4 Programación lineal

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1 4 Programación lineal EJERCICIOS PROPUESTOS. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) ( 5 ) 4 ( ) b) 5 > 6 c) 8 a) ( 5 ) 4 ( ) Solución:, b) 5 5 > ( ) > 6 ( 5 ) > > 0 > 6 5 Solución:, c) 4 ( ) ( ) Solución: [ 0, ). Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado. a) ( ) < 4 ( ) b) a) ( ) < 4 ( ) 4 < < 0 6 < Unidad 4 Programación lineal Solución:,

2 b) 4 0 ( ) 0 ( ). Solución: (, ], Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas. a) 4 70 < 0 c) 4 0 < 8 b) ( 5 ) 6 ( 5 ) d) 6 5 > a) 4 70 < 0 ( 5 )( )( 7 ) < ( 5 )( )( 7 ) 7 Solución: (, 5 ) (, 7 ) b) ( 5 ) 6 ( 5 ) ( ) 0 ( ) 0 Solución: [, ) c) 4 0 < < 0 ( )( ) < 0 ( ) ( )( ) Solución: (, ) (, ) d) 6 5 > 6 5 > 0 6 ( ) > 0 6 ( ) 4. Solución:, (, ) Ejercicio resuelto. Programación lineal Unidad 4 7

3 5. Halla la solución de las siguientes inecuaciones. a) < a) < < 0 <0 <0 <0 b) 0 b) Solución: (, ) ( ) ( ) Solución: (, ], 5 Resuelve las siguientes inecuaciones. a) a) ( )( 4 )( 5 ) ( )( ) 4 5 ( )( 4 )( 5 ) ( )( ) b) 4 Solución: [ 4, ) [, ) [5, ) 8 Unidad 4 Programación lineal

4 ( ) ( ) ( 5) b) ( 5) ( ) Fracción Ejercicio resuelto. 8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. Solución: [, 0 ) {} 5 > 7 a) > 4 5 > 5 c) ( ) 0 b) 5 4( ) > d) < ( 7 ) > a) Inecuación 5 > 7 : 5 > 7 5 > >, 5 5 Inecuación > 4 5 : > > >, 4 4, La solución es del sistema es:,, = b) Inecuación 0: < 0 < 5 (, 5 ) 5 Inecuación 4( ) > 5 4 : 4( ) > 5 4 > 7 ( 7, ) La solución del sistema es: (, 5 ) ( 7, ) =( 7, 5 ) c) Inecuación > 5 : 0 0 > 5 >, Inecuación ( ) : ( ) 7 7, La solución del sistema es:,, =, 5 5 Programación lineal Unidad 4 9

5 d) Inecuación 5 9 : 5 9 [, ) Inecuación < ( 7 ) : < ( 7 ) > 5 ( 5, ) Inecuación > : (, ) La solución del sistema es: [, ) ( 5, ) (, = ) 9. ( 5, ) Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. 0 b) 6 9 > 0 9 < 0 a) a) Inecuación 9 < 0 : 9 < 0 ( )( ) < 0 (, ) ( )( ) Inecuación : ( )( 6 ) 0 (, ] [ 6, ) 6 ( )( 6 ) 6 La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: (, ] b) Inecuación 0: 6 9 ( ) ( ) 0 0 [, ) (, ) 6 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Inecuación > 0 : > 0 ( ) > 0 (, 0 ) ( ) 0 La intersección de las soluciones obtenidas es vacía, por lo que el sistema no tiene solución. 40 Unidad 4 Programación lineal

6 0. Ejercicio interactivo.. Ejercicio resuelto.. Representa los semiplanos determinados por las siguientes epresiones. a) > c) 4 > 6 e) > b) 4 d) ( ) ( 6 ) < f) 6 a) Semiplano sin borde limitado por la recta = = 5 b) Semiplano con borde limitado por la recta = 4 = c) Semiplano sin borde limitado por la recta 4 = 6 = d) Semiplano sin borde limitado por la recta ( ) ( 6 ) = = e) Semiplano sin borde limitado por la recta = =6 f) Semiplano con borde limitado por la recta =6 4 9 =6. Comprueba si los puntos siguientes están o no a un mismo lado de la recta r : 7 =. a) A(0, ) B( 4,) b) A(, ) B(6, ) Sustituendo las coordenadas de A B en la epresión 7 obtenemos: a) A : 0 7 ( ) =4 < 0 B : ( 4 ) 7 =4 < 0, por tanto, A B están a un mismo lado de r. b) A : 7 = > 0 B : 6 7 ( ) = > 0, por tanto, A B están a un mismo lado de r. Programación lineal Unidad 4 4

7 4. Establece las epresiones algebraicas que determinan cada uno de los siguientes semiplanos. a) > o > 0 b) < 5 o > 5 5. Ejercicio resuelto. 6. Representa la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones, calcula sus vértices e indica si es o no acotada. > a) 5 4 < 6 b) < a) d) 0 0 c) Región no acotada. Región acotada. Vértices: A, 54 4, Vértices: A ( 0, ), B ( 0, 6 ), C (, 6 ) D 7 7 La restricción > es redundante. La restricción 5 es redundante. b) d) Región no acotada. Región acotada. 0 Vértices: A, Vértices: O ( 0, 0 ), A ( 0, 5 ), B (, 4 ), La restricción < es redundante. 7. Ejercicio resuelto. 4 6 > 8 c) Unidad 4 Programación lineal 8 8 C, D (, 0 ) 5 5

