frcció c. Si mntenim els vèrtes, sobre l ei principl, fios, l hipèrbol degener cp un prell de rectes prl leles qun e i cp un prell de semirectes qun e 1. { = 1 b P (, ) Y c F 1 F b X 3.3 Pràbol Definició 3 En un pl π, donts un rect r i un punt F eterior r, nomenem pràbol de focus F i directriu r, el lloc geomètric dels punts P π tls que d(p, F ) = d(p, r). (5)

7 IES Pons d Icrt Seccions còniques 7 L distànci p = d(f, r) rep el nom de pràmetre de l pràbol. F r d ( P, F ) = d ( P, r) F P r Equció reduïd de l pràbol Fem l elecció d un sistem de referènci {O; e 1, e } tl que O pertn l rect, per F, perpendiculr r i d(o, F ) = d(o, r), OF e 1 = OF, ngle orientt ( e 1, e ) = +90, i e = 1. En l referènci dond tenim F ( p, 0), r : = p pràbol, de l igultt (5) s obté d(p, F ) = d(p, r) ( p ) + = i, si P (, ) és qulsevol punt de l + p p 4 p + = + p 4 + p = p. Si en l elecció de referènci intercnviem els ppers de e 1 i e, obtenim l equció = p. = p P (, ) Y F O r X Y p O r P (, ) X = p 3.3. Algunes observcions sobre l pràbol L pràbol té un ei de simetri: L rect que pss pel seu focus F i és perpendiculr l directriu. L intersecció de l ei mb l corb rep el nom de vèrte de l pràbol. El segment d etrems F i un punt P de l pràbol, rep el nom de rdi vector de P. L pràbol es pot obtenir com l corb límit d un el lipse qun un focus i el vèrte djcent es mntenen fios i l ltre focus es desplç l infinit. 4 Equció polr de les còniques. Ecentricitt Considerem un cònic i un sistem de referènci ortonorml tls que: El focus F de l cònic és el punt (0, 0). L directriu r és l rect = k > 0.

8 IES Pons d Icrt Seccions còniques 8 P un punt genèric de l cònic. Llvors, si nomenem d(p, F ) = ρ, i P F X = θ tenim, prtir de l presentció focus-directriu, d(p, F ) = e d(p, r) ρ = k ρ cos θ. Aquest equció, rep el nom d equció polr de l cònic i es pot presentr eplícitment ií: ) Si P pertn l semiplà determint per r i F, tenim ρ = e(k ρ cos θ) i l cònic s epress ek ρ = 1 + e cos θ, en l qul, en ser ρ > 0, e pot tenir qulsevol vlor positiu. O sigui que quest equció pot representr un el. lipse, un brnc d hipèrbol o un pràbol. b) Si P no pertn l semiplà esmentt, tenim ρ = e(ρ cos θ k) i l cònic s epress ek ρ = e cos θ 1, en l qul, en ser ρ > 0, s h de complir e > 1. O sigui que quest equció només pot representr un brnc d hipèrbol. Y ½ P(, ) Cs () = k ½ = k Cs (b) P(, ) F µ X F µ X k -- ½ cosµ r ½ cosµ -- k r A prtir d questes epressions es pot comprovr que l ecentricitt e complei, en el cs de l el lipse i l hipèrbol, e = c. Efectivment, ho veurem en el cs de l el lipse mitjnçnt l recerc de l sev equció reduïd: ρ = ek 1 + e cos θ + = ek 1 + e + Y + = e(k + ) (1 e ) + + e k = e k + 1 e + e k 1 e = e k 1 e. Si completem qudrts mb l finlitt d eliminr l prt linel de l equció i poder fer un trsllt d eios de referènci, tenim ( + e k 1 e Llvors si trebllem mb les coordendes N = + Llvors, N + ) + 1 e = e k 1 e + e4 k (1 e ). N 1 e = e k (1 e ) N e k (1 e ) e k 1 e, N =, obtenim l equció reduïd + N e k 1 e = 1. ( c ) = b = 1 b = 1 ek 1 e e k (1 e ) = 1 (1 e ) = e = c = e.

