Algebra I. Slide 1 / 178. Slide 2 / 178. Slide 3 / 178. El Sistema Numérico y Operaciones Matemáticas. Tabla de Contenidos

Transcripción

1 Slide 1 / 178 Slide 2 / 178 Algebra I El Sistema Numérico y Operaciones Matemáticas Tabla de Contenidos Slide 3 / 178 Revisión de Números Naturales, Todos los Enteros y Números Racionales Revisión de Exponentes, Cuadrados y Raíces Cuadradas Revisión de Números Irracionales y Números Reales Propiedades de los Exponentes Temas Futuros en Álgebra II Términos Semejantes Evaluación de Expresiones Orden de los Términos Glosario y Estándares Click sobre el tema para ir a la sección.

2 Tabla de Contenidos Las palabras del vocabulario están en negrita en esta Revisión de Números Naturales, Todos los Enteros y Números Racionales presentación. La palabra que Revisión de Exponentes, está en Cuadrados el cuadro y de Raíces texto Cuadradas se vincula a la página en el final Revisión de Números Irracionales y Números Reales de la presentación con la Propiedades de los Exponentes definición de la palabra Temas Futuros en Álgebra II Notas para el profesor Términos Semejantes Evaluación de Expresiones Orden de los Términos Glosario y Estándares [This object is a pull tab] Click sobre el tema para ir a la sección. Slide 3 (Answer) / 178 Slide 4 / 178 Revisión de Números Naturales y Números Enteros Volver a la Tabla de Contenidos Números Naturales Los primeros números desarrollados fueron los Números Naturales, también llamados Números para Contar. Slide 5 / 178 1, 2, 3, 4, 5,... Los tres puntos, (...), significa que esos números continúan para siempre: no hay un número para contar más grande... Piensa en contar objetos a medida que los pones en un frasco aquellos son los números para contar...

3 Números Naturales Slide 6 / 178 Los Números Naturales fueron usados antes de que existiera la historia. Toda la gente los usa. Este "palo para contar" fue hecho más de 35,000 años y fue encontrado en Lebombo, Suazilandia. Los cortes en este hueso registran el número "29." Números Naturales y la Suma Slide 7 / 178 Ellos fueron y son usados para contar objetos > cabras > rollos, > botellas, > etc. Cada vez que una cabra iba a pastar dejaban caer una piedra en un recipiente, o cortaban una línea en una varilla. El recipiente o la varilla es una manera de registrar el número. Números vs Numerales Slide 8 / 178 Los números existen incluso sin un numeral, tal como el número indicado por los cortes sobre el Hueso de Lebombo. Un numeral es el nombre que damos a un número en nuestra cultura.

4 Números vs Numerales Slide 9 / 178 Si preguntamos cuántas llantas tiene mi auto, yo podría entregar algunas de las canicas de arriba. Ese número estaría representado por: 4 en nuestro sistema numeral decimal (base 10) IV en el sistema numeral romano 100 en el sistema numeral en Base 2 Números Enteros Agregar el cero a los Números para Contar nos da los Números Enteros. Slide 10 / 178 0, 1, 2, 3, 4,... Los números para contar fueron desarrollados hace más de 35,000 años. Y tomó 34,000 años más para inventar el cero. Este es el uso más antiguo del cero conocido (el punto), hace alrededor de 1500 años atrás. Fue encontrado en Camboya y el punto es para el cero en el año Por qué tomó tanto tiempo inventar el cero? Slide 11 / 178 Caballos versus casas cero caballos = cero casas

5 El concepto de cero fue Por qué tomó conceptualmente tanto tiempo muy difícil inventar de el cero? comprender, y tomó unos años Caballos para que versus esto casas. ocurra. La idea de un número que represente nada no existía antes de ese momento. La Notas para el profesor 3 gente entendìa 1 caballo, 1 casa, pero le tomó mucho tiempo comprender 0 casa y 0 caballo. 2 [This object is a pull tab] Slide 11 (Answer) / cero caballos = cero casas Por qué el cero tomó tanto tiempo? Slide 12 / 178 Alguien diría Tengo una manada de cero cabras? O un garage con cero autos? O que mi cero auto tiene cero llantas? El cero justamente no es un número natural, pero es un número entero. Números Enteros Cada vez que una canica es arrojada en un recipiente estamos sumando. Slide 13 / 178 Una recta numérica nos permite pensar en la suma de una nueva manera

6 Enteros Slide 14 / 178 La recta numérica de abajo muestra sólo los enteros Revisión: Fracciones Slide 15 / 178 Recuerda que la división conduce a un nuevo conjunto de números: fracciones. Las fracciones son el resultado de preguntas tales como: 1 2 =? 1 3 =? 2 3 =? 1 1,000,000 =? 1 2 =? haz la pregunta: Si divido 1 en 2 partes iguales, cuál será el tamaño de cada una? La respuesta a esta pregunta no puede ser encontrada en los enteros. Se necesitaron nuevos números: los fraccionarios. Revisión: Fracciones Existen un infinito número de fracciones entre cada par de enteros, ya que el espacio entre dos enteros cualesquiera puede ser divido por un número tan grande como puedas imaginar. Slide 16 / 178 En la siguiente diapositiva, se muestran algunas pocas, pero en realidad existen muchas fracciones entre cualquier par de enteros como enteros existen. Las fracciones pueden ser escritas como la relación entre dos números: -2 / 3, -1 / 4, -1 / 8, 1 / 3, 4 / 5, 7 / 5, 80 / 4, etc. O en forma decimal dividiendo el numerador por el denominador: , -0.25, , 0.333, 0.8,1.4, 20, etc. La barra sobre el "666" y el "333" significa que el patrón se repite indefinidamente.

