Folleto de apoyo para el curso de Métodos Cuantitativos. DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO (x 2 )

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1 Folleto de apoyo para el curso de Métodos Cuantitativos DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO (x ) I. Objetivo Analizar, comparar e interpretar datos por medio de la distribución chi cuadrado (x ), solucionando con creatividad los problemas. II. Apoyo teórico En nuestro que hacer gerencial, muchas veces no conocemos los supuestos básicos para realizar una prueba estadística, es decir, no podemos asumir si esta distribuida normalmente, que su varianza se ajusta a ciertos parámetros o que la población se comporta de tal o cual forma. En estos casos, cuando no conocemos la distribución, utilizamos pruebas no paramétricas. En la prueba chi cuadrada (x ) existe una distribución para cada grado de libertad 1 y conforme aumenta el número de grados de libertad se vuelve menos sesgada. Las aplicaciones más comunes de x son: 1. Pruebas de bondad de ajuste. Pruebas de independencia Específicamente, utilizaremos la prueba de bondad de ajuste cuando deseamos comprobar que los datos muestrales observados se ajustan a un tipo de distribución poblacional conocida y 1 Grados de libertad (g.l.), definidos como el número de observaciones que se pueden escoger libremente (menos restricciones impuestas sobre tales observaciones). 1

2 planteada en forma de hipótesis. Si se comprueba que se ajusta razonablemente al tipo de distribución planteado, se concluye que nuestra hipótesis es correcta. Básicamente x analiza las diferencias entre los resultados esperados en la distribución planteada como hipótesis (relativa a la población) y los datos reales que nos proporciona la muestra, se expresa como sigue: En donde: K ( oi i ) i1 E E i O i = Frecuencia de los eventos observados en la muestra E i = Frecuencia de los eventos esperados, si la hipótesis nula es correcta K = Número de categorías o clases En la prueba x los grados de libertad (g.l.) se tiene K-m-1, donde m es el número de parámetros a estimar. También es común poder utilizar pruebas de independencia o tablas de contingencia cuando queremos comparar dos atributos para determinar si existe una relación entre ellos, recordando que estos son los que expresan cualidades o características de la población (datos cualitativos). III. Casos El gerente de mercadeo de una importante importadora de vehículos de lujo (VIP) en la capital guatemalteca debe estimar el inventario de vehículos para el nuevo trimestre, anteriormente lo ha realizado con base a su criterio subjetivo y experiencia empirismo-. En realidad lo que ha hecho es asumir que los cuatro modelos tienen la misma probabilidad de ser demandados, pero este trimestre, ha decidido contratarlo a usted para estimar el stock. Como primer paso, usted plantea sus hipótesis de trabajo, como buen analista no desprecia la experiencia del gerente y decide probar la hipótesis de demanda con comportamiento uniforme, las hipótesis son: H o =La demanda es uniforme para los cuatro modelos H A =La demanda no es uniforme para los cuatro modelos Como segundo paso, selecciona una muestra aleatoria de cuarenta y ocho autos vendidos durante el ultimo trimestre (n=48), lo que esperamos comprobar es que se venden 1 autos de cada modelo (48/1, es decir demanda uniforme). Modelo Ventas observadas (O i ) Ventas esperadas (E i )

3 A 15 1 B 11 1 C 10 1 D 1 1 TOTAL Sustituyendo valores en la fórmula: (15 1) 1 (111) 1 (10 1) 1 (1 1) Un nivel de comprobación del 5%, con grados de libertad (g.l) m-4-1=3 (como no hay parámetros m es 0), resulta de la tabla de la distribución x, un valor de Como 1.17 es menor que (valor crítico) queda dentro de la zona de no rechazo, por lo tanto la hipótesis nula (Ho) sobre la demanda uniforme no se rechaza. Conclusión: pueden preverse los cuatro modelos con el mismo número de unidades cada uno para este nuevo trimestre. Zona de no rechazo Zona de rechazo Como buen analista, desea confrontar los resultados con otra hipótesis, según sus estudios y ponderaciones de mercado el comportamiento esperado será: H o =La demanda mantiene un patrón de 4% para el modelo A, 33% para el modelo D y 1.5% para cada modelo B y C respectivamente H A =El patrón deseado no se mantiene Esta es una prueba de ajuste a un patrón específico, es decir se prueban las frecuencias contra un patrón determinado donde no son todas iguales: 3

