Rubén Ruiz, Concepción Maroto, Javier Alcaraz.

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1 27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8 11 de abril de 2003 UN ALGORITMO GENÉTICO HÍBRIDO PARA EL TALLER DE FLUJO DE PERMUTACIÓN Rubén Ruiz, Concepción Maroto, Javier Alcaraz. Departamento de Estadística e Investigación Operativa Aplicadas y Calidad Universidad Politécnica de Valencia, Valencia, España rruiz@eio.upv.es, cmaroto@eio.upv.es, jalcaraz@eio.upv.es RESUMEN En este trabajo se propone un nuevo algoritmo genético para resolver el conocido problema del taller de flujo de permutación con el criterio de minimizar la duración total (makespan). Este algoritmo incorpora técnicas avanzadas como la hibridación de algoritmos genéticos y búsqueda local, así como la inicialización de la población mediante heurísticas eficientes. Asimismo se presenta una completa evaluación de los operadores y parámetros del algoritmo genético mediante técnicas de Diseño de Experimentos. Por último, evaluamos la eficiencia del algoritmo genético frente a otros algoritmos genéticos, tabu search, simulated annealing y otras técnicas avanzadas recientes. Palabras y frases clave: algoritmos genéticos, taller de flujo. Clasificación AMS: 90B35, 90C Introducción En un taller de flujo de permutación se dispone de m máquinas (1,...,m) en las que hay que procesar n trabajos o tareas, (1,...,n). Todos los trabajos tienen la misma secuencia de proceso en las máquinas. Al ser de permutación el orden de los trabajos en la secuencia es el mismo para todas las máquinas, no se permite alterar la secuencia a lo largo del proceso, esto es, no se permite (job passing). El objetivo es encontrar una secuenciación de los trabajos en las máquinas de tal manera que se optimice algún criterio dado. El criterio más utilizado en la literatura es la minimización del tiempo de flujo total o makespan de la secuencia (C max ). Para este problema existen una serie de simplificaciones (Baker (1974)): Cada trabajo i puede ocupar, como mucho, una máquina j al mismo tiempo. Cada máquina m puede procesar, a lo sumo, un trabajo i a la vez. 1

2 El proceso de un trabajo i en una máquina j no se puede interrumpir. Todos los trabajos son independientes entre sí y se encuentran disponibles en el instante 0. Los tiempos de cambio de partida de los trabajos en las máquinas son independientes de la secuencia y están incluidos en los tiempos de proceso. Las máquinas se encuentran continuamente disponibles. Se permite almacenar producto en curso. Este problema se clasifica como F//C max de acuerdo a la notación α/β/γ sugerida por Graham et al. (1979) o como n/m/p/f max según Pinedo (1995) y es N P- Completo cuando m 3 (ver Garey et al. (1976)). De manera general, existen un total de n! secuencias o posibles ordenaciones de los trabajos. Este trabajo aporta un nuevo algoritmo genético para el problema del taller de flujo de permutación con características novedosas y que se compara favorablemente con otros algoritmos de la literatura. Para evaluar la eficiencia del algoritmo se hace uso del banco de datos Taillard (1993), que consta de un total de 120 problemas de tamaños de hasta 500x20 y que han demostrado ser muy difíciles de resolver. En la sección 2 se comentan varios algoritmos genéticos, así como otras técnicas existentes para el taller de flujo de permutación (PFSP a partir de ahora). En la sección 3 se expone el nuevo algoritmo genético diseñado para este problema. En la sección 4 se ilustra la metodología seguida para la correcta parametrización del algoritmos, que está basada en el diseño de experimentos (DOE). El algoritmo resultante se compara con otros algoritmos genéticos así como con otras técnicas para el PFSP en la sección 5. Finalmente, en la sección 6 se comentan los resultados de este trabajo. 2. Algoritmos genéticos y el problema del taller de flujo de permutación Uno de los primeros algoritmos genéticos que se conocen para el PFSP se debe a Chen et al. (1995). Se trata de un algoritmo genético simple con varias mejoras. De la población inicial, m 1 individuos se generan con las m 1 secuencias que se obtienen tras aplicar el algoritmo heurístico CDS de Campbell et al. (1970) y el individuo en la posición m-ésima se genera con el método Rapid Access RA de Dannenbring (1977). El resto de individuos se generan por simples intercambios de los trabajos en las secuencias de los individuos anteriores. Tan solo se aplica operador de cruce (no hay mutación), el cruce utilizado es el Partially mapped crossover o PMX de Goldberg y Lingle (1985). Este tipo de cruce se ha aplicado con éxito al problema del viajante de comercio y es aplicable al PFSP dado que la codificación 2

