Cálculo de Probabilidades. Enunciados.

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1 Cálculo de Probabilidades. Enunciados. 25 de septiembre de 2006

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3 Índice general 1. Espacio de probabilidad Probabilidad Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia Variables y vectores aleatorios Variable aleatoria Vector aleatorio Independencia de variables aleatorias Distribuciones condicionadas Función de una o varias variables aleatorias Esperanza Esperanza de una variable aleatoria Esperanza de un vector aleatorio Esperanza condicionada Convergencia de sucesiones de variables aleatorias Tipos de convergencia Leyes de los Grandes Números Función característica Teorema Central de Límite Función generatriz de momentos Exámenes previos de septiembre de Castellano Valenciano de febrero de Castellano Valenciano de septiembre de Castellano Valenciano de junio de Castellano Valenciano de febrero de Castellano

4 4 ÍNDICE GENERAL Valenciano de junio de Castellano Valenciano de junio de Castellano Valenciano

5 Capítulo 1 Espacio de probabilidad 1.1. Probabilidad Problema 1 Juego de dados tradicional chino que se juega durante la celebración del año nuevo. En este juego se lanzan 6 dados. Según parece un lanzamiento con dos pares gana a un lanzamiento con un par. Cuál es la probabilidad de cada uno de estos sucesos? En otras palabras, encuentra la probabilidad de obtener un par en un lanzamiento de 6 dados y la probabilidad de obtener dos pares en un lanzamiento de 6 dados. Problema 2 (Problema de los cumpleaños) En una reunión hay n personas. Cuál es la probabilidad de que dos de ellas tengan el mismo cumpleaños? Problema 3 (Pitman, página 9) Elegimos una palabra al azar de esta frase. Se pide: 1. Qué probabilidad tenemos de que la palabra tenga al menos cuatro letras? 2. Y de que la palabra tenga al menos dos vocales? 3. Y de que tenga al menos dos letras y al menos dos vocales? Problema 4 (Muestreo con y sin reemplazamiento) Veamos un experimento que corresponde a lo que se conoce como muestreo con reemplazamiento Una caja contiene una serie de papeletas marcadas con los números 1,..., n. Elegimos al azar una papeleta de la caja. Vemos su número y la devolvemos a la caja. Determinar las probabilidades de los siguientes sucesos. 1. La primera papeleta tiene el número 1 y la segunda el número Los números de las dos papeletas son números enteros consecutivos, esto es, la primera papeleta tiene un número una unidad inferior a la segunda. 3. El segundo número extraido es mayor que el primero. Supongamos ahora que no reemplazamos la primera papeleta en la caja. En consecuencia la segunda papeleta ha de ser distinta a la primera. Se pide responder a las tres preguntas anteriores en esta nueva situación. Problema 5 Supongamos que barajamos una baraja de 52 cartas y tomamos las dos cartas que han quedado en la parte superior del mazo. 5

6 6 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD 1. Cuántos pares ordenados de cartas podemos obtener como resultado? En lo que sigue vamos a asumir que cada uno de estos pares tiene la misma probabilidad de producirse. 2. Qué probabilidad tenemos de que la primera carta sea un as? 3. Qué probabilidad tenemos de que la segunda carta sea un as? 4. Y de que ambas cartas sean ases? 5. Y de que al menos tengamos un as entre las dos cartas? Problema 6 Tenemos diez puntos colocados de forma equidistante en la circunferencia de un círculo y elegimos aleatoriamente tres de entre esos diez puntos. Se pide: 1. Si A y B son dos puntos particulares adyancentes, qué probabilidad tenemos de que A y B estén entre los puntos seleccionados? 2. Qué probabilidad tenemos de que entre los tres puntos seleccionados aleatoriamente tengamos como mínimo un par de puntos adyacentes? Problema 7 Se dispone de n 1 cubos blancos y n 2 cubos rojos. Se los ordena al azar en compartimentos numerados de 1 a n 1 + n Cuál es el número N de disposiciones distintas posibles? 2. Calcular la probabilidad de que K cubos blancos determinados se encuentren en lugares fijados. Problema 8 (Examen ) Cuál es la probabilidad de que una mano de póquer contenga sólo una pareja? Nota: una baraja de póquer tiene cuatro palos y de cada palo hay 13 cartas. En una mano se sirven cinco cartas. Problema 9 (Poker) La baraja francesa consta de 52 cartas distribuidas en cuatro palos o colores: tréboles, diamantes, corazones y picas. Cada uno de estos palos está compuesto por 13 cartas: uno o as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez y las tres figuras, que se llaman valet (V, equivalente al Bube alemán, al Jack inglés, e incluso puede asimilarse a la Sota española), Dame (D, equivalente a la Dame alemana y a la Queen inglesa) y Roi (R, equivalente al König alemán, al King inglés, y también al Rey de la baraja española). En una mano de poker se reparten 5 cartas a cada jugador. Se pide hallar la probabilidad de cada uno de estos sucesos: 1. Tener escalera de color (5 cartas consecutivas del mismo palo). 2. Tener poker (4 cartas iguales x x x x y). 3. Tener un full (un trío y una pareja x x x y y). 4. Tener 5 cartas del mismo palo. 5. Tener una escalera (5 cartas consecutivas). 6. Tener un trío (x x x y z) 7. Tener dobles parejas (x x y y z).

