TEMA 7: CINEMÁTICA (I): DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

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1 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) TEMA 7: CINEMÁTICA (I): DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA 1 Concepto de moimiento. Sistema de referencia. Vector de posición de una partícula. Vector desplazamiento. 2 Velocidad media e instantánea. 3 Aceleración. Componentes intrínsecas de la aceleración. 4 Clasificación de moimientos según los alores de aceleración y sus componentes 5 Moimiento rectilíneo uniforme (MRU) 6 Relatiidad del moimiento. Principio de relatiidad de Galileo. 1. CONCEPTO DE MOVIMIENTO. SISTEMA DE REFERENCIA. VECTOR DE POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA. VECTOR DESPLAZAMIENTO. 1.1 Concepto de moimiento. Supongamos que iajamos en un aión, sentados en nuestra plaza. Creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en moimiento. Pero, Estamos realmente en reposo, o nos moemos junto con el aión? Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitia, la pregunta que nos planteamos es: cuándo podemos afirmar que un objeto se muee? Un cuerpo se muee cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo. Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el obserador que estudia el moimiento) mediremos un moimiento u otro, o no mediremos moimiento alguno. Los moimientos, entonces, son siempre relatios, pues para un obserador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de moimiento, mientras que para un obserador en el espacio, dicho edificio tendrá un moimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de moimiento relatio, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia. El sistema de referencia (punto O, ejes coordenados, criterio de signos) es elegido por el obserador, la persona que estudia el moimiento. Una ez elegido, debe mantenerse. No puede cambiarse durante la resolución del problema. Punto material: En nuestro estudio del moimiento consideraremos que el objeto móil es una partícula, un punto material que representa al objeto (bola, coche, aión, electrón ) y que concentra toda su masa. 1.2 Posición. Trayectoria. Ecuación de moimiento. Vector desplazamiento. Posición ( r ): Lugar que ocupa el móil en un instante determinado. - La posición se indica con las coordenadas del punto en el que está situado el móil, medidas respecto al sistema de referencia escogido. O lo que es lo mismo, con las componentes del ector r, que a desde el punto O hasta el punto en que está la partícula. - Lógicamente, la posición de un móil dependerá del sistema de referencia escogido. - En el Sistema Internacional de unidades (S.I.), las coordenadas están dadas en metros (m). En este curso estudiaremos moimientos en dos dimensiones. Nuestro sistema de referencia está formado por los ejes coordenados x e y, a los que corresponden los ectores unitarios i y j. En todos los problemas es obligatorio dibujar claramente el sistema de referencia con el criterio de signos. Así, el ector de posición r se expresará r x i y j Nota: (En el espacio (3 dimensiones), existiría una componente más, de modo que r x i y j z k. Todas las magnitudes ectoriales tendrían tres componentes) Ojo!! La posición sólo indica dónde está el punto móil, pero NO nos dice nada sobre la distancia que ha recorrido. Si un coche está en el km 2 de una carretera, no significa que haya recorrido 2 km, sino a qué distancia está del km de esa carretera. j i r

2 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Trayectoria: Es la línea formada por la unión de los puntos que sigue el móil en su recorrido. Según la forma de la trayectoria, tendremos moimientos: - Rectilíneos. - Curilíneos (puede ser parabólico, circular o cualquiera). Ecuación de moimiento: r Al transcurrir el tiempo, el móil a pasando por los distintos puntos de la trayectoria. A cada alor de t, corresponde una posición. Es decir, la posición r r del móil depende del tiempo. A la expresión de la posición en función del tiempo r (t) se le denomina ecuación de moimiento de la partícula. Al sustituir en ella un alor de tiempo, obtenemos las coordenadas del punto en el que se encuentra el móil en ese instante. Cada moimiento tiene su propia ecuación de moimiento. Por ejemplo: Un pájaro que uela a 2 m de