La Conjetura de Correlación Gaussiana: Demostración en el Plano

Transcripción

1 La Conjetura de Correlación Gaussiana: Demostración en el Plano Saúl oscano Palmerín * Departamento de Matemáticas Universidad de Guanajuato toscano.saul@gmail.com Verano del 2011 Resumen Se analiza y se desglosa la demostración que da Loren D. Pitt para la conjetura de correlación gaussiana en el plano. En el apéndice se presentan definiciones y material para comprender el artículo. La conjetura enuncia que si A y B son dos conjuntos convexos y simétricos en R n, X un vector aleatorio con distribución normal multivariante con vector de esperanza cero y matriz de covarianza la identidad, entonces P[X A B] P[X A]P[X B]. Otra formulación y su prueba se enuncian en el eorema 3. El siguiente resultado de análisis es fundamental para probar la conjetura en el plano. eorema 1. Sean f(x) y g(x) funciones en R 2 pares, suaves y casicóncavas. Supongamos también que los gradientes f(x) y g(x) nunca se anulan si x=0. Entonces para cualquier función no negativa φ(x) =φ( x ) que sea una función decreciente de x, siempre que la integral converja. R 2 f(x) g(x)φ(x)d 2 x 0 * rabajo realizado durante el IV Verano de Probabilidad y Estadística del CIMA bajo la dirección del Dr. Víctor Manuel Pérez Abreu Carrión. 1

2 Demostración. Consideremos el conjunto F (λ) {x : f(x) λ} donde λ R {f(0)}. Elcualessimétricopuesf es par. Consideremos el conjunto B = {x : f(x) <λ} que es abierto pues f es continua y por ende F (λ) es cerrado. ambién F (λ) es convexo, pues si t (0, 1) f((1 t)x + ty) min(f(x),f(y)) λ por ser f casi-cóncava. s Demostremos que F(λ) ={x : f(x) =λ} o F(λ) =. Supongamosque F(λ)=, deaquíque F(λ) =F (λ) (F (λ)) c = F (λ) (F (λ) c ) = Observemos que F(λ) {x : f(x) λ}, pues si x es tal que f(x) >λ, como f es continua existe >0 tal que si z B (x) entonces f(z) >λ,por ende x/ (F (λ) c ).Usandoloanteriorobtenemosque F(λ) {x : f(x) =λ}. Finalmente F(λ) ={x : f(x) =λ}, puessiexistierax tal que f(x) =λ yque x/ F(λ), entoncesexisteb (x) F (λ) yporende f(x) =0.Porhipótesis x = 0,asíquetenemosunacontradicción.Enelcasoque F(λ) ={x : f(x) =λ}, como f(x)=0 si x=0, entonces F(λ) es una curva suave, simétrica y convexa en R 2. Resultados similares se obtienen para G(µ) ={x : g(x) µ} y G(µ) ={x : g(x) =µ}. Para cada x=0 sea θ(x), 0 θ(x) < π 1, el ángulo entre los vectores f(x) y g(x). Esdecir,cos θ(x) = f(x) g(x) f(x) g(x), f(x) es la normal interior a la curva F(f(x)) y g(x) es la normal interior a la curva G(g(x)). Sea = {x R 2 : π 2 <θ(x)<π} yparacadax definamos y = α(x) el primer punto de G(g(x)) que se alcanza desde x recorriendo la curva F(f(x)) en sentido contrario a las manecillas del reloj. Demostremos que α está bien definida, es decir hay que probar que existe un primer punto en que la función satisface lo anterior. Como f y g son pares existe un punto. Ahora hay que probar que F(f(x))y G(g(x)) no coinciden en un intervalo de puntos en dirección contraria a las manecillas del reloj. Para esto sean γ 1 y γ 2 las curvas respectivas con γ 1 (0) = γ 2 (0) = x, sisucedieraloanteriorentoncestendríamos que γ1(0) = γ2(0) yportantoθ(x) {0,π}, locualesunacontradicción. De la Figura 1 A = 180 θ(x) r s<90 r s 90, p = a 2 + b 2 2ab cos A, q = a 2 + b 2 +2ab cos A. 1 Si θ(x) =π, entonces f(x) = β g(x) con β>0, pero la dirección de f(x) es hacia el interior de la curva F(f(x)) y la dirección de g(x) sería hacia el exterior de la curva G(g(x)), lo cual es imposible. 2

