TEORÍA DE MECANISMOS 4.- DINÁMICA DE MECANISMOS

Transcripción

1 TEORÍA DE MECANISMOS 4.- DINÁMICA DE MECANISMOS Departamento de Ingeniería Mecánica 1

2 Principio de superposición de fuerzas sobre mecanismos En un eslabón de un mecanismo, en un instante t, hay equilibrio dinámico { F } 1 R 1P,MF1 en P Principio de superposición de fuerzas. F R P,MF enp sol. total = sol. parciales i siendo i el número de fuerzas actuantes Reducción del sistema de fuerzas en P k { } F R,M R = P M = P { } kp F en P k R k ip i= 1 k MFenP i i= 1 Departamento de Ingeniería Mecánica

3 Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdl Sistema mecánico (1 gdl) F + Sistema de fuerzas actuantes Mecanismo manivela de salida (1 gdl) + Fuerza reducida R Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo producido por la fuerza reducida en el punto de reducción P es el mismo que el producido por el sistema de fuerzas actuantes (externas) R Fuerza reducida en A Departamento de Ingeniería Mecánica 3

4 Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl (1) Si un sistema mecánico no está en equilibrio, en un instante t, SI QUEREMOS CALCULAR LA FUERZA E QUE HABRÍA QUE PONER EN EL PUNTO A DE UN ESLABÓN DADO PARA LOGRAR EL EQUILIBRIO, SE DEBE CUMPLIR (): 3 (1) Pi vp 0 () i i= 1 3 i= 1 P v + E v = 0 i P A i E E A LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. Fuerza reducida en A Departamento de Ingeniería Mecánica 4

5 Equivalente dinámico/energético mecanismo de 1gdl E, EQUILIBRA LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN. E, EQUIVALE A LAS FUERZAS F QUE ACTÚAN, EN EL SENTIDO DE PRODUCIR EL MISMO TRABAJO QUE ELLAS. EN LA FIGURA DE LA IZQUIERDA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR TRES FUERZAS SIN EQUILIBRAR EN LA FIGURA DE LA DERECHA SE MUESTRA EL MECANISMO AFECTADO POR LA FUERZA REDUCIDA, QUE SUSTITUYE A LAS FUERZAS. F R A = E X X X A LOS DOS SISTEMAS MECÁNICOS SE LES PUEDE APLICAR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. Fuerza reducida en A Departamento de Ingeniería Mecánica 5

6 Reducción en un punto A de una manivela (equilibrio) Fuerza reducida R Fuerza reducida sobre el punto A del mecanismo R = E Fuerza equilibrante E Fuerza con la que se opone el mecanismo Se considera que no hay rozamiento entre eslabones ya que si no habría una indeterminación en R y por tanto en E, debido a que fluctúa entre: R F roz,f min roz max Departamento de Ingeniería Mecánica 6

7 Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl La dinámica del mecanismo de 1 g.d.l.: P,i F,A i A La dinámica del mecanismo es reproducida por el modelo dinámico reducido en A. Estudio energético comparado del mecanismo y su reducción E = E i= j+ k = j+ k + k cinetica cinetica 1 Mecanismo i eslabones E = E + E cinetica cinetica cinetica Mecanismo i manivelas k bielas Departamento de Ingeniería Mecánica 7

8 Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1gdl E = E + E + E cinetica cinetica cinetica cinetica Mecanismo i manivelas k bielas bielas 1 k traslacion tras+ rot E = I ω + M V + M V + I ω E Ecinetica 1 Mecanismo = M A V A M reducida A = M A = V cinetica O i biela k biela G G k Mecanismo i k k k cinetica Mecanismo reducido A i 1 k k 1 V G ω ω i k Mreducida A = Mbielas + IO I i + G K k,k V 1 A i VA k V A Dado un mecanismo, la masa reducida es independiente de la velocidad adquirida M V f G reducida A = VA Departamento de Ingeniería Mecánica 8 A

