Martín A. Díaz-Viera. Instituto Mexicano del Petróleo. Graciela S. Herrera-Zamarrón. Universidad Nacional Autónoma de México. Arturo Valdés-Manzanilla

Transcripción

1 Ingeniería hidráulica en México, vol. XXIV, núm. 3, pp , julio-septiembre de 2009 Un modelo de corregionalización lineal para la estimación espacial de la precipitación en el valle de la ciudad de México, combinando datos de pluviógrafos con imágenes de radar meteorológico Martín A. Díaz-Viera Instituto Mexicano del Petróleo Graciela S. Herrera-Zamarrón Universidad Nacional Autónoma de México Arturo Valdés-Manzanilla Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, México La precipitación es uno de los factores principales del ciclo hidrológico y el conocimiento de su distribución espacial es fundamental para la predicción del escurrimiento. La mayor parte de la precipitación en la ciudad de México es producida por tormentas convectivas, caracterizadas por una alta variabilidad espacial y temporal, lo cual añade un grado mayor de complejidad a su estimación. En este trabajo se presenta una modificación del procedimiento geoestadístico de estimación espacial de la precipitación introducido por Krajewski (1987), el cual aplica el método de cokriging ordinario, combinando imágenes de radar meteorológico con datos de pluviómetros. Aquí, a diferencia del procedimiento de Krajewski, se incluye en el método de cokriging ordinario la dependencia espacial conjunta de radar-pluviómetros mediante un modelo de corregionalización lineal. La metodología propuesta es probada usando datos de pluviógrafos y de radar de una tormenta ocurrida en el valle de la ciudad de México, y los resultados son comparados con los obtenidos por los métodos de cokriging ordinario sin un modelo de corregionalización lineal y con el de cokriging colocado. Palabras clave: geoestadística, estimación espacial de la precipitación, cokriging, modelo de corregionalización lineal, radar meteorológico. Introducción La precipitación es uno de los factores principales del ciclo hidrológico y su conocimiento es indispensable para los modelos de predicción del escurrimiento, el cálculo de líneas de flujo y la estimación de áreas diferenciadas de precipitación, así como en modelos de cuencas, entre otros. La modelación de los patrones espaciales de la precipitación es relevante tanto en ciencias de la atmósfera como en hidrología. Debido a que la precipitación con frecuencia se comporta con una gran variabilidad en espacio y tiempo, como es el caso de la mayoría de los eventos de lluvia que caen sobre la ciudad de México, capturar el patrón de su variabilidad espacial no es una tarea fácil. Se conoce que los pluviómetros suministran mediciones puntuales bastante precisas, pero para poder satisfacer los requerimientos de precisión que permitan representar adecuadamente la distribución espacial y temporal de la lluvia, se necesitaría de 63

2 una red pluviográfica de monitoreo muy densa. Por otro lado, existe un instrumento alternativo, el radar meteorológico, el cual puede medir la precipitación de manera indirecta, pero continua, en el espacio dentro de su radio de cobertura, abarcando a su vez una gran área alrededor del mismo. Desafortunadamente, los datos de radar contienen errores grandes asociados con la propagación anómala, ecos falsos, bloqueo orográfico y altura del haz del radar sobre el terreno, entre otros. Sin embargo, los datos de estos dos instrumentos pueden complementarse para obtener mejores estimaciones de la precipitación (vale la pena mencionar que en este artículo se utilizará la palabra pluviómetro para cualquier instrumento que mida la altura de la precipitación, tal y como lo define el Vocabulario científico y técnico III de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales (RACEFN, 1996). Por otro lado, la palabra pluviógrafo se referirá a aquellos instrumentos que miden la cantidad acumulada de precipitación con respecto al tiempo, registrándola automáticamente, generalmente en forma de gráfica. Por lo tanto, los pluviómetros incluyen también a los pluviógrafos). Por las razones anteriormente expuestas, resulta importante contar con metodologías que permitan realizar la estimación espacial de la precipitación, combinando de una manera apropiada la información proveniente de los pluviómetros con las imágenes de radar. El objetivo principal del presente trabajo es proponer una modificación del método de cokriging ordinario para la estimación de la precipitación, usando de manera conjunta pluviómetros y radar, que fue introducido por Krajewski en Aquí, a diferencia del procedimiento usado por Krajewski, se incluye en el método de cokriging ordinario, la dependencia espacial conjunta de radarpluviómetros mediante un modelo de corregionalización lineal. La metodología propuesta es probada usando datos de pluviógrafos y de radar obtenidos de una tormenta ocurrida en el valle de la ciudad de México. Esto último resulta de gran interés, puesto que la mayor parte de la precipitación en la ciudad de México es producida por tormentas convectivas, caracterizadas por una alta variabilidad espacial y temporal. Los resultados de la aplicación del método de cokriging ordinario, usando un modelo de corregionalización lineal (CkO-MCL), son comparados con los obtenidos mediante el cokriging ordinario (CkO), sin usar un modelo de corregionalización lineal, y con el de cokriging colocado (CkC). El artículo tiene como objetivo adicional mostrar, desde el punto de vista metodológico, los detalles de la aplicación práctica de cómo debe realizarse el análisis geoestadístico en un caso de estudio, para estimar de manera sistemática la distribución espacial de la precipitación. En este sentido, resulta conveniente resaltar que el propósito del artículo consiste en evaluar la aplicación de la metodología geoestadística propuesta al caso de estudio de una tormenta convectiva, pero no pretende hacer un estudio de la meteorología de las tormentas convectivas. En la siguiente sección se dan los antecedentes básicos de la metodología, mientras que en la sección Metodología se ofrece una descripción general de la misma. En las secciones Análisis geoestadístico univariado de la precipitación a partir de mediciones de pluviógrafos y de radar y Análisis geoestadístico bivariado de la precipitación a partir de mediciones de pluviógrafos y de radar, se muestran los detalles del análisis geoestadístico para los casos univariados: pluviógrafos y radar, por separado, y bivariado, pluviógrafo-radar de manera conjunta, respectivamente. En la sección Comparación de las estimaciones obtenidas, se establece la comparación de las estimaciones obtenidas con los diferentes métodos. Finalmente, se dan las conclusiones y las perspectivas del trabajo futuro. Antecedentes La estimación de la precipitación se ha realizado tradicionalmente usando datos de pluviómetros. Desafortunadamente, se requiere de un gran número de pluviógrafos para obtener mediciones adecuadas de la distribución espacial de la precipitación asociada con diferentes eventos meteorológicos, como son las tormentas convectivas, las cuales se caracterizan por una alta variabilidad espacial y temporal. No obstante, los elevados costos de mantenimiento y operación de las redes de monitoreo de lluvia hacen que éstas sean prohibitivas para muchos usuarios, en particular en los países pobres y en desarrollo. El radar meteorológico emerge como un instrumento alternativo para estimar la precipitación debido a su capacidad de registrar de manera continua grandes áreas alrededor del mismo. Sin embargo el radar también posee sus desventajas, entre las que se destacan bloqueo orográfico, ecos falsos, propagación anómala, atenuación, evaporación de la lluvia antes de llegar al suelo, llenado parcial del haz del radar, afectación por la altura sobre el terreno y los diferentes tipos de tormentas. Una buena estrategia consiste en combinar las mediciones de ambas fuentes: pluviómetros y radar, para obtener mejores estimaciones de la distribución espacio-temporal de la precipitación. 64 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

