ACTIVIDADES ECUACIONES

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1 ACTIVIDADES ECUACIONES

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3 1) Sin resolver la ecuación, determina si alguno de estos números son soluciones de la ecuación correspondiente. a) 12 4 = ; ; 7 b) 1 4( + 5) + 1 = 0 ; ; 5 c) 5( + 8) + 2 = ; ; 1 5 d) 1 2( 5 + 2) = 2( + 2) + 0 ; 1 ; 2) Analiza la validez de las siguientes afirmaciones y da un ejemplo en cada caso: a) Sumar o restar el mismo polinomio a ambos miembros de una ecuación, es una operación que no da como resultado una ecuación equivalente a la dada. b) Multiplicar a ambos miembros de una ecuación por una expresión que contiene a la incógnita, garantiza la equivalencia de las ecuaciones. c) Elevar a ambos miembros de una ecuación a una misma potencia, no es una operación nos permite obtener una ecuación equivalente a la dada. ) Resuelve las siguientes ecuaciones lineales a) = h) 29 + ( 5 + 4) = ( 5 + 6) + ( 8 + ) b) 2 + = 1 i) 2 4 = 4 5 c) 7 2 = 4 j) 2 = d) 2 7 = 4 k) = 2 1 e) = 4 8 l) = 2. ( 2) f) ( + 5) 4 = m) ( 1) ( 2 + ) = 5 ( 4 ) 2 g) 2 + = n) = 5 2 4) Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente una ecuación lineal. a) La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números. b) La suma de las edades de Martín y María es 40 años. Si María tiene 4 años más que Martín. Qué edad tiene cada uno de ellos? c) Un artículo cuyo precio es $450,80, tuvo 2 aumentos de precio; el primero del 12% y el segundo del 15%. Encuentra el valor original. 16

4 d) Se reparten $ entre tres personas. La segunda recibe el doble que la primera y la tercera un cuarto de lo que reciben las otras dos sumad o. Cuánto recibe cada una? e) Con cierta cantidad de dinero se compró un escritorio, gastando el 20% del mismo, luego se compró una silla, gastando 1/5 del dinero que quedó. Al final quedaron $512. Con cuánto dinero se contaba al principio? f) La Facultad compró tres nuevos monitores de diferentes tamaños. Por el mediano pagó $1.250 más que por el más pequeño, y por el más grande pagó $1.100 más que por el mediano. En total pagó $ Cuál es el precio de cada monitor? 5) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadrátic as, dando el dominio de definición. Trabajo Práctico a) 2 1 = 0 f) 2 5 = 20 4 b) = 0 g) 5 = c) 18 = 6 +. ( 1) h) = 8 d) = 0 i) + 7 = e) ( + 1) = 9 6) Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas incompletas a) 2 = 0 f) 4 8 = 0 b) = 0 g) ( 1 ). ( + ) = 0 c) 11 = 0 h). 1 2 = 0 d) 4 = 28 + i) ( 2 + 8). ( 2) = 0 e) 1 6 = 4 7) Determina la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: a) = 2 = 2 = 2 b) = = 1 = 1 c) = 0 = 4 = 164

5 8) Si una de las raíces de la ecuación + 15 = 0 es x = 5, halla el valor de y la otra raíz ( x ). 9) Determina la NATURALEZA de las raíces de: (Recuerda el análisis del discriminante) a) = 0 b) = 0 c) = 0 10) Determina el o los valores de para que la ecuación tenga raíces reales iguales: a) = 0 b) = c) + 9 = 0 11) Halla el valor de, para que = 0 tenga una raíz doble 12) Dada la ecuación 12 + = 0, halla los valores de para que las raíces sean: a) Reales y distintas b) Reales iguales c) No reales (Resuelve luego de aprender a trabajar con inecuaciones) 1) Resuelve las siguientes ecuaciones bicuadráticas a) = 0 d) 8 = 7 b) = 0 e) 4 = 17 4 c) = 0 f) ( + ). ( ) = 0 14) Resuelve las siguientes ecuaciones de grado o mayor a) ( + ) 8( + ) + 12 = 0 b) = 0 c) ( 2 ) 11( 2 ) = 24 15) Resuelve las siguientes ecuaciones racionales (no olvides verificar los resultados) dando el dominio de definición. a) 1 12 = g) 1 = 1 1 b) = 5 h) 1 + = 1 165

