CÆlculo intgral UdeM March 19, 2015

Transcripción

1 1 1. (a) Dada la función z = 4 (x+y) 2, graficar en un plano cartesiano la curva de nivel para z = 2 (b) Sea z = y 2 e y x comprobar que xz x +yz y = 2z 2. (a) Hallar el límite de la función, si existe lim (x,y) (0,0) x 2 +y 2 x 2 +y (b) Utilizar la regla de la cadena para calcular z s ó z t de z = x 2 sinxy, x = s 2 +t 2, y = 2st 3. Las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B son y q A = P A 0.005P B q B = P A P B +2 analizar si los productos son sustitutos ó complementarios (o ninguno de estos). 4. Un fabricante tiene $90000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán aproximadamente f (x,y) = 90x 1 3y 2 3 unidades. Cuánto dinero debería asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas? 5. Si U (x,y,z) = xyz es una función de utilidad donde x,y y z representan el número de unidades de los artículos A, B y C,respectivamente, los cuales son consumidos semanalmente por una persona particular. Además si los precios unitarios de A,B y C son $2, $3 y $4, respectivamente, y que el gasto total semanal para estos artículos se ha presupuestado en $90, cuántas unidades de cada artículo deben comprarse semanalmente para maximizar el índice de utilidad de la persona?

2 2 1. Hacer algunas trazas y graficar z = f (x,y) = 16 4x 2 y 2 2. Trazar la curva de nivel indicada f (x,y) = c para cada valor dado de la constante f (x,y) = xe y ; c = 1,c = e 3. Demuestre que u(x,y) = ln ( x 2 +y 2) satisface la ecuación 2 u x u y 2 = 0 4. Usando L unidades del insumo mano de obra y K unidades del mismo capital, una emptresa fabrica cierta producción de su artículo cuyo costo total T (en millones de dólares) está dado por T = 40 5K 3L 2KL+1.5K 2 +L 2. Determinar la cantidad de cada insumo que debería de utilizarse con el proposito de mínimizar el costo de la empresa. cuál es el costo mínimo? 5. Un fabricante tiene $8000 para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si x miles de dólares se gastan en el desarrollo y y miles de dólares se gastan en la promoción, las ventas serán aproximadamente de f (x,y) = 50x 1 2y 3 2 unidades. Cuánto dinero debe asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar ventas?

3 3 1. (a) Halle el límite, si existe, o muestre que no existe lim (x,y) (2,2) x 3 +x 2 y 2xy 2 3x 3 +xy 2 3x 2 y y 3 (b) Utilizar la regla de la cadena para calcular z s ó z t si z = xe y +ye x, x = e t, y = st 2 2. Suponga que la utilidad obtenida por un consumidor de x unidades de un artículo y y unidades de un segundo artículo está dada por la función de utilidad U(x,y) = 2x 3 y 2. Si el consumidor posee x = 5 unidades del primer articulo y y = 4 unidades del segundo, halle el nivel de utilidad actual del consumidor y trace la curva de indiferencia correspondiente. 3. Una empresa produce Q(K,L) = 15K 4 5L 1 5 arandelas de acero, donde k es el capital invertido en millones de dólares y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión de capital actual es de millones de dólares y que se dispone de horas trabajador de mano de obra. En cuanto cambia la producción si se adicionan a la fuerza laboral 1 hora por trabajador y al capital $ ? 4. Dada la función z = f (x,y) = x 2 y 2x 2 4y 2 determinar los puntos críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o puntos silla 5. Si se invierten x miles de dólares en mano de obra y y miles de dólares en equipo, la producción de cierta fábrica será Q(x,y) = 60x 1 3y 2 3 unidades. Si hay $ disponibles; como debería asignarse el dinero entre mano de obra y equipos para generar la máxima producción?. Utilice el multiplicador de Lagrange λ para estimar el cambio presentado en la producción máxima de la fábrica, si el dinero disponible para mano de obra y equipos aumenta en $1000