7 Fracciones Existe un infinito número de fracciones entre cada par de enteros. Slide 17 / 178 Usando una lupa para buscar más de cerca entre 0 y 1 sobre esta recta numérica, podemos localizar algunas de esas fracciones Observa que es más fácil encontrar su ubicación cuando están en forma decimal ya que es más claro cuáles enteros están entre...y más cercanos a. 1 / 1 5 / 4 1 / 3 1 / 2 2 / 3 4 / Números Racionales Los Números Racionales son números que pueden ser expresados como una razón de dos enteros. Esto incluye todas las fracciones, así como también a todos los enteros, ya que cualquier entero puede ser escrito como una razón de sí mismo y 1. Slide 18 / 178 Las fracciones pueden ser escritas en forma "fraccionaria" o en forma decimal. Cuando están escritas en forma decimal, los números racionales son o: Terminación tal como - 1 = = Repetición tal como 1 = = = = Slide 19 / 178 Revisión de Exponentes, Cuadrados, y Raíces cuadradas Volver a la tabla de contenidos

8 Potencias de enteros Slide 20 / 178 Tal como la multiplicación es una suma repetida, los exponentes son una multiplicación repetido. Por ejemplo, 3 5 se lee como "3 a la quinta potencia" = En este caso "3" es la base y "5" es el exponente. La base, 3, está multiplicada 5 veces. Potencias de enteros Slide 21 / 178 Cuando se evalúan exponentes de números negativos, tengan en mente el significado de exponente y las reglas de la multiplicación. Por ejemplo, (-3) 2 = (-3)(-3) = 9, es igual que (3) 2 = (3)(3) = 9. Sin embargo, (-3) 2 = (-3)(-3) = 9 No es lo mismo que -3 2 = -(3)(3) = -9, Igualmente (3) 3 = (3)(3)(3) = 27 No es lo mismo que (-3) 3 = (-3)(-3)(-3) = -27, Potencias de enteros Slide 21 (Answer) / 178 Cuando se evalúan exponentes de números negativos, tengan en mente el significado de exponente y las reglas de la multiplicación. MP.6: Ser preciso. Dejar en claro la diferencia entre -4 2 y Por ejemplo, (-4) 2 con potencias (-3) 2 = (-3)(-3) pares. = 9, En -4 2, sólo el 4 se está elevando al cuadrado y el es igual que (3) 2 = (3)(3) = 9. signo negativo queda igual, mientras que en (-4) 2, -4 está siendo. Sin embargo, Pregunta: Qué (-3) 2 significa = (-3)(-3) el = exponente 9 (para cualquier número par)? Práctica de matemática No es lo mismo que Cómo sabes -3 2 = que -(3)(3) signo = -9, llevará la respuesta? [This object is a pull tab] Igualmente (3) 3 = (3)(3)(3) = 27 No es lo mismo que (-3) 3 = (-3)(-3)(-3) = -27,

9 Términos especiales: Cuadrados y Cubos Slide 22 / 178 Un número elevado a la segunda potencia se puede decir que está "al cuadrado". Esto es porque el área de un cuadrado de longitud x es x 2 : "x al cuadrado." Un número elevado a la tercera potencia se dice que está "al cubo." Esto es porque el volumen de un cubo de longitud x es x 3 : "x al cubo." x A = x 2 x V = x 3 x x x La Radicación como una operación inversa Slide 23 / 178 Realizar una operación y luego hacer la inversa de esa operación nos retorna al punto de donde partimos. Ya sabemos que si sumamos 5 a un número y luego restamos 5, volvemos al número original. O, si multiplicamos un número por 7 y luego lo dividimos por 7, retornamos al número original. La raíz como una operación inversa Slide 24 / 178 La operación inversa de la potenciación es un poco más complicado por dos razones. Primero, existen dos posibles operaciones inversas. La ecuación 16 = 4 2 da la respuesta 16 a la pregunta: cuánto es 4 elevado a la potencia de 2? Una operación inversa se representa así: Esto da la respuesta 4 a la pregunta: qué número elevado a la potencia de 2 da 16? Esto muestra que la raíz cuadrada de 16 es 4. Esto es verdad ya que (4)(4) = 16

10 Logaritmos como operación inversa Slide 25 / 178 La otra operación inversa no se verá hasta Álgebra II. Sólo para completar que la operación inversa es 2 = log Esto da la segunda respuesta a la pregunta: A qué potencia debe ser elevado 10 para obtener 100? Aprenderás más sobre esto en Álgebra II, pero para que lo sepas, esta es la otra posible operación inversa. 1 Cuál es la? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 26 / Cuál es la? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 27 / 178