9 IES Pons d Icrt Seccions còniques 9 5 Tngents i símptotes. Cercrem les equcions de tngents i símptotes les còniques qun questes venen dondes per les seves equcions reduïdes. Utilitzrem el concepte de tngent i símptot que proporcionen el càlcul de límits i el càlcul diferencil. 5.1 Rect tngent l el lipse per un dels seus punts Sigui ( 0, 0 ) el lipse d equció + b = 1. L derivd en 0 stisfà b = 0 0 = b 0 0. Llvors, l equció de l rect tngent en el punt ( 0, 0 ) és 0 = b 0 0 ( 0 ) b = b Ar bé, en ser ( 0, 0 ) el lipse, tenim b = b. Per tnt, l rect tngent es pot presentr b = b b = 1. És immedit comprovr que les rectes mb un sol punt de contcte mb l el lipse són tngents l el lipse. 5. Rect tngent l hipèrbol per un dels seus punts Sigui ( 0, 0 ) hipèrbol d equció b = 1. L derivd en 0 stisfà b = 0 0 = b 0 0. Llvors, l equció de l rect tngent en el punt ( 0, 0 ) és 0 = b 0 0 ( 0 ) b 0 0 = b 0 0. Com bns, en ser ( 0, 0 ) hipèrbol, tenim b 0 0 = b. Per tnt, l rect tngent té equció b 0 0 = b 0 0 b = Rect tngent l pràbol per un dels seus punts Sigui ( 0, 0 ) pràbol d equció = p. L derivd en 0 stisfà 0 0 = p 0 = p 0. Llvors, l equció de l rect tngent en el punt ( 0, 0 ) és 0 = p 0 ( 0 ) 0 p 0 = p p 0 0 = p( + 0 ). És immedit comprovr que les rectes mb un sol punt de contcte mb l pràbol i no prl leles l ei són tngents l pràbol.

10 IES Pons d Icrt Seccions còniques Asímptotes d un hipèrbol Veurem que l hipèrbol té sempre dues símptotes. Ho demostrrem en llengutge nlític, prtir de l referènci que proporcionv l sev equció reduïd. Concretment, considerrem els punts de l hipèrbol mb ordend positiv. Llvors, per l simetri de l corb respecte l ei OX podrem completr l estudi. b = 1 i 0 = = b. És immedit comprovr que no té símptotes verticls ni horitzontls. Qunt les símptotes oblíqües = m + n tenim, b m = lim = b + lim 1 + = b ( b n = lim + b ) = b lim + + = + = 0. b m = lim = b lim 1 = b ( b n = lim + b ) = b lim = + = 0. O sigui que, qun > 0, per + i per, les símptotes són, respectivment, = b i = b. A prtir d quí, tenint en compte l simetri respecte l ei OX, les dues rectes nteriors són símptotes qun ±, tl com es mostr en el gràfic djunt. = { b Y = b = { Y = b b c b X X És immedit comprovr que les rectes mb un sol punt de contcte mb l hipèrbol i no prl leles les símptotes són tngents l hipèrbol. 6 Un propiett de les tngents Teorem 1 L tngent un el lipse, de focus F 1, F i ei principl, en un punt P d quest, és l bisectriu eterior dels rdi-vectors d quest punt. Teorem L tngent un hipèrbol, de focus F 1, F i ei principl, en un punt P d quest, és l bisectriu dels rdi-vectors d quest punt. Teorem 3 L tngent un pràbol, de focus F i ei de simetri r, en un punt P d quest, és l bisectriu eterior de l ngle que form el rdi-vector d quest punt mb l prl lel l ei de simetri pel punt.

11 IES Pons d Icrt Seccions còniques 11 Frem dues demostrcions detlldes del primer d quests teoremes. Per ls ltres dos es poden fer demostrcions molt similrs. Demostrció sintètic: Si iò no fos veritt l bisectriu tllri en un ltre punt Q l el lipse. Llvors, si considerem el punt T, simètric de F respecte de l bisectriu, quest bisectriu és meditriu del segment F T. Per tnt, per l propiett dels punts de l el lipse i per l desigultt tringulr plicd F 1 QT, Q P F 1 F T = F 1 Q + QF = F 1 Q + QT > F 1 T = F 1 P + P T = F 1 P + P F = = >, l qul cos és contrdictòri. Consegüentment l suposició de sortid és fls i el teorem qued demostrt. Demostrció nlític: Trebllem mb el sistem de referènci que proporcionv l equció reduïd de l el lipse. Llvors, mb les notcions de l demostrció nterior m 1 = c = pendent de l rect F 1P m = 0 0 c = pendent de l rect F P m t = b 0 0 = pendent de l rect tngent en P. Veurem que es complei l igultt de l ngle entre F 1 P i l tngent, i F P i l tngent, és dir m 1 m t 1 + m 1 m t = m m t 1 + m m t. Efectivment, m 1 m t 1 + m 1 m t = = m m t 1 + m m t = = c + b c b 0 = 0 + b 0 + b 0 c ( 0 + c) 0 0 b 0 = b + b 0 c 0 ( 0 ( b ) + c) = 0 b ( + c 0 ) 0 c(c 0 + ) = b 0 c. 0 0 c + b c b 0 = 0 + b 0 b 0 c ( 0 c) 0 0 b 0 = b b 0 c 0 ( 0 ( b ) c) = 0 b ( c 0 ) 0 c(c 0 ) = b 0 c = b 0 c.