8 8. Considera la región definida por: a) Calcula gráficamente, si eisten, los puntos que dan el valor mínimo a la función f (, )= en la región S. b) Obtén de forma gráfica los máimos mínimos de la función g(, = ) en la región S. a) Representamos la región factible S la recta = 0. Al tener la función objetivo coeficiente de la positivo coeficiente de la negativo, el mínimo se localizará en el último punto de S que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y. Por tanto, el mínimo está en el vértice B ( 0, 4 ) su valor es f ( 0, 4 ) = 8. Nota: El máimo se localizaría desplazando la recta = 0 de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, siendo el último punto de S que se toca el vértice E (, 0 ). En este vértice estará el máimo, de valor f (, 0 ) =. b) En este caso, la función objetivo tiene coeficientes de la, de la, positivos, por lo que el máimo se localizará en el último punto de S que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y el mínimo en el último punto de S que toque al desplazarse en sentido negativo. Por tanto: El máimo se encuentra en el vértice C (, 4 ) su valor es g (, 4 ) = 5. Para el mínimo eisten infinitas soluciones, cualquier punto del segmento de etremos los vértices A ( 0, ) E (, 0 ). Su valor en cualquiera de estos puntos es g ( 0, ) = Considera la región S del plano definida por: Obtén, de forma gráfica, los máimos mínimos de la función z= en la región S. Representamos la región factible S la recta = 0. Como la función objetivo tiene coeficiente de la positivo, coeficiente de la, negativo, el máimo se localizará en el último punto de S que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y el mínimo en el último punto de S que toque al desplazarse en sentido positivo. Por tanto: = El máimo se encuentra en el vértice A : A (, ) su valor = es za =. 4 = El mínimo se encuentra en el vértice B : B (, ) su valor es zb =. = Programación lineal Unidad 4 4

9 0. Ejercicio resuelto.. Resuelve analíticamente el siguiente problema de programación lineal: 4 Ma Min z= sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: 6 = A: A ( 0, ) 6 = 0 4 = B: B (, 6 ) 6 = 6 4 = C: C ( 6, ) 4 = 0 6 = D: D (, 0 ) 4 = 6 za = 6 zb = 4 zc = zd = Por tanto: El máimo se alcanza para =, = 6 (vértice B) vale zb = 4. El mínimo se alcanza para =, = 0 (vértice D) vale zd =.. Halla el valor máimo de las funciones F (, = ) 6 5 G(, = ) 4 en la región del plano definida por las inecuaciones: 0 ; 0 ; Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) 60 = B: B (6, ) = 40 A ( 0, 0 ) C ( 0, 0 ) Evaluamos las funciones objetivo en los vértices: FO = 0 FA = 00 FB = 56 FC = 0 GO = 0 GA = 80 GB = 80 GC = 40 Por tanto: El máimo de F se alcanza para = 6, = (vértice B) vale FB = 56. El máimo de G se alcanza en cualquier punto del segmento de etremos A B vale GB = 80.. Ejercicio interactivo. 44 Unidad 4 Programación lineal

10 4. Una empresa, que abastece los lotes de perfumería de un supermercado, dispone en el almacén de 40 frascos de gel, 95 de champú, 70 de crema de manos. Los lotes son de dos tipos: A B, de forma que el lote A está compuesto por frascos de gel, de champú de crema de manos, mientras que el lote B está formado por frascos de gel, de champú de crema de manos. Cada lote de tipo A le produce un beneficio de 5, cada lote de tipo B de. Cuántos lotes de cada tipo debe preparar para maimizar el beneficio? Cuál es ese beneficio máimo? Las variables de decisión son: lotes de tipo A lotes de tipo B Queremos hallar el máimo de= z 5 sujeto a: , 0 debido al total de gel disponible debido al total de champú disponible debido al total de crema disponible condiciones de no negatividad A ( lotes) B ( lotes) Cantidades máimas Gel Champú Crema Beneficio 5 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 80, 0 ) 40 = B ( 45, 50 ) B: = = C: C ( 80, 5 ) 70 = D ( 90, 0 ) zo = 0 za = 000 zb = 5 zc = 0 zd = 50 Por tanto, el máimo se alcanza en el vértice C, es decir, para obtener los máimos beneficios ha que preparar = 80 lotes tipo A e = 5 lotes tipo B, siendo el beneficio máimo zc = El terreno dedicado a una plantación de hortalizas precisa semanalmente un mínimo de 6 kg de abono mineral un mínimo de 8 kg de abono vegetal. En el mercado eisten dos paquetes de abonos P P. El paquete P contiene kg de de abono mineral 5 kg de abono vegetal cada paquete de tipo P contiene kg de abono mineral kg de abono vegetal. Cada paquete de tipo P cuesta 5 euros cada paquete de tipo P cuesta 0 euros. Calcula el número de paquetes de cada tipo que se deben adquirir para que el coste sea mínimo. Las variables de decisión son: paquetes P paquetes P Queremos hallar el mínimo de= z 5 0 sujeto a: , 0 necesidad de abono mineral necesidad de abono vegetal condiciones de no negatividad P ( paquetes) P ( paquetes) Cantidades mínimas Mineral Vegetal Coste 5 0 Representamos la región factible, al ser no acotada, la recta 5 0 = 0. Como la función objetivo tiene coeficientes de la de la, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 5 0 = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y. Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice B: 6 = B: B (, 4 ) 8 5 = Es decir, para obtener el coste mínimo ha que adquirir = paquetes P e = 4 paquetes P, con un coste de zb = 70. Programación lineal Unidad 4 45

11 6. Se deben transportar naranjas de las ciudades de Gandía Cullera a las ciudades de Burgos, Oviedo Coruña. Las cantidades ofertadas son 500 kg de Gandía 750 kg de Cullera. Las cantidades demandadas son 50 kg por Burgos, 500 kg por Oviedo 500 kg por Coruña. Los costes, en céntimos por kg, de transportar de una ciudad a otra son: Gandía Cullera Burgos Oviedo Coruña Establece la mejor forma de realizar el transporte para que el coste total sea mínimo. Ha una única solución? La siguiente tabla de variables indica los kg de naranjas que se trasporta de un lugar a otro. Gandía Cullera Total Burgos Oviedo Coruña Total Queremos hallar el mínimo coste: z = ( 500 ) ( 50 ) ( 500 ) ( ) = 500. Las restricciones del problema son las que resultan de obligar a que las variables de la tabla anterior no sean negativas, es decir, queremos resolver el problema de programación lineal: Min z= 500 Sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 500 ) 500 = B ( 50, 50 ) B: = 50 C ( 50, 0 ) zo = 500 za = 000 zb = 750 zc = 500 Por tanto, el mínimo se alcanza en cualquier punto del segmento de etremos O C, es decir, = 0 kg pero puede variar entre 0 50 kg. En todas estas las soluciones el coste será de 500. Las soluciones se muestran en la siguiente tabla, donde Gandía Cullera Burgos 50 Oviedo Coruña 500 Por tanto los únicos envíos fijos son de Gandía a Oviedo, que no se envía nada, de Cullera a Oviedo, que se envían 500 kg. Dos posibles transportes con coste mínimo son los siguientes: Gandía Cullera 46 Burgos 0 50 Unidad 4 Programación lineal Oviedo Coruña Gandía Cullera Burgos Oviedo Coruña