3 de la población es la misma para los dos problemas. Reeves (1995) también desarrolló un Algoritmo Genético. En este caso la descendencia generada en cada paso tras el cruce y la mutación no reemplaza a los padres sino que reemplaza a aquellos individuos de la población con una función de adecuación inferior a la media. Utiliza un cruce llamado C1, equivalente al cruce One Point Order Crossover o cruce de un punto. El algoritmo utiliza un esquema de mutación dinámico que cambia la probabilidad de mutación de acuerdo con la diversidad de la población. El algoritmo utiliza una mutación tipo shift en el que simplemente se escoge al azar un trabajo y se cambia de posición. La población inicial es aleatoria, exceptuando uno de los individuos, que se genera por el método NEH (ver Nawaz et al. (1983)). Este algoritmo fue uno de los primeros en probarse con el benchmark de Taillard (1993) para evaluar los resultados. Los Algoritmos Genéticos propuestos por Murata et al. (1996) usan el cruce de dos puntos, una mutación de desplazamiento de los trabajos y la técnica elitista para obtener buenas soluciones. Los autores hicieron pruebas para contrastar el rendimiento de estos algoritmos frente a implementaciones de Tabu Search, Simulated Annealing y búsqueda local. Las pruebas dieron como resultado que el Algoritmo Genético resultaba ser el peor de los tres. Después implementaron versiones híbridas del Algoritmo Genético mezclado con Tabu Search, Simulated Annealing y búsqueda local. En estos algoritmos híbridos hay una fase de mejora de las secuencias antes de la selección y el cruce, esta mejora se hace a partir de Tabu Search, Simulated Annealing o búsqueda local. Los algoritmos híbridos resultaron ser mejores que las versiones simples, en especial el genético hibridizado con búsqueda local. Otro Algoritmo Genético híbrido se debe a Yamada y Reeves (1997), en este caso se utiliza el cruce Multi-step crossover fusion o MSXF que junta las ideas de cruce genético con búsqueda local. Los resultados de este algoritmo son prometedores y los autores encontraron nuevas cotas inferiores para los problemas de Taillard. Recientemente, Ponnambalam et al. (2001) evalúan un Algoritmo Genético que utiliza el cruce GPX Generalized Position Crossover así como una mutación por intercambio de trabajos e inicialización de la población de manera aleatoria. 3. Nuevo algoritmo genético Un algoritmo genético se compone de varios operadores, normalmente estos operadores son: selección, cruce y mutación. Éstos trabajan sobre poblaciones de individuos, también llamados cromosomas y que en nuestro caso no son más que secuencias de trabajos o soluciones para el PFSP. La manera en la que las soluciones se codifican en un cromosoma se conoce como representación. En nuestro problema la representación comúnmente aceptada (prácticamente la única) es una cadena de enteros que indica la permutación de los trabajos. Aparte de los distintos operadores también hay que tener en cuenta un serie de probabilidades que afectan a la mutación y al cruce, el tamaño de la población y 3

4 cómo evaluamos los individuos (función de adecuación). En conjunto podemos tener un mínimo de 6 o 7 parámetros que pueden afectar al rendimiento del algoritmo genético. Es conocido que la calidad de los resultados es muy dependiente de los operadores escogidos así como de los parámetros. En todos los trabajos anteriormente citados no se aplica ningún método sistemático para evaluar las distintas combinaciones posibles de operadores y/o parámetros. Por norma general, los autores utilizan simulaciones cortas con las que van evaluando los parámetros por separado, utilizando la técnica de un factor cada vez, donde por ejemplo se evalúan distintos operadores manteniendo constantes el resto de parámetros. Esta metodología no permite evaluar las distintas interacciones entre los factores. Para poder tener en cuenta interacciones podemos utilizar las técnicas de diseño de experimentos (DOE) que pueden consultarse en Montgomery (1997). La aplicación del DOE a los algoritmos genéticos no es nueva, Bagchi y Deb (1996) mostraron como utilizar diseños de experimentos para parametrizar un algoritmo genético simple (aunque no aplicado al PFSP), nosotros utilizaremos la misma técnica para evaluar el algoritmo genético propuesto. Vamos ahora a discutir los distintos aspectos del algoritmo genético Inicialización de la población A partir de los trabajos citados se puede obtener la conclusión de que con una inicialización de la población completamente aleatoria no se obtienen buenas soluciones, generalmente, con una buena población de partida nos aseguramos unos buenos resultados. Por otro lado, las inicializaciones propuestas por Chen et al. (1995) y Jain y Bagchi (2000) crean una población inicial demasiado homogénea, por ejemplo, Jain y Bagchi, evalúan algoritmos genéticos simples donde el 100% de las soluciones iniciales se generan con la regla de Palmer (ver Palmer (1965)), esto quiere decir que todos los individuos son exactamente iguales, hecho que puede provocar problemas de convergencia prematura en el algoritmo genético. La inicialización de la población en Reeves (1995) resulta ser más eficaz. Todos los individuos iniciales son aleatorios excepto uno de ellos, que se genera con la heurística NEH. En el algoritmo genético propuesto hemos aplicado este método con una ligera modificación; generamos un super individuo a partir de la heurística NEH y luego le aplicamos la heurística de mejora de Ho y Chang (1991). De esta manera tendremos una buena solución inicial en la población. Se han considerado dos tamaños de población distintos, 60 y 80, que se corresponden con los más utilizados en la práctica para este problema. 4