12 IES Pons d Icrt Seccions còniques 1 7 Un problem en què es generen les tres còniques Presentem l estudi gràfic i nlític d un lloc geomètric genert pels centres d unes circumferències que stisfn dues condicions. Té l interès fegit que si es vrien les condicions inicils preien les tres seccions que hem estudit i, tmbé, un circumferènci i dues rectes que es tllen. T P En un pl, dond un circumferènci C de centre O i rdi r i un punt A, cerquem el lloc geomètric dels centres P de les circumferències que pssen per A i tllen l circumferènci C en dos punts T 1, T tls que T 1 OT = 90. O C T 1 A 7.1 Estudi gràfic Un proimció gràfic l problem es pot fer mb el progrm CABRI de geometri dinàmic. Allí es pot visulitzr el lloc geomètric de les circumferències i els seus centres i observr de quin mner depenen de les condicions inicils del problem. Les diferents configurcions que observem per ls centres són: Qun A és eterior l circumferènci C descriuen un hipèrbol. A C

13 IES Pons d Icrt Seccions còniques 13 Qun A pertn l circumferènci C descriuen un prell de rectes que es tllen. 3 A C Qun A és un punt interior l circumferènci C descriuen diverses corbes que depenen de l distànci del punt A l centre O de l circumferènci C. A mesur que A s prop l centre O preien: Un hipèrbol. A C 3 Representem l situció en què A es trob molt proper l circumferènci C.

14 IES Pons d Icrt Seccions còniques 14 Un pràbol. A C Un observció més curd d quest cs pos l descobert que d(o, A) = r. Aquest és un conjectur que provrem nlíticment més endvnt. De moment veiem que l pràbol prei qun l bisectriu de T 1 OT = 90 conté A i quest punt es trob sobre l rect T 1 T. Aiò implic, per geometri dels tringles rectngles equilàters que d(o, A) = r/. Si féssim un clssificció de les còniques prtir dels punts que tenen l infinit, observríem que quest té un punt l infinit. Aquest és el centre de l circumferènci C que pss per T 1, A, T qun estn en líni rect i A es trob distànci r/ de O. C C 1 O r A T 1 T r p

15 IES Pons d Icrt Seccions còniques 15 Un el lipse A C Un circumferènci. C A 7. Estudi nlític Considerem l referènci ortonorml, d orientció ntihoràri, mb origen en el centre de l circumferènci C de rdi r i ei d bscisses en l rect que pss pel punt A. Hem de trobr el lloc dels centres de les circumferències que pssen per A(, 0) i dos punt de l circumferènci C seprts per un qurt de circumferènci. Aquests punts tindrn coordendes (r cos θ, r sin θ), ( r sin θ, r cos θ), en què θ vri entre 0 i π. Aquestes circumferències stisfn un equció del tipus + + m + n + p = 0.

16 IES Pons d Icrt Seccions còniques 16 Per determinr els vlors de m, n i p cldrà resoldre el sistem que result d imposr que l circumferènci pssi pels tres punts esmentts. (r cos θ) + (r sin θ) + mr cos θ + nr sin θ + p = 0 ( r sin θ) + (r cos θ) mr sin θ + nr cos θ + p = 0 + m + p = 0 r + mr cos θ + nr sin θ + p = 0 r mr sin θ + nr cos θ + p = 0 + m + p = 0 = Frem un cnvi de vribles per tl de simplificr les notcions, m = (r )(cos θ sin θ) (cos θ sin θ) r n = (r )(cos θ + sin θ) (cos θ sin θ) r cos θ sin θ = λ, cos θ + sin θ = µ, λ + µ = (cos θ sin θ) + (cos θ + sin θ) =. Representem els centres de les circumferències per (, ) i recordem que m = i n =. Llvors, de les igultts (6), s obté r = λ λ r r = µ = λ µ r λ = λ r r λ + µ = + λ + µ = = λ λ = 4 r (r + ) 4 r (r + ) = 4 r (r + ) 4 r 4(r ) + 4r + 8( r ) ( r ) = 0 }{{} (7) prt linel Si volem eliminr l prt linel de l equció (7), fem un cnvi de vrible = N + p, i l prt vrible en es convertei en 4(r ) N + 8 [ (r )p + ( r ) ] N + 4(r )p + 8( r )p. Llvors, només imposem que el coeficient de N sigui zero i obtenim (r )p + ( r ) = 0 p = ( r ) r, per r 0. Si fem efectiu el cnvi de vrible mb quest vlor de p, s obté l equció 4(r ) N + 4r + r ( r ) (6) r = 0. (8) Per unificr les notcions de les vribles escrivim N = X, = Y. Llvors, si r 0, l equció (8) es pot escriure r ( r ) (r ) + ( r ) (r ) = 1. (9) Anàlisi de les equcions que descriuen el lloc dels centres Cs 1: L equció (9) descriu el lloc qun r 0 i r 0. És dir qun el punt A no pertn l perímetre de l circumferènci C, ni està distànci r/ del centre d quest circumferènci. Es presenten en quest cs tres llocs geomètrics diferents:

