Trigonometria. Objectius. Abans de començar.

Transcripción

1 7 Trigonometri Objectius En quest quinzen prendreu : Clculr les rons trigonomètriques d'un ngle. Trobr totes les rons trigonomètriques d'un ngle prtir d'un d'questes. Resoldre tringles rectngles qun es coneixen dos costts o un costt i un ngle. Resoldre situcions relciondes mb l geometri en les quls es necessiti clculr ngles i distàncies entre dos punts. Utilitzr l clculdor per obtenir rons o ngles. Abns de començr..els ngles i l sev mesur...pàg. 7 Recorreguts en l circumferènci Rdints Grus sexgesimls De rdints grus Mesurnt ngles.rons trigonomètriques...pàg. 76 Rons trigonomètriques Sinus i cous en l circumferènci Tngent en l circumferènci Rons de 0º, º i 60º.Relcions trigonomètriques...pàg. 78 Relcions fonmentls.resoldre tringles rectngles...pàg. 79 Amb un ngle i l hipotenus Donts un ngle i un ctet Coneguts dos costts.rons d'ngles qulssevol...pàg. 80 Sinus Cous Tngent 6.Apliccions de l trigonometri...pàg. 8 Resoldre problemes mètrics Exercicis per prcticr Per sber-ne més Resum Autovlució Activitts per envir l tutor MATEMÀTIQUES B

2 MATEMÀTIQUES B

3 Abns de començr L trigonometri neix mb l'observció dels fenòmens stronòmics El primer ntecedent escrit de trigonometri es trob en el ppir Rhind, escrit per Ahmés l voltnt del 800 C, trnscrivint-ne un ltre del 000 C. En el conjunt meglític de Stonehenge (Grn Bretny), construït entre 00 i 600 C, l'lineció de dues grns pedres indic el di més llrg de l'ny. A l'ntig Bbilòni es v introduir l mesur de l'ngle en grus. L divisió d'un circumferènci en 60 grus, probblement v unid l divisió de l'ny en 60 dies. Així, com que el Sol recorre un circumferènci en un ny, un gru seri el recorregut en un di. Amb l cultur greg l trigonometri v experimentr un impuls nou i definitiu. Aristrc de Smos (s. III C), fmós per hver propost el primer sistem heliocèntric, v mesurr l distànci l Sol i l Llun utiliznt els tringles. Hiprc de Nice (s. II C) v millorr les observcions d'aristrc i ès considert l'<<inventor>> de l trigonometri. Cludi Ptolomeu el segle II v escriure l'<<almgest>>, que v influir l llrg de tot l'edt mitjn. El desenvolupment de l trigonometri es deu sobretot l'obr dels àrbs, que vn trnsmetre Occident el llegt grec. Vn ser els primers utilitzr l tngent. Cp l'ny 8, Al-Kwurizmi v construir l primer tul de os. A Europ es v publicr, el, el primer trctt de trigonometri: De tringuli omni modi, libri V, escrit el 6, Köningsberg, per Johnn Müller, conegut com el Regiomontnus. Newton utilitz el 67 les coordendes polrs. L físic dels fenomens ondultoris, com el que es produeix en un cord que vibr, v fer que Leonhrd Euler (707-78) estudiés les funcions trigonomètriques. Avui, en els nostres dies, Hoy, les en utilitts nuestros de l dís, ls trigonometri utiliddes de l trigonometrí inclouen tot tipus de brcn los más cmps: de l diversos cmpos: topogrfi de l topogrfí l l'cústic, cústic, l óptic l'òptic y i l'electrònic. l electrónic. Investigueu Segurment deveu hver vist quest senyl les crreteres i sbeu què indic: pendent prolongd. Tmbé deveu recordr el concepte de pendent d'un rect. Segons quest, el 0% signific que cd 00 m recorreguts en horitzontl, en pugem (o bixem) 0 en verticl. Però lguns interpreten els 00 m com el cmí rel recorregut. Què n'opineu?, influeix gire considerr-lo d'un o un ltr form? Recordeu-ho Abns de seguir endvnt us convé comprovr que recordeu l semblnç de tringles i el teorem de Pitàgores. MATEMÀTIQUES B