5 3.2. Selección Para la selección de los individuos hemos evaluado varios de los mecanismos más usuales, como son selección por ruleta, por torneo y por ranking. Los detalles de cómo funcionan estos metodos se pueden consultar el trabajo de Goldberg (1989) o Michalewicz (1996). Para evitar una convergencia prematura se ha utilizado un escalado lineal simple. En tests iniciales se pudo observar una inferioridad evidente del mecanismo de selección por ranking sobre los otros dos, por lo que se eliminó este mecanismo de la evaluación final de parámetros Cruce Para el cruce existen varias propuestas en la literatura. Dado que la representación de la población es una permutación, no se pueden repetir elementos y esto es vital para el operador. Si algún elemento se repite o es faltante la secuencia no será factible. Hemos evaluado los siguientes operadores: PMX o partially mapped crossover de Goldberg y Lingle (1985). UOB o Uniform Order Based, se trata de una mezcla entre el cruce uniforme y el cruce basado en orden. OP o One Point Order crossover, de nuevo se trata de una mezcla entre el cruce ce un punto y el cruce basado en orden. OX o Order crossover, propuesto inicialmente por Davis (1985). En cuanto a las probabilidades de cruce hemos contemplado dos probabilidades comúnmente utilizadas, como son 0,60 y 0, Mutación Hemos codificado tres sencillos esquemas de mutación que se corresponden con los métodos más utilizados en la codificación basada en permutación: Mutación SWAP (también cambio de posición aleatoria o mutación por intercambio). Dos trabajos seleccionados al azar intercambian sus posiciones. Mutación SHIFT. Un trabajo escogido al azar se cambia a una nueva posición también escogida al azar. Los trabajos entre la anterior posición y la nueva posición se desplazan convenientemente. Mutación POSITION. Es un caso concreto de la mutación SWAP. Un trabajo escogido al azar se intercambia con el trabajo adyacente (el siguiente en la secuencia). 5

6 Hemos elegido aplicar la mutación a cada gen del individuo (cada posición de la secuencia) en vez de aplicar la mutación a todo el individuo. De esta manera cada gen mutará con una probabilidad que puede ser de 0,01 o 0,05. En tests preliminares se probó el esquema de mutación adaptativa de Reeves (1995) y no se encontraron diferencias estadísticamente significativas con el esquema de mutación fija, así que se decidió mantener este último para no incrementar los tiempos de cómputo Fase de mejora Una característica de nuestro algoritmo es que después de la fase de mutación y de cruce aplicamos una fase de mejora. La originalidad estriba en que en vez de aplicar la mejora a todos los individuos nosotros definimos una probabilidad de mejora, de manera que tan solo unos pocos individuos pasen por esta fase. De esta manera se mantienen bajos los requerimientos computacionales. Definimos una probabilidad de mejora, para cada individuo generamos un número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1 y si este número es menor que la citada probabilidad entonces el individuo se mejora Para la fase de mejora existen varias alternativas. Se pueden aplicar por ejemplo las heurísticas de mejora de Dannenbring (1977) (Rapid Access with Close Order Search (RACS) y Rapid Access with Extensive Search (RAES)). También se puede aplicar una forma de búsqueda local. Hemos realizado una implementación de la búsqueda local iterativa de Stützle (1998) (ILS). En nuestra implementación la solución inicial se genera mediante la heurística NEH y el procedimiento LocalSearch se hace llamando a la heurística RAES. El procedimiento Modify es una mutación triple tipo SHIFT y el procedimiento AcceptanceCriterion se basa solamente en aceptar mejores soluciones (para detalles sobre ILS se puede consultar Ramalhino Lourenco et al. (2001)). El límite de iteraciones en la fase de mejora está limitado a 100. En tests previos al experimento completo se pudo constatar una enorme superioridad de ILS sobre los otros dos métodos, por lo que se decidió directamente utilizar ILS en la fase de mejora. Las probabilidades de mejora que se contemplan son 0,05 y 0, Comentarios adicionales Cuando se comparan distintos algoritmos (algoritmos genéticos en este caso) hay que tener especial cuidado porque al variar los parámetros, el número de secuencias que se evalúan puede variar drásticamente. Es muy común encontrar en la literatura el número de generaciones como criterio de parada en los algoritmos genéticos. Nosotros hemos escogido el número de secuencias evaluadas (makespans) como criterio de terminación. De esta manera podemos asegurarnos que el mismo número de soluciones se evalúan en cada caso. Hemos utilizado la técnica elitista en nuestro algoritmo. Tras cada generación los 6

