TRABAJO PRÁCTICO Nº 2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Transcripción

1 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. TRABAJO RÁCTICO º MOVIMIETO ARMOICO SIMLE RIMERA ARTE: ÉDULO IDEAL Objetv Determnar la aceleracón de la gravedad cn un errr relatv menr al %. Intrduccón teórca El péndul deal es una masa puntual suspendda de un hl nextensble que scla en un plan. Las fuerzas que actúan sbre la masa sn: el pes () y la fuerza que ejerce el hl (T). El dagrama de cuerp lbre cuand el hl frma un ángul α se muestra en la fgura. Según el sstema ndcad, se puede escrbr la segunda ley de ewtn: En el eje nrmal: V T mgcsα m L dnde se ha utlzad a En el eje tangente: c V L mgsenα m dt () dnde s es el arc de crcunferenca. r l tant, s reemplazams que s Lα, btenems de la ecuacón (): d α gsenα L dt (3) En esta ecuacón se puede bservar que la fuerza tene sentd cntrar al desplazament, pr l que la masa tende a su pscón de equlbr (vertcal). es sencll encntrar slucón a esta ecuacón dferencal, per se puede lmtar el estud a pequeñas sclacnes. S supnems que s << L, se puede aprxmar senα α, pr l que se btene: g d α α L dt (4) Esta es la ecuacón dferencal de un mvment armónc smple. prpnems cm slucón α(t) α sen( ω t + ϕ ), ent pr l tant, d α α sen( ω t + ϕ ) ω dt (5) y reemplazand en la ecuacón dferencal btenems la sguente gualdad: g ω L (6) ( α y ϕ quedan determnads pr las cndcnes ncales). De este md, según la aprxmacón de pequeñas sclacnes, el períd de un péndul está dad pr T π d s L g (7) α T n t (1) ass a segur en el Labratr A partr de la ecuacón (7), que se puede rescrbr de la sguente frma L g 4π T (8) se calculará la aceleracón de la gravedad a partr de la medcón de la lngtud y períd de un péndul. ágna 1 de 6

2 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. En el labratr se utlzarán ls sguentes materales: -regla -crnómetr -transprtadr -masa -hl ara el desarrll de esta experenca, se deberá tener en cuenta ls sguentes punts: Armar el dspstv de un péndul Dad que la expresón que se utlzará es válda sól para pequeñas sclacnes, la ampltud de sclacón n debe superar ls 10º. ara ell se clcará un transprtadr que se debe fjar al punt de sujecón. Medr la lngtud del hl Se supne que la masa que hems cnsderad es puntual, l cual n es estrctamente cert en la experenca real. r ell, la lngtud del hl deberá ser l mayr psble dentr de las psbldades del labratr y deberá medrse desde el punt de suspensón hasta el centr de la esfera. Al cnsderar el centr de la esfera, se está supnend que esta es smétrca y hmgénea y, cm n es así, se deberá cnsderar un errr en la lngtud mayr al del nstrument (sugerms 0,5 cm). En lugar de aumentar el errr en la lngtud, se pdría ntrducr una crreccón a la expresón utlzada; per n l harems. Medr el períd de una sclacón ara medr el períd, se utlzará un crnómetr dgtal. En este cas, el errr del nstrument es much menr al errr de aprecacón del bservadr. Se prpne cnsderar que el errr en la medcón del temp es de 0, segunds (est crrespnde al temp de reaccón, aprxmad). Supngams un péndul de L (1, ,005) m, cn períd T (,0 + 0,) seg, pr l que (desprecand el ε rel (π)) g L T 0, 005 0, + + 0, 05 g L T 1 (9) Se puede bservar que el errr relatv de esta medcón resulta mayr al que se prpne en el bjetv de esta práctca ( ε rel (g) < 0,0 ). ara dsmnur el segund térmn, se puede medr el temp t n crrespndente a n períds. De esta frma, se puede calcular t t 0, T y T seg (10) n n n pudend ajustar el númer de sclacnes que es necesar medr para llegar al errr requerd. Calcular el númer de sclacnes para que el errr relatv resulte menr al % Una vez medda la lngtud L de un péndul y medd el períd T de una sclacón, se puede calcular el númer n de sclacnes que se deben cnsderar para calcular g cn un errr relatv menr al %. S g L T L t + + < 0, 0 g L T L nt (11) dems despejar n y btenems la sguente expresón: t < n T(0,00 L L (1) Medr el temp de n sclacnes y calcular el períd de una sclacón. Una vez calculad el númer de sclacnes necesar, se medrá el temp de las n sclacnes y se calculará el períd del péndul (y su errr). Ls dats btends, se resumrán en una tabla: L L T aprx n t t T T ágna de 6

