Universidad Nacional Autónoma de México Laboratorio de Cómputo Científico, F. C.

Transcripción

1 : Un Universidad Nacional Autónoma de México Laboratorio de Cómputo Científico, F. C. : Un presenta México D.F., a 23 de Septiembre de 2010.

2 Historia : Un La estimación de mineral recobrable es muy importante ya que la variabilidad local puede afectar la ganancia al explotar una mina. Los primeros pasos para resolver este problema fueron tomados en los años 50 en Sudáfrica con el trabajo del ingeniero minero Danie Krige y el estadista Herbert Sichel trabajando en las minas de oro de Witwatersrand. Georges Matheron adopto el trabajo pionero hecho en Sudáfrica y formalizó la mayor parte de los conceptos de la teoría que llamo geoestadística.

3 : Un

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5 Idea : Un

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9 Variable y Función Regionalizada : Un El valor observado en cada punto x α de los datos es considerado como una salida, z(x α ), de una variable aleatoria, Z (x α ), para x α D. Definimos a la variable regionalizada como, z(x) para todo x D. La familia de todas estas variables aleatorias {Z (x), x D} es llamada una función aleatoria.

10 Hipótesis Estacionarias : Un Queremos que los dos primeros momentos (la media y la covarianza) sean constantes, lo cual, es llamado estacionariedad débil o de segundo orden. En otras palabras, el valor esperado de Z (x) debe ser constante para todos los puntos x, esto es, E[Z (x)] = m(x) = m y la función de covarianza entre cualquiera dos puntos x y x + h depende solo del vector h y no del punto x, E[Z (x)z (x + h)] m 2 = C(h)

11 Hipótesis Intrínsecas : Un Se supone que los incrementos de la función son débilmente estacionarios, es decir, la media y la varianza de los incrementos Z (x + h) Z (x) existen y son independientes del punto x, esto es E[Z (x + h) Z (x)] = 0 Var[Z (x + h) Z (x)] = 2γ(h) La función γ(h) es llamada el semi-variograma (o el variograma), la cual es la herramienta básica para la interpretación estructural del fenómeno como también para la estimación.

12 Experimental : Un La disimilaridad promedio con respecto a una clase de vectores H k es un valor de lo que es denominado el variograma experimental γ (H k ) = 1 2n c n c α=1 (z(x α + h) z(x α )) 2 con h H k Tal clase H k agrupa vectores cuyas longitudes estén entre un intervalo especificado de longitudes y cuya orientación es la misma hasta una tolerancia dada sobre el ángulo.

13 Teórico Definición : Un El variograma para una función aleatoria intrínseca se define como: γ(h) = 0.5 Var[Z (x + h) Z (x)] Para variables estacionarias e intrínsecas, la media de Z (x + h) Z (x) es cero, y por lo tanto γ(h) es solamente la diferencia media de cuadrados, esto es: [ γ(h) = 0.5 E (Z (x + h) Z (x)) 2].

14 Teórico Propiedades : Un El valor del variograma en el origen es cero por definición γ(0) = 0. Los valores del variograma son positivos γ(h) 0, y el variograma es una función par γ( h) = γ(h) El variograma crece más lento que h 2, i.e. lim h γ(h) = 0, (1) h 2

15 Teórico Propiedades : Un γ(h) = C(0) C(h). ( n ) n n Var ω α Z (x α ) = ω α ω β γ(x α x β ) 0 si α=0 n ω α = 0. α=0 α=0 β=0

16 Teórico Características : Un El variograma presenta las siguientes características: Siempre empieza en 0 (para h = 0, Z (x + h) = Z (x)). Este puede ser discontinuo justo después del origen. Generalmente se incrementa con h. Se levanta hasta cierto nivel llamada umbral y entonces se aplana. Alternativamente este puede seguir creciendo.

17 Teórico Características : Un

18 Teórico Características: Rango y Zona de Influencia : Un La tasa de crecimiento del variograma con la distancia indica cuan rápido la influencia de la muestra decae con la distancia. Depués de que el variograma ha alcanzado su valor límite (su umbral) ya no hay más correlación entre las muestras. Esta distancia crítica, llamada el rango, da una definición más precisa de la noción de zona de influencia.

19 Teórico Características: Comportamiento cerca del origen : Un Es aún mas importante el estudio para valores pequeños de h dado que esto esta relacionado a la continuidad y la regularidad espacial de la variable. Se consideran cuatro tipos diferentes de comportamiento cerca del origen y estos son: 1 Cuadrático. Esto indica que la variable regionalizada es continua y diferenciable. 2 Lineal. La variable regionalizada es entonces continua pero no diferenciable. 3 Discontinua en el origen. Esto significa que la variable es altamente irregular en distancias cortas. 4 Plana. Las variables regionalizadas Z (x + h) y Z (x) son no correlacionadas para todos los valores de h no importando que tan cerca estén.