17 IES Pons d Icrt Seccions còniques 17 ) r < 0 i A / C > r/ i A / C el lloc és un hipèrbol. b) r > 0 i A / C < r/ el lloc és un el lipse si 0. c) Si = 0, el punt A coincidei mb el centre de C, el lloc és l circumferènci ( ) r X + Y =, de centre A i rdi r/. Cs : Si r = 0, de l equció (7) obtenim l descripció del lloc dels centres mitjnçnt les equcions ( = = 0 = + ). 4 Aquest últim, mb el cnvi Y =, X = +, ens inform que, qun el punt A està 4 distànci r/ del centre de C, el lloc geomètric és l pràbol d equció Y = X. En quest cs és fàcil comprovr que el focus és el centre de C. Cs 3: Si r = 0, de l equció (8) obtenim X Y = 0. O sigui que qun el punt A es trob en el perímetre de l circumferènci C el lloc dels centres és un prell de rectes que formen un ngle de 90 i es tllen en el centre de C. 8 Identificció de còniques presentdes lgebricment Es trct de discernir quin tipus de cònic represent un equció de segon gru mb dues vribles, si questes representen coordendes de punts en un bse ortonorml. Concretment, prtir d un epressió + b + c + d + e + f = 0. (10) volem identificr l corb que descriu. Per tl d conseguir-ho es prctic un rotció d eios de referènci dequd per tl d eliminr el sumnd c, i un trnslció d eios per tl d eliminr, si és possible, l prt linel d + e. 8.1 Equcions del cnvi de coordendes qun es prctic un rotció d eios Considerem el punt P i les referències ortonormls R : {O; e 1, e }, R θ : {O; u 1, u }, en què els vectors de l referènci R θ resulten de girr un ngle θ els vectors de l referènci R. Si observem el gràfic djunt, és immedit que { u1 = cos θ e 1 + sin θ e u = sin θ e 1 + cos θ e. u e e! u!1 e!1 P u! u Per tnt, si P = ( e, e ) en l referènci R i P = ( u, u ) en l referènci R θ, obtenim u u 1 + u u = e e 1 + e e = u (cos θ e 1 + sin θ e ) + u ( sin θ e 1 + cos θ e ) = { e = = e e 1 + e e = u cos θ u sin θ e = u sin θ + u cos θ. O µ e

18 IES Pons d Icrt Seccions còniques Equcions del cnvi de coordendes qun es prctic un trnslció d eios Considerem el punt P i les referències ortonormls R : {O; e 1, e }, R τ : {O ; e 1, e }, en què els eios de l referènci R τ resulten de fer un trnslció de vector OO = e 1 + b e sobre els eios de l referènci R. Llvors, si P = (, ) en l referènci R i P = ( τ, τ ) en l referènci R τ, obtenim b O e! e!1 e! O 0 e!1 P OP = OO + O P = e 1 + e = e 1 + b e + τ e 1 + τ e = { = + τ = b + τ. 8.3 Recerc de l equció reduïd Es trct d identificr quin cònic represent l equció (10) tl com hem indict l principi d quest secció. Si epressem l cònic en uns eios de referènci OX θ, OY θ que resultin de girr els eios OX, OY un ngle θ, l sev equció (10) es trnsform en l equció en què A θ + B θ + C θ θ + D θ + E θ + F = 0, (11) A = cos θ + b sin θ + c sin θ cos θ B = sin θ + b cos θ c sin θ cos θ C = (b ) sin θ + c(cos θ sin θ) D = d cos θ + e sin θ E = e cos θ d sin θ F = f Si pretenem eliminr el terme C θ θ, només cl imposr C = 0 i s obté que l ngle θ de l rotció h de stisfer, (b ) sin θ + c(cos θ sin θ) = 0, és dir, si b 0, tn θ = c b. En els ltres csos és fàcil comprovr que si c 0 i b = 0, s h de stisfer θ = π 4. c = 0 i b = 0, l equció (10) represent un circumferènci de centre d + e i rdi 4f. Un cop tenim l equció es poden presentr dos csos: ( d, e ) A θ + B θ + D θ + E θ + F = 0, (1)