3 Figura 1: n 1 = f(x) f(x), n 2 = g(x) g(x) ; t 1 =tangente a la curva F(f(x)), t 2 =tangente a la curva G(g(x)). Además cos A 0 cos A cos A a 2 + b 2 2ab cos A a 2 + b 2 +2ab cos A p q y x. (1) Luego, 180 θ(y) + 2(180 B)+B k l = θ(y) k l B =0 θ(y) = 180 k l A<90 k l θ(y) es agudo. Como π 2 <θ(x) <π 0 < cot θ(x). Porloanterior, θ(y) = A k l = 180 θ(x) m (m 0) 0 θ(x)+θ(y) = 180 m 180 sin(θ(x)+θ(y)) 0 cos θ(y)sinθ(x) + cos θ(x)sinθ(y) 0 cos θ(x)sinθ(y) cos θ(y)sinθ(x) cos θ(x) cos θ(y) si θ(y) > 0 sin θ(x) sin θ(y) cot θ(x) cot θ(y) si θ(y) > 0. (2) 3

4 Definamos 0 = {x : θ(α(x))=0} y la función Φ : R 2 R 2 por Φ(x) =(f(x),g(x)). EldeterminanteJacobianoes J Φ (x) = f x1 (x)g x2 (x) f x2 (x)g x1 (x) = f(x) g(x) sin θ(x) (3) Si x, Φ(α(x)) = Φ(x) yentoncesφ( 0 )=Φ(α( 0 )). Si α(x) α( 0 ) θ(α(x)) = 0 f(α(x)) g(α(x)) f(α(x)) g(α(x)) =1 DΦ(α(x)) =0 rankdφ(α(x)) < 2 α( 0 ) {x R 2 : rankdφ(x) < 2}. Por el eorema de Sard y Brown (ver [4]) m(φ({x : rankdφ(x) < 2})) = 0 m(φ( 0 )) = m(φ(α( 0 ))) = 0. Sean B 1 = {(x,.y) R 2 : x>0} y B 2 = {(x, y) R 2 : x<0}. Observemos que Φ es inyectiva en B 1,puessi Φ(x) = Φ(y) f(x) =f(y) y g(x) =g(y) y = α(x) pero θ(y)es agudo lo cual es una contradicción, y = α(x) pero θ(y) es agudo lo cual es una contradicción, y = x pero x/ C. Por ende Φ es inyectiva. Análogamente Φ es inyectiva en B 2.ambiénΦ C 1 y J Φ (x) =0 si x 0.Enlistemosotroshechosnecesariosyfácilesdever: J Φ (x) es medible, θ es continua pues θ(x) = arc cos(n 1 (x)n 2 (x)), 0 es medible pues θ es continua y α también, 0 es abierto (pues f y g son continuas) 0 es medible, B 1 y B 2 son abiertos, y por ende, Φ(B 1 ) y Φ(B 2 ) son abiertos. Sean H i :Φ(B i ) R 2 definidas por H i (x) =Φ 1 (x) con i =1, 2. Como J Φ (x) =0 si x,entoncesh i C 1 yporendesonmedibles.además,h i es diferenciable en el conjunto medible Φ(B i c 0 ) 2 con i =1, 2. Usandoelhechodeque 2 Son medibles pues m(φ( 0 )) = 0. 4

5 m(φ(b i 0 ))=0 con i =1, 2,concluímosquem(H i (Φ(B i c 0 )) = 0 (ver [3, Cap. 15. J, p. 500]) y por ende m(b i c 0 )=0 3 con i =1, 2. Luego c 0 = (B 1 c 0 ) B 2 c 0 ) ( c 0 {(0,y) R 2 }, ( c 0 {(0,y) R 2 }) {(0,y) R 2 } de donde m(( c 0 {(0,y) R 2 })) = 0 m( c 0 )=0. Ahora demostremos que α C 1 ( 0 ),Pittindicaqueprimerohayquedemostrar la continuidad y luego aplicando la regla de la cadena a Φ(α(x)) = Φ(x) se obtiene que α es diferenciable, sin embargo yo voy a dar una demostración de esto mismo usando el teorema de la función inversa. Sea x 0 entonces θ(α(x))=0, portanto J Φ (x) =0, dedondedφ(α(x)) es invertible. Usando lo anterior y que Φ C 1 (R 2 ),porelteoremadelafunción inversa, existe R : U V tal que R C 1 (U), Φ(x) =Φ(α(x)) U, α(x) V y (R Φ)(α(x)) = α(x). Asíque α(x) =(R Φ)(α(x)) = (R Φ)(x) α C 1 ( 0 ). Usando el hecho de que Φ(α(x)) = Φ(x), obtenemos J α (x) = J Φ (x) J Φ (α(x)) 1. (4) Fácilmente vemos que 0 α(0 )=, puessix 0 α(0 ) θ(x) π 2 lo cual es una contradicción. Notemos que si x/ 0 θ(x) π 2 cos θ(x) 0 f(x) g(x) 0. ambién α es 1 1 en 0,dadoquesi α(x) = α(y) f(α(x)) = f(α(y)) = f(x) =f(y) y g(α(x)) = g(x) =g(α(y)) = g(y) Φ(x) =Φ(y) x = y. Hacemos notar los siguientes hechos: φ es medible, pues si a R {x : φ( x ) a} = {x : x φ 1 (a)} M(m), donde φ 1 (a) =inf{ x : φ( x ) a}. α( 0 ) es medible, pues 0 es abierto, α C 1 ( 0 ) y J α (x) =0 six 0. 3 B i c 0 H i (Φ(B i c 0 ))con i =1, 2. 5