7 dos mejores individuos de la generación anterior se copian directamente en la nueva generación. Esto junto con la inicialización del algoritmo nos va a asegurar una buena solución final aunque sólo permitamos un número muy limitado de iteraciones (evaluaciones de makespans). 4. Evaluación experimental del algoritmo El algoritmo propuesto se ha codificado en Delphi 6, resultando ser muy rápido después de varias optimizaciones en el código del mismo. Para la evaluación del algoritmo hemos escogido un total de evaluaciones de makespans como un buen balance entre la velocidad y la calidad de las soluciones. Se ha realizado un diseño factorial completo sobre los siguientes parámetros: Tipo de cruce: 4 niveles (PMX, UOB, OP y OX) Tamaño de la población: 2 niveles (60 y 80) Tipo de selección: 2 niveles (Ruleta y Torneo) Probabilidad de cruce: 2 niveles (0,6 y 0,8) Tipo de mutación: 3 niveles (SWAP, SHIFT y POSITION) Probabilidad de mutación: 2 niveles (0,01 y 0,05) Probabilidad de mejora: 2 niveles (0,05 y 0,1) Los citados parámetros o factores dan como resultado un total de = 384 combinaciones y por tanto algoritmos diferentes. Para cada algoritmo, se resuelve el set completo de problemas de Taillard (120 instancias que van desde problemas de 20 trabajos y 5 máquinas a 500 trabajos y 20 máquinas). Las pruebas se hicieron en un grupo de 4 ordenadores tipo PC equipados con procesadores Atlhon XP y 512 MB de memoria principal, cada PC evaluó 96 algorithms correspondientes a cada tipo de cruce. Con los resultados se realizó un ANOVA multifactor. En este punto es necesario recalcar que para que los resultados del ANOVA sean aceptables es necesario que se comprueben las hipótesis de normalidad, homocedasticidad e independencia del residuo. Estas hipótesis resultaron cumplirse convenientemente. La tabla del ANOVA puede verse en el cuadro 1. 7

8 Analysis of Variance for Total - Type III Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS A:Cross_Prob 0, , ,98 0,0000 B:Cross_Type 4, , ,74 0,0000 C:Enh_Prob 0, , ,81 0,0000 D:Mut_Prob 0, , ,13 0,0000 E:Mut_Type 4, , ,05 0,0000 F:Pop_Size 0, , ,50 0,0000 G:Selec_Type 5, , ,94 0,0000 INTERACTIONS AB 0, , ,03 0,0000 AE 0, , ,66 0,0006 AG 0, , ,24 0,0000 BE 0, , ,04 0,0000 BG 1, , ,98 0,0000 CE 0, , ,20 0,0159 DE 6, , ,60 0,0000 DG 1, , ,82 0,0000 EF 0, , ,06 0,0068 EG 3, , ,13 0,0000 FG 0, , ,25 0,0000 RESIDUAL 1, , TOTAL (CORRECTED) 32, Cuadro 1: Tabla del ANOVA para la evaluación del algoritmo genético. Tal y como podemos ver en la tabla, todos los efectos simples resultan ser estadísticamente significativos (se ha considerado una probabilidad de error de primera especie de α = 0,05). Algunas interacciones de orden 2 son también significativas (las interacciones de orden superior no resultaron ser significativas). Para evaluar las condiciones operativas óptimas del algoritmo es necesario centrarse en los efectos significativos e ir fijándolos a sus niveles óptimos por orden de significación. A partir de la tabla anterior podemos ver que el factor más significativo es el tipo de selección o Select Type. Al dibujar los niveles del factor frente a la desviación con respecto a la solución óptima, se puede determinar qué nivel es el más interesante. En la figura 1 puede verse que la selección por torneo proporciona soluciones consistentemente mejores. 8