11 3 Cuál es el cuadrado de 15? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 28 / Cuál es la? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 29 / Cuánto es 13 2? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 30 / 178

12 6 Cuál es la? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 31 / Cuál es el cuadrado de 18? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 32 / Cuánto es 11 al cuadrado? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 33 / 178

13 Revisión de la raíz cuadrada de un número Slide 34 / 178 Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en: 9 Slide 35 / 178 A 6 B -6 C no es real 10 Slide 36 / 178 A 9 B -9 C no es real

14 11 Slide 37 / 178 A 20 B -20 C no es real 12 (Problema de ) Slide 38 / 178 Qué método no es correcto? A El método de Ashley B El método de Brandon Explica por qué el método que elegiste no es correcto. 13 Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 39 / 178

15 14 Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 40 / A B Slide 41 / 178 C D 16 Slide 42 / 178 A 3 B -3 C raíz no real

16 17 La expresión es equivalente a un entero positivo cuando b es igual a A -10 B 64 C 16 Slide 43 / 178 D 4 Revisión de raíz cuadrada de Fracciones Slide 44 / 178 Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en: 18 Slide 45 / 178 A B C D no tiene solución real

17 19 Slide 46 / 178 A B C D no tiene solución real Slide 47 / Slide 48 / 178 A B C D no tiene solución real

18 22 Slide 49 / 178 A B C D No tiene solución real Revisión de raíces cuadradas de Decimales Slide 50 / 178 Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en: 23 Evalúa Slide 51 / 178 A B C D No tiene solución real

19 24 Evalúa Slide 52 / 178 A.06 B.6 C 6 D No tiene solución real 25 Evalúa Slide 53 / 178 A 0.11 B 11 C 1.1 D No tiene solución real 26 Evalúa Slide 54 / 178 A 0.8 B 0.08 C D No tiene solución real

20 Slide 55 / 178 Revisión de aproximación a cuadrados no perfectos Slide 56 / 178 Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en: 28 La raíz cuadrada de 40 cae, entre cuáles dos números enteros? Slide 57 / 178 A 3 y 4 B 4 y 5 C 5 y 6 D 7 y 8

21 29 A qué entero está más cercano la? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 58 / 178 < < Identifica cuadrados perfectos cercanos a 40 < < Saca la raíz cuadrada Identifica el entero más cercano 30 La raíz cuadrada de 110, cae entre qué dos cuadrados perfectos? Slide 59 / 178 A 36 y 49 B 49 y 64 C 64 y 84 D 100 y Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 60 / 178

22 32 Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 61 / Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 62 / Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 63 / 178

23 35 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 64 / Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 65 / Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 66 / 178

24 38 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 67 / La expresión es un número entre Slide 68 / 178 A 3 y 9 B 8 y 9 C 9 y 10 D 46 y 47 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, Para que entero la está más cerca a 6.25? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 69 / 178 Derived from

25 41 Para qué entero y, la está más cercana a 4.5? Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 70 / 178 Derived from 42 Entre cuáles dos enteros positivos está? Slide 71 / 178 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 10 Derived from 43 Entre dos enteros positivos está? Slide 72 / 178 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 J 10 Derived from

26 44 Entre que dos números de la recta numérica estaría localizado? Slide 73 / 178 A B C D E F G H I J Derived from Slide 74 / 178 Revisión de Números Irracionales y Números Reales Volver a la tabla de contenidos Números irracionales Slide 75 / 178 Al igual que la resta nos conduce al cero y a los números negativos. Y la división nos conduce a las fraciones. El cálculo de raíz nos conduce a los números irracionales. Los números irracionales completan el conjunto de los Números Reales. Los números reales son los números que existen sobre la recta numérica.

27 Números Irracionales Slide 76 / 178 Los números irracionales son números reales que no pueden ser expresados como una razón de dos enteros. En forma decimal, se extienden indefinidamente y nunca se repiten. Existe un número infinito de números irracionales entre dos enteros cualesquiera (piensa en todas las raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc., que no se presentan de manera uniforme). Entonces te das cuenta que puedes multiplicarlos por otro numero o sumarles cualquier número y el resultado aún será irracional. Números Racionales e Irracionales Slide 77 / 178 es racional. Esto es debido a que el radicando (número bajo el radical) es un cuadrado perfecto. Si el radicando no es un cuadrado perfecto, se dice que la raíz es irracional. Ej. Números Irracionales Slide 78 / 178 Los números irracionales fueron descubiertos primero por Hipaso alrededor de 2500 años atrás. Él fue un pitagórico, y el descubrimiento fue considerado un problema ya que Pitágoras creía que "Todo era número" refiriéndose a los números naturales (1, 2, 3...) y sus relaciones, queriendo decir que los números racionales podían describir la geometría del mundo. Hipaso intentó calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado de longitud 1. En su lugar, el comprobó que la respuesta no era un número natural o racional. Durante un tiempo ese descubrimiento fue ocultado porque violaba las creencias de la escuela pitagórica. Hipaso había comprobado que 2 es un número irracional.