6 Ahora, usando (4), (3), (2) y (1) f(x) g(x)φ(x)d 2 x = f(α(x)) g(α(x))φ(α(x)) J α (x) d 2 x α( 0) = 0 f(α(x)) g(α(x))φ(α(x)) J Φ (x) J Φ (α(x)) 1 d 2 x = 0 cot(θ(x))φ(α(x)) J Φ (x) d 2 x 0 cot(θ(x))φ(x) J Φ (x) d 2 x 0 = 0 f(x) g(x)φ(x)d 2 x. (5) Usando que c = α( 0 ) ( c 0 ) (θ(α( 0 )) π 2 ), 0 ( 0 ) c = y(5) f(x) g(x)φ(x)d 2 x = f(x) g(x)φ(x)d 2 x + f(x) g(x)φ(x)d 2 x R f(x) g(x)φ(x)d 2 x = + c f(x) g(x)φ(x)d 2 x + 0 f(x) g(x)φ(x)d 2 x α( 0) f(x) g(x)φ(x)d 2 x c α( 0) Lo cual termina la demostración 4. f(x) g(x)φ(x)d 2 x f(x) g(x)φ(x)d 2 x α( 0) Ahora demostraremos otro teorema, sobre la distribución gaussiana multivariante, que hace uso del teorema anterior. El eorema 2 nos permitirá demostrar la conjetura de correlación gaussiana en el plano. 4 Si = el teorema es trivialmente cierto. 6

7 Antes de enunciar el próximo teorema, consideremos el vector aleatorio (X 1,,X n,y 1,,Y n ) distribuido con la densidad normal con media cero Σ11 Σ ymatrizdecovarianzaσ donde Σ= 12 Σ ;dondeσ 12 Σ 11 =(EX i X j ), 22 Σ 22 =(EY i Y j ) y Σ 12 =(EX i Y j ).SeanX =(X 1,,X n ) y Y =(Y 1,,Y n ). Para conjuntos convexos y simétricos A, B R n definamos la probabilidad Σ11 λσ p(σ) = P{X A; Y B}. Paraλ, 0 λ 1, lamatrizσ λ = 12 λσ 12 Σ 22 es una matriz definida positiva. Dado que Si λ =0, (x, y) Si 0 <λ<1, Σ11 0 (x, y) = xσ 0 Σ 11 x + yσ 22 y > 0 si (x, y)=0. 22 (x, y)σ λ (x, y) = xσ 11 x + λyσ t 12x + λxσ 12 y + yσ 22 y > xσ 11 x λxσ 11 x λyσ 22 y + yσ 22 y > 0 si (x, y)=0. Por ende, podemos considerar la probabilidad p(σ λ ) como función de λ, con 0 λ 1. eorema 2. Con la notación de arriba, si rank(σ 12 ) 2 entonces p(σ λ ) es una función creciente de λ, con0 λ 1. Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que rankσ 11 = rankσ 22 = n. Introduciendo variables canónicas (ver [1, Cap. 12]) también podemos asumir que Σ 11 =Σ 22 =IyqueΣ 12 es diagonal con entradas no negativas. Por tanto, sea Σ 12 = diag(λ 1,,λ n ) con 1 λ 1 λ 2 0. Como rankσ 12 2 entonces λ 3 = λ 4 = = λ n =0.Observemosprimero que 1 A (x) y 1 B (y) son funciones pares y log-cóncavas. Son pares dado que A y B son simétricos. La log-cóncavidad es trivial revisarla. ambién tenemos que 1 A L(R n ),respectoalamedidagaussiana. Definamos φ(x) = donde c = 0 si x 1 1 c exp 1 1 x si x < 1 2 B(0,1) exp 1 1 x 2 dx. Sea φ a (x) =a n φ( x a ) con a (0, ). Enlistemoslossiguienteshechos(ver [3, Cap. 7.C, p. 176]) φ a C, 7