3 En 1995, el Servicio Meteorológico Nacional (SMN) emprendió un programa de actualización, que incluyó la compra de siete nuevos radares y la modernización de cinco restantes, que conforman actualmente la red nacional de radares Doppler, uno de los cuales se localiza en el cerro de la Catedral, cerca de la ciudad de México y es manejado por la Comisión Nacional del Agua. Esta red es usada para el seguimiento de los ciclones tropicales y la estimación de lluvia para propósitos hidrológicos (Valdés-Manzanilla y Aparicio, 1997). El Sistema de Aguas de la Ciudad de México (antes la Dirección General de Construcción y Operación de Obras Hidráulicas, DGCOH) tiene bajo su control la operación de una red de 61 pluviógrafos ubicados dentro de la zona de cobertura del radar, con una densidad del orden de un pluviómetro por cada 30 km 2. La mayor parte de la precipitación que se produce en la ciudad de México se debe a tormentas convectivas, que se caracterizan por su alta variabilidad espacio-temporal. Por lo tanto, es extremadamente difícil describir adecuadamente la distribución espacial y temporal de la lluvia utilizando únicamente los datos de la red de pluviógrafos. Por otra parte, la ubicación cercana a la ciudad de México de un radar meteorológico hace atractiva y deseable la idea de desarrollar metodologías que estimen de manera óptima la distribución espacio-temporal de la precipitación, usando de manera conjunta las mediciones de ambos instrumentos. Existen básicamente dos tipos de metodologías para obtener estimaciones de lluvia usando pluviómetros y radar meteorológico. Una de ellas es mediante relaciones que transforman la reflectividad medida por el radar (Z) a intensidad de lluvia (R), o relaciones Z-R como comúnmente se les llama, usando ya sea una red de pluviómetros o un disdrómetro, instrumento que mide la distribución del tamaño de gotas e indirectamente la reflectividad e intensidad de lluvia. Estas relaciones se tienen que determinar para cada sitio de ubicación de un radar de acuerdo con la estación del año y el tipo de precipitación (Calheiros y Zawazdki, 1987; Rosenfeld et al., 1994). Esta metodología se usa principalmente en países tropicales o subtropicales, donde la variabilidad espacial de la lluvia es muy grande por la presencia de tormentas convectivas, como en Brasil, Australia o Israel. En México también se ha usado mucho y recientemente Méndez-Antonio et al. (2006) hicieron un análisis de este tipo para la zona de estudio que se considera aquí. La otra metodología consiste en ajustar las estimaciones de lluvia del radar en tiempo real usando una red de pluviómetros y se utiliza en países que cuentan con una red de pluviómetros con buen mantenimiento y donde las precipitaciones se presentan en forma extendida con poca variabilidad espacial, por lo que pueden ser captadas con pocos pluviómetros (Brandes, 1975; Collier, 1983; Fulton et al., 1998). Este procedimiento se usa en países como Inglaterra y Estados Unidos, y se ha visto que funciona cuando se tiene una red de pluviómetros con una densidad mínima de un pluviómetro por 300 km 2 (Hildebrand et al., 1979). A su vez existen diversos enfoques que permiten implementar el segundo tipo de metodologías, entre los que se destacan fundamentalmente dos: los que usan el filtro de Kalman (Anhert et al., 1986) y los que se basan en la aplicación de la geoestadística. En el presente trabajo se emplea un enfoque geoestadístico para estimar la distribución espacial de la precipitación usando datos de pluviómetros y radar de manera conjunta. Este enfoque fue propuesto por primera vez por Krajewski (1987) y casi simultáneamente por Creutin et al. (1988), aplicando como método de estimación el cokriging ordinario. Posteriormente Seo et al. (1990a, 1990b) realizaron experimentos numéricos para comparar el desempeño de tres tipos de estimadores cokriging: ordinario, universal y disyuntivo. Más recientemente, Cassiraga y Gómez-Hernández (1997) han presentado este mismo enfoque, usando además el cokriging colocado. Metodología La geoestadística es una rama de la estadística espacial que se encarga de modelar la correlación intrínseca que existe en fenómenos distribuidos espacialmente para, a través de ésta, hacer predicciones óptimas de su comportamiento. A las propiedades de fenómenos distribuidos espacialmente se les puede asociar un modelo de función aleatoria o variable regionalizada, Z(x), que es el concepto análogo al de variable aleatoria extendido al caso cuando ésta depende de la posición x, donde su correlación espacial es modelada mediante la función de covarianzas C(h) o semivarianzas (variogramas) γ(h), según sea el grado de estacionaridad de ésta. En la geoestadística, el estimador lineal óptimo para valores provenientes de una sola función aleatoria es conocido genéricamente como kriging y el estimador de más de una función aleatoria es comúnmente nombrado como cokriging o kriging conjunto. El kriging utiliza sólo la correlación espacial para determinar los coeficientes en el estimador lineal, mientras que el cokriging además hace uso de la correlación existente entre las diferentes funciones aleatorias. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