19 IES Pons d Icrt Seccions còniques A 0 i B 0: Per tl d eliminr l prt linel prctiquem sobre (1) un trnslció d eios de referènci d equcions θ = v 1 + τ, θ = v + τ. Obtenim l equció A τ + B τ + (Av 1 + D) τ + (Bv + E) τ + (Av 1 + Bv + Dv 1 + Ev + F ) = 0. Llvors, si considerem result l equció v 1 = D A i v = E B, ( ) D A τ + Bτ + 4A + E 4B D A E B + F = 0. Aquest és fàcil d identificr mb un de les cinc següents, escrivim per lleujr l notció, en lloc de τ, τ i en lguns csos cldrà girr els eios 90 : ) b) c) d) e) p + = 1 El lipse. q p = 1 Hipèrbol. q p + = 1 El lipse imginàri. q p = 0 Dues rectes que es tllen. q p + = 0 Punt. Dues rectes imginàries que es tllen en un punt rel. q. A 0 i B = 0 o l inrevés: Per tl d eliminr l prt linel prctiquem sobre (1) un trnslció d eios de referènci d equcions θ = v 1 + τ, θ = v + τ. Si A 0, obtenim l equció A τ + (Av 1 + D) τ + E τ + (Av 1 + Dv 1 + Ev + F ) = 0. Llvors, si considerem v 1 = D A i, si E 0, v = Av 1 Dv 1 F E result el cs número sis escrivim, en lloc de τ, τ : f) = E Pràbol. A = D 4AF 4AE, Finlment, si E = 0, considerem l trnslció θ = v 1 + τ, θ = τ. En result Llvors, si fem v 1 = D A, obtenim A τ + (Av 1 + D) τ + (Av 1 + Dv 1 + F ) = 0. A τ + 4AF D 4A = 0. Aquest s identific de form immedit mb un de les tres següents: g) = k Dues rectes prl leles.

20 IES Pons d Icrt Seccions còniques 0 h) = k Dues rectes prl leles imginàries. i) = 0 Dues rectes coincidents. Si s estudi el cs B 0, s obtenen resultts equivlents. Concretment, després d hver fet, si D 0, l trnslció de vector (v 1, v ), v 1 = E B i, si D 0, v = E 4BF 4BD, f) = D B Pràbol. Si D = 0, considerem l trnslció de vector (v 1, v ), v 1 = E B, v = 0, i obtenim B τ + 4BF E 4B = 0. Aquest, com bns, s identific mb un de les següents: g) = k Dues rectes prl leles. h) = k Dues rectes prl leles imginàries. i) = 0 Dues rectes coincidents.