7 1.1. PROBABILIDAD 7 8. Tener una pareja (x x y z w). Problema 10 Lanzamos dos dados. Determinar la probabilidad de los siguientes sucesos: 1. El máximo de los dos valores que obtenemos es menor o igual a El máximo de los dos valores es menor o igual a El máximo de los dos números es igual a Repite los dos apartados anteriores sustituyendo 3 por x donde x varía entre 1 y Si denotamos por p(x) con x = 1,...,6 las probabilidades calculadas en el apartado anterior comprueba que 6 i=1 p(x) = 1. Problema 11 (Una carrera de tortugas) En la carrera de las grandes tortugas compiten cuatro animales. Para darle un poco de animación a la carrera, los cuatro propietarios deciden introducir los nombres de las tortugas en un sombrero y cada uno de los propietarios elige aleatoriamente un nombre sin reemplazamiento. Cada propietario está obligado a apostar por la tortuga que le ha correspondido en el sorteo. Se pide: 1. Determinar la probabilidad de que todos los propietarios apuesten por sus tortugas. 2. Ningún propietario apueste por su propia tortuga. 3. El desafortunado propietario A elija a la tortuga Berzine que siempre pierde. 4. A apueste por la tortuga de B y B por la tortuga de A. Problema 12 (Examen ) El holandés Christian Huygens publicó en 1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuación Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC..., extraen una bola con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador. Problema 13 Hemos cuadriculado una cierta zona en seis columnas y cuatro filas. Denotamos por C(i, j) la celda en la fila i y columna j. Considerad el siguiente juego. Tenemos una ficha colocada en el rectángulo marcado con C(0, 0). La ficha la movemos a la derecha o hacia arriba desde la celda inicial C(4, 1) a la celda final C(1, 6). Se pregunta: 1. Cuántos posibles caminos hay moverse desde C(4, 1) hasta C(1, 6)? 2. Si el jugador en su camino pasa por la celda C(2, 5) recibe un premio. Supongamos que cada camino tiene la misma probabilidad, cuál es la probabilidad de que el jugador pase por C(2, 5) en su camino de C(4, 1) a C(1, 6)? Problema 14 (Aditividad finita y numerable) Demostrar que una medida de probabilidad es finitamente aditiva. Problema 15 Comprobar que la definición de probabilidad de Laplace verifica los axiomas de Kolmogorov. En definitiva, que es una medida de probabilidad.

8 8 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Problema 16 (Krief y Levy, página 81) Tenemos el espacio de probabilidad (Ω, A, P). Se pide: 1. Probar que si A, B y C son tres sucesos en este espacio se tiene que: P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(B C) P(A C)+P(A B C). 2. Sean A 1,...,A n sucesos en (Ω, A, P). Demostrar la desigualdad siguiente: P(A 1... A n ) n P(A i ). i=1 En qué caso la desigualdad anterior es una igualdad? Problema 17 (Krief y Levy página 81) Sea (Ω, A, P) un espacio de probabilidad. Se denomina diferencia simétrica de dos sucesos A y B al suceso A B = (A B c ) (A c B). 1. Probar que si tenemos los tres sucesos A, B y C entonces P(A C) P(A B) + P(B C). 2. Para sucesos A, B, C y D se verifica ( ) P (A B) (C D) P(A C) + P(B D). Problema 18 (Un camino aleatorio culé) El día 27 de julio de 1997 se celebraron elecciones a la presidencia del Barça. Había sólo dos candidatos, el señor Fernández y el señor Núñez, siendo este último el ganador. Un socio con veleidades probabilísticas se hizo la siguiente pregunta: habrá ido el señor Núñez por delante del señor Fernández a lo largo de todo el escrutinio? El señor Núñez obtuvo votos y el señor Fernández Probabilidad condicionada, teorema de Bayes e independencia Problema 19 Sean A y B dos sucesos. Obtener la probabilidad de A B si ha ocurrido A o si ha ocurrido A B. Comentar el resultado. Problema 20 (La paradoja del caballero De Meré) En un juego consistente en lanzar repetidamente un par de dados, encontrar el menor número n de lanzamientos para que la probabilidad de obtener al menos un doble seis sea mayor que 0,5. Comentarios El origen de la paradoja está en la pregunta que Antoine Gombauld, caballero De Meré, planteó a Pascal Observaba De Meré una discrepancia entre la realidad, deducida de su larga experiencia como jugador, y una antigua regla muy extendida entre los jugadores que afirmaba que n = 24. Esta errónea regla tenía su origen en la creencia de un comportamiento lineal de las probabilidades. Se sabía que si los lanzamientos eran de un solo dado y se perseguía la obtención de un seis, n = 4, pues p 3,1 = 0,4213 y p 4,1 = 0,5177. Se razonaba a continuación mediante una sencilla regla de tres: 4 es a 6 como 24 a 36.

9 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA 9 Problema 21 A y B juegan a un juego en el que A tiene una probabilidad p de ganar una partida. El vencedor es aquel que gana dos partidas consecutivas. Encontrar el valor de p si se sabe que cuando A pierde la primera partida, las probabilidades de ganar el juego para A y para B son iguales. Problema 22 (Jugando con un tetraedro) Tenemos un tetraedro un poco extraño. Una cara es de color rojo, la otra de color azul y una tercera de color verde. La cuarta y última cara tiene tres partes coloreadas respectivamente de rojo, azul y verde. Lanzamos el tetraedro y nos fijamos en el color de la cara en que se apoya el tetraedro. Consideramos los sucesos A r consistente en que se apoya en una cara con el color rojo. Definimos A a y A v analágomente sustituyendo el color rojo por el azul y el verde. Son independientes dos a dos los sucesos aleatorios A r, A a y A v? Son independientes los tres sucesos? Problema 23 Con objeto de estudiar la efectividad de un nuevo remedio contra el dolor de cabeza una gran muestra formada por n personas ha sido seleccionada. Puesto que se piensa que la reacción de una persona al medicamento puede estar relacionada con el sexo, los datos que se tomaron fueron específicos al sexo. La siguiente tabla resume los resultados obtenidos: E H a b M c d donde E = { el medicamento ha sido efectivo }, E c = { el medicamento no ha sido efectivo }, H = { hombre }, M = { mujer } y a + b + c + d = n. Es decir, el número de mujeres para las cuales ha sido efectivo el medicamento es c y así con el resto de la tabla. 1. Basándose en estos datos, determinar (i) P(H), (ii) P(E), (iii) P(H E), (iv) P(E H). 2. Cuando son independientes los sucesos E y H? Demostrar que si ad bc = 0, E y M son sucesos independientes. 3. Si E y M son independientes, decimos que el efecto medicamento y el factor sexo son independientes. Por qué podemos hacer esta afirmación? Problema 24 Demostrar que si B 1,..., B n es una partición de B (es decir, son disjuntos y n i=1 B i = B), entonces P(A B) = P(A B 1 )P(B 1 B) P(A B n )P(B n B). Problema 25 Consideremos un espacio de probabilidad (Ω, A, P). Se pide: 1. Demostrar que si A y B son sucesos independientes también lo son A y B c ; A c y B; A c y B c. 2. Tres sucesos A, B y C se dicen independientes si las tres parejas (A, B), (A, C) y (B, C) están constituidas por sucesos independientes, y si E c P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Se pide comprobar que las ternas (A c, B, C), (A c, B c, C) y (A c, B c, C c ) son sucesos mutuamente independientes si A, B y C lo son. 3. Demostrar, con un ejemplo, que aunque las parejas (A, B), (A, C) y (B, C) estén constituidas por sucesos independientes, no tiene porqué ocurrir lo mismo con la terna (A, B, C).