12 7. Una persona debe alimentar a un animal. En la tienda de mascotas ha dos tipos de pienso, A B, para dicho animal, con las siguientes composiciones precio por paquete: Proteínas Hidratos Grasas Precio de carbono A g 5g g B g g g,7 Dicho animal debe comer diariamente, al menos 8 g de proteínas, 0 g de hidratos de carbono 6 g de grasas. Determina cuántos paquetes de cada tipo debe comer el animal para que la dieta tenga un coste mínimo. Las variables de decisión son: paquetes A paquetes B Queremos hallar el mínimo coste: = z,7 sujeto a: , 0 necesidad de proteinas necesidad de hidratos necesidad de grasas condiciones de no negatividad Representamos la región factible, al ser no acotada, la recta,7 = 0. Como la función objetivo tiene coeficientes de la, de la, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta,7 = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y. Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice B: 8 = B: B ( 4, ) 6 = Es decir, para que la dieta tenga el animal debe comer diariamente = 4 paquetes A e = paquetes B, siendo el coste de zb =, 4. 8 a 4. Ejercicios resueltos. Programación lineal Unidad 4 47

13 EJERCICIOS Inecuaciones 5. Resuelve las siguientes inecuaciones de primer grado. a) ( ) ( ) d) b) ( ) 4 e) c) < ( ) 4 4 a) ( ) ( ) 4 8 Solución: [, ) b) ( ) 4 Solución: (, ] c) 6 Solución: (, ] 4 d) e) 6 96 Solución: [, ) < ( ) 5 < 00 > 4 Solución: ( 4, ) 4 6. Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado. ( )( 4 ) a) 5 0 c) b) d) ( )( 4 ) 4 0 a) 5 0 ( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución,. b) ( )( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ] [, ). c) ( )( 4 ) 5 0 ( 5 )( 5 ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, 5] [5, ). 0 d) ( )( 4 ) Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución, Unidad 4 Programación lineal

14 7. Resuelve las siguientes inecuaciones polinómicas. a) < 0 b) 8 0 c) d) a) < 0 ( )( )( ) < 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ) (, ). b) 8 0 ( ) ( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución [, ). c) ( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ]. d) ( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ],. 8. Resuelve las siguientes inecuaciones racionales. a) a) ( ) b) 5 4 c) 0 6 d) Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, 5 ) [, ). b) 7 ( ) ( ) Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ] (, ). c) ( ) ( ) Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución [0, ) (, ). d) ( )( ) ( ) 0 Realizando la correspondiente tabla de signos se obtiene como solución (, ], (, ). Programación lineal Unidad 4 49

15 Sistemas de inecuaciones 9. Halla la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con una incógnita. 4 ( ) > 7 a) 0 < 4( 5) 5 ( ) 6 d) ( ) 8 5 b) ( ) 5 0 e) 0 < ( ) c) 5 < 4 a) 4 ( ) > 7 > < Solución: (, ) 0 < 4( 5) 0 < 80 > 8 Solución: ( 8, ) La intersección de las soluciones obtenidas es vacía, por lo que el sistema no tiene solución. b) 5 ( ) Solución: [0, ) ( ) 5 5 Solución: [, ) La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: [, ) c) Solución:, < 0 < 9 < Solución:, La intersección de las soluciones obtenidas es vacía, por lo que el sistema no tiene solución. d) ( ) Solución:, Solución: (, 5] La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas:, 5 e) 0 0 Solución: = 5 0 (, ) < ( ) 6 < 7 < Solución:, La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas:, 6 50 Unidad 4 Programación lineal

16 40. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. 6 a) 5 4 > 0 c) ( ) 5 b) > 0 d) 4 0 ( ) > 5 a) ( 5 )( 5 ) 0 Solución: [ 5, 5] 5 4 > 0 ( )( 4 ) > 0 Solución: (, ) ( 4, ) La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: [ 5, ) ( 4, 5] b) 6 ( ) Solución:,, > < 0 ( )( ) < 0 Solución: (, ) La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas:, c) Solución: (, ), ( ) 0 Solución: La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: (, ), 4 d) 0 0 Solución: (, ) [0, ) ( )( ) 4 0 Solución: ( ) > 5 > 9 < Solución: (, ) La solución del sistema es la intersección de las soluciones obtenidas: (, ) Programación lineal Unidad 4 5

17 4. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones lineales, representa el recinto correspondiente a la solución calcula las coordenadas de sus vértices. Indica si es o no acotado. 0 a) c) b) d) 4 a) 0 4 e) f) 9 5 d) Región acotada. Región no acotada. 7 Vértices: O ( 0, 0 ), A (, ) B, 0 Vértices: A ( 8, ) B ( 0, ) b) e) Región no acotada. Región acotada. Vértices: A (, ) B (, ) Vértices: O ( 0, 0 ), A ( 0, 4 ), B (, 4 ), C ( 6, ) D ( 6, 0 ) c) 5 f) Región no acotada. Región acotada. Vértices: O ( 0, 0 ) Vértices: A (, ), B (, ) C (, 0 ) Unidad 4 Programación lineal

18 4. Para cada uno de los siguientes sistemas de inecuaciones, representa la solución e indica si alguna de las inecuaciones que lo forman es redundante a) b) 0 a) c) d) 0 c) Las inecuaciones e 0 La inecuación 0 es redundante. son redundantes. b) d) La inecuación 0 es redundante. La región es vacía Se considera el sistema de inecuaciones lineales: 0 0 Comprueba si la intersección de las rectas = 8 = es o no vértice del recinto solución. 8 = 5 El punto de intersección de las dos rectas es: P, = Este punto no es vértice del recinto solución, a que no verifica la segunda inecuación del sistema Se considera el sistema de inecuaciones lineales: Comprueba si la intersección de las rectas = 7 = 7 es o no vértice del recinto solución. 7 = 4 7 El punto de intersección de las dos rectas es: P, 7 = 5 5 Este punto es vértice del recinto solución, a que verifica todas las inecuaciones del sistema. Programación lineal Unidad 4 5