20 Teórico Características: Anisotropías : Un Cuando el variograma es calculado en direcciones diferentes, este algunas veces se comporta diferente en algunas de ellas (i.e. anisotrpía). Si esto no ocurre, el variograma depende solo de la magnitud de la distancia entre los dos puntos y se dice que es isótropo. Dos diferentes tipos de anisotropía pueden ser distinguidas: 1 Anisotropía Geométrica 2 Anisotropía Zonal

21 Teórico Modelos Admisibles : Un Los modelos admisibles de variogramas más comúnmente usados son los siguientes: Efecto Nugget. Modelo Esférico. Modelo Exponencial. Funciones Potencia. Modelo Gaussiano.

22 : Un es un método de estimación que da la mejor estimación lineal insesgada de los valores de los puntos, esto es, elegir el promedio ponderado de los valores de las muestras la cual tenga la mínima varianza. Hay diferentes variaciones del método kriging, entre ellas están: Simple (SK). Ordinario (OK). Universal (UK).

23 : Un La precisión de los métodos depende de varios factores. 1 El número de muestras y la calidad de los datos en cada punto. 2 La posición de las muestras en el deposito. 3 La distancia entre las muestras y el punto a ser estimado. 4 La continuidad espacial bajo consideración.

24 Ordinario (OK) : Un Deseamos estimar un valor z(x 0 ) en x 0, usando los valores de los datos z(x α ), de n puntos muestrales vecinos x α y combinándolos linealmente con pesos ω α, i.e. n Z (x 0 ) = ω α Z (x α ). α=1 Los pesos son elegidos de tal manera que el estimador sea: 1 Insesgado: E [Z (x 0 ) Z (x 0 )] = 0 2 Varianza mínima: Var [Z (x 0 ) Z (x 0 )] sea un mínimo.

25 Ordinario (OK) : Un La propiedad 1) (estimador insesgado), es garantizada con n la suma unitaria de los pesos, esto es, ω α = 1 α=1 α=1 [ n ] n E [Z (x 0 ) Z (x 0 )] = E ω α Z (x α ) Z (x 0 ) ω α = α=1 n ω α E [Z (x α ) Z (x 0 )] = 0 α=1 dado que las esperanzas de los incrementos es cero.

26 Ordinario (OK) : Un La varianza de la estimación σ 2 E = Var[Z (x 0 ) Z (x 0 )] es la varianza de la combinación lineal Z (x 0 ) Z (x 0 ) = n ω α Z (x α ) 1 Z (x 0 ) = α=1 con un peso ω 0 igual a -1 y n α=0 ω α = 0. La varianza de la estimación σe 2 = E[(Z (x 0 ) Z (x 0 )) 2 ] n = 2 ω α γ(x α x 0 ) α=1 n α=1 β=1 γ(x 0 x 0 ) n ω α Z (x α ) α=0 n ω α ω β γ(x α x β )

27 Ordinario (OK) : Un Minimizando la estimación de la varianza con ( la restricción sobre los pesos (Var[Z (x 0 ) Z (x 0 )] 2μ OK ω OK α 1 ) ), obtenemos el sistema de kriging ordinario (OK) n ω β OK γ(x α x β ) + μ OK = γ(x α x 0 ) para α = 1,..., n β=1 n β=1 ω OK β = 1. Se puede expresar el sistema anterior en forma matricial como, γ(x 1 x 1 ) γ(x 1 x n ) 1 ω OK γ(x 1 x 0 ) γ(x n x 1 ) γ(x n x n ) 1 ω n OK =. γ(x n x 0 ) μ OK

28 Ordinario (OK) : Un La varianza de la estimación del kriging ordinario es, σ 2 OK = μ OK γ(x 0 x 0 ) + n α=1 ω OK α γ(x α x 0 ). El estimador kriging ordinario es un interpolador exacto en el sentido que si x 0 es idéntico con una locación de los datos entonces el valor estimado es idéntico con el valor del dato en ese punto Z (x 0 ) = Z (x α ), si x 0 = x α.

29 : Un Hasta el momento se ha hecho lo siguiente: Construcción del variograma experimental para datos en 1D y 2D. Ajuste de los modelos admisibles a el variograma experimental. de kriging ordinario para utilizarlo como interpolador de datos dispersos en 1D y 2D.

30 : Un en Matlab

31 : Un Apéndice Bibliografía Armstrong M. Basic Linear Geostatistics. Springer, Isaaks E. H.; Srivastava R. M. An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford University Press, New York, Wackernagel H. Multivariate Geostatistics: An Introduction with Applications. Springer, Berlin, 2003.

32 : Un Apéndice Bibliografía Lophaven S. N.; Nielsen H. B.; Sondergaard J. Aspects of Matlab Toolbox DACE. Report IMM-REP , Informatics and Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, Lophaven S. N.; Nielsen H. B.; Sondergaard J. DACE - A Matlab Toolbox, Version 2.0. Report IMM-REP , Informatics and Mathematical Modelling, Technical University of Denmark, 2002.

33 : Un Apéndice Bibliografía Gracias por su atención