10 10 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Problema 26 (Krief y Levy, página 82) Se consideran cuatro números reales a, b, c y d comprendidos entre 0 y 1. Determinar las condiciones necesarias y suficientes que deben verificar estos cuatro números para que se pueda definir un espacio probabilístico (Ω, A, P) y dos sucesos A y B en este espacio verificando que: P(A B) = a, P(A B c ) = b, P(B A) = c y P(B A c ) = d. Problema 27 Hay sucesos que son independientes de sí mismo. Por ejemplo, el suceso vacío verifica que P( ) = P( ) = 0 y por lo tanto es independiente de sí mismo. Qué ha de verificar un suceso para que sea independiente de sí mismo? Problema 28 Dos jugadores A y B juegan a un juego en el que cada uno de ellos puede efectuar n lanzamientos de dos dados, siendo A quien comienza. Las reglas del juego son las siguientes: Si A obtiene una suma 6 con los dados antes de que B haya obtenido una suma 7, A gana el juego. Si es B quien obtiene el 7 antes de que A haya obtenido el 6, es B quien gana. El juego termina en empate cuando ambos han agotado su n lanzamientos. Encontrar las expresiones de p A (n), p B (n) y p E (n) que denotan, respectivamente, que el ganador es A, el ganador es B o el juego termina en empate. Calcular sus límites cuando n. Problema 29 Sean A y B dos sucesos incompatibles con probabilidad distinta de cero. Cuál es la probabilidad de que A ocurra antes que B si el experimento se repite indefinidamente? Problema 30 (El juego de craps) Un jugador lanza dos dados, si la suma del primer lanzamiento es 7 u 11 gana, si la suma es 2, 3 o 12 pierde y si la suma es cualquier otro número continua lanzando hasta que aparezca una suma 7 o la suma que inicialmente obtuvo. Si aparece la suma 7 antes que la suma inicial pierde, en caso contrario gana. Calcular la probabilidad de que gane el juego. Problema 31 (El segundo problema de Huygens) El holandés Christian Huygens publicó en 1657 uno de primeros libros sobre Probabilidad que se conocen, De Ratiociniis in Ludo Aleae (Del Razonamiento en los Juegos de Azar), en el que planteaba una serie de problemas. El que se conoce como segundo problema de Huygens lo enunciamos a continuación Tres jugadores A, B y C participan en el siguiente juego. Una urna contiene a bolas blancas y b negras. Los jugadores, en el orden ABCABC..., extraen una bola con reemplazamiento hasta que uno de ellos obtiene una bola blanca y gana. Encontrar la probabilidad de ganar para cada jugador. Problema 32 (El problema de los puntos o del reparto de la apuesta) Dos jugadores A y B juegan a un juego consistente en un número indeterminado de partidas. La probabilidad de ganar en cada partida es p para A y 1 p para B. Aquel de los dos que consigue antes vencer en r partidas gana el juego y la apuesta que ambos hicieron. Si el juego se interrumpe antes de finalizar, cómo se debe repartir la apuesta? Problema 33 Utilizando argumentos probabilísticos, probar la igualdad (A > a) 1 + A a (A a)(a a 1) (A a) A 1 (A 1)(A 2) (A 1)...(a + 1)a = A a Sugerencia.- Una urna con A bolas de las cuales a son blancas, extracciones sucesivas sin reemplazamiento, primera bola blanca, etc.

11 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA11 Problema 34 ( ) Se lanza un dado una vez, si sale 1 se saca una bola de la urna I, si sale 2 o 3 se saca de la urna II, y en otro caso se saca de la urna III. La urna I tiene 5 bolas blancas, 3 verdes y 2 rojas; la urna II tiene 1 blanca 6 verdes y 3 rojas; la III tiene 3 blancas, 1 verde y 6 rojas. Determina las probabilidades siguientes: 1. que se elija una bola roja 2. que se haya seleccionado la urna II si ha salido roja. Problema 35 Proporcionamos a A un trozo de papel para que escriba un signo + o un signo, sabiendo que escribe el primero con probabilidad 1/3. El papel pasa a B, quien lo deja como está o cambia el signo antes de pasarlo a C. A continuación C, que puede o no haber cambiado el signo, lo pasa a D, quien finalmente nos lo devuelve tras haber introducido o no algún nuevo cambio. Si comprobamos que el papel tiene escrito un signo + y sabemos que la probabilidad de que B, C y D cambiaran el signo es 2/3, obtener la probabilidad de que A escribiera originalmente un signo +. Problema 36 Un aparato de diagnóstico automático emite un diagnóstico basado en el resultado de n análisis de un mismo paciente. Cada análisis, independientemente de los restantes, puede dar un resultado erróneo con probabilidad p. La probabilidad de un buen diagnóstico, condicionada al número de análisis correctos, es una función creciente de dicho número, g(m). Durante una mañana la máquina ha diagnosticado a k pacientes. Encontrar la probabilidad del suceso A ={al menos un paciente está mal diagnosticado}. Particularizar el resultado para g(m) = m/n. Problema 37 Un taxi se ve involucrado en un accidente nocturno. En la ciudad hay dos compañías de taxis, los taxis Negros y los taxis Blancos. Se sabe que el 85% de los taxis de la ciudad son Negros y el 15% restante son Blancos. Un testigo del accidente afirma que el taxi involucrado era Blanco y la fiabilidad de su testimonio es del 80%, es decir, es capaz de identificar correctamente el color del taxi el 80% de las veces. 1. Sin ningún cálculo previo, piensas que es más probable que el taxi accidentado fuera el Negro o el Blanco? 2. Calcula la probabilidad de que el taxi accidentado fuera el Blanco y compara ambas respuestas. 3. Supongamos que para 0 p 1 el 100p% de los taxis son Blancos y que la fiabilidad del testigo continúa siendo del 80%. Estudia la sensibilidad a los datos de la respuesta anterior viendo como varía ésta en función de p. A partir de qué valor de p la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5? 4. El análisis anterior puede completarse permitiendo que la fiabilidad del testigo sea variable, 100q %, con 0 q 1. Determina la región dentro del cuadrado {(p, q) : 0 p 1, 0 q 1} en la que la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco el accidentado supera 0.5. Cuando en todo cuanto precede nos referimos a la probabilidad de que haya sido el taxi Blanco se sobrentiende que dado que el testigo afirma que era Blanco.