9 Equivalente dinámico/energético de un mecanismo de 1 gdl Balance de pares reducidos en A: M = M M A m r A Fuerza resistente reducida en A Balance de fuerzas reducidas en A: F = F F A m r A A A Masa reducida en A Fuerza reducida en A Par reducido en A Fuerza motriz reducida en A Reducida de los esfuerzos motrices Reducida de los esfuerzos resistentes Cinemática y dinámica de Fuerza reducida en A A eq A Máquinas A. de Lamadrid, A. de Departamento de Ingeniería Mecánica Corral, UPM, Madrid F = F Fuerza equilibrante en A

10 Análisis del mecanismo en el punto A de la manivela de salida F m A F r A F A Fuerza reducida en A FUERZA MOTRIZ FUERZA RESISTENTE FUERZA REDUCIDA m -> motriz r -> resistente Punto de reducción Cinemática y dinámica de Máquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 199 Departamento de Ingeniería Mecánica 10

11 Reducción de fuerzas sobre mecanismos Técnicas de obtención de las Fuerzas reducidas Fuerzas equilibrantes en un mecanismo Método de las velocidades virtuales Método de reducción de fuerzas Departamento de Ingeniería Mecánica 11

12 Principio de los trabajos virtuales sólidos rígidos articulados sin rozamiento en equilibrio dinámico Un movimiento virtual del mecanismo compatible con los enlaces, el trabajo virtual producido por las fuerzas activas es nulo. P, δp i i P δ P = 0 i i P, i δp Pi vp i = 0 Departamento de Ingeniería Mecánica 1 i Fuerzas actuantes sobre los eslabones del mecanismo Desplazamiento virtual en el punto de aplicación de cada fuerza

13 PTV (aplicación a los n eslabones de un mecanismo, a las m fuerzas en cada eslabón) ω= dα dt vp = ω CIRP i i τ δ P = dα CIRP τ i δ P = v dt i P i i Luego, i i P δ P = 0 P v = 0 i P i Departamento de Ingeniería Mecánica 13

14 Método de las velocidades virtuales Aplicando el principio de los trabajos virtuales. Mecanismo en equilibrio F ext + R (reacciones apoyos) Consideramos un desplazamiento virtual PTV Cada miembro ' F ext (elemento) + R' (apoyos) En equilibrio El trabajo virtual realizado por las fuerzas que actúan sobre el mecanismo en un instante dado t será nulo (las fuerzas exteriores son todas las que no son reacciones entre eslabones) NOTA: el trabajo virtual de las reactivas es nulo. En las articulaciones se anulan a. En Departamento de Ingeniería Mecánica los apoyos fijos el trabajo realizado es nulo 14

15 Aplicación del PTV al cálculo de la fuerza reducida en A, ante las fuerzas motrices P i Datos: P, 1 v1 P, v P, v 3 3 Reducción en A 3 i= 1 3 i= 1 P v 0 i P i (1) Puesto que el sistema mecánico no está en equilibrio P v + R v = 0 i Pi j R j j P,P,P () Si reduzco el sistema de fuerzas en A: 1 3 F R A (3) El sistema de fuerzas: { P,P,P, 1 3 F R A } Si está en equilibrio P1 v 1 cos α P + P 1 v cos α P + P 3 v3 cos α P + ( F 3 R v A A) = 0 P Proyección sobre v Pi de Departamento de Ingeniería Mecánica i 15

16 Caso particular 1 fuerza activa: P 1 P v + P v = P = E Fuerza _equilibrante ( ) P v cosα + P v cosα = P P 1 P cosα v = P cosα v 1 P1 P 1 ( ) proy P, v 1 P1 ( ) proy P,v v = v P 1 Departamento de Ingeniería Mecánica 16