8 φ a 0, φ a > 0 x <a, R n φ a (x)dx =1, φ a es log-cóncava. Luego, f a =1 A φ a es log-cóncava (ver [2]), también f a (x) 1 y f a 1 A en L(R n ) cuando a 0; ver [3, Chapter 12.C, p. 287]. Resultados análogos, se obtienen para las funciones g a =1 B φ a.usandoque f a (x)g a (y) 1 con (x, y) R 2n y el eorema de Convergencia Dominada con respecto a la medida gaussiana en R 2n E(1A(X)1B(Y )) = lim a 0 E(f a(x)g a (y)) Por ende, es suficiente probar que la esperanza E(λ) =Ef a (X)g a (Y ) es una función creciente de λ para un a fijo. Demostremos que R =(X 3,,X n ) y S =(X 1,X 2,Y 1,Y 2 ) son independientes. Como Σ 12 = diag(λ 1,λ 2, 0,, 0) entonces E(X j Y i )=0con j 3, 1 i 2. UsandoqueΣ 11 = I entonces E(X j X i )=0con j 3, 1 i 2, de lo anterior que sean independientes. Además, E(f a (X) X 1,X 2,Y 1,Y 2 )= f a (x)f X3, X n (x 3,,x n )dx 3 dx n = f(x 1,X 2 ). R n-2 donde f(x 1,x 2 )=(2π) (n 2)/2 f a (x)exp( 1 2 n 3 x2 j )dx 3 dx n. Asimismo, E(g a (Y ) X 1,X 2,Y 1,Y 2 )= g a (y)f Y3, Y n (y 3,,y n )dy 3 dy n = g(y 1,Y 2 ) R n-2 donde g(y 1,y 2 )=(2π) (n 2)/2 g a (y)exp( 1 2 n 3 y2 j )dy 3 dy n. Sean Así que, ψ(x 1, X 2,Y 1,Y 2 ) = E(f a (X) X 1,X 2,Y 2,Y 1 ), Υ(X 1,X 2,Y 1,Y 2 ) = E(g a (Y ) X 1,X 2,Y 1,Y 2 ). E(ψ(X 1, X 2,Y 1,Y 2 )Υ(X 1,X 2,Y 1,Y 2 )) = E(f a (X)Υ(X 1,X 2,Y 1,Y 2 )) = E(f a (X)g a (Y )) = E(f(X 1,X 2 )g(y 1,Y 2 )) en donde f(x 1,x 2 ) y g(y 1,y 2 ) son log-cóncavas, dado que (ver Propiedad B7 en Apéndice) f a (x)exp( 1 2 n 3 x 2 j) y g a (y)exp( 1 n 2 3 y2 j ) son log-cóncavas. 8

9 Haciendo cálculos se ve fácilmente que la densidad condicional de (Y 1,Y 2 ) dado que (X 1,X 2 )=(x 1,x 2 ) es 2 p(λ, x 1,x 2 ; y 1,y 2 )= 2π(1 (λλj ) exp 1 (λλ j x j y j ) (λλ j ) 2. j=1 Sean n(x 1,x 2 ) = (2π) 1 exp g(λ, x 1,x 2 ) = = x2 1 + x 2 2 2, p(λ, x 1,x 2 ; y 1,y 2 )g(y 1,y 2 )dy 1 dy 2. Usando el hecho de que f(x 1,x 2 ), g(y 1,y 2 ), f X1,X 2,Y 1,Y 2 (x 1,x 2,y 1,y 2 ) 0 y las funciones son medibles, por el eorema de Fubini E(λ) = f(x 1,x 2 )g(y 1,y 2 )f X1,X 2,Y 1,Y 2 (x 1,x 2,y 1,y 2 )dx 1 dx 2 dy 1 dy 2 = f(x 1,x 2 )g(y 1,y 2 )p(λ, x 1,x 2 ; y 1,y 2 )n(x 1,x 2 )dx 1 dx 2 dy 1 dy 2 = f(x 1,x 2 )g(λ, x 1,x 2 )n(x 1,x 2 )dx 1 dx 2. Sea λ = e t, <t 0. Haciendocálculosseverificaque 2 t g(et,x 1,x 2 )= 2 x j g(e t,x 1,x 2 ) x j x 2 j=1 j yrealizandounaintegraciónporpartes t E(et )= f(x 1,x 2 ) g(e t,x 1,x 2 )n(x 1,x 2 )dx 1 dx 2. Como p(λ, x 1,x 2 ; y 1,y 2 ) es log-cóncava, entonces g(e t,x 1,x 2 ) es log-cóncava. Como n es radialmente decreciente, por el eorema 1 t E(et ) 0 (las funciones log-cóncavas y pares son casi-cóncavas) y se sigue el resultado. Con los teoremas anteriores estamos listos para demostrar la conjetura de correlación gaussiana en el plano. 9

