Solución Hay que minimizar G(x,y)=0,12x+0,18y con las condiciones siguientes: x

Transcripción

1 Ejercicios Repaso ªEvaluación Mis queridos alumnos, al final os he preparado una mezcla de ejercicios con su solución para que podáis repasar Mucho ánimo y a currar, que ya queda poco! Problema nº1 En una farmacia se venden dos compuestos vitamínicos El A contiene mg de vitaminas y 5 calorías cada 1 gramos El B contiene mg de vitaminas y 5 calorías por cada 1 gramos No se debe tomar más de 15 mg de mezcla ni menos de 5 No se debe tomar más de B que de A No se deben tomar más de 1 gramos de A Crear las dosis del compuesto para obtener: a) El preparado más rico en vitaminas b) El más pobre en calorías a) Hay que maimizar la función F(,y)y con las siguientes condiciones: 5 y 15 y los puntos son A(5,5), B(5,), C(1,), D(1,5) y E(75,75) 1 El mejor es el D b) Hay que minimizar la función G(, y) 5 5y con las mismas condiciones que en el apartado a Son mejores la A y la B Problema nº Un orfebre tiene 1 kg de oro Le encargan medallas de tamaños con la condición de que el número de medallas pequeñas tiene que ser al menos el doble de las grandes y deben contener 5 y 1 g de oro respectivamente El orfebre gana con grandes lo mismo que con pequeñas Calcular el reparto para que la ganancia sea máima Hay que maimizar F(, y) y 1 5y 1 y con las siguientes condiciones : Los puntos críticos son A(,) y B(5,1) Lo mejor es A Problema nº En un depósito caben bidones, de los cuales siempre debe haber 1 de petróleo y de gasolina como mínimo, pero siempre 5 bidones como mínimo Calcular el reparto para que el gasto de almacén sea mínimo, sabiendo que un bidón de petróleo genera un gasto de,1 euros y uno de gasolina,18 Hay que minimizar G(,y),1,18y con las condiciones siguientes: 1 y Los puntos críticos son A(1,), B(,) La mínima es B 5 y y

2 Ejercicios Repaso ªEvaluación Problema nº Un supermercado oferta el aceite C a 1,5 euros la botella y el D a,75 con las condiciones de que compre 6 botellas como mínimo y de que la cantidad de C esté comprendida entre la mitad y el doble que la de D Calcular cual será la mejor compra si disponemos de 18,75 euros Maimizar F(,y)1,5,75y con las siguientes condiciones: 1,5,75y 18,75 6 y y Los valores críticos son A(6,1) y B(1,5) La mejor es B y Problema nº5 Un químico dispone de 8 litros de A y 1 litros de B El perfume C se prepara con partes de B y una de A y el perfume D al 5% de ambos Los frascos son de litros El perfume C se vende euros y el D a 6 euros Calcular el reparto para una venta máima Hay que maimizar F(,y)6y con las siguientes condiciones: y 8 y 1 los puntos son A(,) y B(6,7;) El reparto A

3 Ejercicios Repaso ªEvaluación Ejericicio nº Calcular : a) ; b) a) b) in det er min ación ( 6) 6 ( 6)( 6) 6 6 (Ruffini) ( 7 ( 6 6 7)( 7)( 6 6 ) ) Problema nº Probar que la función: 1 f() 7 8 no es continua en 1 e indicar qué tipo de discontinuidad presenta en dicho punto 7 La función f () no está definida en 1, pues al reemplazar por 1 en ésta se obtiene cero en el numerador y en el denominador ( 1)( 1) ( 1) 1 f() 1 1 ( 1)( 8) 1 ( 8) 1 5 La función dada f () se dice que tiene una discontinuidad evitable en 1 Ejercicio nº Calcular los siguientes límites: ( 1) 1 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1 1)

4 Ejercicios Repaso ªEvaluación Ejercicio nº 1 5 Calcular : a) ; b) a) 1 5 b) in det er min ación 5 ( ) 5 ( ) (Ruffini) ( ) 1 ( 1) 1 ( 1)( 6) Ejercicio nº5 Dada la función: si < f() si < 1 si Estudiar su continuidad en los puntos y Calculamos los límites a la izquierda y a la derecha de dichos puntos: f() f() La función no es continua en f() f() Como f () 5 la función si es continua en Ejercicio nº6 en qué puntos son continuas o discontinuas las funciones siguientes? a) f () 5 b) f () a b c