19 Resolución de problemas de programación lineal 45. Resuelve de forma gráfica los siguientes problemas de programación lineal. b) Máimo mínimo de z= a) Máimo mínimo de = z Sujeta a: Sujeta a: a) Representamos la región factible la recta =. 0 Al tener la función objetivo coeficientes de la, de la, positivos, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo. Por tanto: No eiste el máimo. El mínimo se encuentra en el vértice B (, 7 ) su valor es zb =. Nota: Observemos que la condición 5 es redundante. b) Representamos la región factible la recta =. 0 Al tener la función objetivo coeficientes de la, de la, positivos, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo. Por tanto: No eiste el máimo. El mínimo se encuentra en cualquier punto del segmento de etremos B ( 5, 0 ) C (, ) su valor es zb = Comprueba que la función f (, = ) restricciones: no alcanza ni máimo ni mínimo si está sujeta a las Representamos la región factible la recta = 0. Al tener la función objetivo coeficientes de la, de la, positivos, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido negativo. Como al desplazarse en cualquiera de los dos sentidos la recta = 0 toca en todo momento la región factible, no eiste ni el máimo ni el mínimo. 54 Unidad 4 Programación lineal

20 47. Dibuja la región determinada por las condiciones: Halla de forma gráfica el máimo el mínimo de la función f (, = ) si está sujeta a las anteriores condiciones. Representamos la región factible la recta = 0. Al tener la función objetivo coeficiente de la positivo coeficiente de la negativo, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo. Por tanto: El máimo se encuentra en el vértice E ( 7, 0 ) su valor es ze = 7. El mínimo se encuentra en el vértice B (, 5 ) su valor es zb = Dibuja la región determinada por las condiciones: Halla de forma gráfica el máimo el mínimo de la función f (, = ) 4 si está sujeta a las anteriores condiciones. Representamos la región factible la recta 4 = 0. Al tener la función objetivo coeficiente de la positivo coeficiente de la negativo, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 4 = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo. Por tanto: El máimo se encuentra en el vértice O ( 0, 0 ) su valor es zo = 0. No eiste el mínimo. 49. Evalúa la función objetivo= z 7 en los vértices del recinto de la figura. Los vértices del recinto son: A (, 7 ), B ( 6, 0 ), C (0, 7 ), D ( 8, ) E ( 4, ). Evaluando la función objetivo en ellos tenemos: za = 5 zb = 79 zc = 64 zd = ze = 9 Programación lineal Unidad 4 55

21 50. Resuelve de forma analítica los siguientes problemas de programación lineal. b) Min = z 4 5 a) Min = z 9 Sujeta a: Sujeta a: a) Representamos la región factible calculamos sus vértices: A (, ), B ( 0, ), C ( 0, 5 ) D (, ) za = 8 zb = zc = 5 zd = 9 Por tanto, el mínimo se alcanza en el vértice B ( 0, ) su valor es zb =. b) Representamos la región factible calculamos sus vértices: = = 0 8 A (0, 0 ), B : 5 8 B, C ( 0, 8 ) 5 = 0 = 0 4 za = 40 zb = 80 zc = Por tanto, el mínimo se alcanza en el vértice B, su valor es 80. zb = Síntesis 5. Para cada uno de los siguientes casos, escribe un sistema de ecuaciones lineales cua solución sea el recinto acotado que tiene como vértices los puntos que se indican: 56 a) A (, 0 ), B (, ) C (, ) b) A (, ), B (, ), C (, ) D (, ) 4 6 a) 5 5 b) 7 Unidad 4 Programación lineal

22 5. Sea R la región factible definida por las inecuaciones: 5 a) Razona si el punto A ( 4,5;,55 ) pertenece a R. b) Calcula los etremos de f (, = ) en R. c) Razona si ha algún punto de R donde la función f valga,5. Y 7,5? a) El punto A pertenece a R, a que cumple todas las inecuaciones que definen R. b) Representamos la región R, al ser no acotada, la recta = 0. Al tener la función objetivo coeficiente de la positivo coeficiente de la negativo, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y, el mínimo, en el último punto que toque al desplazarse en sentido positivo. Por tanto: El máimo se encuentra en el vértice C ( 5, ) su valor es fc = 7. No eiste el mínimo. c) La función f alcanza en R cualquier valor menor o igual a 7, por tanto alcanza el valor,5 pero no el 7,5. 5. Considera la región factible de la figura copia completa la tabla en tu cuaderno. Función objetivo Máimo Mínimo z= z= z= = z z= Los vértices del recinto son: A ( 0, ), B (, 5 ), C ( 6, ), D (, 0 ) E (, ). Evaluando las funciones objetivo en ellos tenemos: Función objetivo Máimo Mínimo z= Se alcanza en C vale zc = 9. Se alcanza en E vale ze =. z= Se alcanza en cualquier punto de CD vale zc =. Se alcanza en cualquier punto de AB vale za =. z= Se alcanza en cualquier punto de BC vale zb =. Se alcanza en cualquier punto de DE vale zd =. = z Se alcanza en C vale zc = 5. Se alcanza en cualquier punto de AE vale za =. z= Se alcanza en D vale zc =. Se alcanza en B vale zb = 8. Programación lineal Unidad 4 57

23 54. Resuelve el problema de programación lineal entera. Má z= 6 Sujeto a: donde, Representamos la región factible, de hecho, la región factible la forman únicamente los puntos de coordenadas enteras del recinto representado. Por este motivo, aunque la región es acotada, vamos a usar el método gráfico, por lo que también representamos la recta = 0. Al tener la función objetivo coeficientes de la, de la, positivos, el máimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido positivo del eje Y. Por tanto, el máimo se alcanza en los puntos P (, ), P (, ), P (, ) P4 ( 4, 0 ), su valor es z = 4. Nota: Si hubiéramos usado el método analítico obtendríamos que el máimo se alcanza en el punto: = 8 75 P, P: = Cuas coordenadas no son enteras, por tanto, no puede ser la solución del problema de programación entera. Por ello, al resolver un problema de programación entera usando el método analítico, si el vértice donde se alcanza el máimo o mínimo no tuviera coordenadas enteras, debemos recurrir al método gráfico. 55. Dado el siguiente problema de programación lineal. Má = z λ 9 Sujeto a: Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice B(, 5). Los vértices de la región factible son: O(0, 0) A(0, ) B(, 5) C(5, 0) El valor de la función objetivo en ellos es: zo = 0 za = λ zb = 6 5λ zc = 0 Para que el máimo se alcance en B debe ser: 6 λ 5 6 5λ λ λ λ λ 5 6 5λ 0 4 λ 5 58 Unidad 4 Programación lineal