altura sobre el suelo aanzando 4 m en cada segundo: r( 3) 12 i 2 j ( m r(t ) 4t i 2 j ( m) Al cabo de 3 s su posición será ) Ecuaciones paramétricas: Si en la ecuación de moimiento, escribimos las coordenadas x e y por separado, obtenemos las ecuaciones paramétricas. x 4t m r(t ) y 2 m Posición inicial: r ( t ) r Posición en el instante en que empezamos a contar el moimiento. Normalmente consideraremos t = s., pero puede ser cualquier otro alor de tiempo. Vector desplazamiento ( r ): Vector que une dos puntos de la trayectoria. Va desde la posición considerada inicial hasta la posición final. Se calcula como el incremento, la diferencia, entre las dos posiciones (siempre la final menos la inicial). Para ello, restamos las coordenadas x e y por separado. r r r ( x x) i ( y y) j Diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida: Vemos que r mide el desplazamiento en línea recta. El módulo del desplazamiento ( r ) sólo nos r r r indica la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el punto final. La distancia recorrida ( s ) se mide sobre la trayectoria. Los alores de r y s sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea. 2. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA. Todo moimiento supone un cambio en la posición del móil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La elocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir, la elocidad mide cómo cambia la posición de un móil con el tiempo. 2.1 Velocidad media: Mide el cambio de posición en un interalo de tiempo. m r r r t t t Unidades: En el S.I. [ m ]= m/s = m s -1 Otras unidades: km/h, nudos (millas marinas/h) Del mismo modo que el ector desplazamiento, la elocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el moimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de elocidad en el interalo. NO nos dice cómo se muee en un instante concreto. r m r r

3 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Velocidad instantánea ( ): Indica cómo aría la posición del móil en cada instante. Hemos isto que la elocidad media no nos da información sobre cómo se muee la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la elocidad media en un interalo corto de tiempo, la información del moimiento resulta más precisa. Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la elocidad media a la elocidad que llea el móil en el instante que estamos estudiando (elocidad instantánea). Matemáticamente, esta operación se calcula mediante un paso al límite. lim t Esta operación se denomina deriada (en este caso deriada de la posición respecto al tiempo ). lim t m lim t r t dr dr m lim t r t d f ( t ) Nota: Deriada de una función. La deriada respecto al tiempo de una función nos indica cómo cambia esa función respecto al tiempo. Es una operación que tiene sus propias reglas de cálculo, de las que sólo amos a er breemente las que nos interesan). Función: f(t) Deriada: df(t)/ a = cte t 1 a t a a t n a n t n-1 f (t ) f(t) g(t) 2 df/ f(t) df/ dg/ Teniendo en cuenta que el ector de posición tiene dos componentes r (t) = x (t) i + y (t) j también tendrá dos componentes. dr dx i dy j x i Recordemos que la elocidad es una magnitud ectorial. - Su módulo ( ) se denomina rapidez. Se mide en m/s. Y se calcula y j, la elocidad 2 x y 2 - Su dirección y sentido nos indican hacia dónde se muee la partícula en ese momento. El ector elocidad es tangente a la trayectoria en cada punto. 3. ACELERACIÓN. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN. Introducción: Supongamos un moimiento en el que la elocidad se mantiene constante en todo momento. Eso significa - Que recorre los mismos metros en cada segundo (rapidez constante) - Que la dirección y sentido del moimiento se mantienen constantes, no cambian. Su trayectoria es recta. No podemos olidar este segundo aspecto de la elocidad. Un automóil que toma una cura manteniendo su rapidez a 6 km/h, NO llea elocidad constante, ya que hay algo que cambia en la elocidad: su dirección. Para estudiar los cambios en la elocidad (ya sea en módulo o en dirección) usamos una magnitud ectorial: la aceleración. Nota: Es importante tener en cuenta que el concepto de aceleración no tiene por qué significar que el moimiento sea más rápido. Puede ser también un frenado, o puede que la rapidez sea constante y cambie la dirección.