28 Números Irracionales Slide 79 / 178 Surgen una gran cantidad de números irracionales emergen desde el intento de calcular la raíz de un número racional. Hipaso comprobó que 2 es irracional ya que se extiende el decimal sin repetición. Algunos de sus dígitos se muestran en la página siguiente. Raíz cuadrada de 2 Aquí están los primeros 1000 dígitos, puedes calcular los primeros 10 millones de dígitos en internet. Los números siguen indefinidamente y nunca se repiten en un patrón: Slide 80 / Las raíces de los números frecuentemente, son irracionales Slide 81 / 178 Pronto, a partir de entonces, se comprobó que muchos de los números tienen raíces irracionales. Sabemos que las raíces de la mayoría de los números para la mayoría de las potencias son irracionales. A esos se los llama números algebraicos irracionales. De hecho, existen muchos más números irracionales que números racionales.

29 Raíces principales Slide 82 / 178 Ya que no se puede escribir todos los dígitos de, 2, o se usa una barra para indicar un patrón, la forma más simple para escribir ese número es 2. Pero cuando resolvemos la raíz cuadrada de 2, sólo hay dos respuestas + 2 ó - 2. Están ubicados en lugares diferentes sobre la recta numérica. Para evitar confusión, se acordó que el valor positivo sería llamado raíz principal y se escribiría como 2. El valor negativo sería escrito como - 2. Números algebraicos irracionales Existe un número infinito de números irracionales. Slide 83 / 178 Aquí se muestra sólo unos pocos que caen entre -10 y Números trascendentales Slide 84 / 178 Otro conjunto de números irracionales son los números trascendentales.. Estos también son irracionales. No importa cuántos decimales se ven, estos decimales nunca se repiten. Pero, no son el resultado de resolver una ecuación polinómica con coeficientes racionales, de manera que no de deben a una operación inversa. Algunos de esos números son reales, pero algunos son complejos. Pero este año, nosotros sólo trabajaremos con los números trascendentales.

30 Pi Aprendimos sobre Pi en Geometría. Es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se lo representa con el símbolo Slide 85 / 178 Discute por qué es una aproximación. Es un número racional ó irracional? # es un número trascendental El más famoso de los números trascendentales es #. Slide 86 / 178 A O /06/pi-day004.jpg # es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. B La gente intentó calcular el valor de la relación por milenios. Sólo en la mitad de los años 1800 se demostró que no tenía una solución racional. Ya que # es irracional (o sea que los decimales nunca se repiten) y no es la solución a una ecuación...es trascendental. Algunos de sus dígitos están en la siguiente diapositiva. Slide 87 / 178

31 Otros números trascendentales Slide 88 / 178 Existen muchos más números trascendentales. Otro número famoso es "e", que estudiaremos en Álgebra II como la base del logaritmo natural. En los años 1800 Georg Cantor demostró que existían tantos números trascendentales como números reales. Y, hay muchos más números algebraicos irracionales que números racionales. Los enteros y los números racionales con los que nos sentimos más cómodos son como islas en un vasto océano de números irracionales. Números reales Slide 89 / 178 Los números reales son números que existen sobre la recta numérica. 45 Qué tipo de número es el 25? Selecciona todo lo que aplica. A Irracional B Racional C Todos los enteros Slide 90 / 178 D Enteros positivos más el cero E Números Naturales

32 46 Qué tipo de número es - 5? Selecciona todos los que aplican. 3 A Irracional Slide 91 / 178 B Racional C Todos los enteros D Enteros positivos más el cero E Números naturales 47 Qué tipo de número es 8? Selecciona todos los que aplican. A Irracional B Racional C Todos los enteros D Enteros positivos más cero E Números naturales Slide 92 / Qué tipo de número es - 64? Selecciona todos los que aplican. A Irracional Slide 93 / 178 B Racional C Todos los enteros D Enteros positivos más cero E Números Naturales

33 49 Qué tipo de número es 2.25? Selecciona todos los que aplican A Irracional Slide 94 / 178 B Racional C Todos los enteros D Enteros positivos más cero E Números Naturales Slide 95 / 178 Propiedades de los exponentes Volver a la tabla de contenidos Propiedades de los Exponentes Las propiedades de los exponentes siguen directamente a partir de expandirlos y revisar las multiplicaciones repetidas que ellos representan. Slide 96 / 178 No memorices las propiedades, sólo funcionan para comprender los procesos a partir de los que calculamos esas propiedades y si no puedes recordar como hacerlo, sólo repite esos pasos para confirmar la propiedad. En nuestro ejemplo, usaremos 3 como la base pero las propiedades se mantienen para cualquier base. Representamos la base con a y las potencias con b y c. Usaremos los hechos que: (3 2 )= (3 3) (3 3 ) = (3 3 3) (3 5 ) = ( )

