Sobre las desigualdades de Bell, un teorema de von Neumann y la diferenciabilidad de ciertas funciones de correlación
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- Gonzalo Moreno Sáez
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1 Sobre las desigualdades de Bell, un teorema de von Neumann y la diferenciabilidad de ciertas funciones de correlación Alejandro Cabrera Universidade Federal do Rio de Janeiro Encuentro Argentino de Mecánica Geométrica y Física-Matemática 2017 (colaboradores: E. de Faria, E. Pujals y C. Tresser) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
2 Outline 1 Intro 2 Setting 3 Resultados Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
3 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
4 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
5 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
6 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
7 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
8 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
9 Intro Mecanica cuantica (QM) : probabilidades, incertezas,... Pregunta Hay una teoria deterministica (o realista) subyacente? (eg: variables ocultas,...) Intentos de respuesta: von Neumann 32: no hidden variables theorem (error en la demostracion) Bell 64: hipotesis extra localidad inconsistencia logica (1 > 3) Kochen, Specker 67: asumiendo no-contextualidad (mas fuerte que localidad) [Charla del Solo!] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
10 Intro Charles: El culpable de las inconsistencias es el realismo (como queria probar von Neumann) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
11 Setting La situacion EinsteinPodolskyRosen: secuencia de experimentos: a = (a 1, a 2,...), b = (b 1,...) {+1, 1} N Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
12 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
13 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
14 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
15 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
16 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
17 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
18 Setting Supongamos que tenemos una teoria subyacente T. Vamos a imponer hipotesis sobre T y eventualmente llegar en una contradiccion. compatibilidad con QM : correlaciones 1 a, b := lim n i=1 a ib i = cos(θ a θ b ) (θ a θ b ) 2 n n (si fuera clasica: 1 + θ a θ b ) realismo (CMR): T responde secuencias de ±1 incluso qué hubiera medido si, en el mismo experimento, hubiera orientado los detectores en angulos α, β : α, β A(α, β), B(α, β) {+1, 1} N (counterfactual) principio efecto-despues-de-causa restricto (REACP): una medicion fisica no cambia por elecciones/eventos futuros, para cualquier observador de Lorentz. Obs: mas debil que localidad, permite no-localidad counterfactual, permite contextualidad; [relatividad cinematica REACP] Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
19 Setting Herramienta matematica: desigualdades de Boole (1862): u, x + v, x + u, y v, y 2 1 n donde u, v, x, y {+1, 1} N y x, y = lim n n i=1 x iy i Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
20 Setting Herramienta matematica: desigualdades de Boole (1862): u, x + v, x + u, y v, y 2 1 n donde u, v, x, y {+1, 1} N y x, y = lim n n i=1 x iy i Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
21 Resultados Idea: fijamos angulos fisicos θ a, θ b y variamos contrafactuales α, β. Lema: de las hipotesis, sigue que a, b = cos(θ a θ b ), a, B(θ a, β) = cos(θ a β), A(α, θ b ), b = cos(θ b α) Usando las desigualdades de Boole llegamos: cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 3 ) A(α, θ b ), B(θ a, β) 2 A(α, θ b ), B(θ a, β) = f (θ 1, θ 2, θ 3 ) indeterminada (notacion: θ 1 = θ a θ b, θ 2 = α θ b, θ 3 = θ a β) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
22 Resultados Idea: fijamos angulos fisicos θ a, θ b y variamos contrafactuales α, β. Lema: de las hipotesis, sigue que a, b = cos(θ a θ b ), a, B(θ a, β) = cos(θ a β), A(α, θ b ), b = cos(θ b α) Usando las desigualdades de Boole llegamos: cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 3 ) A(α, θ b ), B(θ a, β) 2 A(α, θ b ), B(θ a, β) = f (θ 1, θ 2, θ 3 ) indeterminada (notacion: θ 1 = θ a θ b, θ 2 = α θ b, θ 3 = θ a β) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