4 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Aceleración media: ( a m ) Mide el cambio de elocidad en un interalo de tiempo, calculando cuánto ha cambiado la elocidad ( ), y diidiéndolo entre el tiempo transcurrido ( t ) Unidades: En el S.I. [a m ]= m/s 2 = m s -2 a m t t t Al igual que en el caso de la elocidad, la aceleración media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el moimiento entre ambos instantes. 3.2 Aceleración instantánea ( a ): Indica cómo cambia la elocidad del móil en un instante determinado. Al igual que en el caso de la elocidad instantánea, se calcula como una deriada. a d Es decir, la aceleración mide cómo cambia la elocidad de móil en cada instante, ya sea porque cambia: - El módulo de la elocidad (su rapidez), es decir, a más rápido o más lento. - La dirección del moimiento (hace una trayectoria cura). Se mide en las mismas unidades que la aceleración media. [a m ]= m/s 2 = m s -2 Por ejemplo, si el módulo de una aceleración es de 2 m/s 2, significa que su rapidez cambia en 2 m/s por cada segundo de tiempo que pasa. La aceleración NO nos dice nada sobre distancia recorrida Importante: Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se muee la partícula ni hacia dónde se muee. Eso nos lo indica la elocidad. La aceleración nos informa de si la elocidad cambia, de qué modo y hacia dónde está cambiando. El ector aceleración tiene componentes cartesianas x e y. a d dx a x y a y nos indican cómo acelera el móil en cada una de las direcciones del espacio. d i y j a x i a Cuestión. Cómo sabemos si un móil a cada ez más rápido o cada ez más lento? Debemos tener en cuenta no sólo cómo acelera, sino también cómo se moía preiamente. Vamos a estudiarlo con un ejemplo. Supongamos cuatro moimientos. La única diferencia entre ellos será el signo de la elocidad inicial y de la aceleración. Rellena las cuatro tablas siguientes. A qué conclusión llegas? _ + a A) = 1 m/s ; a = 2 m/s 2 B) = 1 m/s ; a = - 2 m/s 2 t (s) t (s) _ + a y j a _ + C) = - 1 m/s ; a = 2 m/s 2 D) = - 1 m/s ; a = - 2 m/s 2 a _ + t (s) t (s)

5 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Cuestión: Se muee siempre el móil hacia donde indica la aceleración? NO. Es la elocidad la que indica hacia dónde se muee en cada instante. Ahora bien, si existe aceleración, la elocidad irá cambiando progresiamente hacia donde indica la aceleración. Por ejemplo: Lanzamos un cuerpo hacia arriba. Una ez que lo hemos soltado, sólo sufre la aceleración de la graedad, que tira de él hacia abajo. El ector elocidad a hacia arriba y la aceleración hacia abajo. Pero el objeto no se muee inmediatamente hacia abajo, sino que poco a poco a frenando hasta que su elocidad se hace cero y comienza a caer. Desde ese momento sí se muee en el mismo sentido que la aceleración. a Otro ejemplo: Lanzamos un cuerpo en dirección horizontal. Aunque la aceleración a en ertical, inicialmente el objeto se muee en horizontal, y progresiamente la elocidad se a desiando hacia abajo, aunque nunca caerá totalmente en ertical, siempre seguirá aanzando en horizontal al mismo tiempo que cae. De hecho, es posible incluso que se muea permanentemente en una dirección distinta de la de la aceleración, sin ir ni más rápido ni más lento. Esto ocurre cuando la aceleración es perpendicular (forma 9º) con la elocidad. Entonces el móil sigue una trayectoria circular a ritmo constante. Lo explicamos en el siguiente apartado. 