4 Las aplicaciones que han recibido una mayor atención en la geoestadística conjunta de dos funciones aleatorias son los casos en que una está menos densamente muestreada que la otra o presente errores de muestreo. Pero existe un número de dificultades prácticas para la aplicación del cokriging; la más importante de todas es la ausencia de modelos estándar para las covarianzas cruzadas. En este estudio se considerarán las mediciones de pluviógrafos y de radar como muestras de dos funciones aleatorias. No obstante, por sencillez, en lo sucesivo nos referiremos a ambas, indistintamente, como variable o función aleatoria. Etapas de la metodología geoestadística Los métodos estadísticos en general y los geoestadísticos en particular requieren que se prueben ciertas hipótesis bajo las cuales el desempeño de éstos sea óptimo. Uno de los propósitos del presente artículo es ilustrar la aplicación de la geoestadística, para lo cual presentaremos la receta mínima que garantiza un uso adecuado de las metodologías. Un análisis geoestadístico de una variable regionalizada debe incluir los siguientes pasos: 1. Análisis preliminar. 2. Análisis exploratorio de los datos. 3. Estimación del variograma. 4. Modelación del variograma. 5. Validación del modelo de variograma. 6. Estimación espacial usando kriging. Mientras que para el análisis geoestadístico conjunto de dos o más variables, además de realizarse el análisis geoestadístico de cada una de las variables por separado, se deben seguir los siguientes pasos: 1. Análisis estadístico conjunto. 2. Estimación del variograma cruzado. 3. Modelación del variograma cruzado. 4. Ajuste de un modelo de corregionalización lineal. 5. Validación del modelo de corregionalización lineal. 6. Estimación espacial conjunta usando cokriging. Cada uno de los pasos enunciados anteriormente serán explicados con cierto detalle y ejemplificados en el caso de estudio que nos ocupa. En resumen, la metodología que se aplicará consiste en realizar primero un análisis geoestadístico univariado para las mediciones de pluviógrafos y radar, luego se hace el análisis geoestadístico conjunto pluviógrafosradar; como resultado se obtienen diferentes estimaciones de la precipitación, usando variantes de kriging y cokriging. Es importante destacar, desde el punto de vista metodológico, que aquí se obtendrá para la estimación conjunta usando cokriging un modelo de corregionalización lineal, lo cual garantiza que el modelo geoestadístico produzca estimaciones correctas (Wakernagel, 1998). Sin embargo, resulta importante destacar que en los trabajos publicados anteriormente (Krajewski, 1987; Creutin et al., 1988; Seo et al., 1990a, 1990b; Cassiraga y Gómez-Hernández, 1997) no se aplicó de manera sistemática la metodología para obtener un modelo de corregionalización lineal. Los datos de pluviógrafos y de radar Se utilizaron imágenes del radar del Cerro de la Catedral, que forma parte de la red de la Comisión Nacional del Agua (Conagua). Estas imágenes son de 8 bits de 240 x 240 km, con una resolución de 1 km 2 ; es decir, el píxel abarca un área de 1 x 1 km en la presentación pseudo- CAPPI a 2 km de altura sobre el sitio de radar y se obtienen cada quince minutos. Para que se haga una estimación precisa de la lluvia, se necesita que las imágenes estén libres de ecos que no correspondan a lluvia, que pueden ser originados por antenas de comunicación, montañas, etcétera. Los radares Ericsson cuentan actualmente con hardware y software para hacer esto. Los datos de pluviógrafos fueron tomados de una red instalada de 61 pluviógrafos, que opera el Sistema de Aguas de la Ciudad de México (SACM) en el área metropolitana de la ciudad de México y que reportan por radio, cada minuto, la lluvia acumulada en ese intervalo a una computadora central (ilustración 1). Cálculo de la lluvia acumulada horaria A partir de mediciones de radar y de pluviógrafos, se calcula la lluvia acumulada en una hora para cada tipo de medición, respectivamente. Debido a que el radar registra una imagen con valores de reflectividad (Z) cada 15 minutos, se necesita primero convertir estas imágenes a valores de intensidad de lluvia (R) usando una relación Z-R, y posteriormente promediar cuatro imágenes de radar consecutivas para obtener la intensidad de lluvia efectiva y así obtener la precipitación acumulada en una hora. En nuestro caso se usó la relación Z=300R 1.4 recomendada por el fabricante (Valdés-Manzanilla y Herrera-Zamarrón, 2000). Para los datos de pluviógrafos se consideraron los archivos digitales correspondientes a la fecha y hora de la tormenta a modelar. Considerando que cada pluviógrafo 66 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

5 Ilustración 1. Ubicación del radar meteorológico de Cerro Catedral y la red pluviométrica del Sistema de Aguas de la Ciudad de México (Rosengaus, 2000). se le asocia un valor de lluvia acumulada de radar de la siguiente manera: se localiza el píxel que contenía dichas coordenadas y se toma su valor de lluvia acumulada de radar junto con los valores de los ocho píxeles circundantes; finalmente se escoge el que tenga menor diferencia en valor absoluto respecto al valor de lluvia acumulada medido por el pluviógrafo. Este criterio es conocido como best match (Fulton et al., 1995) y se hace así debido a la incertidumbre que presenta la posición del lugar donde va a caer la lluvia medida por el radar producto de la acción del viento. Como resultado tenemos dos variables de lluvia acumulada, asociadas con las mismas coordenadas de los pluviógrafos, que en lo sucesivo nombraremos como Pluv y Radar. Análisis exploratorio de los datos cuenta con un contador que se incrementa en uno cada vez que registra una lluvia de un 1/4 de mm (Rosengaus, 2000), se calculó la lluvia acumulada en una hora. Análisis geoestadístico univariado de la precipitación, a partir de mediciones de pluviógrafos y de radar Análisis preliminar Entre la información disponible para realizar el presente estudio se eligió la tormenta del 15 de julio de 1997 debido a que para este evento se tenía la mejor información en cantidad y calidad tanto de radar como de pluviógrafos. En particular, se obtuvieron registros confiables de lluvia para cincuenta pluviógrafos y las imágenes de radar correspondientes a la duración del mismo. Para estas mediciones de pluviógrafos y de radar se calcularon los valores de lluvia acumulada en una hora, expresados en milímetros, aplicando el procedimiento explicado en la sección Metodología. Para el análisis geoestadístico conjunto resulta necesario tener suficientes valores de ambas mediciones en ubicaciones comunes. Con este fin, a las coordenadas correspondientes a la ubicación de un pluviógrafo dado, Esta etapa es indispensable en cualquier análisis estadístico práctico, y consiste en caracterizar estadísticamente la muestra, de forma tal que se obtenga la mayor información posible a partir de los datos disponibles. Éste es un paso fundamental para que el análisis geoestadístico sea válido, pues las etapas principales del mismo son la estimación y el ajuste del variograma, función que cuantifica la correlación espacial de la propiedad que se estudia. Para que la estimación del variograma sea óptima, se requiere verificar toda una serie de supuestos sobre la muestra disponible de la función aleatoria, como: Que su distribución de probabilidad sea próxima a la normal o al menos simétrica. Que no exista tendencia o deriva significativa, es decir, que al menos cumpla la hipótesis intrínseca. Que no se vea afectada por valores atípicos (outliers) tanto distribucionales como espaciales. Que tenga una distribución espacial homogénea. Tomando en cuenta todo lo anteriormente mencionado, de lo que se trata es de explorar las características estadísticas de la muestra, con el fin de tomar en cuenta o modificar en la medida de lo posible aquellas que no satisfagan los requisitos exigidos (Armstrong y Delfiner, 1980). Además, nos permite decidir cuál de los tipos de interpoladores kriging sería el más adecuado para ser aplicado en la estimación espacial. Análisis estadístico básico: se obtuvieron los estadígrafos básicos de la distribución de los datos de pluviógrafos y radar que están dados en la ilustración 1. Prueba de hipótesis de normalidad: los histogramas (ilustración 2) muestran una fuerte asimetría positiva en ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