12 12 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Problema 38 (El coche y las cabras) En un concurso de TV hay tres puertas, una de ellas esconde un coche y las otras dos sendas cabras. El concursante elige una de las puertas y obtiene como premio aquello que la puerta oculta, pero la puerta permanece cerrada y el presentador, que conoce lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las otras dos puertas y aparece una cabra (lógicamente el presentador nunca abre la puerta que oculta el coche). El presentador se dirige entonces al concursante y le permite cambiar su elección, qué le conviene hacer al concursante? Este concurso tuvo gran éxito a principios de los 90 en los USA y una conocida columnista de la revista Parade Magazine, Marylin vos Savant publicó que cambiando su elección el concursante doblaba su probabilidad de ganar el coche, pues ésta pasaba del 1/3 inicial a 2/3. Su afirmación era correcta. Compruébalo. Problema 39 El color de las flores de una cierta planta depende de dos genes, uno que recibe del padre y el otro de la madre. Si los dos genes son idénticos entonces la flor tiene ese color; sin embargo, con genes diferentes la flor tiene bandas con cada uno de los dos colores. Los genes presentes en la población corresponden a los colores azul, amarillo y verde y su proporción en la población es p, q y r (de modo que p + q + r = 1). Seleccionamos los padres de una planta aleatoriamente dentro de la población y consideramos: el suceso A consistente en que las flores del hijo tienen el color azul; el suceso B consistente en que las flores tengan más de un color. Se pide: 1. Determinar la probabilidad de los dos sucesos. 2. Demostrar que los dos sucesos son independientes si p = 2 3 y q = r = Son estos los únicos valores de p, q y r que hacen a los sucesos A y B independientes? Problema 40 Un test para diagnosticar cierta enfermedad tiene una sensibilidad del 95% y una especificidad del 99%. Si la enfermedad en cuestión tiene una prevalencia del 0.5%, cuál es el valor predictivo del test? Problema 41 Supongamos una clase con n estudiantes. Uno de ellos conoce una historia sobre Jesulín. Se la cuenta a uno de sus compañeros elegido al azar. A su vez este segundo estudiante vuelve a contarla a otro compañero diferente del que se la ha contado elegido al azar. El rumor sigue propagándose de este modo. En cada ocasión la persona cuenta la historia a otra del grupo elegida al azar excluyendo a la persona que le ha informado. Cuál es la probabilidad de que la historia se cuente k veces sin que se la cuenten dos veces al mismo individuo? Sugerencia:definid los sucesos A i con i = 1,...,k consistentes en que la historia no se repite la i-ésima vez que se cuenta. A partir de estos sucesos definir el suceso de interés. Problema 42 Un sistema compuesto por n componentes trabaja en paralelo si funciona cuando al menos una componente funciona. Si la componente i funciona independendientemente de las demás con probabilidad p i para i = 1,...n, cuál es la probabilidad de que el sistema funcione? Problema 43 Ha desaparecido un avión y se cree que es igualmente probable que se encuentre en cualquiera de las regiones R 1, R 2 o R 3. Sea 1 α i la probabilidad de que se encuentre el avión mientras se busca en la región i (en la práctica estas probabilidades dependen de las condiciones geográficas y del entorno de las regiones). Cuál es la probabilidad de que el avión se encuentre en la región i dado que la búsqueda en la región 1 ha sido infructuosa? Problema 44 Si se lanzan dos dados equilibrados

13 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA13 1. cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea un 6 dado que los dos números que han salido son diferentes? 2. cuál es la probabilidad de que el primero de ellos sea un 6 sabiendo que la suma de los dos números que han salido es i? Hállala para todos los valores de i entre 2 y 12. Problema 45 Es el doble de probable desarrollar un embarazo ectópico para una embarazada fumadora que para una embarazada no fumadora. Si el 32 % de las mujeres en edad fértil son fumadoras, qué porcentaje de mujeres con embarazos ectópicos son fumadoras? Problema 46 Supongamos que el tiempo (seco o lluvioso) mañana será el mismo que el de hoy con probabilidad p. Si el tiempo el 1 de enero es seco, demuestra que P n, que es la probabilidad de que sea seco n días después, satisface: Demuestra que P n = (2p 1)P n 1 + (1 p), n 1 P 0 = 1. P n = (2p 1)n 2 Problema 47 Tres prisioneros A, B y C son informados por su carcelero de que se ha elegido al azar a uno de ellos para ser ejecutado y que los otros dos van a ser liberados. El prisionero A le pide al carcelero que le diga en privado cuál de sus compañeros va a ser liberado, asegurándole que no pasa nada porque le dé esa información puesto que él sabe que al menos uno de los otros dos quedará libre. El carcelero no quiere contestar la pregunta porque dice que si A supiera cuál de sus dos compañeros va a ser liberado entones su propia probabilidad de ser ejecutado subiría de 1 3 a 1 2 porque entonces él sería uno de los dos que podría ser ejecutado. Qué piensas del razonamiento del carcelero? Problema 48 A y B se enfrentan en duelo. Las reglas del duelo son que ambos tienen que recoger el arma y disparar al otro simultáneamente. Si uno o ambos resultan heridos, el duelo se acaba. Si ambos fallan repiten el proceso. Supongamos que los resultados de los disparos son independientes y que un disparo de A alcanza a B con probabilidad p A y que un disparo de B alcanza a A con probabilidad p B. Cuál es 1. la probabilidad de que A no resulte herido; 2. la probabilidad de que ambos duelistas resulten heridos; 3. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos; 4. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos dado que A no ha sido herido; 5. la probabilidad de que el duelo acabe después de n rondas de disparos dado que ambos duelistas han sido heridos? Problema 49 Supongamos que tenemos 10 monedas de manera que si se lanza la i-ésima moneda sale care cara con probabilidad i 10 para i = 1,...,10. Cuando se selecciona aleatoriamente al azar una moneda y se lanza sale cara, cuál es la probabilidad de que la moneda seleccionada fuese la quinta?