3.3 Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial ( a t ) y normal ( a n ) Cuando en un moimiento cambia la elocidad, puede ser que cambie su rapidez, su dirección, o ambas cosas. Podemos estudiar estos cambios por separado, descomponiendo la aceleración como la suma de dos componentes distintas de las cartesianas, denominadas componentes intrínsecas : - Aceleración tangencial ( a t ): - Llea la misma dirección del ector elocidad (puede ir en el mismo sentido o en el opuesto). NO modifica la dirección del moimiento. - Modifica la rapidez (el módulo de la elocidad). Hace que el moimiento sea más rápido o más lento. Si el sentido de a coincide con el de aumenta la rapidez Si el sentido de En módulo, se calcula con t a t es el opuesto al de d a t disminuye la rapidez Por ejemplo, al pisar el acelerador o el freno de un coche originamos una aceleración tangencial. Varía la rapidez, pero no cambia la dirección. - Aceleración normal (o centrípeta) ( a n ): - Llea dirección perpendicular (=normal) a la elocidad. Modifica la dirección del moimiento, indicando hacia dónde se desía. Apunta hacia el centro de la cura. - NO modifica la rapidez (el módulo de la elocidad). 2 En módulo, se calcula con an donde R es el radio de la cura que describe en ese momento R Por ejemplo, al girar el olante del coche originamos una aceleración normal, que hace ariar la dirección del moimiento. La suma de ambas componentes es, lógicamente, el ector aceleración: a a t a n en módulo a a a t n

6 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS: Existen múltiples clasificaciones posibles para los moimientos. Veremos dos de ellas. Según los alores de a y : - a = = cte=. Estado de reposo. = cte. Moimiento rectilíneo uniforme (MRU): - a =cte Moimiento uniformemente acelerado (MUA) y a an en la misma dirección - Si - Si y a tienen direcciones distintas Trayectoria recta (MRUA) Trayectoria cura. Moimiento parabólico - a cte Moimiento ariado. Según los alores de - a t = - n - a t = y a t y a n : Rapidez constante. Moimiento uniforme (no tiene por qué ser rectilíneo) a 2 n = cte = cte, R cte a n Moimiento circular uniforme (MCU) a = Trayectoria recta Moimiento rectilíneo (no tiene por qué ser uniforme). - a t y a n ariables Moimiento ariado. 5. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU): Este tipo de moimiento se caracteriza por una elocidad constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto: Su aceleración es nula ( a = ). Como consecuencia: Su elocidad es constante ( = cte ). Y esto significa - Su rapidez es constante (recorre la misma distancia en cada segundo) - Su trayectoria es rectilínea (al ser constante la dirección de la elocidad en todo momento). Ecuación del MRU: Sabiendo que el ector elocidad se mantiene constante ( =cte) r r r r (t t ) r r (t t ) Si t = r r t t t Gráficas del moimiento uniforme. Teniendo en cuenta las características del moimiento uniforme (elocidad constante, se recorre la misma distancia en el mismo tiempo) y de la ecuación de moimiento resultante, es fácil saber qué forma tendrán las gráficas posición-tiempo y elocidad-tiempo. r(m) (m/s) r(m) (m/s) r(m) 3 2 > > r t(s) t(s) r < t(s) < t(s) r > > t(s)

7 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE MOVIMIENTO: Pasos a seguir. 1º- Esquema del problema, indicando claramente el sistema de referencia y criterio de signos. (Esto es fundamental, ya que todos los datos y magnitudes del problema los calcularemos según ese sistema de referencia. No se puede cambiar durante el problema). 2º- Datos del problema (tipo de moimiento, posición inicial, elocidad, inicial, aceleración). Todas esas son magnitudes ectoriales, deben llear ectores unitarios según el sistema de referencia escogido, además de sus unidades. 3º- Ecuación del moimiento y ecuación de elocidad: sustituir los datos. Descomponer en los ejes x e y. 4º- A partir de estas ecuaciones, calculamos lo que nos pide el problema (en muchas ocasiones, un dato serirá para calcular el alor del tiempo en una de las ecuaciones, y sustituirlo luego en otra ecuación). Ejemplo: Resolución de un moimiento rectilíneo uniforme en una dimensión (eje x): Un tren se aproxima a la estación con una elocidad constante de 72 km/h. Inicialmente se encuentra a 5 km de la estación. Calcule: a) Ecuación de moimiento del tren. b) Posición al cabo de 1 minuto c) Desplazamiento en ese tiempo d) Tiempo que tarda en llegar a la estación, suponiendo que mantiene constante la elocidad. a) Ecuación de