6 c) 2 4 = 0 i) 2 = Trabajo Práctico d) 1 2 = 2 e) = j) = 9 5 k) = 5 f) = 0 l) = 0 16) Halla un número entero sabiendo que la suma con su inverso es. 17) Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales (no olvides verificar los resultados) a) 2 = 10 e) = + 7 b) = 7 f) + 1 = 1 c) 2 = 5 g) + = + 1 d) + 4 = 2 h) = 0 18) Si la raíz cuadrada de un número se aumenta en dos, resulta 5. Cuál es el número? 19) Analiza la validez de las siguientes afirmaciones. (V o F) a) Todas las inecuaciones admiten como solución a un único valor. b) Al multiplicar a ambos miembros de una inecuación por un número negativo se obtiene una inecuación equivalente sólo si se invierte el sentido de la desigualdad. c) Al conjunto solución de una inecuación sólo se lo puede expresar como un intervalo. 20) Resuelve las siguientes inecuaciones lineales y representa la solución en la recta numérica. a) h) ( 2) > ( + 2). ( 2) + 8 b) < 2 i) ( 1) <. ( 4) + 8 c) 2. ( ) 2. ( + 2) j) ( 6)

7 d) 5 + <. ( ) k) 5 4 e) l) < 1 < 9 + f) 1 > 0 m) g) < 2 n) > ) La capacidad máxima de un puente es de 40 toneladas. Si un camión tiene una tara de Kg. Qué cantidad de materiales en Kg. puede transportar para cruzar dicho puente? 22) Un coche se desplaza a una velocidad comprendida entre 100 Km/h y 150 Km/h. Entre qué valores oscila la distancia del coche al punto de partida al cabo de horas? 2) Resuelve las siguientes inecuaciones cuadráticas y representa la solución en la recta numérica a) 16 e) ( 2) > 0 b). ( 2) < 2. ( + 6) f) < 0 c) <. ( + 10) g) d) >. ( 2 + 1) h) > 0 24) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método que se indica. Luego clasifica el sistema de acuerdo a la solución obtenida. a) b) c) d) e) 4 + = = 18 + = = 40 2 = = 10 = = 41 + = = 11 Sustitución /Gráfico Igualación Reducción/Gráfico Sustitución Igualación/Gráfico 167

8 f) g) h) 4 = = = = 2 + = 6 + = 1 Reducción Igualación Sustitución/Gráfico i) 2 = = Reducción/Gráfico j) k) l) m) + 2 = = 14 + = 5 + = 2 = = = = Igualación/Gráfico Sustitución Igualación/Gráfico Sustitución/Gráfico n) 2 = + = Igualación o) p) q) 2 = = = 7 = = = 0 Reducción Igualación/Sustitución Sustitución/Gráfico 25) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones mixtos. Utiliza el método que más te convenga y grafícalo en el sistema de ejes cartesianos. Luego clasifica el sistema de acuerdo a la solución obtenida. a) = = b) = = 0 c) = = 10 d) 4 = = 8 e) = = f) + 8 = 0 = 2 g) = 0 4 = 12 h) = = 1 26) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (igualando las bases) a) = 0 n) 6 = 1 b) = o) 5 =

9 c) = p) 1 = 4 7 d) = q) 16 = 2 e) =. r) 27 = 9 f). = s) 4 = 8 g) ( ) = ( ). ( ) 1 t) = h) = 1 u) 1 = 2 2 i) 2 = 1 v) = 81 j) 4 = 4 w) ( 5 ) = 25 k) 4 = 64 x) 2 = 1 16 l) = 81 y) 8 = 2 m) = 9 27) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales a) = 0 g) = 0 b) 6 6 = 0 h) 9 + = 90 c) = 40 i). = 2 d) + = 240 j) = 10 e). 2. = 25 9 k) = 20 f) = 20 28) Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (aplicando logaritmos) x a) 2 = 11 e). 5 = 150 x b) = 21 f) 7 = c) 10 = 9 d) 1 = 5 g) = + 169