14 14 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Problema 50 Dos armarios en apariencia idénticos tienen dos cajones. El armario A contiene una moneda de plata en cada cajón y el armario B tiene una moneda de plata en un cajón y una moneda de oro en el otro cajón. Se elige al azar un armario, se abre uno de los cajones y se encuentra una moneda de plata, cuál es la probabilidad de que haya una moneda de oro en el otro cajón? Problema 51 Un modelo simplificado para el cambio del precio de una acción en bolsa supone que cada día el precio de la acción aumenta 1 unidad con probabilidad p o baja 1 unidad con probabilidad 1 p. Los cambios en días diferentes se consideran independientes. 1. Cuál es la probabilidad de que después de dos días el precio sea el mismo? 2. Cuál es la probabilidad de que después de dos días el precio haya aumentado en 1 unidad? 3. Dado que al cabo de tres días el precio de la acción ha aumentado en 1 unidad, cuál es la probabilidad de que subiera el primer día? Problema 52 Una baraja de poker (52 cartas) se divide al azar en 4 montones de 13 cartas cada uno. Calcula la probabilidad de que cada montón contenga exactamente un as. Ayuda Define los sucesos E i, para i = 1, 2, 3, 4 como sigue y usa la regla de la multiplicación: E 1 = {el as de picas está en cualquiera de los montones} E 2 = {el as de picas y el as de corazones están en montones diferentes} E 3 = {los ases de picas, corazones y diamantes están en montones diferentes} E 4 = {los 4 ases están en montones diferentes} Problema 53 Hay 12 bolas en una urna. Tres jugadores A, B y C extraen sucesívamente una bola de la urna (primero A, después B y a continuación C). El ganador es el primero que extrae una bola blanca. Halla las probabilidades de ganar para cada jugador si 1. Cada bola se reemplaza después de su extracción. 2. Las bolas extraidas no se reintroducen en la urna. Problema 54 La probabilidad de ganar en un lanzamiento de dados es p. A empieza y si falla le pasa los dados a B, que intenta ganar en su turno. Continúan tirando los dados sucesívamente hasta que uno de ellos gana. Cuáles son las probabilidades de ganar de cada uno de ellos? Y si fueran k jugadores? Problema 55 Se busca un paraguas que, con probabilidad p 7, se encuentra en cualquiera de los siete pisos de un inmueble. Se han explorado en vano los seis primeros pisos. Cuál es la probabilidad de que el paraguas se encuentre en el séptimo piso? Problema 56 (Krief y Levy, página 87) Una urna contiene bolas blancas y bolas negras. Se efectúa una sucesión de n extracciones en la urna. Supongamos que la probabilidad de que la k-ésima bola sacada sea blanca, cuando las k 1 bolas precedentes lo fueron, es igual a 1 k+1. Calcular la probabilidad de que las n primeras bolas sacadas sean blancas. Problema 57 Una bola marcada puede estar en una cualquiera de las dos urnas que tenemos disponibles, con probabilidades p y 1 p, respectivamente. La probabilidad de extraer la bola de la urna en la que está alojada es r (r 1). Cuál es la mejor forma de utilizar n extracciones con reemplazamiento, de cualquiera de las dos urnas, para que la probabilidad de extraer la bola sea máxima?

15 1.2. PROBABILIDAD CONDICIONADA, TEOREMA DE BAYES E INDEPENDENCIA15 Problema 58 Disponemos de 3 cajas de 20 piezas cada una. El número de piezas que reúnen las condiciones de calidad exigidas son, respectivamente, 20, 15 y 10. De una de las cajas elegida al azar se extrae una pieza que resulta ser buena. Se devuelve a la caja y se extrae una segunda pieza que también resulta buena. Cuál es la probabilidad de que la caja elegida haya sido la tercera? Problema 59 Dos especies muy parecidas de champiñones (especies I y II) son difíciles de distinguir sin la ayuda de un microscopio. Un método de campo habitualmente utilizado consiste en observar la presencia o ausencia de un anillo en el champiñón. El 90% de los individuos de la especie I y el 20% de los de la especie II tienen el anillo. Se sabe también que en la zona en que se está trabajando el 70% de los champiñones son de la especie I. Se pide: 1. Supongamos que el recolector encuentra un champiñón con un anillo y decide que es de la especie I. Con qué probabilidad está en lo cierto? 2. Si todos los champiñones con anillo son clasificados como de la especie I y los que no lo tienen como de la especie II, qué proporción de champiñones estará correctamente clasificado? Problema 60 (Krief y Levy, página 85) Dos personas escriben al azar un número entero de dos cifras (comprendidas entre 10 y 99). 1. Se repite la experiencia n veces y se supone que los resultados son mutuamente independientes. Qué probabilidad tenemos de que las dos personas escriban, una vez al menos, el mismo número? Denotemos esta probabilidad por p(n). 2. Calcular p(100). 3. Cuántas veces haría falta repetir la experiencia para que p(n) sea igual al 0,99? Problema 61 Un jugador dispone de nueve dados: dos dados de tipo A, tres dados de tipo B y cuatro dados de tipo C. La tabla siguiente indica, para cada tipo de dado, el número de caras que llevan el número i (con i = 1,...,6) A B C El jugador elige al azar uno solo de estos dados y hace 421 en tres tiradas. Cuáles son las probabilidades respectivas de que haya jugado con un dado del tipo A, del tipo B o del tipo C? Problema 62 Se dispone de dos dados A y B. El dado A tiene cuatro caras rojas y dos caras blancas. El dado B tiene dos caras rojas y cuatro caras blancas. Se lanza una moneda: si se obtiene cruz se decide jugar únicamente con el dado A; si se obtiene cara se decide jugar únicamente con el dado B. Se pide calcular: 1. La probabilidad de obtener roja. 2. La probabilidad de obtener roja la tercera tirada sabiendo que ya se ha obtenido ese color en las dos primeras tiradas. 3. La probabilidad p n de haber utilizado el dado A sabiendo que se ha obtenido roja en las n primeras tiradas.