9 Means and 95,0 Percent LSD Intervals Average % Dev over Opt 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 Roulette Tournament Selection Type Figura 1: Gráfico de medias para el tipo de selección. El segundo factor más importante resulta ser la interacción entre el tipo de mutación o Mut Type y la probabilidad de mutación o Mut Prob. En la figura 2 se puede observar el gráfico de esta interacción que indica que la mejor combinación es 0,01 para la probabilidad de mutación y una mutación tipo SHIFT. 9

10 Interactions and 95,0 Percent LSD Intervals Average % Dev over Opt 3 2,9 2,8 2,7 2,6 2,5 2,4 0,01 0,05 Mutation Type SWAP SHIFT POSITION Mutation Probability Figura 2: Gráfico de la interacción entre el tipo de mutación y la probabilidad de mutación. Otro factor interesante resulta ser el cruce. Se han probado 4 tipos de cruce y el gráfico de medias puede observarse en la figura 3. 10

11 Means and 95,0 Percent LSD Intervals Average % Dev over Opt 2,9 2,85 2,8 2,75 2,7 2,65 2,6 PMX UOB OP OX Cross Type Figura 3: Gráfico de medias para los tipos de cruce. Como podemos ver, no existen diferencias significativas entre los cruces PMX y UOB. El cruce OX resulta en algoritmos que son un 0.3 % peores de media que el resto y el cruce OP resulta ser el mejor de entre los 4. Siguiendo el mismo procedimiento para todos los factores e interacciones significativos llegamos a la siguiente conclusión: Tipo de cruce: OP Tamaño de la población: 60 Tipo de Selección: Torneo Probabilidad de cruce: 0,6 Tipo de mutación: SHIFT Probabilidad de mutación: 0,01 Probabilidad de mejora: 0,05 11

12 5. Comparación con otras técnicas y algoritmos genéticos En esta sección vamos a comparar el algoritmo genético propuesto (lo denominaremos simplemente GA) con otros algoritmos genéticos (ver sección 2) así como con otros métodos conocidos para resolver el PFSP. Los métodos contra los que vamos a comparar son: El algoritmo NEH de Nawaz et al. (NEH), el algoritmo genético de Chen et al. (GAChen), el simulated annealing de Osman y Potts (SAOP), el tabu search de Widmer y Hertz (Spirit), el algoritmo genético de Reeves (GAReev), el algoritmo genético híbrido con búsqueda local de Murata et al. (GAMIT), y por último con el algoritmo genético de Ponnambalam et al. (GAPAC). Para todos los métodos se ha fijado el número de evaluaciones en para que los resultados sean comparables. Hemos incluido también un sencillo método que evalúa secuencias y devuelve la mejor como resultado (RAND), este método nos servirá como testigo o como peor solución posible dado que se espera que su eficacia sea baja. Para comparar los algoritmos evaluamos las instancias de Taillard (1993) y trabajamos con la siguiente medida de eficiencia: % Incremento sobre el óptimo = Heu sol Opt sol Opt sol 100 Donde Heu sol es la solución obtenida con un algoritmo determinado y Opt sol es la solución proporcionada para el problema en la librería de Investigación Operativa en ( Hemos actualizado las cotas proporcionadas en dicha librería con los resultados obtenidos a partir de trabajos posteriores, como por ejemplo en el trabajo de Stützle. De esta manera estamos utilizando las mejores cotas existentes. Los resultados pueden verse en el cuadro 2. Problema RAND NEH GA GAchen SAOP Spirit GAReev GAMIT GAPAC 20x5 6,20 3,35 1,43 3,73 1,37 2,14 0,67 3,86 8,66 20x10 9,75 5,02 2,34 4,94 2,62 3,09 1,96 5,39 12,82 20x20 7,82 3,73 2,04 4,02 2,60 2,99 1,70 4,62 10,29 50x5 4,88 0,84 0,38 2,02 0,54 0,57 0,25 3,44 6,81 50x10 13,39 5,12 3,46 6,59 4,24 4,08 2,63 9,70 16,52 50x20 16,50 6,20 4,70 8,09 5,46 4,78 3,81 11,21 18,70 100x5 3,61 0,46 0,29 1,37 0,52 0,32 0,20 3,17 5,02 100x10 10,56 2,13 1,71 3,87 1,85 1,69 1,06 12,54 12,01 100x20 16,08 5,03 4,51 7,97 5,07 4,49 3,86 18,29 18,34 200x10 8,34 1,43 1,27 2,82 1,54 1,17 0,79 6,49 9,63 200x20 15,42 4,36 4,15 7,01 4,89 4,02 3,35 14,70 16,99 500x20 11,63 2,24 2,16 4,83 3,41 2,17 1,85 11,95 12,46 Media 10,35 3,33 2,37 4,77 2,84 2,63 1,84 9,03 12,35 Cuadro 2: Incremento medio sobre la solución óptima para los métodos evaluados. 12