5 Ejercicios Repaso ªEvaluación 1 c) f() d) f() 1 < > a) f () es continua en toda la recta real b) f () es continua en toda la recta real c) f () es discontinua en - d) f () es discontinua en y continua en el resto, pues a la izquierda de cero se va acercando hacia 1, y a la derecha de cero se va acercando hacia Ejercicio nº7 Calcular cuánto debe valer a para que la función siguiente sea continua: 1 si 1 f() a si > 1 Por ser polinómicas las dos formas de la función, sólo eiste duda de la continuidad en 1, punto donde cambia la forma de la función: f( ) - 1 f( ) 1 f(1) [ 1] [ a ] a la función será continua en 1 si a 1 Ejercicio nº8 Calcular la derivada de f() ln 1 f '() 1 g'() ( 1) 1 y de g() ( ) ( ) 8 ( ) ( 1)( ) 1

6 Ejercicios Repaso ªEvaluación Ejercicio nº9 7 Calcular la derivada de f() y de g() 5sen( 1) 5 1 1( 5 1) 1( 7 ) 16 f '() ( ) ( ) ( 1) 5cos g'() Problema nº1 Calcular la derivada de f() e y de g() 5 f '() e e 1 e g'() 5 ( ) 5 ( 5) ( 5) Problema nº Calcular la derivada de f() 1 y de g() 9 f '() g'() ( ) ( 9) ( 5) 7 ( 9) ( 9) Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máimos y mínimos de la función: f ( ) 6 8 : Derivada de la función: f'() - 6 f'() - 6 a) Para < es f'() <, luego la función es decreciente en (, ) b) Para > es f'() >, luego la función es creciente en (, ) c) En, la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente El punto mínimo tiene por coordenadas (, -1) Averigua las coordenadas de los puntos críticos (máimos y mínimos) de la función f ( ) 5 6 :

7 Ejercicios Repaso ªEvaluación f' ( ) 1 f'' ( ) 1 6 f' ( ) ( ) f'' () 1 > m f'' () 1 < M (, 5 ) (, 7 ) Estudia el crecimiento y decrecimiento y los máimos y mínimos de la función: f ( ) : Derivada de la función: f' ( ) 1 9 f' ( ) 1 9 1; d) Para < 1 es f'() >, luego la función es creciente en (,1 ) e) Para 1 < < es f'() <, luego la función es decreciente en (1, ) f) Para > es f'() >, luego la función es creciente en (, ) g) En 1, la función presenta un máimo, ya que pasa de creciente a decreciente h) En, la función presenta un mínimo, ya que pasa de decreciente a creciente El coste total epresado en euros de fabricación de unidades de cierto artículo viene dado por la función: f ( ) 1 a) Representa gráficamente la función en su dominio real de definición, sabiendo que, por razones técnicas, no es posible fabricar diariamente más de unidades de producto b) En qué nivel de fabricación se producen los gastos mínimos? c) Cuáles son los costes semanales de fabricación, a pleno rendimiento, si no se trabaja el sábado ni el domingo? d) Cuál deberá ser el precio unitario del producto para cubrir gastos en esas condiciones? : a) Derivadas sucesivas: f' ( ) 1; f" ( ) El dominio natural es el número de unidades de producto diarias: [, ] La curva es una parábola convea (f > ) f'() implica - 1, por tanto: 5 El vértice, punto mínimo es V(5, f(5)) V(5, 1975)

