XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016) MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS

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1 XIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2016) 14 de julio de La prueba tiene una duración máxima de 2 horas. - No está permitido usar calculadoras, ni consultar apuntes o libros. - Utiliza solamente los espacios en blanco y los reversos de las hojas de esta prueba para realizar tus cálculos. - Entrega solamente tu hoja de respuestas tan pronto consideres que has terminado con la prueba. En caso de empate se tomará en cuenta la hora de entrega. - Importante: Se informa a todos los alumnos y personal encargado que está prohibido divulgar esta prueba, especialmente por internet, hasta el día 26 de julio. MARCA LA ALTERNATIVA CORRECTA EN LA HOJA DE RESPUESTAS 1. En una tienda compré arroz por un valor de 7 soles y pagué con un billete de 50 soles. Me dieron de vuelto solamente monedas de 2 y 5 soles. Si recibí 4 monedas de 2 soles, cuántas monedas de 5 soles recibí? A) 11 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 2. En el siguiente gráfico circular se muestra el porcentaje de estudiantes peruanos matriculados en la modalidad de Educación Básica Regular durante el año 2015: Primaria 45 % Inicial Secundaria Si el porcentaje de estudiantes de Inicial es al porcentaje de alumnos de Secundaria como 2 es a 3, determina el porcentaje de alumnos de Secundaria. A) 18 % B) 22 % C) 27 % D) 30 % E) 33 % 1

2 3. José tiene dos hermanos llamados David y Carmen. David tiene 4 años más que José y Carmen tiene 3 años menos que José. Resulta que la suma de edades de los tres hermanos es igual a la edad de su padre que tiene 43 años. Cuál es la edad de José? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) María debe comprar 15 kilos de arroz para una fiesta. La bolsa de 750 gramos cuesta S/. 3,90 y la bolsa de 5 kilos cuesta S/. 25,00 Cuántos soles ahorrará María si en vez de comprar únicamente bolsas de 750 gramos compra únicamente bolsas de 5 kilos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5. Se dibujan dos triángulos, uno acutángulo y el otro obtusángulo. Ambos triángulos son isósceles y cada uno tiene al menos un ángulo de 20. Indique la alternativa correcta: A) El mayor ángulo del triángulo acutángulo es 60 B) El menor ángulo del triángulo acutángulo es 40 C) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 140 D) El mayor ángulo del triángulo obtusángulo es 160 E) El menor ángulo del triángulo obtusángulo es En un torneo de fútbol el equipo Los Guacamayos resultó campeón. Raúl el goleador de este equipo, anotó 11 goles en los primeros seis partidos. Si en total se jugaron 7 partidos, cuántos goles anotó Raúl en el último partido para que su promedio de goles haya sido 2? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 7. Juana y Rosa fueron a la misma tienda a hacer sus compras. Juana compró 2 litros de leche y 1 kilo de azúcar; Rosa compró 3 litros de leche y 4 kilos de azúcar. Si Juana gastó 10 soles y Rosa gastó 22 soles, cuántos soles cuesta el litro de leche en dicha tienda? A) 1,8 B) 2,4 C) 3,6 D) 4,8 E) 6 8. Un artesano fabricó cierta cantidad de joyas iguales. Si vende cada joya a 12 soles recaudaría menos de 250 soles, pero si vende cada joya a 13 soles recaudaría más de 250 soles. Cuántas joyas fabricó el artesano? A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 2