24 56. Dado el siguiente problema de programación lineal. Mín = z λ 6 4 Sujeto a: Halla los valores de λ para los cuales la solución óptima del problema se encuentra en el vértice C(, ). Cuánto vale z en este caso? Los vértices de la región factible son: A(0, 6) B(, ) C(, ) D(5, 0) El valor de la función objetivo en ellos es: za = 6λ zb = 6 λ zc = 9 λ zd = 5 Para que el mínimo se alcance en C debe ser: 9 λ 9 λ 6λ 5 9 λ 6 λ λ λ 6 9 λ 5 λ 6 CUESTIONES 57. Se considera un problema de programación lineal con dos variables. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Si el punto (a, b) es una solución óptima del problema, entonces obligatoriamente es un vértice de la región factible. b) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible. c) Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible. d) Si (a, b) no pertenece a la región factible, entonces no puede ser solución del problema. a) Falsa. Una solución puede ser óptima no ser vértice, a que puede ser una de las infinitas soluciones de un problema de programación lineal. b) Verdadera. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces (a, b) obligatoriamente pertenece a la región factible, de hecho, cualquier solución óptima (sea única o no) debe pertenecer a la región factible. c) Verdadera. Si el punto (a, b) es la única solución óptima del problema, entonces es obligatoriamente un vértice de la región factible. d) Verdadera, cualquier posible solución del problema debe pertenecer a la región factible. 58. Escribe un problema de programación lineal con una región factible que sea no vacía que esté determinada por restricciones de desigualdad no estrictas, que no tenga solución ni para el mínimo ni para el máimo. Podría ser acotada esta región factible? Nos sirve de ejemplo el problema del ejercicio 46. Cualquier región que nos sirva de ejemplo debe ser no acotada. Programación lineal Unidad 4 59

25 59. La recta 5 = k se desplaza de forma paralela desde el origen de coordenadas hacia la parte positiva del eje OY. Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El valor de k es menor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. b) El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas. c) El valor de k permanece constante. La única respuesta correcta es la b. El valor de k es maor cuanto maor es la distancia que separa a la recta del origen de coordenadas, a que al ser los coeficientes de de positivos, el valor de k es maor cuanto más se aleje la recta del origen de coordenadas en el sentido positivo del eje Y. PROBLEMAS 60. En una granja ha un total de 9000 conejos. La dieta mensual mínima que debe consumir cada conejo es de 48 unidades de hidratos de carbono 60 unidades de proteínas. En el mercado ha dos tipos de productos, A B, que aportan estas necesidades de consumo. Cada envase A contiene unidades de hidratos de carbono 4 unidades de proteínas cada envase de B contiene unidades de hidratos de carbono unidades de proteínas. Sabiendo que cada envase de A cuesta 0,4 que cada envase de B cuesta 0,0, determina, justificando la respuesta: a) El número de envases de cada tipo que deben adquirir los responsables de la granja con objeto de que el coste sea mínimo se cubran las necesidades de consumo mensuales de todos los conejos. b) El valor de dicho coste mensual. a) Las variables de decisión son: envases tipo A (para un conejo) envases tipo B (para un conejo) Queremos hallar el mínimo coste = z 0,4 0, sujeto a: , 0 Representamos la región factible, al ser no acotada, la recta 0,4 0, = 0. Como la función objetivo tiene coeficientes de la, de la, positivos, el mínimo se localizará en el último punto de la región factible que toque la recta 0,4 0, = 0 al desplazarse de forma paralela en el sentido negativo del eje Y. Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice B: 48 = B: B ( 6, ) 60 4 = Es decir, para obtener el coste mínimo ha que adquirir = 6 envases A e = envases B para cada conejo. Por tanto, para los 9000 conejos ha que adquirir envases A envases B. Nota: Observando la representación gráfica podrían surgir dudas sobre si el mínimo se alcanza en el vértice B o en el vértice C, en este caso podemos calcular dichos vértices evaluar la función objetivo en ellos para determinar en cual se alcanza verdaderamente el mínimo. b) El coste mensual es zb =,84 por conejo, es decir, el coste mensual total es Unidad 4 Programación lineal

26 6. En un hospital se irradia con dos bombas de cobalto, C C. Cada dosis de radiación con C aporta 0, kilorads al centro del tumor, 0,5 kilorads a otras regiones del tumor, 0,5 kilorads a regiones críticas colindantes 0, kilorads a zonas de anatomía sana colindante. Cada dosis de radiación con C aporta a esas mismas zonas 0,, 0,5, 0,05 0,5 kilorads respectivamente. Para tratar un tumor en el mediastino el equipo médico considera necesario aportar al menos 6 kilorads al centro del tumor se debe aportar eactamente 6 kilorads a otras regiones del tumor. Sin embargo el aporte de más de,4 kilorads a las regiones críticas colindantes sería fatal. Con cuántas dosis de cada fuente deberá realizarse el tratamiento para minimizar el aporte de kilorads a la anatomía sana? Las variables de decisión son: dosis con la bomba C dosis con la bomba C Queremos hallar el mínimo de = z 0, 0,5 sujeto a: dosis mínima al centro del tumor 0, 0, 6 0,5 0,5 = 6 dosis eacta en otras regiones del tumor 0,5 0,05, 4 dosis máima en regiones críticas colindantes condiciones de no negatividad 0, 0 De la segunda restricción obtenemos 0,6 0,5 = 6 = 4, con lo que podemos simplificar el problema buscando el mínimo de z =0, 0,5 ( 4 ) =6 0,05 sujeto a: 0, 0, ( 4 ) 6 = 0,5 0,05 ( 4 ), Por tanto, el mínimo de radiación a la anatomía sana se producirá al realizar el tratamiento con dosis de cada fuente. 6. Un astillero recibe un encargo para reparar barcos de la flota de un armador, compuesta por pesqueros de 500 toneladas ates de 00 toneladas. Cada pesquero se tarda en reparar 00 horas, cada ate, 50 horas. El astillero dispone de 600 horas para hacer las reparaciones. Por política de empresa, el astillero no acepta encargos de más de pesqueros ni más de 6 ates. Las reparaciones se pagan a 00 euros la tonelada, independientemente del tipo de barco. Cuántos barcos de cada clase debe reparar el astillero para maimizar el ingreso con este encargo? Cuál es dicho ingreso máimo? Las variables de decisión son: pesqueros ates Queremos hallar el máimo ingreso = z sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 6 ) B ( 8, 6 ) C (, 8 ) D (, 0 ) zo = 0 za = zb = zc = zd = Por tanto, el máimo ingreso se localiza en el vértice C su valor es zc = , es decir, ha que reparar = pesqueros e = 8 ates, obteniéndose unos ingresos de Programación lineal Unidad 4 6