34 Propiedades de los Exponentes Slide 97 / 178 Es necesario desarrollar todas las propiedades de los exponentes de manera que podemos descubrir una de las operaciones inversas de elevar un número a una potencia...calcular la raíz de un número a esa potencia. Esto surge de la última propiedad que vamos a explorar. Pero determinar esa propiedad requiere de comprender las otras primero. Slide 98 / 178 Multiplicando con exponentes Cuando multiplicamos números con igual base, se suman los exponentes. (a b )(a c ) = a (b+c) (3 2 )(3 3 ) = 3 5 (3 3 )(3 3 3) = ( ) (3 2 )(3 3 ) = 3 5 (3 2 )(3 3 ) = 3 (2+3) Slide 98 (Answer) / 178 Multiplicando con exponentes Cuando multiplicamos En números esta diapositiva con igual y en base, la se suman los siguiente exponentes. se direcciona a MP3 Construir argumentos viables y criticar (a b el )(arazonamiento c ) = a (b+c) de los otros. Práctica de matemática Estamos (3 2 usando )(3 3 ) = 3ejemplos 5 para demostrar las propiedades. (3 3 )(3 3 3) = ( ) (3 2 )(3 3 ) = 3 5 [This object is a pull tab] (3 2 )(3 3 ) = 3 (2+3)

35 Dividiendo con Exponentes Cuando dividimos números con igual base, se restan los exponentes, al exponente del númerador se resta el exponente del denominador. Slide 99 / 178 (a b ) (a c ) = a (b-c) (3 3 ) (3 2 ) = 31 (3 3 3) (3 3 ) = 3 (3 3 ) (3 2 ) = 3 (3-2) (3 3 ) (3 2 ) = Simplifica Slide 100 / 178 A 5 2 B 5 3 C 5 6 D Simplifica Slide 101 / 178 A B 7 2 C 7 10 D 7 24

36 Slide 102 / Simplifica Slide 103 / 178 A 8 2 B 8 3 C 8 9 D Simplifica A 5 2 B 5 3 C 5 6 D Slide 104 / 178

37 55 Simplifica 4 3 (4 5 ) Slide 105 / 178 A 4 15 B 4 8 C 4 2 D Simplifica Slide 106 / 178 A 5 2 B 5 10 C 5 21 D 5 4 Exponente cero Cualquier número elevado a la potencia cero es 1. a (0) = 1 Slide 107 / 178 En base a las reglas de la multiplicación: (3 (0) )(3 (3) ) = (3 (3+0) ) (3 (0) )(3 (3) ) = (3 (3) ) Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo (1)(3 (3) ) = (3 (3) ) (3 (0) )(3 (3) ) = (3 (3) ) Comparando esas dos ecuaciones, vemos que (3 (0) )= 1 Esto no sólo es cierto para la base 3, sino que es cierto para todas las bases.

38 57 Simplifica 5 0 Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 108 / Simplifica = Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 109 / Simplifica: (7)(30 0 ) = Los alumnos escriben sus respuestas aquí Slide 110 / 178

39 Exponentes Negativos Un exponente negativo mueve el número desde el numerador al denominador, y viceversa. (a (-b) )= 1 a b 1 a b = (a (-b) ) Slide 111 / 178 En base a la regla de la multiplicación y a las reglas del exponente cero: (3 (-1) )(3 (1) ) = (3 (-1+1) ) (3 (-1) )(3 (1) ) = (3 (0) ) (3 (-1) )(3 (1) ) = 1 Pero cualquier número multiplicado por su inversa es 1, de manera que 1 (3 = (1) ) (3 (-1) )(3 (1) ) = 1 Comparando esas dos ecuaciones, vemos que 1 (3 (-1) )= 3 1 Exponentes Negativos Slide 112 / 178 Por definición: x -1 =, x 0 60 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo 4-2 A 4 2 B Slide 113 / 178

40 61 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo Slide 114 / 178 A 4 2 B Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo x 3 y -4 Slide 115 / 178 A x 3 y 4 B C D y 4 x 3 x 3 y 4 1 x 3 y 4 63 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo a -5 b -2 Slide 116 / 178 A a 5 b 2 B C D b 2 a 5 a 5 b 2 1 a 5 b 2

41 64 Qué expresión es equivalente a x -4? Slide 117 / 178 A B x 4 C -4x D 0 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, Cuál es el valor de 2-3? Slide 118 / 178 A B C -6 D -8 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available fr accessed 17, June, Cuál expresión es equivalente a x -1 y 2? Slide 119 / 178 A xy 2 B C D xy -2 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, 2011.