21 IES Pons d Icrt Seccions còniques 1 9 Apèndi A Origen de les seccions còniques. Un mic d històri L tribució del descobriment de les còniques Menecm es bs en què l primer resolució d un problem mitjnçnt questes corbes l trobem en els Comentris d Eutoci (vi) sobre les obres d Arquimedes. Allí present, entre d ltres qüestions, l solució del problem de les dues rectes, el qul podri tenir el seu origen en un reducció del problem de l duplicció del cub, mitjnçnt les trídes de Menecm. Aquest és el nom que es dón les seccions còniques en un crt d Ertòstenes de Cirene (iii C) l rei Ptolemeu III Euergetes, que Eutoci trnscriu en els seus Comentris. 4 A.1 El problem de l duplicció del cub Disposem de dues nrrcions sobre l origen d quest problem. S tribueien Ertòstenes. L primer d elles l recull Teó d Esmirn (ii), 5 i l segon l present Eutoci en l crt que hem citt més munt. Relt de Teó d Esmirn: Ertòstenes, en el llibre que té per títol Pltònic, relt que els delins, hvent interrogt l orcle sobre l mner de deslliurr-se de l pest, vn rebre l ordre de déu de construir un ltr doble del que j eisti. Aquest problem bocà els rquitectes contr un obstcle singulr. Es preguntven de quin mner es podi fer un sòlid doble d un ltre. Interrogren Pltó sobre l dificultt. Aquest els respongué que déu s hvi dirigit ií l orcle, no perquè ell tingués necessitt d un ltr doble, sinó per retreure els grecs l sev negligènci en l estudi de les mtemàtiques i per fer poc cs de l geometri. Relt d Eutoci: Ertòstenes l rei Ptolemeu, slut! Es diu que un dels poetes tràgics ntics hvi representt Minos fent preprr un tomb Glucó [el seu fill], i hvent insistit que tingués cent peus d llrgd en tots els seus costts, digué: Hs trit l cmbr sepulcrl del rei petit, que sigui dobld; no et confonguis sobre el que convé, i dobl el més vit possible cd prt de l tomb. Sembl que Minos s equivoqui, perquè qun es doblen els costts, un pl esdevé quàdruple i un sòlid vuit vegdes més grn. Entre els geòmetres tmbé s h cerct l mner de doblr un sòlid dont de mner que conservi l form, i el problem d quest clsse s nomenà l duplicció del cub, perquè hvent-se propost un cub, quests geòmetres s esforçren en doblr-lo. Després de molt temps de confusió, fou Hipòcrtes de Quios (v C) el primer donr-se que un cub seri doblt si s rribven trobr dues mitjnes proporcionls en proporció contínu entre dues ĺınies rectes de les quls l més grn és el doble de l més petit; de mner que cnvià l dificultt en un ltr dificultt no més petit. Es diu que més trd uns delins, encrregts per un orcle de doblr un dels seus ltrs, i bocts l mtei dificultt, foren envits veure Pltó, i demnren ls geòmetres de l Acdèmi que trobessin llò que cercven. 4 Aquests comentris es poden trobr Commentires d Eutocius d Asclon en l trducció de Eecke P.V. Les oeuvres complètes d Archimède, Libririe Scientifique et Technique Albert Blnchrd, Pris, Eposition des connissnces mthémtiques utiles pour l lecture de Plton, 5. Hchette, Pris, 189.

22 IES Pons d Icrt Seccions còniques En el segon relt trobem que Hipòcrtes reduei el problem de duplicr el cub l problem de dificultt no més petit de cercr dues mitjnes proporcionls en proporció contínu entre dues rectes i, el qul s nomen problem de les dues rectes. No sbem quin fou l nàlisi d Hipòcrtes però en conjecturrem un prtir de les propietts entre figures semblnts. En ser els cubs figures semblnts se sp que l ró entre els seus volums és igul l cub de l ró entre els seus costts. D quest mner és fàcil de construir un cub de volum òctuple. Només cl duplicr l longitud del costt del cub inicil. Llvors, tenim dos cubs d restes i volums respectius,, i 3, 8 3. Si volem construir el cub de volum 3, podem interpolr en progressió geomètric dos cubs de mner que s obtenen cubs de volums i costts respectius, 3, 3, 4 3, 8 3 i,,,, en què i són els costts desconeguts dels cubs de volums 3 i En ser, per l semblnç, l ró entre els volums dels cubs, el cub de l ró entre els costts, s obté 1 ( ( ) = ( ) 3 4 ) = = = = 3 = =. D quest mner, el problem h quedt reduït l inserció de dues mitjnes proporcionls entre dues rectes i. A. Anàlisi de Menecm del problem de les dues rectes. Construcció punt punt de les seccions còniques Menecm f un nàlisi que el conduei epressr les igultts de rons = = com igultts d àrees. Concretment, en el nostre llengutge lgebric el problem qued reduït l resolució del sistem: { = = o bé { = =. O sigui que el problem es pot reduir, com es desprèn de les seccions nteriors, l construcció de les interseccions de dues pràboles o d un pràbol i un hipèrbol. = = = =