27 6. Un agricultor tiene 40 ha de terreno en las que puede plantar cebada o maíz (o no plantar nada). Cada ha de cebada necesitará 5 hm de agua mientras que cada Ha de maíz necesitará 0 hm de agua. El agricultor podrá disponer de 5 hm de agua. El beneficio que obtendrá por cada ha de cebada es de 00 mientras que por cada ha de maíz obtendrá un beneficio de 60 ; además, las ha en las que no plante nada las arrendará obtendrá un beneficio de 50 por ha. La normativa no le permite plantar más ha de maíz que de cebada Cuántas ha de cebada cuántas de maíz tiene que plantar para maimizar su beneficio? Cuál será el beneficio? Las variables de decisión son: hectáreas de cebada hectáreas de maíz 40 hectáreas sin plantar Queremos hallar el máimo beneficio z = (40 ) = sujeto a: , 0 0, 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A (5, 5 ) B ( 5, 5 ) C ( 40, 0 ) zo = 0 za = 4400 zb = 400 zc = 4000 Por tanto, el máimo beneficio se localiza en el vértice A su valor es za = 4400, es decir, ha que plantar = 5 hectáreas de cebada, = 5 hectáreas de maíz dejar sin plantar 0 hectáreas, obteniéndose unos beneficios de En un almacén de productos perecederos disponen de 70 cajas de naranjas, 0 cajas de peras 0 cajas de manzanas que quiere vender antes de que no sean aptos para el consumo. Para vender las eistencias, se hacen dos tipos de lotes: el lote A contiene una caja de naranjas, dos cajas de peras una caja de manzanas se venderá a 6 euros cada lote B contiene una caja de naranjas, una de peras dos de manzanas se venderá a 7 euros. Calcula cuántos lotes se deberán hacer de cada tipo para que los ingresos por las ventas sean máimos. Las variables de decisión son: nº de lotes A nº de lotes B Queremos hallar el máimo de = z 6 7 sujeto a: , 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 55 ) B ( 0, 40 ) C ( 50, 0 ) D ( 60, 0 ) zo = 0 za = 85 zb = 460 zc = 440 zd = 60 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 460, es decir, ha que hacer = 0 lotes A e = 40 lotes B, obteniéndose unos ingresos de Unidad 4 Programación lineal

28 65. *Una refinería produce gasolina sin plomo gasoil en las siguientes condiciones: no puede producir más de una tonelada ni menos de 00 kg de cada producto. Los precios de venta son de 0,8 unidades monetarias para cada kg de gasolina 0,85 para cada kg de gasoil. Se produce como máimo un total de 700 kg entre los dos productos. Cuál es la producción que maimiza los ingresos? Las variables de decisión son: gasolina sin plomo gasoil Queremos hallar el máimo de = z 0,8 0,85 sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: A (00, 00 ) D (000, 700 ) B (00, 000 ) C ( 700, 000 ) E (000, 00 ) za = 65 zb = 90 zc = 40 zd = 95 ze = 885 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice C su valor es zc = 40, es decir, ha que producir = 700 kg de gasolina sin plomo e = 000 kg de gasoil, obteniéndose unos ingresos de 40 unidades monetarias. 66. Un maorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños, pequeños grandes. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 00 envases pequeños 00 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 0 céntimos de euro por cada envase pequeño de 0 céntimos de euro por cada envase grande. Qué número de envases de cada tipo proporciona el mínimo coste de almacenaje? Las variables de decisión son: envases pequeños envases grandes Queremos hallar el mínimo de= z 0 0 sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: A (00, 00 ) B (00, 900 ) C ( 500, 500 ) D ( 00, 00 ) za = 5000 zb = 9000 zc = 5000 zd = 6000 Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice A su valor es za = 5000, es decir, ha que almacenar = 00 envases pequeños e = 00 envases grandes, con un coste de 5000 cts = 50. Programación lineal Unidad 4 6

29 67. Los empleados de un banco deben rellenar cada tarde el cajero automático de una sucursal con billetes de Por motivos de seguridad, la máquina nunca debe contener más de Por otro lado, dado que los clientes prefieren los billetes de 0, deben introducir al menos el doble de billetes de 0 que de 50. Si quieren que el cajero tenga el menor número posible de billetes, cuántos debe haber de cada tipo? Las variables de decisión son: billetes de 0 billetes de 50 Queremos hallar el mínimo de z= sujeto a: , 0 0, 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) = A: A, 9 9 = B (000, 0 ) zo = 0 za = 000 zb = 000 Por tanto, el mínimo se localiza en el vértice O su valor es zo = 0, es decir, el mínimo de billetes se obtiene, obviamente, al no introducir ninguno en el cajero. Obsérvese que esta solución verifica todas cada una de las condiciones. 68. En un taller de artesanía se fabrican jarrones de adorno de dos tipos A B. Cada jarrón de tipo A precisa 0 minutos de modelado, 40 minutos de pintura se vende a 40. Cada jarrón de tipo B precisa 40 minutos de modelado, 0 minutos de pintura se vende a 5. Para fabricar estos jarrones se cuenta con dos empleados que hacen el modelado que trabajan 5 horas por día, con dos empleados que hacen la pintura que trabajan 5,5 horas por día. Halla el número óptimo de jarrones que se pueden fabricar al día para que los ingresos sean máimos. Las variables de decisión son: jarrones tipo A jarrones tipo B Queremos hallar el máimo de= z 40 5 sujeto a: , 0 0, 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 5 ) B (, 6 ) C, 0 zo = 0 za = 55 zb = 690 zc = 660 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 690, es decir, ha que fabricar diariamente = jarrones de tipo A e = 6 jarrones de tipo B, obteniéndose unos ingresos de Unidad 4 Programación lineal