6 los datos tanto de pluviógrafos como de radar, por lo cual no se puede considerar la distribución de las muestras como normal. Análisis de outliers espaciales y distribucionales: la detección temprana de los valores atípicos es muy importante, ya que éstos pueden influir de manera significativa en los resultados de las etapas posteriores (Cressie y Hawkins, 1980). Debemos considerar dos categorías de valores atípicos: los distribucionales, que son los que tienen valores que se alejan significativamente del valor medio de la muestra, y los espaciales, que son los que tienen un valor muy diferente al de sus vecinos más cercanos. Se detectaron tres y dos outliers distribucionales para las variables Pluv y Radar, respectivamente (ver ilustración 3). Dos de estos valores atípicos están asociados con los valores más altos de precipitación, que para el caso del pluviógrafo tienen un valor de 7.75 mm, y para el caso del radar de 7.79 y 7.39 mm, y coinciden en su ubicación para ambas variables. Si excluyéramos los tres valores atípicos de las muestras, resultaría que las distribuciones aún tendrían asimetría leve. En este caso es preferible conservar estos valores, puesto que su exclusión no mejora significativamente la simetría de las distribuciones. Además, en la ilustración 3 se puede observar que la muestra está distribuida espacialmente de manera preferencial en la parte media de la región de estudio, notándose un déficit de información hacia las esquinas. Para resolver el problema de la asimetría de las distribuciones, se propone hacer una transformación logarítmica de los datos y se recalculan los estadígrafos básicos para los datos transformados (ilustración 4). Se realizan nuevamente las pruebas de simetría, resultando que el histograma de los datos transformados (ilustración 4) para los valores de pluviógrafos es simétrico, mientras que el de radar presenta asimetría leve, lo cual, para efectos prácticos, se pueden considerar aceptable, por lo que en lo sucesivo trabajaremos con las variables de precipitación transformadas Ln(Pluv) y Ln(Radar). Análisis de tendencia: consiste en determinar el grado de estacionaridad de la muestra. Si ésta es estacionaria de segundo orden, implica que sus estadígrafos de 1 er. y 2 o orden no dependen de la posición. Cuando se cumple la hipótesis intrínseca quiere decir que no es estacionaria de segundo orden, pero sus diferencias sí son estacionarias de segundo orden. En caso de no cumplir la hipótesis intrínseca, se considera la muestra como no estacionaria. Una manera de detectar la presencia de tendencia o no estacionaridad es mediante el variograma estimado. Cuando éste muestra un crecimiento cuadrático no acotado al nivel de la varianza total de los datos, es un indicador de la presencia de tendencia. En este caso, los variogramas adireccionales (ilustración 5) no muestran presencia significativa de tendencia, puesto que están acotados en un nivel aproximado de las varianzas totales de las muestras, por lo que se puede afirmar que al menos cumplen con la hipótesis intrínseca. Estimación del variograma En el sentido más amplio se debe estimar una función que describa la correlación espacial de la propiedad que se estudia. En dependencia del grado de estacionaridad de la muestra, ésta puede ser la función de covarianzas si la propiedad es estacionaria de segundo orden o la función de semivarianzas cuando se cumpla la hipótesis intrínseca. Usualmente se trata de estimar la función de semivarianzas, conocida simplemente como variograma, puesto que se supone que tenemos más posibilidades de que se cumpla la hipótesis más débil o, dicho de otro modo, se exige un menor grado de estacionaridad a la propiedad bajo estudio. Dada una variable regionalizada Z(x), el variograma es una función que relaciona la semivarianza con el vector h conocido como intervalo, el cual denota la separación en distancia y dirección de cualquier par de valores Z(x) y Z(x+h) y se define como sigue: γ ( h) = 1 E { Z ( x) Z ( x + h) } 2 2 Donde E[.]- es el operador valor esperado o esperanza matemática. Estimación de los variogramas adireccionales El estimador más común del variograma (Omre, 1984) es esencialmente una media muestral y está dado por: N( h) 1 γ* ( h ) = ( ) ( ) 2N( h) Z x i + h Z x i i = 1 donde N(h) es el número de pares de valores Z(x i ) y Z(x i +h) separados a una distancia h= h. El variograma adireccional se estima tomando la dirección 0 y una ventana angular de ±90, además es importante elegir el tamaño apropiado del intervalo, de manera que permita que la estimación sea lo más consistente posible. Para esto usualmente se considera 2 68 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

7 Ilustración 2. Histogramas de las mediciones de pluviógrafos y radar. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

8 Ilustración 3. Distribución espacial de las mediciones de pluviógrafos y radar. Encerrados en un círculo se destacan los outliers distribucionales. 70 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

9 Ilustración 4. Histogramas de las mediciones de pluviógrafos y radar transformadas, Ln(Pluv) y Ln(Radar). ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

10 Ilustración 5. Semivariogramas adireccionales estimados para Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la varianza. 72 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