23 IES Pons d Icrt Seccions còniques 3 El que no sbem és de quin mner Menecm construei questes corbes ni si sbi que es podien obtenir com seccions d un con per un pl. Un de les possibilitts és que construís les corbes punt punt per considercions estrictment plnes, sense intervenció de cp objecte de l espi com, per eemple, un con un con. Indicrem com podri fer-se l construcció de les pràboles implicdes en l primer reducció, = i =. Construcció de l pràbol = : Dont el segment, per cd vlor del segment = OB construirem un segment = BP perpendiculr OB, tl que el qudrt de costt tingui l mtei àre que el rectngle de costts i. Aiò s conseguei prtir de l construcció que Euclides present en l proposició II.14 dels seus Elements de l mner es present en l figur djunt, i que nosltres nomenem teorem de l ltur, (OH = AO OB): S A H O P B s A O P B s El segment = OB se situ mb un etrem O fit l etrem d un semirect s, i l ltre etrem vrible sobre quest. El segment = BP se situ perpendiculrment pel punt B. L construcció punt punt de l pràbol s obté com el conjunt de punts P que resulten d plicr els pssos nteriors un nombre indetermint de vegdes. L construcció per = es fri igul, considernt en el lloc de, sobre un ei verticl. Llvors, de l intersecció de les dues pràboles obtindríem el segment cerct. B Eercicis i problemes resolts 1. Trobeu el lloc geomètric dels punts tls que l relció entre l sev distànci l punt A(, 0) i l sev distànci l rect r : = 9 és igul 3. Sigui P (, ) qulsevol punt del lloc geomètric. Llvors, d(p, A) = d(p, r) ( ) + = = = = 1. El resultt és un el lipse de distànci focl c = 9 5 = 4, = 6 i b = 5. És dir té els focus en (, 0), (, 0), els vèrtes sobre l ei principl en (3, 0), ( 3, 0), i els vèrtes sobre l ei menor en ( 5, 5).

24 IES Pons d Icrt Seccions còniques 4. Cerqueu l equció de l pràbol tl que l distànci entre el focus i l directriu és igul 5, en l referènci tl que l ei OX és l rect que pss pel focus, perpendiculr l directriu, l ei OY és l rect perpendiculr OX que pss pel vèrte de l pràbol. Hem estudit que l equció serà del tipus = p, si el focus determin l direcció positiv de l ei OY i p és l distànci focus-directriu. Per tnt, l equció és = Un hipèrbol pss pel punt A(6, 6 3), té els seus focus sobre l ei OX, i té les rectes = ± per símptotes. Cerqueu les rectes tngents, prl leles l rect = 4. L hipèrbol stisfà un equció del tipus = 1. Llvors, b = ± són símptotes = b = (6, 6 3) hipèrbol = b = 1 = = 1 = 36 = 4 = = 9 b = 36. Per tnt, l equció de l hipèrbol serà 9 36 = 1. Llvors, per l punt ( 0, 0 ) de tngènci Rect tngent: = 1 = 4 = pendent = 36 0 = 0 = = ( 0, 0 ) hipèrbol = ( 36 = 1 1 = ) ( ) 1 = 1 = 0 = 1 = 0 = = 1. Per tnt, els punts de tngènci són ( 3, 3) i ( 3, 3) i, si substituïm l equció de l rect tngent, obtenim les rectes = 0, = Les hipèrboles que tenen les símptotes perpendiculrs s nomenen equilàteres. Considereu l equció reduïd d un hipèrbol equilàter i proveu que es pot escriure sot l form =. Gireu els eios de referènci un ngle θ = π/4 i comproveu que l equció en l nov referènci θ, θ és θ θ =. En ser les símptotes simètriques respecte l ei OX, els seus pendents són ±(b/) = ± tn(π/4) = ±1. Per tnt = b i s obté l equció =. Les equcions del cnvi d eios són = θ + θ, = θ + θ. Si substituïm l equció en l referènci ntig s obté 1 ( θ + θ + θ θ ) 1 ( θ + θ + θ θ ) = 4 θ θ = θ θ =.

25 IES Pons d Icrt Seccions còniques 5 5. Demostreu que l àre del tringle determint per les dues símptotes d un hipèrbol i qulsevol rect tngent és constnt. Considerem l hipèrbol referid ls seus eios de simetri. L sev equció, l de l rect tngent en un punt ( 0, 0 ) de l hipèrbol i l de les seves símptotes són: b = 1, 0 0 b = 1, = ± b. Cerquem les interseccions T 1, T de l tngent mb les símptotes, 0 0 ( ± b ) b ( 0 = 1 = ) 0 = 1 = b Clculrem l àre dels tringles OT 1 T, mitjnçnt el producte 1 T 1 OT sin α. Sbem, des de l trigonometri, que sin α = tn α 1 + tn α = b = b 1 + b + b. b b T 1 : =, = b 0 0 b 0 0 b T : =, = b. b b = { b Y = b O T T 1 ( 0, 0) X Llvors, l àre serà 1 4 b (b ) + b 4 (b ) = b 4 b (b 0 0 ) + b 4 (b 0 0 ) b + b = + b (b 0 ) ( 0 ) b + b = b ( + b )b b ( + b ) Per tnt, l àre no depèn de ( 0, 0 ) i és mnté constnt i igul b. 6. Clculeu l àre de l el lipse, utilitznt el càlcul integrl. Considerem l el lipse referid ls seus eios, = b. + = 1. Els punts d ordend positiv b stisfn l condició = b. Si tenim en compte les simetries, trobrem l àre mb el càlcul següent 4 0 b = 4b Utilitzem el cnvi de vrible = sin t i obtenim 4b 0 d = 4b π/ 0. 1 sin t cos t dt = 4b 0 π/ [ ( 1 + cos t 1 sin t = 4b dt = 4b t + 0 = 4b 1 ( π ) 0 = 4b π = πb. 4 π/ 0 )] π/ 0 cos t dt = =

