Unidad 3 Álgebra. Sección 1 Productos de polinomios Clase 1 Repaso de operación de productos notables de la forma (x + a)(x + b)

Transcripción

1 lase 1 Repaso de operación de productos notables de la forma (x + a)(x + b) P Desarrolle las siguientes expresiones: a. (x + 5)(x + 3) b. (x 3)(x 2) c. (x + 2)(x 5) d. (x 1)(x + 4) S a. (x + 5)(x + 3) = x 2 + (5 + 3)x = x 2 + 8x + 15 Respuesta: (x + 5)(x + 3) = x 2 + 8x + 15 b. (x 3)(x 2) = x 2 + ( 3 2)x + ( 3) ( 2) = x 2 5x + 6 Respuesta: (x 3)(x 2) = x 2 5x + 6 c. (x + 2)(x 5) = x 2 + (2 5)x + 2 ( 5) = x 2 3x 10 Respuesta: (x + 2)(x 5) = x 2 3x 10 d. (x 1)(x + 4) = x 2 + ( 1 + 4)x + ( 1) 4 = x 2 + 3x 4 Respuesta: (x 1)(x + 4) = x 2 + 3x 4 l siguiente producto notable se desarrolla: (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab a. (x + 3)(x + 4) b. (x 2)(x 4) c. (x 2)(x + 5) d. (x + 1)(x 4) e. (x 1)(x + 5) f. (x 6)(x 2) g. (x + 5)(x + 6) h. (x + 3)(x 1)

2 lase 2 Repaso de operación de productos notables de las formas (x + a) 2, (x a) 2 y (x + a)(x a) P Desarrolle las siguientes expresiones: a. (x + 4) 2 b. (x 5) 2 c. (x + 3)(x 3) d. (x 6)(x + 6) S a. (x + 4) 2 = x x = x 2 + 8x + 16 Respuesta: (x + 4) 2 = x 2 + 8x + 16 b. (x 5) 2 = x x = x 2 10x + 25 Respuesta: (x 5) 2 = x 2 10x + 25 c. (x + 3)(x 3) = x = x 2 9 Respuesta: (x + 3)(x 3) = x 2 9 d. (x 6)(x + 6) = x = x 2 36 Respuesta: (x 6)(x + 6) = x 2 36 Los siguientes productos notables se desarrollan: (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 (x a) 2 = x 2 2ax + a 2 (x a)(x + a)o (x + a)(x a) = x 2 a 2 a. (x + 3) 2 b. (x 4) 2 c. (x + 7)(x 7) d. (x 9)(x + 9) e. (x 2) 2 f. (x 6)(x + 6) g. (x + 5) 2 h. (x + 2)(x 2)

3 lase 3 Productos de la forma (ax + by) 2 P Desarrolle la siguiente expresión: (2x + 3y) 2 (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 S on el uso de la forma (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2, (2x + 3y) 2 = (2x) x 3y + (3y) 2 = 2 2 x xy y 2 = 4x xy + 9y 2 Se aplica el exponente al coeficiente y a la variable. Se efectúan las potencias y los productos. Respuesta: (2x + 3y) 2 = 4x xy + 9y 2 l producto de la forma (ax + by) 2 es el cuadrado de un binomio y se desarrolla: jemplo: Desarrolle la siguiente expresión. (3a + 4b) 2 (ax + by) 2 = (ax) ax by + (by) 2 (3a + 4b) 2 = (3a) a 4b + (4b) 2 = 3 2 a ab b 2 = 9a ab + 16b 2 Respuesta: (3a + 4b) 2 = 9a ab + 16b 2 = a 2 x 2 + 2abxy + b 2 y 2 a. (2x + 4y) 2 b. (3a + 2x) 2 c. (2a + 5b) 2 d. (4x + 3y) 2 e. (5x + 2y) 2 f. (5a + 3b) 2 g. (6x + 3y) 2 h. (4x + 6y) 2 i. (3x + 6y) 2 j. (7a + 4b) 2

4 lase 4 Productos de la forma (ax by) 2 P Desarrolle la siguiente expresión: (2x 3y) 2 (x a) 2 = x 2 2ax + a 2 S on el uso de la forma (x a) 2 = x 2 2ax + a 2, (2x 3y) 2 = (2x) 2 2 2x 3y + (3y) 2 = 2 2 x 2 12xy y 2 = 4x 2 12xy + 9y 2 Se aplica el exponente al coeficiente y a la variable. Se efectúan las potencias y los productos. Respuesta: (2x 3y) 2 = 4x 2 12xy + 9y 2 l producto de la forma (ax by) 2 es el cuadrado de un binomio y se desarrolla: (ax by) 2 = (ax) 2 2 ax by + (by) 2 = a 2 x 2 2abxy + b 2 y 2 jemplo: Desarrolle la siguiente expresión. (4a 5b) 2 (4a 5b) 2 = (4a) 2 2 4a 5b + (5b) 2 = 4 2 a 2 40ab b 2 = 16a 2 40ab + 25b 2 Respuesta: (4a 5b) 2 = 16a 2 40ab + 25b 2 a. (2x 5y) 2 b. (4a 2b) 2 c. (3x 6y) 2 d. (4a 5b) 2 e. (5a 6x) 2 f. (5x 3y) 2 g. (6x 4y) 2 h. (7a 3b) 2 i. (4x 5y) 2 j. (6a 7b) 2

5 lase 5 Productos de la forma (ax + by)(ax by) P Desarrolle la siguiente expresión: (3x + 4y)(3x 4y) (x + a)(x a) = x 2 a 2 S on el uso de la forma (x + a)(x a) = x 2 a 2, (3x + 4y)(3x 4y) = (3x) 2 (4y) 2 Se eleva al cuadrado cada uno de los términos. Respuesta: (3x + 4y)(3x 4y) = 9x 2 16y 2 = 3 2 x y 2 Se aplica el exponente al coeficiente y a la variable. = 9x 2 16y 2 Se efectúan las potencias. l producto de la forma (ax + by)(ax by) es una suma por la diferencia de binomios y se desarrolla: jemplo: Desarrolle la siguiente expresión. (2x + 5y)(2x 5y) (2x + 5y)(2x 5y) = (2x) 2 (5y) 2 (ax + by)(ax by) = (ax) 2 (by) 2 = 2 2 x y 2 = 4x 2 25y 2 Respuesta: (2x + 5y)(2x 5y) = 4x 2 25y 2 = a 2 x 2 b 2 y 2 a. (2x + 4y)(2x 4y) b. (4a 2b)(4a + 2b) c. (3x + 6y)(3x 6y) d. (2x 7y)(2x + 7y) e. (5a + 6x)(5a 6x) f. (8a 7b)(8a + 7b)

6 lase 6 ombinación de productos notables P Desarrolle las siguientes expresiones: a. (x + 2)(x + 1) (x + 4) 2 b. (y 3) 2 + (y 2)(y + 5) S a. Los productos involucrados son: producto de la forma (x + a)(x + b) y cuadrado de un binomio. Después de desarrollar cada producto, se reducen los términos semejantes: (x + 2)(x + 1) (x + 4) 2 = x 2 + (2 + 1)x (x x ) = x 2 + 3x + 2 (x 2 + 8x + 16) = x 2 + 3x + 2 x 2 8x 16 = 5x 14 Respuesta: (x + 2)(x + 1) (x + 4) 2 = 5x 14 b. Los productos involucrados son: cuadrado de un binomio y producto de la forma (x + a)(x b). Después de desarrollar cada producto, se reducen los términos semejantes: (y 3) 2 + (y 2)(y + 5) = y y y 2 + ( 2 + 5)y + ( 2) 5 = y 2 6y y 2 + 3y 10 = 2y 2 3y 1 Respuesta: (y 3) 2 + (y 2)(y + 5) = 2y 2 3y 1 Para desarrollar combinaciones de productos notables: Paso 1. Se identifican cuáles son los productos notables involucrados en la expresión. Paso 2. Se calculan los productos teniendo en cuenta los signos. Paso 3. Se reducen los términos semejantes, si los hay. a. (x + 1)(x + 3) (x 2) 2 b. (y + 6) 2 + (y + 3)(y 8) c. (x + 2)(x 2) + (x + 3) 2 d. (2y 1) 2 (y 3)(y + 4)

7 lase 7 Operaciones usando productos notables P uál es el valor numérico de (a + b) 2 si a 2 + b 2 = 10 y ab = 3? n cuál producto notable están involucradas las expresiones (a + b) 2, a 2 + b 2, ab? S n el problema no se pretende encontrar los valores de a y b, sino de (a + b) 2. Observe que a 2 + b 2 y ab están involucradas en el desarrollo del cuadrado de un binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Se sustituyen los valores en lo anterior: (a + b) 2 = (a 2 + b 2 ) + 2ab = = 16 Respuesta: el valor numérico de (a + b) 2 es 16. jemplo: alcule la siguiente expresión utilizando productos notables Los números 99 y 101 pueden escribirse como y , respectivamente: = (100 1)( ) Lo anterior es un producto de la suma por la diferencia de binomios: = = 10,000 1 = 9,999 Respuesta: = 9,999 n una multiplicación, el orden de los factores no altera el producto: (100 1)( ) = ( )(100 1) 1. Resuelva. a. uál es el valor numérico de (a + b) 2 si a 2 + b 2 = 13 y ab = 6? b. uál es el valor numérico de (a b) 2 si a 2 + b 2 = 17 y ab = 4? 2. alcule las siguientes expresiones utilizando productos notables. a b c. 98 2