4 . Els ngles i l sev mesur Trigonometri és un prul que deriv del grec:τριγωνομετρ'ι, tri (Τρι) tres, gono (γωνο) ngle, metri (μετρ'ι) mesur, és dir, "mesur de tres ngles". Podeu consultr l definició de trigonometri que dón el diccionri del R A E. En quest curs es trctrà únicment l trigonometri pln. Per tl d'estudir els ngles i l sev mesur doptrem l definició d'ngle escenificd l'esquerr en l qul un ngle es veu com un recorregut en l circumferènci mb centre l'origen i de rdi unitt o circumferènci goniomètric. El punt de prtid d'quests recorreguts se siturà en el punt de coordendes (, 0) i l mesur d'un ngle serà l mesur d'quest recorregut. Els ngles poden tenir sentit positiu o negtiu, segons quin sigui el del seu recorregut; si és contrri l de les gulles del rellotge serà positiu i si és igul, negtiu. Sentit positiu Contrri les gulles del rellotge Sentit negtiu Com les gulles del rellotge Rdints Mesurr un ngle és mesurr el seu recorregut en l circumferènci. Com que l mesur de tot l circumferènci és π rdi, result convenient prendre com unitt de mesur el rdi. A les figures, els ngles es vn representr en un circumferènci de rdi, ixò no signific que el rdi mesuri cm o peu o m, ó que el rdi és l unitt de mesur pres. Per rons evidents quest unitt se l'nomen rdint. L'ngle d' rdint és quell que present un recorregut en l circumferènci igul l rdi. Grus sexgesimls J coneixeu el sistem sexgesiml de mesur d'ngles. En dividir l circumferènci en 60 prts iguls, obtenim un gru, l seu torn cd gru es compon de 60 minuts i cd minut de 60 segons. Així un ngle es mesur en: grusº minuts' segons'' Mesureu ngles mb el trnsportdor Mide ángulos con el trnsportdor 6 MATEMÀTIQUES B

5 gru rdints De grus rdints i de rdints grus El semiperímetre de l semicircumferènci és rdi De grus rdints: π multipliquem per 80 π rdints 80 grus és dir, π vegdes un rdint 80 vegdes un gru π rdint 80 gru rdint De rdints grus: multipliquem per grus 80 π Si ïllem el gru result: gru π/80 rdints ~ 0.07 rdints Si ïllem el rdint result: rdint 80/π grus ~ 7.97 grus EXERCICIS resolts. Dibuixeu l circumferènci goniomètric els ngles de 0º, -0º i º.. Dibuixeur l circumferènci goniomètric l ngle de π/6, π/, i π/ rd.. Psseu rdints: ) 0º, b) 0º, c) 70º, d) 60º 0 π π 0 π 7π ) 0º rd b) 0º rd π π 60 π π c) 70º rd d) 60º rd Psseu grus: ) π/6 rd, b) π/ rd, c) π/ rd, d) π/ rd π π 80 ) rd 0º 6 6 π π π 80 c) rd º π π π 80 b) rd º π π π 80 d) rd 0º π MATEMÀTIQUES B 7

6 . Rons trigonomètriques En els tringles semblnts els ngles són iguls i els costts homòlegs són proporcionls.l ró entre dos costts d'un tringle rectngle determin l sev form. Dont un tringle rectngle, les rons trigonomètriques de l'ngle gut es defineixen: El us és el quocient entre el ctet opost i l hipotenus. El cous és el quocient entre el ctet djcent i l hipotenus. L tngent és el quocient entre el ctet opost i el ctet djcent. Aquestes rons no depenen de l mid del tringle ó de l ngle. 90º cteto dycente djcent c t e t cteto opuesto o p o s t cteto opuesto opost sen hipotenus cteto dycente djcent cos hipotenus cteto opuesto opost tg cteto dycente djcent El us i el cous en l circumferènci A l figur s'h representt l'ngle en l circumferènci goniomètric o de rdi unitt. En el tringle rectngle que es form com l hipotenus és, el ctet opost és el i l'djcent el cos. És importnt recordr el següent tringle: cos Observeu que (cos, ) són les coordendes del punt finl de l'ngle en l circumferènci de rdi unitt. cos sen L tngent en l circumferènci A l figur es comprèn perquè l quocient entre el ctet opost i el ctet djcent se l'nomen tngent, el seu vlor qued definit sobre un rect tngent l circumferènci en el punt (,0). Observeu l'escen que qun el ctet djcent vl, l hipotenus és igul l invers del cos. Al quocient: hipotenus cos cteto dycente djcent sec se l'nomen secnt de i s'breuj mb sec. tg tg 8 MATEMÀTIQUES B