10 29) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas, aplicando la definición. a) log 2 = x b) log 16 = c) log = d) log = 0 e) log = 1 f) log 27 = g) log = 2 h) log 16 = 4 0) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas a) log( 2 4) = 2 b) 4 log( 2 ) = 1 c) log( + 1) + log = log( + 9) d) log( + 15) = log( + ) + log e) 2 log log( 16) = 2 f) ln 2 + ln( 11 ) = 2 ln( 5 ) g) 2 log = + log h) ln ln 2 = i) log ( + 1) + log = 1 j) log 1 = log( + 1) log + 4 k) ( ) ( ) = 2 l) log( + 4) + log( 1) = 2 m) log = log 2 + log 2 log 4 n) log 5 log + 4 = 0 (resolver con cambio de variable) 1) Analiza las siguientes expresiones a) 8 = 10 b) 1 = ; 1 = 1 c) log 2 = d) log 8 = ; log ( 8) = 170

11 APLICACIONES 2) Una fábrica paga a sus viajantes $10 por artículo vendido más una cantidad fija de $500. Otra fábrica de la competencia paga $15 por artículo vendido y $00 fijos. Cuántos artículos debe vender el viajante de la competencia para ganar más dinero que el primero? ) En un teatro cobran $20 la entrada de los adultos y $ 12 la de los niños. Cierto día, abonaron su entrada 774 personas y se recaudaron $ Cuantas entradas vendieron para adultos y para niños? 4) Un productor agropecuario vendió soja a 27 dólares el quintal y maíz a 1 dólares el quintal. En total vendió 200 quintales y recibió dólares. Cuántos quintales de soja y de maíz vendió? 5) Un empresario compró tres autos y dos camionetas en dólares. Luego realizó una segunda compra de cinco autos y una camioneta, de los mismos modelos que los anteriores en dólares. Cuánto pagó por cada auto y por cada camioneta? 6) Las entradas para una fiesta de estudiantes costaron $8 por persona sola y $15 por pareja. Si a la fiesta asistieron en total 144 personas y se recaudaron $1.098 por venta de entradas, cuántas parejas y cuántas personas solas asistieron a la fiesta? 7) Un pequeño empresario textil sabe que le cuesta 10 pesos confeccionar cada pantalón y además debe asumir costos fijos mensuales de pesos. Si q representa la cantidad de pantalones producidos mensualmente, a. Exprese el costo total en función de. b. Calcule el costo total de confeccionar 0 pantalones. 8) Un fabricante de muebles vende mesas de comedor por 70 dólares cada una. Si representa la cantidad de mesas vendidas por el fabricante, a. Exprese el Ingreso del fabricante I en función de. b. Calcule el Ingreso obtenido por la venta de 40 mesas. 9) Una compañía que fabrica dispositivos electrónicos introduce un nuevo producto en el mercado. Durante el primer año los costos fijos de producción del nuevo producto son de $ y el costo de producir cada unidad es de $2,5. Se determina que durante el primer año el precio unitario de venta será de $6,5, si se producen y venden unidades durante el primer año: a. Exprese el Costo total de la compañía en función de. b. Exprese el Ingreso de la compañía I en función de. c. Exprese la Utilidad de la compañía U en función de. d. Determine el número de unidades que debe vender para obtener utilidades. 171

12 40) Un artesano puede vender sus productos a $,5 cada uno. Se sabe que le cuesta $1,5 producir cada artículo y mantiene unos costos fijos de $400. Calcule: a. El Costo total de producir 00 artículos. b. El Ingreso obtenido por la venta de 00 artículos. c. Si se producen y venden 00 artículos, cuál es la Utilidad? d. El nivel de equilibrio. Trabajo Práctico 41) El precio de venta de un producto es de $5. El costo unitario de producción es de $ 10 y los costos fijos son de $ Si representa la cantidad producida y vendida, encuentre el nivel de equilibrio de la empresa. 42) Un fabricante encuentra que la ecuación = 0, permite expresar su Costo total de producción ( ), en miles de pesos, como una función de la cantidad de artículos producidos ( ). a) Calcule e interprete el valor de cuando = b) Cuál es el costo total de producir unidades del artículo? c) Calcule e interprete el valor de cuando = 0. 4) La compañía Wimbledon fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $ Determine el número mínimo de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades. 44) Para una compañía que fabrica teclados de computadoras, el costo combinado de mano de obra y material es de $21 por unidad. Los costos fijos son $ Si el precio de venta de un teclado es $5, cuántos debe vender para que la compañía genere utilidades de por lo menos $50.000? 45) I = 800 p 7p corresponde al ingreso mensual de una compañía. A qué precio el ingreso será de $10.000, si el precio debe ser mayor que $50? 46) Un inversionista coloca dólares en dos partes, una parte coloca en una institución A, con una ganancia del 9% anual, y el resto en una institución B, con una ganancia del 15% anual Cuánto debe invertir en cada institución para obtener una ganancia de.500 dólares en un año? 47) La función de ingreso mensual de una empresa es = A qué precio se obtendrán ingresos superiores a $16.000? 48) Por cada $100 invertidos en préstamos comerciales con garantía, un banco recibe $116,64 cada de 2 años. Cuál es la tasa de interés anual? 172 0