8 Ejercicios Repaso ªEvaluación b) Los gastos mínimos se producen para 5 c) El coste para : f(), por tanto el coste semanal es 5 11 d) El precio unitario: 11 A un vendedor de coches de lujo le cuesta 1 euros cada modelo de la marca PC Ha comprobado que al precio de euros cada unidad vende coches al mes y que por cada euros de descuento en el precio de venta puede vender unidades más al mes Formula la función beneficio y determina el precio de venta óptimo : Si vende coches, el precio de venta será: P() - euros La función beneficio se obtiene como diferencia entre ventas y costo: B( ) ( )( ) 1 ( ) B( ) 6 La función beneficio es una parábola cóncava, ramas hacia abajo Sus derivadas son: B' ( ) 1 ; B" ( ) 1 El beneficio máimo se obtiene cuando: B' ( ) 1 se trata de un máimo ya que B < El precio de venta ha de ser euros, que se consigue vendiendo 5 coches al mes Durante los días consecutivos de un mes las acciones de una determinada compañía han tenido unas cotizaciones dadas por la función: f ( ), 8 1 donde es el número de días transcurridos Halla los días en los que las respectivas acciones estuvieron en baja (bajando de precio) y los que estuvieron en alza Qué día del mes alcanzaron el valor máimo? Y el mínimo? : Funciones derivadas: f'(), - 8; f (), Se trata de una parábola convea (ramas hacia arriba) dado que f > f'() implica, - 8, por tanto El vértice, punto mínimo es V(, f()) V(, ) Se trata de ver ahora el comportamiento de la función en el intervalo [, ] f() 1 y f(), por tanto: las acciones empezaron a cotizar a 1 y terminaron a

9 Ejercicios Repaso ªEvaluación Fueron bajando hasta el día en el que alcanzaron la mínima cotización f() Fueron subiendo desde ese día hasta el día (final de mes) donde alcanzaron una cotización de Por tanto el primer día del mes fue cuando alcanzaron el valor máimo, y el día el que alcanzaron el valor mínimo El área (cm ) ocupada por una infección cutánea se etiende a partir del instante inicial del contagio, según la función t S( t) 1 t 1 cuando t se mide en días Se pide: a) La superficie ocupada por la infección en el momento inicial del contagio b) En qué instante adquiere mayor virulencia la infección? c) Con el paso del tiempo Llegará a desaparecer la infección? Se estabiliza? : El dominio de la función es [, ) a)para t, se tiene un área infectada S() 1 cm b) Para ver en qué instante la infección es más virulenta, estudiamos el crecimiento y decrecimiento de la función: Función derivada: S' ( t) 1 t ( t 1) que se anula para t 1, por tanto El signo de la derivada es: Si Si t < 1 t > 1 S' ( t) > S' ( t) < Por tanto la máima virulencia de la infección se alcanza al transcurrir el primer día c) A medida que aumenta el tiempo, la superficie tiende a estabilizarse en el valor 1 cm, dado que: t S( t) 1 1 t t t 1 Un establecimiento de hostelería abre sus puertas a las 9 de la noche, sin ningún cliente y las cierra cuando se han marchado todos Se supone que la función que representa el número de clientes C, en función del número de las horas que lleva abierto h, es: C 8h 1h a) Determina el número máimo de clientes que van una noche al establecimiento b) Si deseamos ir cuando haya menos de 15 personas y más de 7, entre qué horas debemos hacerlo? c) Si deseamos ir cuando haya menos de 15 personas y más de 7 y, además, queremos que durante nuestra estancia disminuya el número de clientes, entre qué horas debemos hacerlo? d) A qué hora cierra? : a) Funciones derivadas: C'(h) 8 - h; C (h) - La función C(h) es una parábola concava

10 Ejercicios Repaso ªEvaluación Su máimo se obtiene cuando C'(h) 8 - h h Por tanto el máimo de clientes es C() 16 personas b) Se trata de resolver la doble inecuación 7 C(h) 15 C(h) 8h 1h 7 cuyas soluciones son h 1 y h 7 C(h) 8h 1h 15 cuyas soluciones son h y h 5 Por tanto se debe ir entre las 1 y las 1 o bien entre las y las de la madrugada c) Si a las condiciones anteriores, añadimos que C'(h) < 8 - h < h > Debemos ir entre la y las de la madrugada d) C(h) (puntos de corte con el eje de abscisas), se verifica para h y h 8 Para h (9 de la noche) abre, luego cierra a las 5 de la madrugada Esto es todo amigos Féli