13 Como primer comentario se puede observar que el algoritmo genético de Ponnambalam et al. (GAPAC) es muy ineficiente, hasta el punto de ser peor, por un margen considerable que la simple regla aleatoria (RAND). Este resultado no es difícil de explicar, dado que el algoritmo emplea un operador de cruce no adecuado para el PFSP, además la población inicial es totalmente aleatoria y no tiene elitismo. El algoritmo genético de Murata et al. (GAMIT) tiene un mejor comportamiento, aun así la desviación con respecto a la solución óptima en algunos casos sobrepasa el 18 %, lo cual no es bueno, especialmente en un algoritmo de tipo híbrido con una complejidad considerable. En una posición mucho más favorable se encuentra el algoritmo genético de Chen et al. (GAChen) con casi un 5 % de incremento medio. Consideramos que estos tres algoritmos genéticos tienen un rendimiento mediocre dado que la heurística NEH, que es mucho más simple (y antigua) resulta ser mejor con un 3,33 % de incremento. El simulated annealing de Osman y Potts y el tabu search de Widmer y Hertz tienen un comportamiento muy similar, con un 2,84 % y un 2,63 % respectivamente. El algoritmo genético propuesto queda por debajo del 2,5 % de incremento, con lo que se puede decir que es más eficiente que todos los algoritmos evaluados a excepción del algoritmo genético de Reeves, que resulta ser el mejor de la comparativa con un incremento con respecto a la solución óptima inferior al 2 %. No obstante, hemos de tener en cuenta que el esquema generacional de dicho algoritmo, así como otros factores, hacen que sea sensiblemente más lento que el resto de algoritmos implementados. Hemos de hacer constar que existen muchos más métodos para el PFSP y que en esta sección tan solo se han comparado algunos de ellos, en especial los algoritmos genéticos. 6. Conclusiones En este trabajo se ha propuesto un nuevo algoritmo genético para el problema del taller de flujo de permutación. En el algoritmo se ha considerado una hibridación original mediante búsqueda local iterativa. Esta búsqueda local o fase de mejora de los individuos se lleva a cabo después de las fases de cruce y mutación. La mejora se realiza de acuerdo a una probabilidad de mejora para evitar que el tiempo de cómputo se alargue excesivamente. Para evaluar todas las alternativas de diseño del algoritmo genético (operadores y parámetros) se ha realizado un experimento basado en un diseño factorial completo que ha permitido obtener una parametrización buena para el algoritmo. El algoritmo propuesto se ha comparado con otros 4 algoritmos genéticos de la literatura, con un simulated annealing y con un tabu seach, así como con una de las heurísticas más eficientes para el PFSP, la heurística NEH. Como conclusión se puede decir que el algoritmo genético propuesto es muy competitivo, siendo sólamente inferior al algoritmo genético de Reeves, aunque por un escaso margen. 13

14 El algoritmo propuesto se puede mejorar mediante el uso de varias técnicas, por ejemplo se podría imitar el esquema generacional del algoritmo de Reeves, estudiar fases de mejora alternativas, etc. Actualmente los autores están trabajando en este tipo de mejoras para incrementar el rendimiento del algoritmo genético propuesto. 7. Agradecimientos Este trabajo está financiado por la Universidad Politécnica de Valencia, bajo un proyecto interdisciplinar, así como por el Ministerio de Ciencia y Tecnología (proyecto de investigación ref. DPI C02-01). 14

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17 Yamada, T. y Reeves, C. (1997). Permutation Flowshop Scheduling by Genetic Local Search. páginas , Glasgow, Scotland, UK. GALESIA 97 IEE Second International Conference on Genetic Algorithms in Engineering Systems: Innovations and Applications. 17