16 16 CAPÍTULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD Problema 63 (El problema de las coincidencias) Supongamos que 4 invitados llegan a una casa y dejan el sombrero en el vestíbulo. Si a la salida los recuperan de modo aleatorio, calcular la probabilidad de que ninguno de ellos reciba su propio sombrero. Resolver el mismo problema suponiendo que en lugar de cuatro invitados tenemos n invitados. Problema 64 Repetimos indefinidamente una prueba en la que la probabilidad de éxito es siempre la misma, p, siendo los resultados de las pruebas independientes unos de otros (se trata de una sucesión de pruebas de Bernoulli). Obtener la probabilidad de que a éxitos ocurran antes que b fracasos. Problema 65 (La paradoja de la urna vacía) Disponemos de una urna infinitamente grande y de una colección infinita de bolas numeradas. Procedemos a depositar las bolas en la urna de tres formas distintas. 1. A las 5 de la tarde menos 1 minuto introducimos las 10 primeras extrayendo la que lleva el número 10 (supongamos que la introducción y la sucesiva extracción consumen un tiempo 0). A las 5 menos 1 2 minuto depositamos las 10 bolas siguientes y extraemos la que lleva el número 20. A las 5 menos 1 4 las 10 siguientes extrayendo a continuación la que lleva el número 30. Y así sucesivamente. 2. El segundo procedimiento es análogo al anterior, pero las bolas que se extraen en cada en ocasión son las numeradas 1, 2, 3, En el tercer procedimiento las bolas se introducen como en los dos anteriores pero en cada decena la extracción se efectua al azar. Cuantas bolas habrá en la urna a las 5 de la tarde según el procedimiento empleado? Problema 66 (Krief y Levy, página 88) Se considera un conjunto de N + 1 urnas numeradas. Cada urna contiene N bolas rojas o blancas. En concreto la urna k contiene k 1 bolas blancas y N k + 1 bolas rojas. Se escoge al azar una urna y se toman n bolas devolviendo a la urna cada bola extraída antes de sacar la siguiente. 1. Determinar la probabilidad de que todas las bolas extraídas sean blancas. 2. Siempre en la hipótesis de extracciones con reeemplazamiento, determinar la probabilidad de que la n + 1-ésima bola extraída sea blanca sabiendo que las n bolas extraídas anteriormente han sido blancas. Dar valores aproximados de estas probabilidades en el caso en que N es grande.

17 Capítulo 2 Variables y vectores aleatorios 2.1. Variable aleatoria Problema 67 Los autobuses llegan a la estación de Salat a intervalos de 10 minutos empezando desde las 12 : 00. Un hombre llega a la parada un número aleatorio de minutos X después de las 12 : 00 si la función de distribución de X es: F(x) = 0 si x < 0 x 60 si 0 x 60 1 si x > 60 Cuál es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos? Problema 68 Comprueba que la función f Y (y) = 1 2 si y ( 1, 1) (0 en otro caso) es una densidad de probabilidad de una variable aleatoria Y. Halla la función de distribución de dicha variable aleatoria. Problema 69 La función de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por f X (i) = c λi i! para i = 0, 1,..., donde λ es una constante positiva. Halla P(X = 0) y P(X > 2) Problema 70 Se eligen dos bolas al azar sin reemplazamiento de una urna que contiene 8 bolas blancas, 4 bolas negras y 2 de color naranja. Supongamos que ganamos 2 euros por cada bola blanca elegida y perdemos 1 euro por cada bola blanca elegida. Sea X la variable que denota nuestras ganancias. Halla la función de cuantía (o probabilidad) de X. Problema 71 La función de distribución de X viene dada por: 0 si x < 0 F(x) = x 4 si 0 x < x 1 4 si 1 x < si 2 x < 3 1 si x 3 1. Halla P(X = i) para i = 1, 2, 3 17

18 18 CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS 2. Halla P( 1 2 < X < 3 2 ) Problema 72 La función de distribución de X viene dada por: 0 si x < si 0 x < 1 F(x) = 3 5 si 1 x < si 2 x < si 3 x < 3,5 1 si x 3,5 Halla la función de cuantía de X. Problema 73 Un vendedor de enciclopedias ha concertado dos citas con dos posibles compradores. Conseguirá vender una enciclopedia en la cita con el primer cliente con una probabilidad de 0,3 y lo logrará en la cita con el segundo con una probabilidad de 0,6 (independientemente de lo que haya sucedido con el primero). Si vende la enciclopedia de lujo ingresa 1000 euros mientras que si vende la normal ingresa 500 euros. Supongamos que es igualmente probable que venda cualquiera de las dos enciclopedias. Halla la función de cuantía de X que representa el total de los ingresos del vendedor. Problema 74 Cinco números distintos se distribuyen al azar entre 5 jugadores numerados del 1 al 5. Cuando dos jugadores comparan sus números el que lleva el número más alto es el ganador. Inicialmente los jugadores 1 y 2 comparan sus números, el ganador se compara con el jugador 3, y así sucesivamente. Denotamos por X el número de veces que gana el jugador 1. Halla P(X = i) para i = 1, 2, 3, 4. Problema 75 Una moneda no correcta con probabilidad de cara p y probabilidad de cruz 1 p es lanzada hasta que aparece una cara o tres veces, lo que ocurra antes. Si X es el número de lanzamientos que se realizan, se pide determinar la distribución de X. Problema 76 (Examen ) Probar que para cualquier función de densidad de probabilidad se verifica + lím x 1 f(z)dz = 0. x + x z Problema 77 Para qué valores de la constante C las funciones siguientes son funciones de cuantía sobre los enteros positivos? 1. Geométrica f(x) = C2 x 2. Logarítmica f(x) = C 2 x x 3. Inversa cuadrado f(x) = C x 2 4. Poisson modificada f(x) = C 2x x!