30 69. Un heladero artesano elabora dos tipos de helados A B. Los helados tipo A llevan gramo de nata los helados tipo B llevan gramos de chocolate. Se dispone de 00 gramos de nata, 400 gramos de chocolate le da tiempo a elaborar como máimo 50 helados diariamente. Por cada helado tipo A obtiene un beneficio de,5 por cada helado tipo B el beneficio es de. Determina las unidades de cada tipo de helado que debe elaborar diariamente para que su beneficio sea máimo calcula dicho beneficio. Las variables de decisión son: helados tipo A helados tipo B Queremos hallar el máimo de= z,5 sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 00 ) B (50, 00 ) C ( 00, 50 ) D ( 00, 0 ) zo = 0 za = 00 zb = 45 zc = 450 zd = 00 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice C su valor es zc = 450, es decir, ha que elaborar diariamente = 00 helados de tipo A e = 50 helados de tipo B, obteniéndose unos beneficios de Un distribuidor de aceite acude a una almazara para comprar dos tipos de aceite, A B. La cantidad máima que puede comprar es de 000 litros en total. El aceite de tipo A cuesta /L el de tipo B cuesta /L. Necesita adquirir al menos 000 litros de cada tipo de aceite. Por otra parte, el coste total por compra de aceite no debe ser superior a El beneficio que se conseguirá con la venta del aceite será de un 5 % sobre el precio que ha pagado por el aceite de tipo A de un 0 % sobre el precio que ha pagado por el aceite de tipo B. Cuántos litros de cada tipo de aceite se deberán adquirir para maimizar el beneficio? Obtén el valor del beneficio máimo. Las variables de decisión son: litros de aceite A litros de aceite B Queremos hallar el máimo de z= 0,5 0, = 0,75 0,6 sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: A ( 000, 000 ) B ( 000, 0000 ) C ( 6000, 6000 ) 6000 D, 000 za = 700 zb = 7500 zc = 800 zd = 7700 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice C su valor es zc = 800, es decir, ha que adquirir 6000 litros de cada tipo de aceite, obteniéndose unos beneficios de 800. Programación lineal Unidad 4 65

31 7. Cierto taller se dedica a la revisión de dos marcas A B de automóviles. Debe revisar tanto el sistema eléctrico como el funcionamiento del motor. Cada automóvil de tipo A precisa 0 minutos para la revisión eléctrica otros 0 minutos para la revisión del motor. Cada automóvil de tipo B precisa 0 minutos para la revisión eléctrica 60 minutos para la revisión del motor. Las disponibilidades de los operarios hacen que se cuente con un máimo de 5 horas de trabajo semanales para la revisión eléctrica de 5 horas de trabajo semanales para la revisión del motor. La revisión de un automóvil de tipo A proporciona unos beneficios de 5, la de uno de tipo B, 50. a) Cuántos automóviles de cada tipo se deben admitir a la semana de forma que se maimicen los beneficios? b) Para esta solución óptima, qué beneficios máimos se obtendrán? c) Con esta producción puede prescindirse de alguna de las horas disponibles? a) Las variables de decisión son: automóviles de tipo A automóviles de tipo B Queremos hallar el máimo de= z 5 50 sujeto a: , 0 0, 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 5 ) B ( 0, 0 ) C ( 50, 0 ) z0 = 0 za = 750 zb = 050 zc = 750 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B, es decir, semanalmente ha que admitir = 0 coches tipo A e = 0 coches tipo B. b) Los beneficios obtenidos son zb = 050. c) No se puede prescindir de ninguna de las horas disponibles, a que en el vértice B son necesarias todas las horas disponibles, tanto para revisar el sistema eléctrico como el funcionamiento del motor. 7. En cierta quesería producen dos tipos de queso: mezcla tradicional. Para producir un queso de mezcla son necesarios 5 cl de leche de vaca otros 5 cl de leche de cabra; para producir uno tradicional, solo hacen falta 50 cl de leche de vaca. La quesería dispone de 600 cl de leche de vaca 500 cl de leche de cabra al día. Por otra parte, puesto que los quesos tradicionales gustan más, cada día produce al menos tantos quesos de tipo tradicional como de mezcla. a) Cuántas unidades de cada tipo podrá producir en un día cualquiera? Plantea el problema representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) Si la quesería vende todo lo que produce obtiene un beneficio de por cada queso de tipo mezcla 4 por cada queso de tipo tradicional. Cuántas unidades de cada tipo debe producir diariamente para maimizar beneficios? Qué beneficio obtiene en ese caso? a) Las variables de decisión son: quesos mezcla quesos tradicionales Las restricciones del problema son: , 0 0, 0 Cuo conjunto de soluciones (región factible) representamos. 66 Unidad 4 Programación lineal

32 b) Queremos hallar el máimo de = z 4 sujeto a las restricciones anteriores. Calculamos los vértices de la región factible anterior: O ( 0, 0 ) 44 = A: A ( 0, 7 ) = 0 44 = B: B ( 0, 6 ) = 0 = 0 C: C ( 0, 0 ) = z0 = 0 za = 88 zb = 08 zc = 40 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 08, es decir, diariamente ha que producir = 0 quesos mezcla e = 6 quesos tradicionales, obteniéndose unos beneficios de En un edificio público se quieren colocar, al menos, 0 máquinas ependedoras entre las de bebidas calientes las de bebidas frías. Ha disponibles máquinas de bebidas calientes 40 de bebidas frías. Se pretende que el número de ependedoras de bebidas calientes no sea superior a una tercera parte del de bebidas frías que, por lo menos, una quinta parte del total de máquinas que se coloquen sean de bebidas calientes. Cumpliendo las condiciones anteriores, qué combinación de máquinas de cada tipo hace que la diferencia del número de máquinas de bebidas frías menos el de bebidas calientes colocadas sea maor? Las variables de decisión son: máquinas de bebidas calientes máquinas de bebidas frías Queremos hallar el máimo de z= sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: 0 = A: A ( 4, 6 ) 4 = 0 = 40 B: B (0, 40 ) 0 4 = = D (, 6 ) D: 0 = 0 = E ( 5, 5 ) E: 0 = = C: C (, 40 ) = 40 za = zb = 0 zc = 8 zd = 4 ze = 0 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 0, es decir, el máimo de diferencia entre las bebidas de uno otro tipo (0) se alcanza al colocar 0 máquinas de bebidas calientes 40 de bebidas frías. Programación lineal Unidad 4 67