7 Els ngles d'un tringle equilàter fn 60º Amb el teorem de Pitàgores es clcul l'ltur x Prenem un qudrt de costt Amb el teorem de Pitàgores es clcul l digonl Les rons de 0º, º i 60º Els ngles de 0º, º i 60º preixen freqüentment, fixeu-vos com es clculen les seves rons prtir de l definició si busquem els tringles dequts. 0º º 60º us cous tngent dig + Memoritzr quest tul és fàcil si observeu l'ordre que segueixen. Un vegd presos els us mb les rrels consecutives, els cous surten en ordre invers. Amb l clculdor Dont un ngle obteniu-ne les rons trigonomètriques. Per exemple el 8º 0 Poseu l clculdor en mode DEG Teclegeu 8º º 0 º Obtenim: 0, En lgunes clculdores cl prémer l tecl bns d'introduir l'ngle, comproveu com funcion l vostr. Si volem obtenir el cos o l tg procedirem de l mteix form però prement les tecles cos i tn respectivment. Dond un ró cl obtenir l'ngle corresponent. Amb el mteix vlor que teniu l pntll 0, Comproveu que l clculdor segueix en mode DEG Teclegeu SHIFT Obtenim: 8, en grus, si volem grus, minuts i segons, premem SHIFT º obtenim 8º 0 EXERCICIS resolts. En el tringle de l figur clculeu ) d) β b) cos e) cos β c) tg f) tg β ) sen 0, 6 d) sen β 0, 8 b) cos 0, 8 e) cos β 0, 6 ) c) tg 0, 7 f) tg β, 6. Obteniu mb l clculdor ) 0º 0, b) cos 60º 0, c) tg º 7. Obteniu mb l clculdor els ngles iβ de l'exercici. : Teclegem 0. 6 SHIFT 6,87º β: Teclegem 0. 8 SHIFT,º Observeu que en efecte sumen 90º. β MATEMÀTIQUES B 9

8 . Relcions fonmentls Si s'pliquen l semblnç i el teorem de Pitàgores ls tringles rectngles "bàsics", és dir, mb hipotenus o mb ctet djcent, s'obtindrn les relcions fonmentls de l trigonometri: OBA i OB A són tringles semblnts: sen cos tg desprès luego tg sen cos Apliquem el Teorem de Pitàgores l tringle OBA de l figur obtenim: sen + cos EXERCICIS resolts 8. Comproveu en l'ngle del tringle de l figur que es compleixin les relcions fonmentls. sen + cos sen cos tg Clculeu el cous i l tngent d'un ngle gut tl que 0, cos sen cos 0, 0,09 0,8 cos 0,8 sen 0, tg cos 0,9 0,9 0. Comproveu que es compleixi l relció: + tg sec + tg sen + cos + sen cos cos + sen cos cos Recordeu el tringle: sec sec tg 0 MATEMÀTIQUES B

9 b β c Clculr l'ltur de l muntny. x 60 0º 60 0, Clculr l'ltur de l torre. x 0 tg º 0 0m Resoleu el tringle. 90º hipotenus Amb l clculdor: tn(0,7)º I l'ltre ngle: 90º-ºº. Resolució de tringles rectngles. Resoldre un tringle rectngle és clculr les ddes desconegudes, costts o ngles, prtir dels coneguts. Vegem els csos que es poden presentr. ) Coneguts l hipotenus i un ngle Per trobr els ctets d'un tringle rectngle del qul es coneixen les mesures de l hipotenus i d'un ngle gut, pensrem en el tringle cos que es multiplic per l hipotenus: b) Coneguts un ctet i un ngle Per trobr els costts d'un tringle rectngle del qul es coneixen les mesures d'un ctet i d'un ngle no recte, pensrem en el tringle sec tg que es multiplic pel ctet djcent: c) Coneguts dos costts c cos 90º Per trobr l'ltre costt del tringle s'plicrà el teorem de Pitàgores, l'ngle es determinrà com cteto opost opuesto l'rc l tngent del qul és cteto dycente djcent cteto opuesto opost o bé com l'rc el us del qul és hipotenus depenent de les ddes inicils. Per clculr l'ltre ngle n'hi h prou mb restr de 90º. c c 90º c c tg MATEMÀTIQUES B

10 . Rons de un ángulo culquier Recordeu que (cos, ) eren les coordendes del punt finl de l'ngle en l circumferènci de rdi unitt. Això que vm veure per ls ngles guts podem fer-ho extensible ngles qulssevol. Sinus El us d'un ngle és l coordend verticl del punt de l circumferènci goniomètric que defineix l'ngle. Observeu que el vlor està comprès entre - i. n qudrnt r qudrnt r qudrnt t qudrnt L circumferènci goniomètric és un circumferènci de rdi unitt i el centre és l'origen de coordendes. de coordends. SIGNE DEL SINUS Cous De l mteix mner que el us d'un ngle és l'ordend, el cous és l'bscis del punt finl del recorregut que mrc l'ngle en l circumferènci. El vlor tmbé està comprès entre - i. SIGNE DEL COSINUS Tngent Amb l relció fonmentl tg sen/cos s'mpli l definició de tngent en ngles guts un ngle qulssevol. Observeu que l tngent es represent en l rect tngent l circumferènci goniomètric en el punt (,0). SIGNE DE LA TANGENT Fixeu-vos tmbé que per ls ngles de 90º i 70º, el cous és 0 per l qul cos no està definid l tngent; com més s'prop un ngle 90º o 70º, més grn es f en vlor bsolut l tngent, direm que és infinit: EXERCICIS resolts 8. Dibuixeu un ngle del tercer qudrnt el cos del qul sigui -0,6 i clculeu el us i l tngent sen cos 0,6 0,6 sen ± 0,6 ± 0,8 Com que és en el tercer qudrnt serà -0,8 sen 0,8 tg cos 0,6-0,6 9. Clculeu cos qun tg- i del qurt qudrnt + tg + cos cos cos Observeu Angles que sumen 60º (60º- )- cos (60º- )cos tg(60º- )-tg Angles suplementris (80º- ) cos (80º- )-cos tg(80º- )-tg cos ± ± i triem el positiu j que és en el t qudrnt. MATEMÀTIQUES B

11 6. Resoldre problemes mètrics L trigonometri és útil per resoldre problemes geomètrics i clculr longituds l relitt. Amb un teodolit com el de l fotogrfi es poden mesurr ngles, tnt en el pl verticl com en l'horitzontl, que ens permeten, plicnt les rons trigonomètriques, trobr distàncies o clculr ltures de punts inccessibles. En quests csos encr que el tringle de prtid no sigui rectngle, trçnt l sev ltur podem obtenir dos tringles rectngles que es podrn resoldre mb les ddes que tenim. A l'escen podeu veure lguns exemples. Per clculr àrees de polígons regulrs Clculeu l'àre d'un pentàgon regulr de costt, cm. L'àre d'un polígon regulr és: perímetre potem/ Com que es trct d'un pentàgon l'ngle centrl mesur 60º/7º Ens fixem en el tringle rectngle de l figur en el qul un ctet és l'potem i un ltre l meitt del costt. En quest tringle,6,6,6 tg 6º 7, tg6º 0,7 Després l'àre del pentàgon és:, 7, Àre 09, 7 cm Per clculr mesures topogràfiques Per mesurr l'mlpd d'un riu s'hn pres les mides de l figur; des de dos punts d'un vor distnts 60 m. Quin mpld té el riu?. L'mpld del riu és l'ltur,, del tringle ACB que no és rectngle, però sí que ho són els tringles ADC i BDC. Al tringle ADC: tg67,8º x tg67,8º x En el BDC: tg7,8º (60 x)tg 7,8º 60 x Tenim un sistem de dues equcions que resolem per igulció,0x,0x,09(60 x),9x 7,0,09(60 x) 7,0 x 0,0 00 m,9 MATEMÀTIQUES B