23 Resultados Idea: fijamos angulos fisicos θ a, θ b y variamos contrafactuales α, β. Lema: de las hipotesis, sigue que a, b = cos(θ a θ b ), a, B(θ a, β) = cos(θ a β), A(α, θ b ), b = cos(θ b α) Usando las desigualdades de Boole llegamos: cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 3 ) A(α, θ b ), B(θ a, β) 2 A(α, θ b ), B(θ a, β) = f (θ 1, θ 2, θ 3 ) indeterminada (notacion: θ 1 = θ a θ b, θ 2 = α θ b, θ 3 = θ a β) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
24 Resultados Idea: fijamos angulos fisicos θ a, θ b y variamos contrafactuales α, β. Lema: de las hipotesis, sigue que a, b = cos(θ a θ b ), a, B(θ a, β) = cos(θ a β), A(α, θ b ), b = cos(θ b α) Usando las desigualdades de Boole llegamos: cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) + cos(θ 3 ) A(α, θ b ), B(θ a, β) 2 A(α, θ b ), B(θ a, β) = f (θ 1, θ 2, θ 3 ) indeterminada (notacion: θ 1 = θ a θ b, θ 2 = α θ b, θ 3 = θ a β) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
25 Resultados Teorema 1 la funcion f es diferenciable en (0, 0, 0) con diferencial cero. Teorema 2 Si, ademas, f es 2 veces diferenciable en (0, 0, 0) entonces 3 = 1 (!) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
26 Resultados Teorema 1 la funcion f es diferenciable en (0, 0, 0) con diferencial cero. Teorema 2 Si, ademas, f es 2 veces diferenciable en (0, 0, 0) entonces 3 = 1 (!) Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
27 Resultados Consecuencias/moralejas: Estamos a 1 grado de diferenciabilidad de un analogo del teorema de von Neumann (obs: en este contexto, las funciones son analiticas o no-diferenciables!) cualquier teoria realista (eg: mecanica Bohmiana) debe predecir este tipo rough de funcion de correlacion: 1 vez diferenciable pero no 2 veces. (sirve para descartar la mecanica Bohomiana? se puede calcular f en ese contexto?) Obrigado!!!!!!! Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
28 Resultados Consecuencias/moralejas: Estamos a 1 grado de diferenciabilidad de un analogo del teorema de von Neumann (obs: en este contexto, las funciones son analiticas o no-diferenciables!) cualquier teoria realista (eg: mecanica Bohmiana) debe predecir este tipo rough de funcion de correlacion: 1 vez diferenciable pero no 2 veces. (sirve para descartar la mecanica Bohomiana? se puede calcular f en ese contexto?) Obrigado!!!!!!! Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
29 Resultados Consecuencias/moralejas: Estamos a 1 grado de diferenciabilidad de un analogo del teorema de von Neumann (obs: en este contexto, las funciones son analiticas o no-diferenciables!) cualquier teoria realista (eg: mecanica Bohmiana) debe predecir este tipo rough de funcion de correlacion: 1 vez diferenciable pero no 2 veces. (sirve para descartar la mecanica Bohomiana? se puede calcular f en ese contexto?) Obrigado!!!!!!! Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
30 Resultados Consecuencias/moralejas: Estamos a 1 grado de diferenciabilidad de un analogo del teorema de von Neumann (obs: en este contexto, las funciones son analiticas o no-diferenciables!) cualquier teoria realista (eg: mecanica Bohmiana) debe predecir este tipo rough de funcion de correlacion: 1 vez diferenciable pero no 2 veces. (sirve para descartar la mecanica Bohomiana? se puede calcular f en ese contexto?) Obrigado!!!!!!! Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
31 Resultados Consecuencias/moralejas: Estamos a 1 grado de diferenciabilidad de un analogo del teorema de von Neumann (obs: en este contexto, las funciones son analiticas o no-diferenciables!) cualquier teoria realista (eg: mecanica Bohmiana) debe predecir este tipo rough de funcion de correlacion: 1 vez diferenciable pero no 2 veces. (sirve para descartar la mecanica Bohomiana? se puede calcular f en ese contexto?) Obrigado!!!!!!! Alejandro Cabrera (UFRJ) Realismo y diferenciabilidad MdP / 10
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