33 74. Las fábricas de automóviles de Fráncfort de Milán proveen de un cierto modelo a las ciudades de París, Viena Praga. Las producciones de las fábricas son: Fráncfort Milán Las demandas de las ciudades son: París Viena Praga Los costes de transporte, en unidades monetarias, de cada automóvil desde un punto de origen a uno de destino son: París Viena Praga Fráncfort Milán Halla cuántos automóviles deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo calcula dicho coste mínimo. La siguiente tabla de variables indica el número de automóviles que se trasporta de un lugar a otro. Fráncfort Milán Total París 5 5 Viena Praga Total Queremos hallar el mínimo coste: z = (50 ) 0 (5 ) 5 (00 ) 0 ( 5 ) = Las restricciones del problema son las que resultan de obligar a que las variables de la tabla anterior no sean negativas, es decir, queremos resolver el problema de programación lineal: 0 5 Min = z sujeto a Representamos la región factible calculamos sus vértices: A ( 5, 00 ) B ( 50, 00 ) C (5, 5 ) D (5, 0 ) za = 500 zb = 50 zc = 500 zd = 500 Por tanto, el mínimo se alcanza en cualquier punto del segmento de etremos C D (de hecho, solo en los puntos de coordenadas enteras), es decir, = 5 pero puede variar entre 0 5. En todas estas las soluciones el coste será de 500 unidades monetarias. Las soluciones se muestran en la siguiente tabla, donde 0 5,. Fráncfort Milán París 5 0 Viena 00 Praga 5 Por tanto los únicos envíos fijos son a París, 5 automóviles desde Fráncfort ninguno desde Milán. Dos posibles transportes con coste mínimo son los siguientes: Fráncfort Milán 68 París 5 0 Unidad 4 Programación lineal Viena 0 00 Praga 5 0 Fráncfort Milán París 5 0 Viena 5 75 Praga 0 5

34 75. El dueño de una tienda de golosinas dispone de 0 paquetes de pipas, 0 chicles 8 bombones. Decide que para venderlas mejor va a confeccionar dos tipos de paquetes. El tipo A estará formado por un paquete de pipas, dos chicles dos bombones se venderá a,50. El tipo B estará formado por un paquete de pipas, cuatro chicles un bombón se venderá a. Cuántos paquetes de cada tipo conviene preparar para conseguir los ingresos máimos? Determina los ingresos. Las variables de decisión son: paquetes A paquetes B Queremos hallar el máimo de= z,5 sujeto a: , 0 0, 0 Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) 5 A 0, B ( 5, 5 ) C ( 8, ) D ( 9, 0 ) zo = 0 za = 5 zb = 7,5 zc = 6 zd =,5 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 7,5, es decir, ha que preparar 5 paquetes de cada tipo, obteniéndose un ingreso de 7, Una ONG va a realizar un envío compuesto de lotes de alimentos de medicamentos. Como mínimo se han de mandar 4 lotes de medicamentos, pero por problemas de capacidad no pueden mandarse más de 8 lotes de estos medicamentos. Para realizar el transporte se emplean 4 contenedores para cada lote de alimentos para cada lote de medicamentos. El servicio de transporte eige que al menos se envíe un total de 4 contenedores, pero que no superen los. a) Qué combinaciones de lotes de cada tipo pueden enviarse? Plantea el problema representa gráficamente las soluciones. Pueden enviarse 4 lotes de alimentos 5 de medicamentos? b) Si la ONG quiere maimizar el número total de lotes enviados, qué combinación debe elegir? a) Las variables de decisión son: lotes de medicamentos lotes de alimentos Las restricciones del problema son: Cuo conjunto de soluciones (región factible) representamos. Observemos que el punto P(5, 4) pertenece a la región factible, a que verifica todas las restricciones, por tanto, es posible enviar 4 lotes de alimentos 5 de medicamentos. b) Queremos hallar el máimo de z= sujeto a las restricciones anteriores. Calculamos los vértices de la región factible: A ( 4, 4 ) B ( 4, 6 ) C ( 8, 4 ) D ( 8, ) za = 8 zb = 0 zc = zd = 0 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice C su valor es zc =, es decir, ha que enviar = 8 lotes de medicamentos e = 4 lotes de alimentos. Programación lineal Unidad 4 69

35 77. Un profesor proporciona a sus alumnos un listado con 0 problemas del tema 0 del tema. Cada problema del tema vale 5 puntos cada problema del tema vale 8 puntos. Los alumnos pueden hacer problemas de los dos temas, pero con las siguientes condiciones.. El número de problemas realizados del tema no puede ser maor que el número de problemas del tema más, ni ser menor que el número de problemas del tema menos 8.. La suma de 4 veces el número de problemas realizados del tema con el número de problemas realizados del tema no puede ser maor que 8. Halla cuantos problemas del tema del tema ha que hacer para obtener la máima puntuación. Las variables de decisión son: ejercicios tema ejercicios tema Queremos hallar el máimo de = z 5 8 sujeto a: Representamos la región factible calculamos sus vértices: O ( 0, 0 ) A ( 0, 8 ) B ( 6, 4 ) C ( 8, 6 ) D (, 0 ) zo = 0 za = 64 zb = 4 zc = 88 zd = 0 Por tanto, el máimo se localiza en el vértice B su valor es zb = 4, es decir, ha que hacer = 6 problemas del tema e = 4 problemas del tema, obteniéndose 4 puntos. 78. En cierta zona de una comunidad autónoma ha tres fábricas de televisores, O, O O, que proveen de aparatos a dos ciudades, D D. Las producciones de las fábricas son: O O O Las demandas de las ciudades son: D D Los costes de transporte, en euros, de cada unidad desde un punto de origen a uno de destino son: D D O 0 8 O 6 5 O 4 5 Halla cuántos televisores deben llevarse desde cada fábrica a cada ciudad para que el coste total de los gastos de transporte sea mínimo. Calcula dicho coste mínimo. 70 Unidad 4 Programación lineal