17 Análisis gráfico. Fuerza reducida Análisis de la energía cinética en mecanismos. Transmisión de fuerzas en mecanismos. Caso de 1gdl Sistema mecánico (1 gdl) F + Sistema de fuerzas actuantes Mecanismo manivela de salida (1 gdl) + Fuerza reducida R Sistemas equivalentes energéticamente: el trabajo instantáneo producido por la fuerza reducida en el punto de reducción P es el mismo que el producido por el sistema de fuerzas actuantes (externas) R Fuerza reducida en A Departamento de Ingeniería Mecánica 17

18 Reducción de fuerzas sobre mecanismos Técnicas de obtención de las Fuerzas reducidas Fuerzas equilibrantes en un mecanismo Método de las velocidades virtuales Método de reducción de fuerzas Departamento de Ingeniería Mecánica 18

19 Método de reducción en P (gráficamente) NOTA: descomposición vectorial. Llevando una fuerza a P y las restantes componentes aplicarlas en: Apoyos fijos ó Las direcciones que puedan ser absorbidas las fuerzas que pasan por los puntos fijos no crean trabajo externo Departamento de Ingeniería Mecánica 19

20 Reducción de una fuerza aplicada sobre A en el punto de reducción P F 1 Absorbida por el apoyo fijo O 1 Departamento de Ingeniería Mecánica 0

21 Técnicas gráficas de reducción de fuerzas exteriores a un punto cualquiera En una pieza donde actúan fuerzas exteriores aplicar la teoría de los vectores deslizantes Para pasar los vectores fuerza de una pieza a otra hay que utilizar los puntos comunes de las articulaciones. F Departamento de Ingeniería Mecánica 1

22 Hallar la fuerza reducida en A debido a F 1 Departamento de Ingeniería Mecánica

23 Hallar la fuerza reducida en A debido a F 1 Departamento de Ingeniería Mecánica 3

24 Ejemplo de reducción de la fuerza P en D al punto A Secuencia: 1) PD = Q D + R D, Q pasa por el punto fijo O 6 ) R D = R C, transfiero R del eslabón 5 al e 3) R C = R N, N al eslabón 3. Punto de encuentro de R C con la dirección del eslabón 4 4) R = S + T, S N pasa por el N N N Luego: punto fijo O 4 5) TN = T A, A al eslabón 3. 6) TA = FA + V A, V pasa por el punto fijo O Trabajo mecánico = 0 P = Q + S + V + F D O O O A 6 4 El trabajo mecánico de P D = El trabajo mecánico de F A Departamento de Ingeniería Mecánica 4

25 Ejemplo de reducción de la fuerza P en E al punto A Secuencia: 1) PE = P M, M punto de intersección de P con la dirección del eslabón 6 ) PM = R M + Q M, QM = QO 6 Pasa por el punto fijo O 6 3) R C = R M, R N = R C, R N = SN + T N, SN = SO 4 O 4 punto fijo 4) TA = T N, TA = VA + F A, VA = VO punto fijo O Luego: P = Q + S + V + F E O O O A 6 4 Trabajo mecánico = 0 El trabajo El trabajo mecánico de P = mecánico de E F A Departamento de Ingeniería Mecánica 5

26 CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE UN MECANISMO: Sistema de masas puntuales m i equivalentes dinámicamente al eslabón (sólido rígido) Dinámica eslabón: M T, IG Sólido rígido G m 1 m m i (1) MT M = T mi () IG IG = mi rig (3) G G' = G mi rig = 0 Condiciones de equivalencia i= 1, m (1) M = m m 0 Caso (0): 1 T G Sistema de i masas puntuales localizadas sobre el eslabón sin masa Departamento de Ingeniería Mecánica 6 G () IG = m1 r1g r1g 0 (3) m r = 0 ( ) No se cumple Luego, no podemos reducir un sólido rígido a una única masa.