12 Per prcticr. Expresseu en rdints: ) º b) 0º c) 0º d) º. Expresseu en grus: π π ) b) 0 7π c) d) π 6. Trobeu mb l clculdor les següents rons rrodonint centèsimes: ) º b) cos 67º c) tg º d) tg 0º. Un ngle d'un tringle rectngle mesur 7º i el ctet opost 8 cm, trobeu l hipotenus.. L hipotenus d'un tringle rectngle mesur 6 cm i un ngle 66º. Clculeu els ctets. 6. Un ngle d'un tringle rectngle mesur º i el ctet djcent 6 cm, clculeu l'ltre ctet. 7. En un tringle rectngle els ctets mesuren i 8 cm, trobeu els ngles guts. 8. L hipotenus d'un tringle rectngle mesur cm i un ctet 7 cm, clculeu els ngles guts. 9. En un tringle isòsceles els ngles iguls mesuren 78º i l'ltur 8 cm, trobeu el costt desigul. 0. Els costts iguls d'un tringle isòsceles mesuren cm i els ngles iguls 7º, clculeu l'ltre costt.. El cos d'un ngle del primer qudrnt és /, clculeu el us de l'ngle.. L tngent d'un ngle del primer qudrnt és / clculeu el us.. El / i és un ngle del segon qudrnt, clculeu l tg.. El cos / i és un ngle del qurt qudrnt, clculeu l tg.. L tg i és un ngle del tercer qudrnt, clculeu el cos. 6. L longitud de l'potem d'un polígon regulr de 9 costts és de cm. Clculeu el costt. 7. El costt d'un hexàgon regulr mesur 0 cm, clculeu l'potem. 8. L'potem d'un octàgon regulr mesur 8 cm, clculeu l'àre del polígon. 9. L longitud del rdi d'un pentàgon regulr són cm. Clculeu-ne l'àre. 0. L'ombr d'un rbre qun els rigs del sol formen mb l'horitzontl un ngle de 6º mesur m. Quin és l'ltur de l'rbre?. L longitud del fil que subject un estel és de 0m. Si l'ngle d'elevció de l'estel és de 7º, quin ltur ssoleix l'estel?. Per clculr l'ltur d'un edifici es mesuren els ngles d'elevció des de dos punts situts un distànci de 00m. Quin és l'ltur de 00 l'edifici, si els ngles són º i 6º?. Dues persones seprdes 80 m veuen un vió que les sobrevol mb ngles d'elevció de 60º i 7º. A quin ltur vol l'vió? º 6º 60º 80 7º. Per mesurr l'ltur d'un muntny es mesuren els ngles d'elevció des de dos punts situts un distànci de 80m i un ltur de 00m sobre el nivell del mr. Quin és l'ltur de l muntny, si els ngles són º i 76º?. h h MATEMÀTIQUES B