4 Modelo Frecuencias observadas (O i ) Frecuencias esperadas (E i ) A 15 (48)*(0.4)=0 B 11 (48)*(0.15)=6 C 10 (48)*(0.15)=6 D 1 (48)*(0.33)=16 TOTAL Sustituyendo valores en la fórmula: (15 0) 0 (11 6) 6 (10 6) 6 (1 16) Como 9.08 es mayor que (valor crítico) queda dentro de la zona de rechazo, por lo tanto la hipótesis nula (Ho) sobre la demanda con patrón establecido se rechaza. Conclusión: el patrón del estudio de mercado se rechazó por medio del comportamiento histórico de la demanda uniforme de los modelos. Zona de no rechazo Zona de rechazo Por otro lado y como parte también de su contrato de asesoría, le solicitan evaluar el comportamiento del taller de servicio para la marca de lujo (VIP), el gerente financiero le ha proporcionado el imperativo dato para cubrir costos y tener la rentabilidad deseada por la JDnecesitamos : un servicio promedio de $ y se acepta una desviación estándar de $ Como primera tarea se decide verificar si lo que actualmente se esta generando tiene las características de una distribución normal o prueba de normalidad (si comprobamos este supuesto, podremos hacer inferencias confiadamente), para esto tomamos al azar una muestra de la base de datos de n=1,000 servicios del último semestre y planteamos nuestras hipótesis como sigue: H o =Los servicios están distribuidos normalmente H A = Los servicios no están distribuidos normalmente Servicios ($) Frecuencia real (O i ) 0 y por debajo de y por debajo de y por debajo de y por debajo de y por debajo de

5 60 y por encima 30 Total 1,000 Estas observaciones reales debemos compararlas con las que esperaríamos encontrar si la distribución fuera normal. Para determinar las frecuencias esperadas debemos calcular las probabilidades de que los datos tomados de la muestra aleatoriamente están contenidos dentro de los intervalos estimados. Es decir, la probabilidad de que un dato caiga en el primer intervalo es P(0<X<580): Z X área P(0<X<580)= =0.08 Esto significa que existe,% de probabilidad que ningún servicio prestado tenga una factura menor a $ dado que el monto promedio que se necesita es $ y desviación estándar de $ De la misma manera se calculan los intervalos siguientes, dando como resultado la tabla siguiente, con su respectiva frecuencia esperada (n)*(p) : Servicios ($) Frecuencia real (O i ) Probabilidades (p i ) Frecuencias esperadas (E i ) 0 y por debajo de y por debajo de y por debajo de y por debajo de y por debajo de y por encima Total 1, ,000 Sustituyendo valores en la fórmula: (0.8).8 ( ) (30.8) Como 8.63 es menor que (valor crítico) queda dentro de la zona de no rechazo, por lo tanto la hipótesis nula (Ho) sobre la normalidad de la distribución no se rechaza. La hipótesis se comprueba con un nivel de 5% y existen grados de libertad (g.l) m-6-1=5 (como no hay parámetros m es 0). Conclusión: Los servicios tienen un comportamiento de distribución normal. 5

6 Zona de no rechazo Zona de rechazo Nota importante: La m es 0 porque conocemos la media poblacional y su desviación estándar, pero si no fueran conocidas entonces m= y grados de libertad (g.l) 6--1=3. También debemos de considerar que la prueba de bondad de ajuste es confiable solamente si la Frecuencia Esperada E i 5. Como usted es muy proactivo siendo asesor de la distribuidora de autos de lujo (VIP), ha decidido seguir comprobando sus suposiciones -hipótesis- y ahora desea determinar si existe relación entre el ingreso de los clientes y la importancia que le dan al precio del servicio de mantenimiento, esto se realiza por medio de tablas de contingencia o prueba de independencia: H o =Ingresos e importancia del precio del servicio son independientes H A = Ingresos e importancia del precio del servicio no son independientes 6