11 una cantidad mínima de diez intervalos tomados hasta la mitad de la distancia máxima de separación (d máx ) de todos los puntos de la muestra; es decir, el tamaño del intervalo debe ser aproximadamente d máx /20. Si se toman menos intervalos, se dificulta luego la modelación del variograma y si, por otro lado, se estima a distancias superiores de la mitad de la distancia máxima de separación de los puntos de la muestra, se corre el riesgo de obtener una estimación errónea y sesgada debido a la pobre cantidad de pares de puntos que entran en la estimación del variograma a esa distancia de separación. El variograma adireccional se estimó para un valor de los intervalos de 3 km, puesto que la mitad de la distancia máxima de separación es de 30 km, aproximadamente, lo cual nos permite estimar diez intervalos. Los variogramas estimados se muestran en los gráficos de la ilustración 5. Estimación de variogramas direccionales: se estiman variogramas direccionales en cuatro direcciones: 0, 45, 90 y 135 con ventanas angulares de ±22.5. Los intervalos se eligen con el mismo criterio anterior (ilustración 6). Análisis de anisotropía: decimos que existe anisotropía si la correlación espacial depende de la dirección. La estimación de variogramas direccionales permite determinar la posible existencia de anisotropía geométrica, que es cuando los alcances o rangos de correlación de los variogramas son significativamente diferentes. Si la anisotropía es significativa, se determinan los alcances en las direcciones de menor y mayor valor, con lo cual se pueden construir modelos anisotrópicos. Los gráficos de la ilustración 6 no indican anisotropía significativa, ya que los alcances están en un rango entre 20 y 22 km, y luego se degrada la estimación de los variogramas. No obstante, la dirección de 90 (nortesur) muestra un comportamiento ligeramente diferente en relación con las demás direcciones, pero para los efectos prácticos consideraremos todos los modelos de variogramas como isotrópicos. Modelación del variograma: la modelación del variograma consiste en buscar una función analítica que represente adecuadamente los valores estimados del variograma. Esta función no puede ser cualquiera y de hecho existe un número reducido de modelos teóricos que pueden ser usados. Entre los modelos más conocidos se encuentran el esférico, el gaussiano, el exponencial, el lineal con meseta y lineal sin meseta. Estos modelos se caracterizan fundamentalmente por tres parámetros: el alcance o rango de correlación (a), la meseta (S), y la microvarianza o varianza nugget (γ 0 ). Entonces, el proceso de modelación se reduce a determinar los parámetros del modelo que se ajusta mejor a los valores estimados del variograma. Ajuste inicial mediante mínimos cuadrados ponderados: se realiza un ajuste inicial según mínimos cuadrados ponderados, donde los pesos se toman proporcionales al número de pares considerados en la estimación por intervalo y al inverso de la semivarianza estimada del intervalo. Esto se realiza para cada uno de los cinco modelos válidos de variogramas arriba enumerados y se selecciona el que muestre un mejor ajuste según el criterio de información de Akaike (Akaike, 1974, 1977), el cual es un compromiso entre la complejidad del modelo (número de parámetros) y su bondad de ajuste (error cuadrático medio). Los modelos óptimos según el criterio de Akaike (AIC), usando mínimos cuadrados ponderados están dados en la ilustración 7. Ajuste mediante prueba y error: la modelación del variograma continúa con un proceso de prueba y error de manera visual, modificando los parámetros del modelo hasta obtener un compromiso razonable según el criterio de Akaike (Akaike, 1974; Cressie, 1985). Para la estimación espacial se considerarán finalmente los modelos obtenidos con un ajuste visual, dados en la ilustración 8. Validación del modelo del variograma El procedimiento de validación cruzada permite establecer que el modelo de variograma obtenido es representativo de la variabilidad espacial de los datos usados en la estimación del mismo. Para validar el modelo obtenido de variograma se puede proceder de varias maneras. Un método que resulta atractivo por su sencillez y eficiencia es el leave one out (Journel y Huijbregts, 1978), que consiste en sacar un elemento de la muestra y estimar el valor en ese punto con kriging ordinario, empleando el modelo de variograma obtenido. De forma análoga se actúa para el resto de los elementos de la muestra. Como resultado se obtiene un mapa de las diferencias entre el valor real y el estimado. Se lleva a cabo un análisis integral de los estadígrafos de las diferencias y se aplican de manera combinada algunos de los siguientes criterios (Omre, 1984): El valor medio de las diferencias debe ser cercano a cero. La varianza de las diferencias debe ser pequeña. La varianza normalizada de las diferencias debe ser próxima a la unidad. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

12 Ilustración 6. Semivariogramas direccionales estimados para Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la varianza. 74 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

13 Ilustración 7. Modelos ajustados con mínimos cuadrados ponderados a los semivariogramas estimados para Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la varianza. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

14 Ilustración 8. Ajuste visual de los modelos de semivariogramas para Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la varianza. 76 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

15 Se aplicó validación cruzada con el método leave one out y se obtuvo el mapa de las diferencias Z Z* en la ilustración 9, donde se puede apreciar que los mayores errores se agrupan en cuatro puntos localizados en la parte inferior, los cuales son una cantidad pequeña en relación con el tamaño de la muestra. Se puede observar que los modelos de variograma obtenidos reflejan correctamente la estructura espacial de las variables Ln(Pluv) y Ln(Radar), ya que los valores medios de las diferencias ( y ) son cercanos a cero, mientras que las varianzas de las diferencias (1.057 y 2.387) son pequeñas. Estimación espacial de la precipitación con kriging usando sólo los datos de pluviógrafos Cuando no existe tendencia significativa, de manera que se puede considerar que la muestra es al menos intrínseca, entonces se puede estimar la propiedad mediante kriging ordinario (David, 1976; Journel y Huijbregts, 1978; Samper y Carrera, 1990). El kriging es un término que ha sido acuñado para designar al mejor estimador lineal insesgado de un punto. Consiste en estimar espacialmente el valor de una función aleatoria Z(x) en un punto x k mediante una combinación lineal de los valores de Z(x) correspondientes a las n ubicaciones más cercanas al punto de estimación x k de la manera siguiente: Z* ( x ) λ Z ( x ) k n = i= 1 Los n coeficientes λ i son calculados haciendo uso de la función de correlación espacial estimada γ*(h), de manera tal que el estimador sea no sesgado, es decir, que el valor esperado del error sea cero (E[Z(x k ) Z*(x k )]=0) y que la varianza de la estimación sea mínima (mínvar[z(x k ) Z*(x k )]), por eso se dice que el estimador kriging es óptimo. El procedimiento de kriging ordinario (KrO) se aplicó en una malla cuadrada de 1 x 1 km. Se presentan los mapas de contornos para los valores estimados de precipitación usando kriging ordinario y luego transformados hacia atrás (ilustración 10), así como de la desviación estándar del error de la estimación del kriging (ilustración 11). En la ilustración 10 se aprecian dos máximos que corresponden a precipitación convectiva seguidos por valores menores correspondientes a lluvia estratiforme. La estimación muestra un comportamiento suavizado, que puede ser observado, por ejemplo, en los valores máximos estimados (cercanos a 5 y 6 mm), en contraste con los máximos medidos de 7.75 mm. i i En el mapa de las distribuciones espaciales del error de las estimaciones (ilustración 11), como era de esperar, se observa que los mayores errores se concentran en las zonas pobremente muestreadas, esto es, donde existen pocos puntos de medición. En la ilustración 12 se compara la imagen de precipitación obtenida usando kriging con la de radar. Aquí se puede observar que la estimación con kriging muestra las ubicaciones de los valores más altos desplazados en la dirección noroeste con respecto a la imagen de radar, lo cual es un indicador de la presencia de viento e implica que la imagen de radar tiene sus valores espacialmente sesgados fundamentalmente en esta dirección. Análisis geoestadístico bivariado de la precipitación, a partir de mediciones de pluviógrafos y de radar Análisis estadístico conjunto de los datos de pluviógrafos y de radar El análisis estadístico conjunto consiste fundamentalmente en verificar la existencia de correlación lineal entre las dos variables regionalizadas: Ln(Pluv) y Ln(Radar). En los casos en que exista pobre correlación entre las variables, no tendría sentido hacer estimaciones conjuntas, puesto que sería casi equivalente a realizar estimaciones de cada una de las variables por separado. En la ilustración 13 podemos ver que existe una correlación lineal de 0.826, que es bastante alta, lo cual nos garantiza una buena estimación conjunta. Además, se observa que para valores pequeños existe una alta dispersión y relativamente poca correlación, pero a medida que son mayores, los valores están menos dispersos y más correlacionados. Esto se atribuye a la limitada precisión de los pluviógrafos y a la errática estimación del radar para valores de lluvia acumulada pequeños, puesto que los valores de los pluviógrafos están entre 0.25 y 0.5 mm, mientras que el radar muestra un rango mucho más amplio de variación. Estimación del variograma cruzado Como en el caso univariado, se estima el variograma cruzado usando un valor de intervalo de 3 km (ilustración 14). Además se estiman los variogramas cruzados en cuatro direcciones preferenciales: 0, 45, 90 y 135 con ventanas de ±22.5 (ilustración 15). Como no se puede juzgar con precisión la anisotropía, se opta por un modelo isotrópico. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

16 Ilustración 9. Mapas de los errores de la validación cruzada de los modelos de semivariogramas para Ln(Pluv) y Ln(Radar). 78 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

17 Ilustración 10. Mapa de contornos de la precipitación en milímetros, estimada a partir de los datos de los pluviógrafos usando kriging ordinario. Ilustración 12. Comparación de la imagen de precipitación estimada usando kriging ordinario con los datos de los pluviógrafos (a) con la estimada por el radar (b). En ambos casos, la precipitación está dada en milímetros. a) Ilustración 11. Mapa de contornos de las desviaciones estándar del error de la estimación de la precipitación, a partir de los datos de los pluviógrafos usando kriging ordinario. Los puntos representan las ubicaciones de los pluviógrafos. b) Ajuste mediante prueba y error del modelo de corregionalización lineal Modelación del variograma cruzado De manera análoga al caso univariado, se realiza un ajuste del variograma cruzado con mínimos cuadrados ponderados, seleccionando el modelo que posea el mejor ajuste. En este caso, el mejor ajuste resultó un modelo esférico descrito en la ilustración 16. El análisis bivariado de la estructura espacial que se requiere para el cokriging es mucho más complejo y sofisticado que el que demanda el kriging, ya que requiere modelar por separado un total de tres variogramas simples, pero el uso de modelos válidos de variogramas o combinaciones de éstos no garantiza que el modelo conjunto sea válido, es decir, no es una condición suficiente, como lo es en el caso univariado para que la matriz de covarianzas C(h) sea positiva definida. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

18 Ilustración 13. Gráfica de dispersión, box-plot re histogramas de Ln(Pluv) versus Ln(Radar). Logaritmo pluviómetro Frecuencias Correlación de Pearson= Logaritmo radar Frecuencias Ilustración 14. Estimado del semivariograma cruzado de Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la covarianza. Variograma cruzado estimado de Ln(Pluv)-Ln(Radar) Semivarianzas Distancias (m) 80 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

19 Ilustración 15. Semivariogramas cruzados de Ln(Pluv) y Ln(Radar) estimados en cuatro direcciones. La línea punteada marca el nivel de la covarianza. Semivarianzas Distancias (m) 0 o 45 o 90 o 135 o La manera actualmente más aceptada para obtener un modelo bivariado válido de la correlación espacial es a través de un modelo de corregionalización lineal (Goovaerts, 1998; Wackernagel, 1998). No obstante, existen otras metodologías menos difundidas, pero más complejas, que usan métodos espectrales y que se basan en el teorema de Bochner (Christakos, 1992). Un modelo de corregionalización lineal en términos de las semivarianzas para el caso bivariado está dado por: S γ ( h) = V γk ( h) k= 0 k Esto se puede interpretar como que existen S+1 estructuras anidadas a diferentes escalas, donde las matrices de corregionalización V k (σ k ) son las matrices ij de covarianzas que describen la correlación bivariada a la escala k. Note que a cada escala k le corresponde una estructura elemental o básica γ k (h) con mesetas iguales a la unidad. Si determinada estructura básica no está presente, se le hace corresponder un coeficiente cero en la matriz V k. El punto medular de la modelación de la corregionalización lineal consiste en probar que las matrices de corregionalización V k sean positivas semidefinidas, ya que es una condición suficiente para que el modelo sea válido. La forma del modelo de corregionalización lineal en el caso de dos funciones aleatorias Z 1 (x) y Z 2 (x) es: 0 0 S S γ11( h) γ12( h) σ11 σ12 σ11 σ12 = 0( h)... ( ) 0 0 γ + + γ S S S h γ 21( h) γ 22 ( h) σ 21 σ 22 σ 21 σ 22 Para asegurar de que el modelo sea válido es suficiente probar que: σ k k 11 σ 22 σ > 0 y > 0, k = 0,..., S k k k 12 σ11σ22, k = 0,..., S El procedimiento general para ajustar un modelo de corregionalización lineal consiste en postular el número de estructuras y sus modelos elementales Ilustración 16. Modelo del semivariograma cruzado de Ln(Pluv) y Ln(Radar). La línea punteada marca el nivel de la covarianza Semivarianzas Modelo Nugget Sill-Nugget Alcance AIC Esférico Distancias (m) ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

20 correspondientes para los cuales están definidos los alcances, y luego intentar el ajuste de las mesetas mediante prueba o error, o aplicando algún método de ajuste óptimo. El esquema general usando el método de prueba y error es el siguiente: 1. Modelar cada uno de los variogramas simples γ 11 (h), γ 22 (h) y el variograma cruzado γ 12 (h)=γ 21 (h) individualmente según el procedimiento usado para una función aleatoria. 2. Determinar el número de estructuras anidadas S+1 de manera que sea mínimo (es deseable que sea cuanto más tres), según las consideraciones siguientes: a) Si σ k >0, entonces 12 σk >0 y 11 σk >0. Es decir, si 22 una estructura γ k (h) hace contribución al modelo anidado del variograma cruzado γ 12 (h), entonces debe contribuir también en el modelo de los variogramas simples γ 11 (h) y γ 22 (h). Lo contrario es falso. b) Si σ k >0 y 11 σk >0, no implica nada sobre 22 σk. Es 12 decir, si una estructura γ k (h) hace contribución a los modelos anidados de los variogramas simples γ 11 (h) y γ 22 (h), dicha estructura puede contribuir o no en el modelo anidado del variograma cruzado γ 12 (h). c) Si σ k =0 y 11 σk =0, entonces 22 σk =0. Es decir, si 12 una estructura γ k (h) no contribuye en el modelo anidado de uno de los variogramas simples γ 11 (h) o γ 22 (h), entonces dicha estructura no puede contribuir en ninguno de los modelos anidados de los variogramas cruzados γ 12 (h). 3. Comprobar que todos los determinantes de los menores de orden dos son no negativos. 4. Verificar que todas las matrices de corregionalización V k sean positivas semidefinidas; en caso contrario, hacer los cambios necesarios hasta satisfacer la condición o volver al paso dos. Siguiendo el procedimiento anterior se reajustaron los variogramas Ln(Pluv) y Ln(Radar), resultando los modelos dados en la ilustración 17. Entonces, el modelo de corregionalización lineal resultante de Ln(Pluv) (P) y Ln(Radar) (R) es: γ PP ( h) γ PR ( h) ( ) = γ h + γ1 ( h) γ ( h) γ ( h) RP RR donde γ 0 (h) es el modelo del efecto nugget y γ 1 (h) es el modelo esférico con alcance de 20 km. Se puede observar que el modelo es válido, ya que los determinantes son estrictamente positivos: det = > 0, det = > Validación del modelo de corregionalización lineal El método de validación del modelo de corregionalización lineal (γ 11 (h), γ 22 (h) y γ 12 (h)) en el caso de dos variables consiste en estimar por cokriging los valores de Z 1 (x) y Z 2 (x) en los puntos muestrales usando el procedimiento de leave one out. Con los valores estimados obtenidos Z * (x), 1 Z* (x) y sus correspondientes varianzas de la 2 estimación σ 2, 1 σ2, se aplican los mismos criterios de la 2 validación cruzada descritos arriba para una variable (error medio, error cuadrático medio, etcétera). En la ilustración 18 se muestran los mapas de los errores de la validación cruzada del modelo de corregionalización lineal para Ln(Pluv) y Ln(Radar), donde se puede apreciar que los mayores errores se presentan en cuatro y tres puntos, respectivamente, coincidiendo en tres ubicaciones. Se puede considerar que el modelo de corregionalización lineal obtenido representa adecuadamente la estructura espacial conjunta de las variables Ln(Pluv) y Ln(Radar), ya que los valores medios de las diferencias (0.217 y 0.167) son cercanos a cero, mientras que las varianzas de las diferencias (2.113 y 2.246) son pequeñas. Estimación espacial conjunta de la precipitación Ya que no existe tendencia significativa, de manera que se puede considerar que las variables son al menos intrínsecas, es decir que las diferencias son estacionarias de segundo orden, se puede estimar la precipitación mediante cokriging ordinario. El cokriging ordinario para el caso bivariado consiste en estimar cada función aleatoria Z 1 (x) y Z 2 (x) mediante combinaciones lineales de n 1 y n 2 observaciones de Z 1 (x) y Z 2 (x) existentes dentro de una vecindad como sigue: n1 n2 * k k Z ( x ) = λ Z ( x ) + λ Z ( x ) 1 k 11 1 i 12 2 i i= 1 i= 1 n1 n2 * k k Z ( x ) = λ Z ( x ) + λ Z ( x ) 2 k 21 1 i 22 2 i i = 1 i= 1 El cokriging colocado se puede ver como una versión simplificada del cokriging ordinario, donde se considera que una de las variables Z 2 (x) está definida 82 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