13 Per sber-ne més Quin inclinció de crreter indic quest senyl? Si heu investigt un mic hureu vist que l web uns rticles diuen que quest 0% és l pendent mtemàtic i d'ltres l defineixen com pendent de trànsit. Sigui un o ltr, l diferènci no és grn, l'ngle indict serà en el primer cs tn(0/00).7º i (0/00).7º en el segon, i els problemes del nostre cotxe per bordr quest pendent sern similrs en mbdós csos. L diferènci entre l pendent mtemàtic o l de trànsit serà més significtiv si un senyl indiqués un lpinist que l inclinció de l muntny pujr és del 7%. L pendent mtemàtic del 7% correspon l'ngle: tn(7/00)6.86º L pendent de trànsit del 7% correspon l'ngle: (7/00)8.9º En l'escen, l hipotenus del tringle mrró mostr l inclinció en interpretr el % com tngent i en el tringle blu, s'interpret el % com us. L refrcció de l llum ire igu iº r,º És el fenomen que es produeix qun l llum pss d'un medi mteril un ltre, en què l velocitt de propgció és diferent. Per ixò, qun introduïm un vret l'igu l veiem. L relció entre l'ngle d'incidènci i i el de refrcció r, ve dond per l següent relció, conegud com Llei de Snell. n i n r on n i n són, respectivment, els índexs de refrcció del medi i del medi, l seu torn el quocient entre l velocitt de l llum l mig i l velocitt de l llum en el buit b C h c Teorem del us En quest tem heu pogut resoldre tringles que no eren rectngles, considernt-ne l'ltur. El resultt conegut com teorem del us, ens permet resoldre qulsevol tringle si coneixem un costt i dos ngles. b c sen A sen B sen C A c B MATEMÀTIQUES B

14 Recordeu el més importnt gru rdints π 80 grus grdos rdints rdines Angles i l mesur Per mesurr ngles emprem grus o rdints. 80 rdints rdines π grus grdos rdint grus Un rdint és l'ngle el recorregut del qul és igul l rdi mb què h estt trçt. Rons trigonomètriques 90º cteto dycente djcent c t e t cteto opuesto o p o s t El us és el quocient entre el ctet opost i l hipotenus. El cous és el quocient entre el ctet djcent i l hipotenus. L tngent és el quocient entre el ctet opost i el ctet djcent. cteto opuesto opost sen hipotenus cteto djcent dycente cos hipotenus cteto opuesto opost tg cteto dycente djcent Relcions fonmentls tg sen cos sen + cos cos Rons d'ngles qulssevol SIGNE DE LES RAONS (cos, ) són les coordendes del punt finl de l'ngle en l circumferènci goniomètric o de rdi unitt cos tg cos tg c 90º c tg c c cos 90º c Resoldre un tringle rectngle consisteix trobr les mesures dels seus sis elements: tres costts i dos ngles (el tercer és 90º), coneguts un costt i un ngle o dos costts. 6 MATEMÀTIQUES B

15 Autovlució. Expresseu en rdints l'ngle de 0º. B 8 A C. Clculeu el vlor de tg A l tringle ABC de l figur. ) ) º 8. Clculeu l'àre del tringle de l figur. ) 0. Amb un compàs de cm de longitud hem trçt l circumferènci de l figur. Quin ngle, en rdints, formen les brnques del compàs?. Si sen, i és un ngle gut, clculeu l tg. 6. Si tg. i és un ngle del tercer qudrnt, clculeu el cos. 7. A prtir de les rons de l'ngle de 0º, clculeu l tg π 6 8. Si cos, i és un ngle gut, clculeu el (80º- ). 9) 0º 9. L'ltur de Torrespñ és de metres. Qunt f l'ombr de l'edifici qun l inclinció dels rigs del sol és de 0º? 0) 0. Clculeu l'àre d'un pentàgon regulr de rdi cm MATEMÀTIQUES B 7

16 Solucions dels exercicis per prcticr. ) π b) π π π c) d). ) º b) º c) 0º d) 0º. ) 0, b) 0,9 c) d) -0,8. 0,9 cm.,7 cm, 0,7 cm 6., cm 7. 8º 0 6º º º ,9 cm 0., cm. sen 7. /. tg -/. tg -/. cos 6. 0,9 cm 7.,98 cm costt6,6 cm àre,08 cm 9. costt7,6 cm pot, cm àre,97 cm 0. 7,99 m. 0 m. 7, m. 68, m. 69,+0089, m Solucions de l'autoavalació. π 6. 0,7. 6,9 u. 0,8 rd (truncment). tg / 6. cos -0,6 7. π tg tg0º 6 8. cos(80º ) cos / 9. 00,0 m 0. 8,0 m No oblideu envir les ctivitts l tutor MATEMÁTICAS B 8