Fundamentos de Robótica
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- Soledad Carrasco Cuenca
- hace 6 años
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1 Fundamentos de Robótica Herramientas Matemáticas para la Localización Espacial Matrices de Rotación Ricardo-Franco Mendoza-Garcia Escuela Universitaria de Ingeniería Mecánica Universidad de Tarapacá Arica, Chile April 16, 2015 R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
2 Outline Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
3 Representación de la posición Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
4 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas cartesianas en 2 y 3 dimensiones R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
5 Representación de la posición Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas polares y cilíndricas Las coordenadas cilíndricas especifican r la magnitud de la proyección del vector p en el plano OXY, θ el ángulo entre esta proyección y el eje OX, y z la proyección de p en el eje OZ. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
6 Representación de la posición Coordenadas esféricas Coordenadas esféricas Las coordenadas esféricas especifican r la magnitud del vector p, θ el ángulo entre su proyección en el plano OXY con el eje OX, y φ el ángulo entre p y el eje OZ. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
7 Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage Dibujando un sistema de coordenadas 3D en Sage vect_x, vect_y, vect_z son vectores unitarios. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
8 Representación de la posición Representación gráfica de la posición en Sage Dibujando un vector 3D en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
9 Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
10 Matrices de rotación Producto punto Ref: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
11 Matrices de rotación Producto punto Considerando un sistema de referencia OUV, un vector P se puede expresar como P = p u i u + p v j v, con i u y j v vectores unitarios. Ref: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
12 Representación de la orientación Matrices de rotación Matrices de rotación Si P = pu iu + pv jv es un vector descrito en OUV, y si OUV es móvil y está rotado α grados en relación a OXY, entonces: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
13 Matrices de rotación Matriz de rotación 2D Considerando p x = i x (p u i u + p v j v ) y p y = j y (p u i u + p v j v ): Donde, es llamada: matriz de rotación. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
14 Representación de la orientación Matrices de rotación Matriz de rotación 2D cos(90 + α) = sen(α) Cuando α = 0, R es igual a la matriz identidad. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
15 Matrices de rotación Matriz de rotación 3D El mismo principio: Donde, es llamada: matriz de rotación. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
16 Matrices de rotación Rotación sobre eje OX matriz básica de rotación R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
17 Representación de la orientación Matrices de rotación Rotación sobre eje OY y OZ matriz básica de rot. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas matriz básica de rot. April 16, / 27
18 Composición de rotaciones Rotación α, φ, θ Las matrices de rotación en general pueden componerse de matrices de rotación básicas. Si se rota α alrededor de OX, φ alrededor de OY, y θ alrededor de OZ, se obtiene: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
19 Composición de rotaciones Rotación θ, φ, α Si se rota θ alrededor de OZ, φ alrededor de OY, y α alrededor de OX, se obtiene: R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
20 Composición de rotaciones Multiplicando matrices con expresiones en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
21 Ángulos de Euler Ángulos de Euler WUW φ alrededor de OZ θ alrededor de OU ψ alrededor de OW R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
22 Ángulos de Euler Ángulos de Euler WVW φ alrededor de OZ θ alrededor de OV ψ alrededor de OW R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
23 Ángulos de Euler Ángulos de Euler XYZ ψ alrededor de OX θ alrededor de OY φ alrededor de OZ R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
24 Par de rotación Par de rotación La aplicación de un par de rotación que rote un vector p un ángulo θ alrededor del vector unitario k se realiza a través de la siguiente expresión: Rot(k, θ)p = p cos(θ) + (k p)sen(θ) + k(k p)(1 cos(θ)) R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
25 Representación gráfica de la orientación en Sage Rotando un sistema de coordenadas 3D en Sage R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
26 Referencias Outline 1 Representación de la posición Coordenadas cartesianas Coordenadas polares y cilíndricas Coordenadas esféricas Representación gráfica de la posición en Sage 2 Representación de la orientación Matrices de rotación Composición de rotaciones Ángulos de Euler Par de rotación Representación gráfica de la orientación en Sage 3 Referencias R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
27 Referencias Bibliografía Barrientos, A., Peñín, L.F., Balaguer, C., y Aracil, R., 2007, Fundamentos de Robótica, 2nd edition, McGraw-Hill. R. F. Mendoza-Garcia (Mecánica, UTA) Herramientas Matemáticas April 16, / 27
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