moimiento: r r t r y+ _ O + En este caso, hemos colocado el sistema de referencia en la estación. Datos iniciales (en unidades S.I.): (72 km/h = 2 m/s) r = - 5 i m, = 2 i m/s = cte, t = Se trata de un moimiento rectilíneo uniforme (MRU), ya que la elocidad se mantiene constante en módulo y dirección. r = - 5 i + 2 t i (m) x = t (m) b) Para t = 1 min = 6 s x (6) = - 38 m Se encuentra a 38 m de la estación. c) x x x = (- 5) m = 12 m. Se ha desplazado 12 m en sentido positio. d) Cuando llega a la estación: x = t = t = 25 s tarda en llegar a la estación. X Ejemplo: Resolución de un moimiento rectilíneo uniforme en dos dimensiones: Un cochecito de juguete se muee a elocidad constante por una y mesa horizontal de 3 m de largo y 1,5 m de ancho. Parte de un,1m punto situado a 2 cm del borde izquierdo y a 1 cm del borde superior. Vemos que, al cabo de 6 s, cae al suelo justo por la esquina inferior derecha. Calcule la elocidad del cochecito y la ecuación del moimiento. 1,4 m Colocamos el S.R. (O) en la esquina inferior izquierda. Datos iniciales (en unidades S.I.): r =,1 i +1,4 j m, = x i + O 3m y j m/s (la elocidad tendrá dos componentes, que no conocemos), t = Se trata de un moimiento rectilíneo uniforme (MRU), ya que la elocidad se mantiene constante en módulo y dirección. Ecuación de moimiento: x,1 x t ( m ) r r t r,1 i 1,4 j x t i y t j ( m ) y 1,4 y t ( m ) Sabemos que, pasados 6 s, llega a la esquina inferior derecha (coordenadas x= 3 m, y = m). Sustituimos. 3,1 x 6 x,48 m / s 1,4 y 6 y 2,33 m / s,48 i 2,33 j m / s Ecuación de moimiento: r (,1,48t ) i (1,4 2,33t ) j m x

8 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO. PRINCIPIO DE RELATIVIDAD DE GALILEO. Comenzábamos el tema preguntándonos cuándo consideramos que algo está en moimiento. El principio de relatiidad galileana es el reconocimiento del carácter relatio del moimiento, fue formulado de modo más o menos explícito por Galieo Galilei en 1632, que él mismo explicaba muy descriptiamente del siguiente modo: Encerraos con un amigo en la cabina principal bajo la cubierta de un barco grande, y llead con osotros moscas, mariposas, y otros pequeños animales oladores... colgad una botella que se acíe gota a gota en un amplio recipiente colocado por debajo de la misma... haced que el barco aya con la elocidad que queráis, siempre que el moimiento sea uniforme y no haya fluctuaciones en un sentido u otro... Las gotas caerán... en el recipiente inferior sin desiarse a la popa, aunque el barco haya aanzado mientras las gotas están en el aire... las mariposas y las moscas seguirán su uelo por igual hacia cada lado, y no sucederá que se concentren en la popa, como si se cansaran de seguir el curso del barco... Galileo Galilei "Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo". Es decir, si iajamos dentro de un sistema de referencia en moimiento uniforme, no somos capaces de distinguir si nos moemos o no. Cualquier experimento que realicemos, obtendrá el mismo resultado que si estuiéramos en reposo. Ambas formas de explicar lo que le ocurre a los cuerpos del interior del barco son álidas. Algo parecido pasa cuando amos en coche a 1 km/h y hay una mosca en el interior, que se posa sobre un asiento. Un obserador que iaje en el coche no tiene inconeniente en decir que la mosca está en reposo, y llea razón, porque respecto a su sistema de referencia así es. Sin embargo, para un obserador que esté en la carretera, obsera que la mosca iaja a 1 km/h junto con el coche. Es decir, la elocidad que mida un obserador depende del cómo se muea su sistema de referencia. Si dos coches circulan por la misma carretera a 1 km/h, pero en sentido contrarios, acercándose, cada uno erá que el otro coche se acerca a 2 km/h. Existe alguna relación entre las posiciones y elocidades que miden dos obseradores, O y O'? Sí, y podemos conocerla si sabemos la posición y la elocidad de un obserador respecto a otro. Así. r rr r' donde r es la posición del móil medida por O, r ' la posición del móil medida por O', r R la elocidad relatia, es decir, la elocidad a la que se muee O' respecto a O. Del mismo modo, con las elocidades R ' r r ' O r R O'