7 Los 538 clientes de la muestra, los agrupamos en tres niveles de ingreso atributo B- y la importancia al precio del servicio atributo A- en tres niveles de significancia, la tabla siguiente corresponde a Frecuencia real (O i ): Atributo A Nivel de importancia Frecuencia real (O i ) Atributo B: Ingreso Bajo Medio Alto Total Grande Moderado Poco Total Los datos para la Frecuencias esperadas (E i ) serán: Atributo A Nivel de importancia Frecuencia esperadas (E i ) Atributo B: Ingreso Bajo Medio Alto Total Grande 198* * * / % Moderado 198* * * / % Poco 198* * * / % Total Sustituyendo valores en la fórmula: ( ) (6 64.6) 64.6 ( ) La hipótesis decidimos comprobarla con un nivel de 1% y existen grados de libertad (g.l) (filas- 1)(columnas-1) esto es (3-1)(3-1)= 4. Buscando en la tabla: 7

8 Como es mayor que 13.8 (valor crítico) queda dentro de la zona de rechazo, por lo tanto la hipótesis nula (Ho) sobre la independencia de los atributos se rechaza. Conclusión: Existe una relación entre el ingreso y la importancia que le da al precio del servicio de mantenimiento del auto de lujo. Zona de no rechazo Zona de rechazo IV. Caso con Excel Se procede a realizar el cálculo del valor crítico X con la función INV.CHICUAD.CD donde, probabilidad es el grado de significancia (5%), los grados de libertad son K-m-1 y se obtiene el resultado de 7.81del primer ejemplo: Para tener la probabilidad en lugar del valor crítico, se procede a realizar el cálculo con la función DISTR.CHICUAD.CD donde X es el valor crítico que se busca y los grados de libertad son K-m-1, se obtiene el resultado de 0.76 que en el caso del primer ejemplo significa que el valor 8

9 no se encuentra hasta 0.05 de la cola derecha (en la zona de rechazo), se encuentra 0.76 de la cola derecha (por lo tanto en la zona de no rechazo): Con la función podemos obtener el mismo dato del ejemplo anterior pero ingresando las dos columnas de Valor Observado Oi y Valor Esperado Ei con la formula PRUEBA.CHICUAD, como se presenta en la imagen: V. Ejercicios 1. El vicepresidente de operaciones del First National Bank argumenta que los tres tipos de crédito créditos para autos, créditos a estudiantes y créditos para propósitos generalesse conceden a los clientes en las mismas proporciones. Para probar su hipótesis, usted recolecta datos sobre 00 créditos recientes y se encuentra que 55 fueron créditos para autos, 47 para estudiantes y el resto para propósitos generales. Al nivel del 5%, qué le diría usted al vicepresidente? 9

10 . Dados los resultados del ejercicio anterior, usted acredita que los préstamos otorgados a los clientes se ajustan a un patrón tal que la mitad son para propósitos generales y el resto se dividen de manera equitativa entre los dos tipos de créditos restantes. Utilizando la muestra del problema anterior, qué concluye al nivel del 5%? 3. A los compradores del centro comercial local se les pide calificar un nuevo producto en una escala continua que comienza en cero. Con base en los siguientes datos agrupados, puede usted concluir al nivel del 5% que los datos están distribuidos normalmente, con una media de 100 y una desviación estándar de 5? Calificación Frecuencia Menos de Más de Los analistas de Federated Stores plantean la hipótesis de que los ingresos de sus clientes están distribuidos normalmente. Con base en los datos suministrados aquí, qué conclusión saca al nivel del 1%? Ingreso ($1,000) Frecuencia Menos de Más de TransWorld Airways desea determinar si existe alguna relación entre el número de vuelos que las personas toman y su ingreso. A qué conclusión llega al nivel del 1% con base en los datos para 100 viajeros en la tabla de contingencia? Frecuencia de vuelos Ingreso Nunca Rara Con frecuencia Menos de US$30, US$30,000-50, US$50,000-70, Más de US$70,

11 VI. Bibliografía Webster Allen. Estadística aplicada a los negocios y la economía. McGraw Hill. Colombia Anderson, Sweeney, William. Estadística para Administración y Economía. Octava Edición. Levin & Rovin. Estadística para administradores. Prentice Hall. México Mendenhall / Reinmuth. Estadística para administración y economía. Grupo Editorial Iberoamericana. 3ª. Edición. Spiegel, Murray. Estadística. Editorial McGraw Hill. Serie Schaum. Segunda Edición Pérez López, César. Estadística aplicada a través de Excel. ª. Ed. Prentice Hall. 00. Páginas de internet recomendadas: