CÆlculo intgral UdeM November 19, 2014

Transcripción

1 1 Nota: Solucionar sólo 4 puntos, si se solucionan 5 se califican todos. 1. Determinar el valor de las integrales (a) 1 5 4x (x 2 +x 6) dx (b) Hallar d dx x 2 x 7 e 3x dx 2. Hallar el área de la región limitada por las curvas y = x 2 y y = (x 4) 2 y el eje x. Graficar y mostrar el diferencial seleccionado. 3. La gerencia de una cadena nacional de distribución desea vender una franquicia en cierta ciudad capital. La experiencia en sitios semejantes sugiere que dentro de t años la franquicia generará utilidades a razón de f (t) = 5+2t dólares al año. Durante los siguientes 6 años la base de interés predominante permanece fija al 6% capitalizado continuamente, cuál es el valor presente de la ganancia? 4. La curva de demanda de un producto está dada por la ecuación p = 28 q+2 y la curva de oferta está dada por la ecuación p = 2+2.5q, donde q es la cantidad y p es el precio en dólares por unidad. (a) Determinar el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio (b) Al precio de equilibrio, calcular e interpretar el excedente del productor 5. Suponga que dentro de t años una inversión generará utilidades a una tasa P 1 (t) = 5 + t2 cientos de dólares por año, en tanto que una segunda inversión generará utilidades a una tasa de P 2 (t) = 2+5t cientos de dólares por año. (a) Durante cuántos años sobrepasa la tasa de rentabilidad de la segunda inversión a la primera? (b) Calcular el exceso neto de utilidad para el periodo determinado en el inciso anterior. Iterpretar el exceso neto de utilidad como un área.

2 2 1. Un fabricante determina que t meses después de introducir un producto nuevo, las ventas de la compañia son S(t) miles de dólares, donde S(t) = 75t 4t Cuál es el promedio de las ventas mensuales de la compañía en los primeros 5 meses después de la introducción del producto nuevo? Nota: El valor promedio para una función es VP = b a f(x)dx b a 2. (a) Halle el área de la región limitada por las curvas y = x 2 2x y y = 4 x 2 ; Bosqueje la región y muestre el diferencial seleccionado (b) Calcule la integral x 4 e 3x dx 3. Suponga que dentro de t años un plan de inversión generará utilidades a razón de P 1 (t) = 1+t2 cientos de dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a razón de P 2 (t) = t cientos de dólares por año. (a) Durante cuántos años será más rentable el segundo plan? (b) Calcule el exceso de utilidad suponiendo que invierte en el segundo plan el tiempo determinado en el literal anterior (c) Trace las curvas de la tasa de rentabilidad y = P 1 (t) y y = P 2 (t) y sombree la región que representa el exceso de utilidad calculado en (b) 4. Calcule (a) (b) 1 5 5x 5 (x+3)(2 x) dx x 1 dx 5. Suponga que cuando cierta máquina industrial tiene t años, genera ingreso a una tasa R (t) = 5 2t 2 dólares por año y que los costos de operación y servicio correspondientes a la máquina se acumulan a una tasa C (t) = 2+1t 2 dólares por año (a) Cuál es la vida útil de esta máquina? (b) Calcular el ingreso neto generado por la máquina durante su vida útil

3 3 1. Solucionar (a) x 2 +4x 1 x 3 x dx (b) e 2x x 5 2dx (c) e 2x dx 2. Hallar el área de la región limitada por y 2 = 2x 2 y la recta y = x 5 3. Si la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q) = 5e.4q dólares por unidad. (a) Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 15 unidades del artículo (b) Trazar la curva de demanda e interpretar como un área la disposición a gastar de los consumidores 4. Si las relaciones de oferta y demanda son O(x) = 2+2.5x; D(x) = 28 x+2 determinar el excedente del consumidor y del productor 5. Suponga que la función de demanda de los consumidores para cierto artículo es D(q) = 4 ( 25 q 2) dólares por unidad. (a) Determinar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo (b) Trazar la curva de demanda e interpretar la réspuesta como un área

4 4 1. Un fabricante de neumáticos estima que los mayoristas comprarán (demandarán) q (miles) de neumáticos radiales, cuando el precio sea p = D(q) =.1q dólares por neumáticos y el mismo número de neumáticos se ofertaran cuando el precio sea p = S(q) =.2q 2 +q +5 dólares por neumático. (a) Determinar el precio de equilibrio (cuando la oferta es igual a la demanda), así como la cantidad ofertada y demandada a ese precio. (b) Determinar el excedente del productor y el excedente del consumidor en el precio de equilibrio. 2. Hallar el área de la región limitada por y = e x, y = e x y y = 2. Bosquejar la región indicando el diferencial seleccionado. 3. Solucionar (a) 2 1 x x+3dx (b) x 5 e 3x dx (c) 7x (2x 1)(3x+2) dx 4. Una inversión generará ingresos continuamente a una tasa constante de 12 dólares anuales durante 5 años. Si la tasa de interés anual prevaleciente permanece fija a 5% capitalizado continuamente cuál es el valor presente de la inversión?

5 5 1. Suponga que cuando cierta máquina industrial tiene t años, genera ingreso a una tasa R (t) = 5 2t 2 dólares por año y que los costos de operación y servicio correspondientes a la máquina se acumulan a una tasa C (t) = 2+1t 2 dólares por año (a) Cuál es la vida útil de esta máquina? (b) Calcular el ingreso neto generado por la máquina durante su vida útil 2. Hallar el área de la región limitada por y = e x, y = e x y y = 2. Bosquejar la región indicando el diferencial seleccionado. 3. solucionar (a) 1 x3 e x2 dx (b) x 3 (x+1)(x 2) dx 4. Jane trata de decidir entre dos inversiones. La primera cuesta $1 y se espera que genere un flujo de ingresos continuo a una tasa de f 1 (t) = 3e.3t dólares por año. La segunda inversion cuesta $4 y se estima que genera ingreso a una tasa constante de f 2 (t) = 4 dólares por año. Si la tasa de interés anual permanece fija a 5% capitalizado continuamente durante los próximos 5 años, cuál inversión generará más ingreso neto durante este peiodo?

6 6 1. Una inversión genera 48 dólares anuales a perpetuidad. Si el dinero se retira continuamente a lo largo del año y la tasa de interés predominante se fija en un 14% capitalizada continuamente, cuál es el valor presente de la inversión? 2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas y = x 1 y y 2 = 2x+6. Graficar y mostrar el diferencial seleccionado. 3. Calcular las integrales (a) x 5 e 3x 4 dx (b) π 2 sin3 xdx 4. Determinar el excedente del consumidor y del productor si las relaciones de oferta y de demanda son p = D(q) = 28 q+2 y p = S(q) = 2+2.5q. Construir las gráficas e interpretar en terminos de áreas.