9 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) CUESTIONES TEÓRICAS: C.1. Cómo será la trayectoria de un moimiento con las siguientes características?: a) a = b) a n = c) a t =, a n = cte d) a t =, a n aumentando e) a = cte y paralela a, f) a = cte y no paralela a. C.2 Dibuja la trayectoria aproximada que seguiría en cada caso el punto móil de la figura, atendiendo a los datos de elocidad inicial y aceleración. Explica qué tipo de moimiento lleará (la aceleración se supone constante). a a a a a PROBLEMAS NUMÉRICOS: 1.- La ecuación de moimiento de un móil es r = 3t i + (2t 2 + 3) j (m). Calcular: a) Vector de posición inicial. b) Posición a los 5 segundos. c) Vector desplazamiento en el interalo t= y t=5 s, y su módulo. d) Ecuaciones paramétricas. e) Ecuación de la trayectoria. 2.-Las ecuaciones paramétricas para el moimiento de una partícula son, en unidades del S.I.: x = t + 1; y = t 2. Escribe la expresión del ector de posición y halla la ecuación de la trayectoria. 3.-La Ecuación del moimiento de un objeto iene dada por: r = 3 i + 2t j (m). Calcula: a) la ecuación de la Trayectoria b) Vector de posición en t= y en t=4 s. c) Vector desplazamiento para ese interalo. Coincide el módulo del ector desplazamiento con la distancia recorrida? Razona por qué. 4.-El ector de posición de una partícula en cualquier instante iene dado por r = 5t 2 i + 6t j, donde r se expresa en metros y t en segundos. Calcula la elocidad con que se muee la partícula en cualquier instante y su módulo en el instante t=2 s. 5. El moimiento de una partícula iene dado por r = 2 t i + (5- t 2 ) j (m). Calcula: a) Ecuaciones paramétricas. b) Dibuja aproximadamente la trayectoria que describe el moimiento. c) Desplazamiento durante el tercer segundo de su moimiento. 6.-La ecuación del moimiento de un objeto es: r = 3t 2 i + 2t j (m). Calcula: a) Velocidad media entre t=2 s y t=5 s. b) Módulo del ector elocidad media entre t=2 s y t=5 s. c) Velocidad instantánea y su módulo. d) Velocidad en t=3 s y su módulo. 7.- La ecuación de moimiento de un móil es r = (2 t 4) i + (t 2 3t) j (m). Calcular: a) Vector de posición inicial. b) Ídem a los 3 segundos. c) Vector desplazamiento en el interalo t= y t=3 s, y su módulo. e) Ecuación de la trayectoria.

10 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Las posiciones que ocupa un móil ienen dadas por: x = 1/2t 2 3 ; a) Vector de posición del móil a los dos segundos. b) Ecuación de la trayectoria. c) Velocidad a los dos segundos y el alor del módulo en ese instante. y = t 2 (m). Aeriguar: 9.-La ecuación del moimiento de un móil es: r = (6t 3 + 8t 2 + 2t 5) i (m). Calcular: a) El alor del ector de posición, el ector elocidad y el ector aceleración para t=3 s. b) Módulo de cada uno de los ectores. 1.- Un móil se muee sobre un plano, las componentes de la elocidad son, x = t 2 (m/s); y = 2 m/s. Calcular: a) Aceleración media durante el primer segundo. b) Vector aceleración y su módulo para t = 1 s. c) El módulo de las aceleraciones tangencial y normal para t=1 s. d) El radio de curatura de la trayectoria para t = 1 s. 11.-Un punto en su moimiento tiene la siguiente ecuación de moimiento r = t 3 i + 2t 2 j (m). Si la aceleración normal del punto al cabo de 2 s es de 16,2 m/s 2. Cuál es el radio de curatura de la trayectoria en ese punto? 12.-La posición de un punto que se muee en línea recta a lo largo del eje de abscisas (eje horizontal aría con el tiempo, según la ecuación: x = 4t 2 3t + 11, donde x se expresa en metros y t en segundos. a) Calcula la elocidad y la aceleración con que se muee el punto en cualquier instante. b) Valor de la elocidad y aceleración para t=2 s y t= 3 s. 13.-Calcular la elocidad y la aceleración de un móil conociendo la ecuación del moimiento del mismo: r = (t 5) i + (2t 3 3t) j (m). 