13 49) Una compañía decide redimir sus bonos en años, momento para el cual se requerirán $ Suponga que en este momento se reservan $ , A qué tasa de interés anual se debe tener invertido el dinero a fin de que al cabo de los 2 años se cuente con suficiente dinero como para redimir los bonos? 50) Una constructora trata de decidir cuál de dos modelos de grúa comprar. El modelo A cuesta $ y necesita $4.000 anuales por mantenimiento. El modelo B cuesta $ y sus costos anuales de mantenimiento son $ Durante cuántos años debe usarse la guía para que convenga comprar el modelo A? 51) Una compañía de publicidad determina que el costo por publicar cada ejemplar de una cierta revista es de $1.50, se vende a los distribuidores en $1.40 por revista. El ingreso por publicidad es de 10% del ingreso recibido de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de Cuál es el número mínimo de revistas que deben ser vendidas de modo que la compañía obtenga utilidades? 52) Una persona invierte $ en un depósito a término fijo a 6 meses, si el banco garantiza una tasa del 7%, determine el valor que recibirá al final del período. 5) Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% anual para disponer de $ al cabo de 10 años. 54) Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el % mensual, para que se convierta en $7.500? 55) Cuánto tiempo debes dejar un capital de $ invertido en una cuenta que capitaliza a 18% anual, para obtener $50.000? 56) En cuánto tiempo se triplicará una inversión a interés compuesto con una tasa del 15% anual? 57) Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 14% anual a interés compuesto? 58) A un precio de mercado, un fabricante ofrece 4 8 unidades de producto, y los consumidores demandarán unidades. Determine el precio de equilibrio. 59) A un precio de mercado, un fabricante ofrece 4 unidades de producto, y los consumidores demandarán 24 unidades. Determine el precio de equilibrio. 17

14 APLICA LO QUE APRENDISTE 1. Una fábrica de helados tiene un costo fijo mensual de $.500 y otro variable de. $9 por kg. producido más. $1 por kg por adición de conservantes. El precio de venta al público es de $0 el kg. a) Escribir la función beneficio. b) Calcular cuántos kg debe fabricar y vender por mes para obtener ganancias de por lo menos $ Obtiene el conjunto de valores de que satisface la inecuación e indícalo sobre la recta numérica Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, verifica el resultado obtenido y grafica: 2 + = = 0 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mixto, verifica el resultado obtenido y grafica en un mismo par de ejes cartesianos para comprobar el resultado obtenido analíticamente: A PREN DIEN DO 4 = = 0 5. Los ingresos mensuales de cierta empresa están dados por: = Donde es el precio del producto que se fabrica. A qué precio se obtendrán ingresos superiores a $10.000? 6. Hallar los valores de en la siguiente ecuación: + 27 = 0 para que la misma tenga una raíz doble. Grafica los valores obtenidos en la recta numérica. 7. Resolver la siguiente ecuación y verificar la solución: 8. Resuelve la siguiente ecuación exponencial: + 2 = = 7 186

15 A PREN DIEN DO APLICA LO QUE APRENDISTE 9. Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: log ( + 1) + log ( + 1) 2 = La ecuación = ( 1 + 0,05) da el valor de a los años de una inversión compuesta anualmente, a una tasa anual de interés del 15%. Cuántos años se requieren para que la inversión se cuadruplique? ( = 4 ) 11. El número de miligramos de una sustancia radiactiva que quedan presentes después de t años está dado por: Después de cuántos años quedarán 20 mg? = 100., 12. Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: 11 2 ( 6 + 1) ( 6 + 1) 2 = 0 1. Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: + = Escriba la expresión en términos de, ( + 1) y/o ( + 2) :