3 9. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de estudiantes de 5 de secundaria del colegio Mariscal Castilla, que han decidido estudiar Matemática, influenciados por la ONEM. Los datos corresponden a los años 2012 al Se sabe que la cantidad de estudiantes en el 2015 fue el doble que en el 2013 y el triple que en el Además, hubo 4 estudiantes más el año 2014 que el año Cuánto fue el incremento de estudiantes desde el año 2014 al año 2015? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Antonio quiere comprar un electrodoméstico. En la tienda A dicho electrodoméstico cuesta 1200 soles y le ofrecieron un descuento del 10 %. En la tienda B dicho electrodoméstico cuesta algo más, pero le ofrecieron un descuento del 20 %. Antonio se dio cuenta que al final el precio del electrodoméstico en ambas tiendas era el mismo. Cuánto costaba inicialmente el electrodoméstico en la tienda B? A) 1300 B) 1350 C) 1400 D) 1450 E) Sonia tiene N ovejas, donde N es un número entero mayor que 35 y menor que 65. Ella puede separar sus ovejas en grupos, con 5 ovejas en cada grupo, pero no puede hacer lo mismo con 2 ovejas en cada grupo ni con 3 ovejas en cada grupo. Determina el número de ovejas N. A) 40 B) 45 C) 50 D) 55 E) Van a construir una pista circular alrededor de un estadio para los entrenamientos de los maratonistas. Cuál debe ser el diámetro aproximado de la pista si un corredor debe cubrir un recorrido total de 42 km al dar 25 vueltas completas a la pista? Nota: Considere la aproximación π = 3, 14. A) 311,9 m B) 267,5 m C) 475,8 m D) 623,8 m E) 535 m 3

4 13. Para ser miembro de un club, se tiene que pagar por única vez 150 soles por cuota de ingreso y una mensualidad de 60 soles. Sin embargo, si se paga por adelantado el costo por un tiempo determinado, el club ofrece un 10 % de descuento al monto total. Ramiro quiere ser miembro del club durante n meses, para lo cual debe pagar por adelantado el monto total M. Determine M, en función de n. A) M = 60n B) M = 54n C) M = 135n + 60 D) M = 54n E) M = 45n Un tanque que almacena gasolina está completamente lleno. Debido a un desperfecto, cada semana se evapora la quinta parte de la gasolina que hay en el tanque. Después de 3 semanas se evaporó 122 litros de gasolina. Cuántos litros de gasolina había inicialmente en el tanque? A) 250 B) 200 C) 300 D) 244 E) Cuál es el mayor divisor de 2016 cuyo cuadrado también es divisor de 2016? A) 9 B) 12 C) 16 D) 18 E) Sea ABC un triángulo equilátero y sea D un punto del lado AB. Sean E y F los pies de las perpendiculares trazadas desde D hacia los lados BC y AC, respectivamente. Si CE = 8 y CF = 7, determina el perímetro del triángulo ABC. D B E A F C A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 30 B C 4

5 17. Un juego consiste en girar dos ruletas. La ruleta A tiene los números del 1 al 5 y la ruleta B tiene los números del 1 al ruleta A ruleta B Para ganar un premio el número que apunte la flecha de la ruleta A debe ser mayor que el número que apunte la flecha de la ruleta B. Cuál es la probabilidad de ganar un premio? A) 1 4 B) 1 3 C) 2 5 D) 1 2 E) Los números reales positivos x, y, z satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones xy + x + y = 2, yz + y + z = 5, zx + z + x = 7. Determina el valor de x + y + z. A) 7 2 B) 4 C) 9 2 D) 7 E) La maestra Jimena escribió en la pizarra los números 1, 7, 13, 19, 25, 31, y luego los alumnos hallaron todos los números primos que se pueden obtener al sumar dos o más números de la pizarra. Cuántos números primos hallaron los alumnos? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 5

6 20. Se tiene una fila de 14 cuadraditos enumerados de la siguiente forma: Al inicio se coloca una piedra sobre uno de los cuadraditos. La piedra realiza una secuencia de movimientos de la siguiente forma: si la piedra está en el cuadradito n, en el siguiente paso se puede mover al cuadradito n 2 o al cuadradito 2n (sin salirse de la fila). Está permitido que la piedra visite a un cuadradito más de una vez. Como máximo cuántos cuadraditos diferentes puede visitar la piedra en una secuencia de movimientos si podemos escoger libremente la posición inicial de la piedra? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10 GRACIAS POR TU PARTICIPACIÓN 6