14.-La posición de una partícula, iene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas (S.I.): x = t 2 ; y = 3t; z=5 Hallar la posición, elocidad y aceleración de la partícula a los 2 s. 15.-El ector de posición de un punto es r = (t + 1) i + t 2 j + (t 4 4t 2 ) k (m). Calcular: a) Posición, elocidad y aceleración en t=2 s (ector y módulo). b) Velocidad media entre t=2 s y t=5 s y su modulo. 16. Un tren que marcha por una ía recta a una elocidad de 72 km/h se encuentra, cuando comenzamos a estudiar su moimiento, a 3 km de la estación, alejándose de ésta. Calcula: a) Ecuación de moimiento del tren. b) Tiempo que hace que pasó por la estación, suponiendo que siempre llea moimiento uniforme. 17. En una etapa contrarreloj, un ciclista circula a 3 km/h. A 1 km por delante de él marcha otro ciclista a 2 km/h. a) Calcular el tiempo que tardan en encontrarse y su posición en ese instante. b) Resoler el problema suponiendo que los dos ciclistas circulan en sentidos opuestos. 18. Un guepardo e a una gacela a 15 m de distancia, y emprende una rápida carrera para cazarla. En ese mismo instante la gacela se da cuenta y huye hacia unos matorrales, situados a 28 m de la gacela, que pueden serirle de refugio. Suponiendo ambos moimientos como uniformes (elocidad del guepardo: 18 km/h, elocidad de la gacela: 72 km/h) Quién sale ganando en esta lucha por la superiencia? (La gacela) 19. Una barca cruza un río de 1 m de ancho naegando siempre perpendicular a la orilla. Si la elocidad media que imprime el motor a la barca es de 25 km/h y el río fluye a 1,5 m/s. a) Qué distancia a lo largo del río habrá recorrido la barca cuando llegue al otro lado? ( 216,14 m) b) Con qué orientación debería naegar para llegar a la otra orilla justo enfrente de donde salió? ( Con una = - 1,5 i + 6,94 j m/s)

11 Física y Química 1º Bachillerato Tema7. Cinemática(I) Jugando al billar, golpeamos la bola, que se encuentra inicialmente en el punto que indica la figura, imprimiéndole una elocidad de 1 m/s en la dirección dibujada. Despreciamos el rozamiento. a) Calcule razonadamente la ecuación de moimiento de la bola. ( r =(,5 +,87 t ) i + (,5 +,5 t ) j m) b) Calcule en qué punto de la banda rebota la bola. (Rebota a 2,24 m de la banda izquierda),5m 3m,5m 3º 1,5 m SOLUCIONES: 1. a) r = 3 j m ; b) r (5) = 15 i + 53 j m ; c) r = 15 i + 5 j m, r = 52,2 m; d) x = 3 t (m), y = 2 t (m) e). y = 2/9 x r (t) = (t + 1) i + t 2 j ; y = x 2 2 x a) x = 3 ; b) r =3 i m, r (4)= 3 i + 8 j (m) ; c) r = 8 j m, r = 8 m. Coinciden 4. = 1 t i + 6 j m s -1 ; (2)= 2 i + 6 j m s -1 ; = 2,88 m s a) x = 2t (m), y = 5 - t 2 (m) ; b) La cura es una parábola ; c) r = r (3) - r (2)= 2 i - 5 j m. 6. a) m = 21 i + 2 j m s -1 ; b) = 21,1 m s -1 ; c) (t)= 6 t i + 2 j m s -1 36t 2 4 m s -1 d) (3)= 18 i + 2 j m s -1, (3) = 18,11 m s a) r = -4 i m ; b) r (3)= 2 i m ; c) e) y = ¼ x 2 + ½ x 2 (m) r = 6 i m, 8. a) r (2)= - i m; b) y 2x 6 2 ; o también x = ½ y 2 + 2y - 1 c) (2)= 2 i + j m s -1 ; (2) = 2,24 m s -1 r = 6 m. ; d) x = 2 t 4 m, y = t 2 3 t m 9. a) r (3)= 235 i m, (3)= 212 i m s -1, a (3)= 124 i m s -2 ; b) r(3)= 235 m, (3)= 212 m s -1, a(3)= 124 m s a) a m = i ms -2 ; b) a (t)= 2 t i ms -2, a(1) = 2 ms -2 ; c) a t (1)=,894 ms -2, a n (1)=1,789 ms -2 d) R(1)=2,79 m. 11. R = 12,84 m. 12. a) r (t) = 4t 2 3t + 11 (m) ; b) (t) = (8t 3) i m s -1, a = 8 i m s -2 ; c) (2) = 13 i m s -1, (2) = 21 i m s -1 ; a (2)= a (3) = 8 i m s -2 = cte. 13. (t)= i + (6 t 2-3) j m s -1, a (t)= 12 t j m s r (2)= 4 i + 6 j + 5 k m ; (2)= 4 i + 3 j m s -1 ; a = 2 i m s a) r (2)= 3 i + 4 j m, r(2)= 5 m ; (2)= i + 4 j + 16 k m s -1, (2)= 16,52 m s -1 ; a (2)= 2 j + 4 k m s -2, a(2)= 4,5 m s -2 ; b) m = i + 7 j k m s -1, m = 175,14 m/s 16. a) r = (3 + 2 t ) i m b) 2 min y 3 s. 17. a) 361 s, 37 i m b) 72 s., 6 i m 18. La gacela se escapa. 19. a) 216,14 m b) Con una = - 1,5 i + 6,94 j m/s 2. a) r =(,5 +,87 t ) i + (,5 +,5 t ) j m b) Rebota a 2,24 m de la banda izquierda