42 67 a) Escribe una expresión exponencial para el área de un rect Los alumnos de 7escriben -2 metros sus respuestas y con aquí un ancho de 7-5 metros. b) Evalúa la expresión para calcular área de un rectángulo. Cuando termines de responder ambas partes, ingresa la parte Parte b) en tu respondedor. Slide 120 / Qué expresiones son equivalentes a? Selecciona todas las que aplican. Slide 121 / 178 A 3-12 B 3-4 C 3 2 D E 1 F From PARCC EOY sample test non-calculator #13 69 Qué expresiones son equivalentes a? Selecciona todas las que aplican. Slide 122 / 178 A 3 3 B 3-3 C 3-10 D 1 27 E F

43 Elevando un exponente a potencias mayores Cuando elevamos un número con un exponente a una potencia se multiplican los exponentes (a b ) c = a (bc) Slide 123 / 178 (3 2 ) 3 = 3 6 (3 2 )(3 2 )(3 2 ) = 3 (2+2+2) (3 3 )(3 3)(3 3) = ( ) (3 2 ) 3 = Simplifica: (2 4 ) 7 Slide 124 / 178 A B 2 3 C 2 11 D Simplifica (g 3 ) 9 Slide 125 / 178 A g 27 B g 12 C g 6 D g 3

44 72 Simplifica: (x 4 y 2 ) 7 Slide 126 / 178 A x 3 y 5 B x 1.75 y 3.5 C x 11 y 9 D x 28 y 14 Slide 127 / La expresión (x 2 z 3 )(xy 2 z) es equivalente a: Slide 128 / 178 A x 2 y 2 z 3 B x 3 y 2 z 4 C x 3 y 3 z 4 D x 4 y 2 z 5 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, 2011.

45 75 La expresión es equivalente a: Slide 129 / 178 A 2w 5 B 2w 8 C 20w 8 D 20w 5 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Avai accessed 17, June, Cuando se divide -9 x 5 por -3x 3, x 0, el cociente es Slide 130 / 178 A 3x 2 B -3x 2 C -27x 15 D 27x 8 From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from accessed 17, June, El tanque de lagartijas de Leandro tiene las dimensiones de b 5 por 3c 2 por 2c 3. Cuál es el volumen del tanque de Leandro? Slide 131 / 178 A 6b 7 c 3 B 6b 5 c 5 C 5b 5 c 5 D 5b 5 c 6

46 77 El tanque de lagartijas de Leandro tiene las dimensiones de b 5 por 3c 2 por 2c 3. Cuál es el volumen del tanque de Leandro? B b 5 3c 2 2c 3 = 6b 5 c 5 MP.2: Razonar abstracta y A 6b 7 c 3 cuantitativamente. B 6b 5 c 5 C 5b 5 c 5 s y Matemática Práctica D 5b 5 c 6 MP.4: Modelar con matemática. Pregunta: Cómo se puede representar los problemas con símbolos y números? Qué relaciones se pueden ver? Escribe una sentencia numérica para [This object is a pull tab] describir esta situación. Slide 131 (Answer) / A una empresa de alimentos que vende bebidas le gusta usar exponentes para mostrar las ventas de bebidas en a 2 días. Si las ventas diarias de bebidas son 5a 4, cuál es el total de ventas en a 2 días? A a 6 Slide 132 / 178 B 5a 8 C 5a 6 D 5a 3 78 A una empresa de alimentos que vende bebidas le gusta usar exponentes para mostrar las ventas de bebidas en a 2 días. Si las ventas diarias C de bebidas son 5a 4, cuál es el total de ventas en 5a 4 a 22 días? = 5a 6 A a 6 MP.2: Razonar abstracta y cuantitativamente. B 5a 8 C 5a 6 D 5a 3 s y Matemática Práctica MP.4: Modelar con matemática. Pregunta: Cómo se puede representar los problemas con símbolos y números? Qué relaciones se pueden ver? Escribe una sentencia numérica para [This object is a pull tab] describir esta situación. Slide 132 (Answer) / 178

47 79 Un patio trasero tiene 5 5 pulgadas de longitud y 5 3 pulgadas de ancho. Escribe una expresión para el área del patio trasero como una potencia de 5. Slide 133 / 178 A 5 15 pulgadas 2 B 8 5 pulgadas 2 C 25 8 pulgadas 2 D 5 8 pulgadas 2 s y Matemática Práctica 80 Expresa el volumen de un cubo con una longitud de 4 3 unidades como potencia de 4 A 4 9 unidades 3 B 4 6 unidades 3 C 12 6 unidades 3 s y Matemática Práctica Slide 134 / 178 D 12 9 unidades 3 Slide 135 / 178 Temas futuros para Álgebra II Volver a la tabla de contenidos

48 Slide 135 (Answer) / 178 Notas para el profesor Estos temas son discutidos brevemente en esta lección como una introducción de conceptos futuros. Esta lección debería tomar sólo unos pocos minutos para completarla. Temas futuros para Álgebra II [This object is a pull tab] Volver a la tabla de contenidos Números imaginarios La operación de sacar una raíz cuadrada combinada con números negativos nos permite preguntarnos por la raíz cuadrada de un número negativo. Slide 136 / 178 La letra i representa -1. Un conjunto infinito de raíces cuadradas de números negativos emerge del uso de i. Estos número no son más o menos reales que otros números cualquiera, y tienen varios usos prácticos. Entender su significado y cómo usarlos es lo mejor después de estudiar tanto Álgebra I y Geometría. Números complejos Slide 137 / 178 Combinar un número real y un número imaginario resulta en un Número Complejo. Los Números Complejos están escritos como a + bi, dónde a es la parte real bi es la parte imaginaria. Todos los números están incluidos en los números complejos ya que establecer b para cero resulta en un número real y establecer a para cero resulta en un número imaginario puro.