19 2.1. VARIABLE ALEATORIA 19 Problema 78 El responsable de una tienda de electrónica compra cierta clase de piezas en lotes de tamaño 10. Su política consiste en inspeccionar 3 al azar de cada lote y aceptarlo sólo si las 3 funcionan correctamente. Si una quinta parte de los lotes contiene 4 piezas defectuosas y los demás sólo una pieza defectuosa, qué proporción de lotes rechazará? Problema 79 Para una distribución hipergeométrica halla P(X=k+1) P(X=k). Cuál es la moda de una H(N, n, r)? Problema 80 (Examen ) Una urna contiene n papeletas numeradas de 1 a n inclusive. Extraemos r al azar. Sea X el número mayor obtenido si las papeletas se reemplazan después de cada extracción y sea Y el número mayor si las papeletas no se reemplazan en la urna. Determinar las funciones de distribución, las funciones de cuantía (o probabilidad) y demostrar que F Y (k) < F X (k) para 0 < k < n. (2.1) Problema 81 En un proceso de fabricación de hilados se producen roturas del hilo de manera aleatoria a lo largo del tiempo. Es importante conocer cuando y cómo pueden producirse dichas roturas. Supongamos que un trabajador controla 800 husos y que la probabilidad de rotura del hilo en cada bobina, durante un cierto intervalo de tiempo τ, es p = 0,005. Encontrar el número de roturas más probable y la probabilidad de que se produzcan a lo sumo 10 roturas. Problema 82 Samuel Pepy, contemporáneo de Isaac Newton, sabía que al lanzar 6n dados el número esperado de seises era n. A partir de este resultado deducía que los sucesos A n ={al menos n seises al lanzar 6n dados}, n = 1, 2, 3, tenían todos igual probabilidad. Isaac Newton hubo de sacarlo de su error. 1 Problema 83 Sea X el número de pruebas de Bernoulli necesarias para obtener un éxito y un fracaso. Determinar la distribución de probabilidad de X. Problema 84 Una moneda de 1 cm de diámetro se lanza y cae dentro de una lata cilíndrica cuyo fondo tiene 5 cm de diámetro (la moneda cae plana, no de canto). 1. Cuál es la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata? 2. Supongamos que en lugar de usar una lata cilíndrica se tira en una caja cuyo fondo es un cuadrado cuyos lados miden 5 cm, cuál es ahora la probabilidad de que la moneda cubra el centro del fondo de la lata? Problema 85 Un testigo experto en un juicio sobre una supuesta paternidad testifica que la longitud en días de un embarazo (es decir desde el momento de la concepción hasta el momento del parto) se distribuye aproximadamente según una Normal con parámetros µ = 270 y σ = 10. El presunto padre puede demostrar que estuvo fuera del país durante un período de tiempo que empezaba 290 días antes del nacimiento del niño y que acababa 240 días antes del nacimiento. Si el acusado fuese realmente el padre de la criatura, y suponiendo que es verdad lo que asegura el experto cuál sería la probabilidad de que la madre tuviera un embarazo tan largo o tan corto? 1 El problema, que es de fácil solución y puede incluso parecer ingenuo a algún lector, se recoge aquí por su interés histórico y también porque el autor de esta colección ha tenido ocasión de comprobar que los émulos actuales de Samuel Pepy son todavía numerosos

20 20 CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS Problema 86 La mediana de una variable aleatoria contínua con función de distribución F es aquel valor m tal que F(m) = 1 2. Es decir es igual de probable que una variable aleatoria sea mayor que su mediana como que sea menor que ella. La moda de una variable aleatoria contínua con función de densidad f es el valor de x para el que f(x) alcanza su máximo. Halla la mediana y la moda de X si X se distribuye 1. U(a, b) 2. N(µ, σ) 3. Exp(λ) Problema 87 Un bit es trasmitido repitiéndolo n veces. El mensaje es interpretado asignando el valor que más veces se recibe. Por ejemplo: si n = 5 y el mensaje recibido es entonces concluimos que se envió un 0 (se repite 3 veces frente a las dos veces que se repite el 1). Suponiendo que n es un número impar y que cada bit del mensaje es transmitido correctamente con probabilidad p, independientemente de los demás bits, determina la probabilidad de que el mensaje sea recibido correctamente (se reciba el bit que se trasmitió). Problema 88 Consideremos la distribución Beta con parámetros a y b. Demuestra que 1. cuando a > 1 y b > 1, la densidad es unimodal, es decir tiene una única moda que es m = a 1 a+b 2 ; 2. cuando a 1, b 1 y a + b < 2, la densidad es o bien unimodal con moda en 0 o en 1 o bien tiene forma de U con modas tanto en 0 como en 1; 3. cuando a = 1 = b, todos los puntos de [0, 1] son modas. Problema 89 Un fabricante de bolas para rodamientos somete su producto al siguiente proceso de control de calidad. Las bolas son aceptadas si no pasan a través de un agujero de diámetro d 1, pero sí lo hacen a través de otro de diámetro d 2, d 2 > d 1. Se sabe que el diámetro D de las bolas es aleatorio con una distribución N(µ, σ 2 ), µ = (d 1 + d 2 )/2 y σ = (d 2 d 1 )/4. Cuál es la probabilidad de rechazar una bola? Problema 90 El tiempo que tardan en ser atendidos los clientes del servicio de caja de cierta sucursal bancaria es una variable aleatoria T Exp(λ), con λ = 0,2. Durante una mañana han llegado 10 clientes, cuál es la probabilidad de que a lo sumo 3 de ellos hayan tardado más de 6 minutos en ser atendidos? (Suponemos que los clientes son atendidos independientemente unos de otros). Problema 91 (Los sorteos de La Primitiva) Un asiduo de La Primitiva anda un tanto preocupado al comprobar que en los 18 últimos sorteos hay algunos números que no han sido extraídos. Piensa que las 108 extracciones (18 6) suponen un poco más del doble de 49 y que por tanto cada número debería haber aparecido, aproximadamente, unas dos veces. Y si el sorteo no fuera correcto? Habrá números más probables que otros? Problema 92 Un comerciante vende semillas en paquetes de 50. Supongamos que cada semilla germina con una probabilidad de 0,99 independientemente de las demás. El comerciante promete cambiar al comprador cualquier paquete que contenga 3 o más semillas que no germinen. Cuál es la probabilidad de que el comerciante tenga que cambiar más de 40 paquetes de los 4000 que ha vendido?