21 Ilustración 17. Ajuste visual de los modelos de semivariogramas de Ln(Pluv) y Ln(Radar). Ln(Pluv) Semivariograma Sill+Nugget Alcance Variables Modelo Nugget Sill-Nugget Alcance AIC Ln(Pluv) Esférico Ln(Radar) Esférico Ln(Pluv)- Ln(Radar) Esférico Distancia km Semivariograma Sill+Nugget Alcance Ln(Pluv)-Ln(Radar) Semivariograma Sill+Nugget Alcance Ln(Radar) Distancia km Distancia km en cada uno de los nodos de la malla de la estimación (variable secundaria), mientras la otra Z 1 (x) está medida en unos pocos puntos (variable primaria), por lo que para estimar la variable primaria Z 1 (x), en el punto x k se usan todas las m 1 observaciones existentes de ésta dentro de una vecindad de x k y sólo el valor de Z 2 (x k ) correspondiente al punto de la estimación x k, y se expresa como sigue: m1 * k k Z ( x ) = λ Z ( x ) + λ Z ( x ) 1 k 11 1 i 12 2 k i = 1 En ambos métodos, cokriging ordinario y cokriging colocado, los coeficientes λ son calculados haciendo uso de las funciones de correlación espacial estimadas γ * (h), 11 γ* (h) y 22 γ* (h) de manera análoga al kriging, de 12 forma tal que los estimados sean insesgados (E[Z 1 (x k ) Z * (x )]=0 y E[Z (x 1 k 2 k ) Z* (x )]=0), y que la varianzas de 2 k la estimación sean mínimas (mínvar[z 1 (x k ) Z * (x )] y 1 k mínvar[z 2 (x k ) Z * (x )]). 2 k Se realizó la estimación de la precipitación en la malla de 1 x 1 km, correspondiente a la imagen de radar, considerándose los siguientes tres casos: a) Cokriging ordinario sin usar el ajuste del modelo de corregionalización lineal (CkO), incluyendo los datos de lluvia de pluviógrafos y todos los datos de la imagen de radar (ilustraciones 19, 20 y 25a). b) Cokriging ordinario usando el ajuste del modelo de corregionalización lineal (CkO-MCL), incluyendo los datos de lluvia de pluviógrafos y todos los datos de la imagen de radar (ilustraciones 21, 22 y 25b). ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

22 Ilustración 18. Mapas de los errores de la validación cruzada del modelo de corregionalización lineal para Ln(Pluv) y Ln(Radar). 84 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

23 Ilustración 19. Mapa de contornos de la precipitación en milímetros estimada a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging ordinario sin corregionalización lineal. Ilustración 21. Mapa de contornos de la precipitación en milímetros estimada a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging ordinario con corregionalización lineal. Ilustración 20. Mapa de contornos de las desviaciones estándar del error de la estimación de la precipitación, a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging ordinario sin corregionalización lineal. Los puntos representan las ubicaciones de los pluviógrafos. Ilustración 22. Mapa de contornos de las desviaciones estándar del error de la estimación de la precipitación, a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging ordinario con corregionalización lineal. Los puntos representan las ubicaciones de los pluviógrafos. c) Cokriging colocado (CkC), que incluye en la estimación todos los datos de lluvia de pluviógrafos y sólo el valor de radar que coincide con el punto de la malla de estimación (ilustraciones 23, 24 y 25c). En el cuadro 1 se ofrece un resumen estadístico de los resultados obtenidos para los valores estimados (pluv. est.) y la desviación estándar de los errores de la estimación (d.e. est.) para el kriging, y los casos a, b y c de cokriging, respectivamente. ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de

24 Ilustración 23. Mapa de contornos de la precipitación en milímetros, estimada a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging colocado. Ilustración 25. Comparación de la imagen de precipitación del radar (d) con las estimadas, usando cokriging ordinario sin corregionalización lineal (a), cokriging ordinario con corregionalización lineal (b) y cokriging colocado (c). En todos los casos, la precipitación está dada en milímetros. Ilustración 24. Mapa de contornos de las desviaciones estándar del error de la estimación de la precipitación, a partir de los datos de los pluviógrafos y de la imagen de radar, usando cokriging colocado. Los puntos representan las ubicaciones de los pluviógrafos. Comparación de las estimaciones obtenidas El cokriging ordinario (CkO), sin usar el ajuste del modelo de corregionalización lineal (ilustración 25a), no ofrece estimaciones superiores con respecto a los valores estimados usando kriging con sólo mediciones de pluviógrafos (ilustración 12), ya que sufre del mismo efecto suavizado del kriging. Es decir, no hay un aporte importante de información en la estimación de la precipitación por parte de los datos de radar, puesto que los resultados son muy similares en ambos casos. Como se puede verificar en el cuadro 1, son muy cercanas las medias de sus valores estimados (1.0816, ) y de sus desviaciones estándar (0.5871, ), respectivamente. 86 ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de 2009

25 Ilustración 25 (continuación). Comparación de la imagen de precipitación del radar (d) con las estimadas usando cokriging ordinario sin corregionalización lineal (a), cokriging ordinario con corregionalización lineal (b) y cokriging colocado (c). En todos los casos, la precipitación está dada en milímetros. Cuadro 1. Resumen estadístico de los resultados del kriging y los casos a, b y c de cokriging. Estadígrafos KrO Caso a: CkO Caso b: CkO-LCM Caso c: CkC Pluv. est. D.E. est. Pluv. est. D.E. est. Pluv. est. D.E. est. Pluv. est. D.E. est. Valor medio Varianza Desv estd Mínimo er cuartil Mediana er cuartil Máximo Sin embargo, el cokriging con el modelo de corregionalización lineal (CkO-MCL) y el cokriging colocado (CkC) producen mejores estimados, puesto que reflejan los detalles de la variabilidad espacial de la imagen de radar (ilustración 25d) y además sus valores estimados se comportan dentro del rango de las mediciones de los pluviógrafos (ilustraciones 25b y 25c). Si comparamos los valores de la desviación estándar del error de la estimación del método CkO-MCL (ilustración 22) con los del CkC (ilustración 24), vemos que dentro de la región con valores de pluviógrafos, el primero es ligeramente inferior; además, en el cuadro 1 se muestra que su valor medio es para el CkO- MCL, mientras que es para el CkC. Además se observa en la ilustración 25c que en el CkC, las zonas con los valores más altos están ubicadas prácticamente en las mismas posiciones de la imagen del radar (ilustración 25d), mientras que en el CkO- MCL (ilustración 25b) son más coherentes con las ubicaciones de los valores máximos de los pluviógrafos. Esto quiere decir que el método de cokriging colocado está más influenciado por el sesgo espacial que posea la imagen de radar debido a la presencia del viento o a la evaporación que se presenta en el trayecto de las gotas de lluvia desde la altura del haz del radar, que en el caso del radar de Catedral es muy considerable hasta la superficie del terreno. La imagen de radar refleja la existencia de dos núcleos convectivos con un comportamiento diferente; ingeniería hidráulica en méxico/julio-septiembre de