4 4 1. (a) Hallar el límite de la función, si existe lim (x,y) (0,0) 5xy x 2 +y 2 (b) Las ecuaciones de demanda para los productos relacionados A y B son: q A = 3e p A pb y q B = 6 Analizar la relación entre los productos. p A p 2 B 2. (a) Hallar dy dx de la relación x2 e xy2 +ln ( x 2 +y 2) +cosx = 0 (b) Si z = f (x,y) = x 2 e x y compruebe que xz x +yz y = 2z 3. Una empresa produce Q(K,L) = 15K 4 5L 1 5 arandelas, donde K es el capital invertido en millones de dólares y L el tamaño de la fuerza laboral medida en horas-trabajador. Suponga que la inversión de capital actual es de millones de dólares y que se dispone de horas trabajador de mano de obra. Estimar en cuánto cambia la producción si se reduce la fuerza laboral en 1 hora por trabajador y se adicionan al capital $ El costo total C por serie de producción (en miles de dólares), de cierta industria está dado por C(x,y) = 3x 2 +4y 2 5xy +3x 14y +20 en dondexdenota el númerode horas hombre (en cientos) y y el númerode unidades (en miles) del producto elaborado por serie. Qué valores de x y y darán como resultado el costo total mínimo por serie de producción? 5. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital una empresa puede elaborar P unidades de su producto con P (L,K) = 60L 2 3K 1 3 Le cuesta a la empresa $200 por cada unidad de mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $45000 para propósitos de producción. Determinar las unidades de mano de obra y de capital que la empresa debería utilizar con objeto de maximizar su producción.

5 5 1. Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas; el costo de producir x unidades en su primera planta e y unidades en la segunda está dada por C(x,y) = x 2 +2y 2 +5xy +700 Si la empresa tiene una orden de suministrar 500 unidades Cuántas unidades debe producir en cada planta con el fin de minimizar el costo total? 2. A un editor se le han asignado para gastar en el desarrollo y promoción de un nuevo libro. Se estima que si x miles de dólares se gastan en el desarrollo y y miles en la promoción, se venderán aproximadamente f(x,y) = 20x 3 2y ejemplares del libro. Cuánto dinero debe asignar el editor al desarrollo y cuánto a la promoción para maximizar las ventas? ( ) 3. Dada la función f(x,y) = xln y 2 x +3x xy 2, encontrar los puntos críticos y clasificarlos como máximo relativo, mínimo relativo o punto de silla 4. Una empresa vende dos tipos de vehículos, se calcula que si el tipo A se valora en x millones de pesos y el tipo B en y millones depesos, aproximadamente (2y 3x+80) consumidores comprarán el tipo A y (90+5x 6y) comprarán el tipo B. Si el costo de fabricación de los dos tipos de autos es de de pesos. Qué precio debe fijar la empresa para generar la mayor utilidad posible?

6 6 1. (a) Dada la función f (x,y) = x3 +2x 2 +3y 1 5y 2 x 2 hallar el dominio y representarlo gráficamente en el plano xy (b) Dibujar las curvas de nivel para los valores c = 54 y c = 41 de la función 2. (a) Si p = f (x,y) = 3 x xy + 6 y 2 mostrar que f (x,y) = x 2 +y 2 +5 x p x +y p y = 2p (b) Dada la función ze yz +2xe xz 4e xy 3 = 0 encontrar z y 3. Hallar los puntos críticos de la función dada y clasificarlos como máximo relativo, mínimo relativo o punto de silla f (x,y) = y 4 4y 3 +2x 2 +8xy 4. Si se gastan x miles de dólares en mano de obra y y miles de dólares en equipo, la producción de cierta fabricaseráq(x,y) = 60x 1 3y 2 3 unidades. Sihay $ disponibles, cómodebedistribuirse el dinero entre mano de obra y equipo, para generar la mayor producción posible? 5. Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital una empresa puede elaborar P unidades de su producto con P (L,K) = 50L K 3 Si la empresa dispone de 100 unidades de mano de obra y 300 de capital; estimar el cambio en la producción si se dispone de 1 unidad adicional en la mano de obra pero el capital se mantiene fijo.