26 IES Pons d Icrt Seccions còniques 6 7. Un punt A descriu un trjectòri circulr, l voltnt d un punt O fi, velocitt ngulr constnt ω. Un punt P descriu un trjectòri circulr l voltnt de A mb velocitt ngulr ω p = ω. Quin corb trç el punt P per un espectdor que no es mou respecte O. (Considerem el moviment de P en què l posició inicil d quest punt sobre l sev trjectòri circulr ve determind en cd moment per l direcció prl lel l direcció inicil de OA.) O A A! p ={ P Anomenem, respectivment, R i r els rdis OA i OP, i α = ω t, en què t és el temps trnscorregut des de l posició O, A, P linets. L posició (, ) del punt P en un referènci ortonorml d origen O i ei OX determint per l posició O, A, P linets, ve dond per les equcions = R cos α + r cos( α) = (R + r) cos α = R sin α + r sin( α) = (R r) sin α. Llvors, si R r, es complei En el cs que R = r, s obté 1 = sin α + cos α = Per tnt, les trjectòries descrites són: (R + r) + (R r). R r R + r i = 0. Si R r, un el lipse de semieios R + r i R r. Si R = r, un segment sobre = 0, centrt en O que té longitud (R + r) cos 0 (R + r) cos π = (R + r).! P!

27 IES Pons d Icrt Seccions còniques 7 8. Descriviu l cònic d equció = 0. Per eliminr el terme 4 hem de fer un rotció d eios d ngle θ tl que tn(θ) = 4 = Llvors sin θ = cos θ = 1 cos θ 1 + cos θ 1 = 1 + = 1 1+tn θ 1 1+tn θ = = Llvors, si utilitzem els resultts de l secció 8.3, pàgin 18, obtenim = 1 5. = 4 5. ( ) ( 1 θ ) θ 100 θ + 10 θ = θ 0 5 θ + 5 θ = 0. Finlment, si fem un trnslció d eios de vector ( ( ) 5) v = 4 5 ( 0, 5 = 5) 5 ( , ) 5, 5 obtenim, segons l secció 8.3, pàgin 0, l pràbol de distànci focus-directriu igul 5 i equció en els nous eios τ = 4 5 τ. µ µ µ O! v O 0 µ

28 IES Pons d Icrt Seccions còniques 8 Índe 1 Introducció 1 Seccions d un con per un pl 1.1 Crcteritzció de l el lipse per punts Crcteritzció de l hipèrbol per punts Crcteritzció de l pràbol per punts. Presentció focus directriu de les còniques Trctment mètric i equcions de les còniques El lipse Equció reduïd de l el lipse Algunes observcions sobre l el lipse Hipèrbol Equció reduïd de l hipèrbol Algunes observcions sobre l hipèrbol Pràbol Equció reduïd de l pràbol Algunes observcions sobre l pràbol Equció polr de les còniques. Ecentricitt 7 5 Tngents i símptotes Rect tngent l el lipse per un dels seus punts Rect tngent l hipèrbol per un dels seus punts Rect tngent l pràbol per un dels seus punts Asímptotes d un hipèrbol Un propiett de les tngents 10 7 Un problem en què es generen les tres còniques Estudi gràfic Estudi nlític Identificció de còniques presentdes lgebricment Equcions del cnvi de coordendes qun es prctic un rotció d eios Equcions del cnvi de coordendes qun es prctic un trnslció d eios Recerc de l equció reduïd Apèndi 1 A Origen de les seccions còniques. Un mic d històri 1 A.1 El problem de l duplicció del cub A. Anàlisi de Menecm del problem de les dues rectes. Construcció punt punt de les seccions còniques B Eercicis i problemes resolts 3