27 Sistema de masas puntuales m i equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido Caso (1): en el plano M T I G G m 1 m G i=, m,m (1) M = m + m 1 T 1 () IG = m1 r1g + m rg (3) m r + m r = 0 1 1G G m 1 G m Los dos puntos deben alinearse con el centro de masas (3) m1 r1g + m rg = 0 Tres ecuaciones con 4 incógnitas: m 1, m, r 1G, r G, luego deberemos seleccionar un dato, para obtener los demás. Departamento de Ingeniería Mecánica 7

28 Sistema de masas puntuales m i equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido Caso (): en el plano r 1 G r 3 m 3 i= 3, m,m,m (1) M = m + m + m 1 3 T 1 3 () I = m r + m r + m r (3) m r + m r + m r = 0 G 1 1G G 3 3G 1 1G G 3 3G m 1 r m 3 ecuaciones con 9 incógnitas m 1 = I r G 1 m, m, m 1x 1 3 r, r r, r x r, r 3x 1y y 3y Departamento de Ingeniería Mecánica 8

29 Sistema de masas puntuales m i equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido Caso (3): en el plano 3 masas alineadas en el punto G 3 ecuaciones con 6 incógnitas Caso (4): en el plano 3 masas alineadas con el punto G. Y en el punto G disponemos de una de ellas m = m 3 ecuaciones con 5 incógnitas m, m, m 1 3 r, r 1G, r 1G G 3G 3 G m, m, m 1 G r, r G G m 3 m G I G G ( 1G + G ) si MT = mg = 0 r1g rg IG mg = MT r 1G r G Departamento de Ingeniería Mecánica 9 m 1 Si suponemos elegidos r 1G, rg (datos), podemos obtener: m, m, m IG m1 = r r + r ( ) 1G 1G G I m = r r r 1 G

30 REPRESENTACIÓN GRÁFICA b) alineadas 1) M T = m1+ m + m3 ) r (G); m r + m r + m r = 0 i ) m r + m r + m r = I G m r 1 1 m r 3 3 m r Departamento de Ingeniería Mecánica 30

31 Sistema de masas puntuales m i equivalente dinámicamente al eslabón: sólido rígido Caso (5): en el plano 3 masas alineadas con el punto G, y en G disponemos la tercera Si imponemos la condición: M m = r I + = = M m = r + r,r G si MT mg 0 r1g rg El sistema se ha simplificado y queda reducido a masas posicionadas en m,m 1 dato Que son conjugados respecto al punto G 1G T 1 G r1g rg T 1G r1g rg G m 1 m = m 3 G G m G =0 G T G MT 1G G 1G G m Radio de giro I M r = = M r r r r NOTA: recordando el concepto de punto de percusión en un eslabón al articularse sobre un punto fijo, será el centro de percusión, del eslabón considerado, suponiendo al eslabón girado alrededor de 1. G = 1G G r r r T Departamento de Ingeniería Mecánica 31

32 Cálculo gráfico del punto E conjugado del A sobre el G M T I G i G radio de giro del eslabón m E M T = AE GA mg = 0 m A M T = AE GE NOTA 1: hay parejas E, A puntos conjugados sobre G NOTA : Normalmente A es una articulación Departamento de Ingeniería Mecánica 3

33 Sistema dinámico equivalente. Casos prácticos: Sistema dinámico equivalente para: Manivela, balancín: Centro de percusión m E mo mg = 0 No tiene efecto dinámico Biela: m A m E mg = 0 Departamento de Ingeniería Mecánica 33

34 Sistema dinámico equivalente. Caso del cuadrilátero articulado (a) Localización de los puntos dinámicamente interesantes. G, E Centros de masa ** Centros de percusión (b) Localización de los sistemas de masas equivalentes en cada eslabón {ARTICULACIÓN i,e i } ** * * *** *** m y m Al estar O 4O4 posicionadas en puntos fijos, no tiene efectos dinámicos Par = 0 inercia(m ) 4O4 I = 0 m O 4O4 4 I = 0 mo 4 ao = 0 F = 0 a = 0 m O O inercia(m ) 4O4 O4 Departamento de Ingeniería Mecánica 34 m 4O