7 7 1. Sea f (x) = y 2 x (a) Determinar el dominio de f y dibujarlo como una región de R 2 (b) Determinar y dibujar las curvas de nivel para C = 1 y C = 2 2. Encontrar todos los máximos y mínimos locales y los puntos de silla de f (x,y) = 3y 2 2y 3 3x 2 +6xy 3. La productividad de cierto país está dada por Q(L,K) = 90K 1 3L 2 3 unidades donde, K es el capital en unidades de un millón de dólares y L es la fuerza laboral en miles de horas-trabajador (a) Encuentre la productividad marginal del capital Q K y la productividad marginal del trabajo cuando el capital es 5495 miles de millones de dólares y la fuerza laboral es horas trabajador (b) Debe el gobierno del país estimular la inversión de capital o el incremento de la fuerza laboral para aumentar la productividad tan rápidamente como sea posible? 4. Dada p = f (x,y) = 4 x xy + 6 y 2 (a) Mostrar que x p x +y p y = 2p (b) Hallar las segundas derivadas, incluyendo las derivadas parciales mixtas 5. Una compañía tiene tres fábricas y todas elaboran el mismo producto. Si la fábrica A produce x unidades, la fábrica B produce y unidades y la fábrica C produce z unidades, entonces los respectivos costos de producción son ( 3x ) dólares, ( y ) dólares y ( 2z ) dólares. Si se va a surtir un pedido de 1100 unidades, use multiplicadores de Lagrange para determinar cómo debe distribuirse la produción entre las tres fábricas para minimizar el costo total de la producción.

8 8 1. La producción de cierta planta es Q(x,y) = 0.08x xy+0.03y 2 unidades por día, donde x es el número de horas de mano de obra calificada que se utiliza e y es el número de horas de mano de obra no calificada. En la actualidad se emplean 80 horas de mano de obra calificada y 200 horas de mano de obra no calificada todos los días. Utilice la diferencial total de Q para estimar el cambio resultante en la producción si se adicionan 1 2 hora de mano de obra calificada y 2 horas de mano de obra no calificada. 2. Dada la función f (x,y) = ln ( 4x 4y 2 +3 ), determinar el dominio y graficarlo. 3. Si se gasta x miles de dólares en mano de obra e y miles de dólares en equipos, la producción de cierta fabrica será Q(x,y) = 60x 1 3y 2 3 unidades. Si hay $ disponibles, cómo distribuirse el dinero, entre mano de obra y equipo, para generar la mayor producción posible? 4. Hallar los puntos críticos y clasificarlos como máximos, mínimos o puntos silla de la función f (x,y) = x 3 +y 3 +3x 2 18y +8y Dada la función f (x,y) = 2x 3 y 1 +4x 5 y 3 (a) Hallar las segundas derivadas (incluyendo las mixtas) (b) Demostrar que x 2 2 f +2xy 2 f 2 x 2 y x +y2 = 2f (x,y) y 2

9 9 1. (a) Dada la función f (x,y) = ln ( 4y 2 4x 3 ), determinar el dominio y graficarlo. (b) Encontrar el límite, si éste existe, o mostrar que el límite no existe 2. Dada la función f (x,y) = 2x 5 y 2 +4x 3 y 6 lim (x,y) (0,0) xy 2x 2 +2y 2 (a) Hallar las segundas derivadas (incluyendo las mixtas) (b) Demostrar que x 2 2 f +2xy 2 f 2 x 2 y x +y2 = 6f (x,y) y 2 3. La utilidad diaria de un abarrotero por la venta de dos marcas de jugo de manzana es P (x,y) = (70 5x+4y)(x 30) + (80+7x 6y)(y 40) centavos, donde x es el precio por lata de la primera marca y y es el precio por lata de la segunda. actualmente, la primera marca se vende en 50 centavos por lata y la segunda en 52 centavos por lata. utilice el análisis marginal para estimar el cambio en la utilidad diaria que resulta si el abarrotero sube en un centavo por lata el precio de la segunda marca, pero mantiene sin cambio el precio de la primera marca. 4. Determinar los puntos críticos de f (x,y) = x 3 4xy + y 3 y clasificarlos como máximo relativo, mínimo relativo o punto silla. 5. Un fabricante tiene $90000 para invertir en desarrollo y promoción de un nuevo producto. Se estima que si se invierten x miles de dólares en desarrollo y y miles en promoción, las ventas serán aproximadamente f (x,y) = 90x 1 3y 2 3 unidades. Cuánto dinero debería asignar el fabricante a desarrollo y cuánto a promoción para maximizar las ventas?