49 Slide 138 / 178 Términos Semejantes Volver a la tabla de contenidos Esta lección direcciona a MP1, MP2 y MP5 Slide 138 (Answer) / 178 Práctica de matemática Preguntas adicionales para direccionar a los estándares MP: De qué problema se trata? (MP1) Términos Cómo podría comenzar Semejantes el problema? (MP1) Cómo podrías representar el problema con símbolos o números? (MP2) Cómo podrías usar dibujos o manipulativos para representar lo que piensas? (MP5) [This object is a pull tab] Volver a la tabla de contenidos Términos Semejantes Slide 139 / 178 Términos semejantes: Términos en una expresión que tienen igual variable elevada a la misma potencia. Términos semejantes 6x and 2x 5y and 8y 4x 2 and 7x 2 Términos NO semejantes 6x and x 2 5y and 8 4x 2 and x 4

50 81 Identifica todos los términos semejantes a 14x 2. Slide 140 / 178 A 5x B 2x 2 C 3y 2 D 2x E -10x 2 82 Identifica todos los términos semejantes a 0.75w 5. Slide 141 / 178 A 75w B 75w 5 C 3v 2 D 2w E -10w 5 83 Identifica todos los términos semejantes a 1 A 5u B 2u C 3u 2 D 2u 2 E -10u 4 u2 Slide 142 / 178

51 Slide 143 / 178 Combinar términos semejantes Simplifica combinando términos semejantes 6x + 3x (6 + 3)x 9x Observa cuando se combinan términos semejantes se suman/ restan los coeficientes pero la variable permanece igual. Slide 143 (Answer) / 178 Combinar MP6: Atender términos a la precisión semejantes Práctica de matemática Enfatizar la suma/resta de los coeficientes con los grados de la variable que queda igual.. Simplifica combinando términos semejantes 6x + 3x [This object is a pull tab] (6 + 3)x 9x Observa cuando se combinan términos semejantes se suman/ restan los coeficientes pero la variable permanece igual. 84 ) 4x + 4x es equivalente a 8x 2. Slide 144 / 178 Verdadero Falso

52 85 ) 3z 2 + 7z + 5(z + 3) + z 2 es equivalente a 3z z Slide 145 / 178 Verdadero Falso 86 ) 9r 3 + 2r 2 + 3(r 2 + r) + 5r es equivalente a 9r 3 + 5r 2 + 6r. Slide 146 / 178 Verdadero Falso 87 ) 10p 3-8p 2 + 9p - 13p(p 2 + 2p) - 12 es equivalente a 10p 3 + 7p 2-2p - 12 Slide 147 / 178 Verdadero Falso

53 88 ) 12m 3 + 6m 2-15m - 3m(2m 2 + 5m) + 20 es equivalente a 6m 3-9m 2-15m + 20 Slide 148 / 178 Verdadero Falso 89 ) 8x 2 y + 9x 2-15xy - 3xy(2x + 3y) + 14 es equivalente a 8x 2 y + 9x 2-18xy + 2x + 3y + 14 Verdadero Slide 149 / 178 Falso 90 ) 5jk 2-2k 2 + 6jk - 4jk(j + 5k) es equivalente a 4j 2 k - 15jk 2-2k 2 + 6jk Slide 150 / 178 Verdadero Falso

54 Slide 151 / 178 Evaluación de Expresiones Volver a la tabla de contenidos Esta lección direcciona a MP1 Slide 151 (Answer) / 178 Práctica de matemática Preguntas adicionales para direccionar a los estándares MP: De que problema se trata? (MP1) Cómo podrías comenzar con el problema? (MP1) Evaluación de [This object is a pull tab] Expresiones Volver a la tabla de contenidos Evaluación de Expresiones Slide 152 / 178 Cuando evaluamos expresiones algebraicas el proceso es bastante directo. 1. Escribe la expresión. 2. Sustituye el valor de la variable (entre paréntesis). 3. Simplifica/Evalúa la expresión.

55 91 Evalúa 3x + 17 cuando x = -13 Slide 153 / Evalúa 4u 2-11u + 5 cuando u = -5 Slide 154 / Evalúa 8v 2 + 9vw - 6w 2 cuando v = 4 y w = -3 Slide 155 / 178

56 94 Evalúa -10p pq - 64q 2 cuando p = -2 y q = 1 4 Slide 156 / Evalúa x 3-2x 2 y + 64xy y 3 cuando x = -3 e y = 3 2 Slide 157 / 178 ( Slide 158 / 178 Orden de los términos Volver a la tabla de contenidos

57 Poner los términos en orden Slide 159 / 178 Una expresión matemática frecuentemente contendrá un número de términos. Como recordarán, los términos de una expresión están separados por suma o resta. Mientras el valor de una expresión es independiente del orden de los términos, esto ayudará mucho a ponerlos en un orden específico. Grados de una Variable Slide 160 / 178 Es bueno practicar el orden de los términos a partir del grado de una de las variables. El grado de una variable es el valor del exponente en un en un término. 5x 3 - x x El grado es : constante; grado = 0 Orden de los términos a partir del grado de la variable Por ejemplo, la expresión de abajo no está ordenada: Slide 161 / 178 5x 3 - x x Esto es matemáticamente correcto, pero conducirá a algunos errores más tarde en este curso si no prestas atención.