21 2.2. VECTOR ALEATORIO 21 Problema 93 En una ciudad se va a someter a tratamiento a los niños de seis años más bajos que cierta talla. En esta ciudad hay 6580 niños de esta edad, y su estatura sigue una distribución normal de 119 cm de media y 4 cm de desviación típica. Se va a realizar una campaña informativa indicando una talla por debajo de la cual se ha de tratar a los niños. Los servicios de endocrinología de la ciudad solo pueden atender a 750 niños. Se pregunta: 1. Qué talla en cm deberá indicar la campaña? 2. En cuantos niños se verá desbordado el servicio de endocrinología si la campaña indica por error un cm más? 2.2. Vector aleatorio Problema 94 Lanzamos tres veces consecutivas una moneda y definimos las variables aleatorias X ={número de caras en los dos primeros lanzamientos} e Y ={número de caras en los dos últimos lanzamientos}. Obtener la distribución de probabilidad conjunta de X e Y, sus marginales y el coeficiente de correlación entre ambas. Problema 95 Sean X 1, X 2,...,X n variables aleatorias con función de distribución conjunta F y con funciones de distribución marginales F 1, F 2,..., F n. Demostrar que 1 n i=1 [1 F i (x i )] F(x 1, x 2,...,x n ) mín 1 i n F i(x i ). Problema 96 Los 4 tipos de sangre principales se presentan en la población de los EEUU de acuerdo con los siguientes porcentajes: Tipo A B AB 0 Porcentaje 42% 10% 4% Si se eligen al azar a dos personas de esta población, cuál es la probabilidad de que su sangre sea del mismo tipo? 2. Si se eligen cuatro personas al azar, sea P(k) la probabilidad de que haya exactamente k tipos sanguíneos diferentes. Halla P(k) para k = 1, 2, 3 y 4. Problema 97 Escogemos aleatoriamente un punto del interior de un disco de radio R. Sea X la distancia del punto elegido al centro del disco. Halla la función de distribución de X Independencia de variables aleatorias Problema 98 Consideremos el espacio de probabilidad (Ω, A, P) y sean A 1 y A 2 dos sucesos. Definimos X 1 = 1 A1 y X 2 = 1 A2, las funciones características asociadas. Demostrar que X 1 y X 2 son independientes si y sólo si A 1 y A 2 lo son. Problema 99 Dos personas lanzan, cada una de ellas, n veces una moneda. Obtener la probabilidad de que ambas obtengan el mismo número de caras. Problema 100 Tenemos dos líneas de comunicación telefónica paralelas de longitud l, separadas por una distancia d < l. Sabemos que, al azar y de manera independiente, se producen sendas roturas a lo largo del recorrido de cada una de ellas. Encontrar la probabilidad de que la distancia R entre ambas roturas no sea superior a c.

22 22 CAPÍTULO 2. VARIABLES Y VECTORES ALEATORIOS Problema 101 Elegimos al azar dos puntos, X e Y, en el intervalo [0, a]. Calcular la función de distribución de la distancia entre ellos. Problema 102 Sea {X k } k 1 una colección de variables aleatorias independientes U(0,1). Sea 0 < x < 1, definimos N = mín{n 1 : X 1 + X X n > x}. Encontrar P(N > n). Problema 103 Se escogen al azar dos números a y b, a en el intervalo [1, 3] y b en el intervalo [ 1, 1]. Halla la probabilidad de que la ecuación x 2 + ax + b = 0 tenga dos raíces reales. Problema 104 Escogemos dos números al azar entre 0 y 1. Cuál es la probabilidad de que el primero sea mayor o igual que el cuadrado del segundo y al mismo tiempo que el segundo sea mayor o igual que el cuadrado del primero? Problema 105 Tenemos una urna con 12 bolas numeradas de 1 a 12. Extraemos dos bolas y denotamos por X 1 y X 2 los valores que observamos en la primera y en la segunda extracción. Sea X la variable definida como el máximo de las dos extracciones. Se pide: 1. Determinar la función de distribución de la variable X si suponemos que las dos extracciones se realizan con reemplazamiento. 2. Determinar la función de distribución de la variable X si suponemos que no hay reemplazamiento entre las dos extracciones. Problema 106 (Examen ) Las puntuaciones obtenidas por los estudiantes del centro A en las pruebas de selectividad se distribuyen N(µ = 6,25, σ 2 = 1), mientras que las de los estudiantes del centro se distribuyen N(6, 1,5). Elegimos al azar 2 estudiantes del centro A y 3 del centro B. Se pide: 1. la probabilidad de que la puntuación media de los 2 estudiantes de A sea superior a la puntuación media de los 3 de B, y 2. la probabilidad de que al escoger al azar uno de los 5 estudiantes, su nota sea superior a 6,5. Problema 107 Sean {X k, k = 1,...,n} variables aleatorias i. i. d. con distribución U(0, 1). Tomemos 0 < x < 1 y definamos Encontrar P(N > n). N = mín{n 1; X 1 + X X n > x}. Problema 108 Un grupo de 10 personas han quedado para comer entre las 12 : 00 y las 12 : 15. Cada persona llega al restaurante independientemente de las demás y según una distribución uniforme en el intervalo de tiempo anterior. 1. Eva y María son dos miembros del grupo. Halla la probabilidad de que Eva llegue al menos dos minutos antes que María. 2. Halla la probabilidad de que la primera persona en llegar aparezca antes de las 12 : 05 y de que la última llegue después de las 12 : 10. Problema 109 Inyectamos a unos ratones microorganismos del tipo A y B en igual proporción. Se supone que los microorganismos efectivos de cada tipo se distribuyen independientemente con arreglo a una misma distribución de Poisson de parámetro λ. Un ratón sobrevive si y sólo si no hay microorganismos efectivos en la dosis inyectada. A los ratones muertos se les examina para ver si contenían microorganismos de uno o de los dos tipos. Encontrar la probabilidad de que un ratón muerto contenga microorganismos de un solo tipo.