10 eorema 3. Sea γ(x) = 1 x 2 2π exp( 2 ) con x R2.SiA y B son conjuntos simétricos y convexos entonces A B γ(x)d 2 x ( γ(x)d 2 x)( γ(x)d 2 x) A B Demostración. Es claroque P(X A) y P(Y B) nodependendeλ. Σ11 0 Además, Σ λ cuando λ 0; deaquíquecuandoλ 0 X y 0 Σ 22 Y son independientes, por ende limp(σ λ )=P(X A)P(X B). Usando el λ 0 eorema 2 con n =2y Σ 11 =Σ 12 =Σ 22 = I obtenemos el resultado, a saber P(X A; Y B) P(X A)P(Y B) yseconcluyeelteorema. 10

11 Apéndice: Funciones casi-cóncavas y log-cóncavas. Se enlistan las principales propiedades de estas funciones; ver [2] y [6]. A) Funciones casi-cóncavas. 1. Una función h(x) definida en R n se dice casi-cóncava si para cualesquiera x 1,x 2 R n y 0 <λ<1, h(λx 1 +(1 λ)x 2 ) min{h(x 1 ),h(x 2 )}. 2. Si f es cóncava entonces f es casi-cóncava. 3. Supongamos que existe la segunda derivada de f yqueescontinúa.sea f(x) = {v : f(x).v =0}. EntoncesD 2 f(x) es semi-definida negativa en f(x) si y sólo si f es casi-cóncava. 4. Si f : R R es monótona entonces es casi-cóncava. 5. Si f C 2 (R 2 ), f es casi-cóncava si 2f x f y f xy f 2 xf yy f 2 y f xx 0.. B) Funciones log-cóncavas. 1. Una función f(x) no-negativa definida en R n se dice log-cóncava si a) el conjunto E f 0 = {x:f(x)>0} es abierto; b) f(x) es continua en Ef 0 ; c) para cualesquiera x 1,x 2 R n f((x 1 + x 2 )/2) f(x 1 )f(x 2 ). 2. Si f y g son log-cóncavas entonces fg también lo es. 3. Sea E R n. E es convexo y abierto si y sólo si χ E es log-cóncava. 4. Si fes log-cóncava para cualesquiera x 1,x 2 R n y 0 <λ<1, f(λx 1 +(1 λ)x 2 ) [f(x 1 )] λ [f(x 2 )] 1 λ. 5. Si f y g son log-cóncavas entonces (f g)(x) = R n f(y)g(x y)dy es log-cóncava. 6. Si f es log-cóncava entonces es casi-cóncava. 7. Si H(x 1,,x k,y 1,,y l ) es log-cóncava entonces h(x 1, x k )= H(x 1,,x k,y 1,,y l )dy 1 dy l es log-cóncava. 11

12 Referencias [1] ANDERSON,.W. (1958). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. Wiley, New York. [2] DAVIDOVIC, Ju. S., KORENBLIUM, B..J. and HACE, B.I. (1969). A property of logarithmically concave functions. Soviet Math. Dokl [3] JONES, Frank. (1993). Lebesgue Integration on Euclidean Space. Jones and Bartlett Publishers. [4] MILNOR, J. (1965). opology for the Differentiable Viewpoint. Univ. Press of Virginia, Charlottesville. [5] PI, L. (1977). A Gaussian Correlation Inequality for Symmetric Convex Sets. University of Virginia. he Annals of Probability, 5, [6] PRÉKOPA, A. (1973). On logarithmic concave measures and functions. Acta Sci. Math