58 Orden de los términos a partir del grado de la variable Slide 162 / 178 5x 3 - x x Es mejor escribir la expresión final con el término de grado más alto a la izquierda y a continuación hacia la derecha cada término en orden de grado decreciente. En este caso lo de arriba queda como: - x 4 + 5x 3-3x + 2 Esto lo haría más fácil para realizar un seguimiento de esos términos cuando resolvemos polinomios y fracciones algebraicas. Orden de los términos por el grado de la variable Si hay dos o mas variables, tenemos que elegir una de ellas Slide 163 / 178-9xy 2 + x 3 + 7x 2 y - y 3 Podemos elegir poner los términos en orden usando o x o y. Cualquiera de los dos funcionaría. Ya que x va antes que y en el abecedario, ordenaremos los términos usando la x. x 3 + 7x 2 y - 9xy 2 - y 3 Observa que los grados de la variable y ascienden desde izquierda a derecha. Esto no sucederá siempre, pero algunas veces sí. Orden de los términos por el grado de la variable Slide 164 / 178-9xy 2 + x 3 + 7x 2 y - y 3 Vamos a reorganizar los términos en orden decreciente usnaod las potencias de y. - y 3-9xy 2 + 7x 2 y + x 3 Después de esta reorganización, los grados de la variable x ascienden de izquierda a derecha también. Las dos respuestas funcionan y son correctas.

59 Orden de los términos por el grado de la variable Slide 165 / 178 Vamos a intentar un ejemplo más. 3x 3 - x 4 y xy 2 Ya que existen más términos para x e y, vamos a ordenar usando x. -x 4 y 2 + 3x 3-3xy Esto lo haría más fácil para realizar un seguimiento de esos términos cuando resolvemos polinomios y fracciones algebraicas. 96 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 7x x + 4x 3. Slide 166 / 178 A 4x 3-7x 2-8x + 23 B x 2 + 4x 3-8x C 7x 2-8x + 4x D 4x 3 + 7x 2-8x Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 12 - x 3 + 7x 5-8x x. Slide 167 / 178 A x + 7x 5 - x 3-8x 2 B 7x 5 - x 3-8x x - 12 C 7x 5 - x 3-8x x + 12 D - x 3 + 7x x x

60 98 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 41 + x xy + y 2. Slide 168 / 178 A x xy + y B xy + x 2 + y 2 C xy + y 2 + x 2 D x 2 + y y Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 2y - 3x 3 y 2 + 9x 5 y 4-3x x. Slide 169 / 178 A 2y + 11x + 9x 5 y 4-3x 3 y 2-3x 2 B 9x 5 y 4-3x 3 y 2-3x x + 2y C 11x + 9x 5 y 4 + 2y - 3x 3 y 2-3x 2 D - 3x 3 y 2-3x 2 + 2y + 9x 5 y x Slide 170 / 178 Glosario y Estándares Volver a la tabla de contenidos

61 Notas para el profesor Las palabras del vocabulario están en negritas en esta presentación. La palabra que está en el cuadro de texto se vincula a la página en el final Glosario y Estándares de la presentación con la definición de la palabra Slide 170 (Answer) / 178 [This object is a pull tab] Volver a la tabla de contenidos Enteros Slide 171 / 178 Números positivos, negativos y el cero..., -2, -1, 0, 1, 2,... símbolo para enteros Volver al tema Números irracionales Un número que no puede ser expresado como una razón de enteros. Slide 172 / π e Volver al tema

62 Términos semejantes Términos en una expresión que tienen la misma variable elevada a la misma potencia Slide 173 / 178 1/2x 5x 3x x 15.7x -2.3x -2x 3 x 3 27x 3 1/4x 3-5x 3 2.7x 3 5x 3 5 NO SON 5x 2 TÉRMINOS SEMEJANTES! 5x 5x 4 Volver al tema Números Naturales Slide 174 / 178 Los números que se usan para contar 1, 2, 3, 4,... símbolo para números naturales Volver al tema Números racionales Un número que puede ser expresado como fracción. Slide 175 / símbolo para números racionales Volver al tema

63 Números Reales Todos los números que pueden ser encontrados en la recta numérica. Slide 176 / Volver al tema Números enteros Números para contar incluyendo al 0 Slide 177 / 178 0, 1, 2, 3,... símbolo para números enteros Volver al tema Estándares para Matemática Práctica Slide 178 / 178 MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas. MP6: Ser preciso. MP7: Búsqueda y uso de la estructura. MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos. En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

64 Estándares para Matemática Práctica Slide 178 (Answer) / 178 MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. Práctica de matemática MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas. MP6: Ser preciso. MP7: Búsqueda y uso de la estructura. MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos. [This object is a pull tab] En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.