3 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. Calcular la aceleracón de la gravedad y su errr Utlzand ls dats anterres, a partr de la ecuacón (8), btener el valr de g cn su errr. Repetr el prcedment para 5 lngtudes dferentes. Recmendacnes para el nfrme Lea AUTAS ARA LA ELABORACIÓ Y RESETACIÓ DE IFORMES DE LABORATORIO Cnfeccne un gráfc de T (L) y analce su dependenca. Cmpare ls resultads btends y determne un valr representatv de g. Éste será el que el grup utlzará en ls próxms nfrmes. Clque en un apéndce el cálcul utlzad para determnar las ncertezas de las magntudes determnadas medante medcnes ndrectas. SEGUDA ARTE: RESORTE Objetv Determnar la cnstante elástca de un resrte a partr de ds métds: el métd estátc y el métd dnámc. Intrduccón teórca Un resrte deal es un cuerp que, frente a defrmacnes, ejerce una fuerza resttutva prprcnal a la defrmacón. Dcha cnstante de prprcnaldad se cnce cm cnstante elástca (). F (x l ) x elastca Send l la lngtud del resrte n defrmad. Esta prprcnaldad es válda dentr de un rang prp de cada cuerp fuera del cual estas defrmacnes resultan permanentes. Un cuerp de masa m se encuentra suspendd pr un resrte, cm se muestra en la fgura. Las fuerzas que actúan sbre este cuerp sn: el pes () y la fuerza que ejerce el resrte (F el ). Se puede escrbr la segunda ley de ewtn en la dreccón x: (x l ) + m dt (14) Equlbr estátc En el cas que la masa se encuentre en equlbr estátc, btenems de la ecuacón anterr que: (x l ) (15) A partr de est, se puede btener la pscón de equlbr: xeq + l (16) Stuacón dnámca En este cas, se debe reslver la ecuacón dferencal (14). ara ell, se prpne un camb de varables: z x l (17) De esta frma btenems la sguente ecuacón dferencal n hmgénea (est es prque en la ecuacón exste un térmn cnstante) d z z + m dt (18) La slucón de esta ecuacón dferencal está dada pr: zn hm zhm + zeq (19) Est sgnfca que para reslver esta ecuacón, se buscará la slucón para la ecuacón hmgénea y a ésta se sumará una slucón partcular (la btenda en la stuacón de equlbr estátc). La ecuacón hmgénea en este cas es: d x 0 l 0 x F el (13) ágna 3 de 6

4 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. z m dt (0) rpnend cm slucón a esta ecuacón zhm Asen( ω t + ϕ ) y reemplazand en la ecuacón dferencal, se btene que: ω m (1) y, cm antes, A y ϕ quedan determnads pr las cndcnes ncales. Cnsderand la slucón partcular de equlbr, zeq, btenems fnalmente que x(t) A sen( ω t + ϕ ) + + l () Esta slucón crrespnde a un mvment armónc smple. El segund y tercer térmn ndcan que la masa scla alrededr de una pscón de equlbr dada pr l + /. El períd de sclacón de este mvment es: T π Métd de cuadrads mínms Este es un métd general que se utlza para determnar una relacón entre magntudes físcas. En partcular, en este cas l utlzarems para una relacón lneal entre ds magntudes. S se cnsderan ds magntudes meddas (x, y) y que entre ellas exste una relacón lneal (y ax + b), utlzand este métd se puede calcular ls cefcentes (a y b) que mejr satsfacen esta relacón. Supngams que x e y sn ls valres crrespndentes a la -ésma medcón de un ttal de medcnes realzadas, dad que estas medcnes supnen ncertezas, n necesaramente se cumplrá la relacón prpuesta. r l tant, el apartament dferenca ε entre la recta prpuesta y esa medcón será: ε y ax b (4) Es pr ell que, s se quere cnsderar el apartament de tdas las medcnes, es cnvenente sumar el cuadrad de cada apartament ε ya que pueden tmar valres tant pstvs cm negatvs. r l tant d z m ε (y ax b) 1 1 (5) El bjetv de este métd es buscar aquella recta cn menr apartament. ara mnmzar esta dferenca entre las medcnes y la recta, se pde la cndcón que la dervada esta funcón respect a y b sea nula. Dervand(6), se btene: d ε 1 da 0 d ε 1 y db d ε 1 a x xy + b x 0 da d ε 1 b y + a x 0 da S despejams, se btenen ls cefcentes que cumplen esta cndcón: xy x. y a x ( x ) b 0 x. y x. xy x ( x ) (7) (3) (6) ágna 4 de 6

5 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. ass a segur en el labratr Se calculará la cnstante elástca de un resrte medante ds métds: el métd estátc y el métd dnámc. Métd estátc Se calculará la cnstante elástca del resrte a partr de la medcón de la masa que se clca a un resrte y la lngtud que éste adquere, cnsderand la ecuacón (15) (x l ) En el labratr se utlzarán ls sguentes materales: - regla -balanza -resrte -masas ara el desarrll de esta experenca, se deberá tener en cuenta ls sguentes punts: Armar el dspstv para cnsderar el estrament del resrte respect una lngtud cn carga ncal Clcar un extrem del resrte sbre un punt fj, se clca en el tr extrem una masa (m 1 ) y, una vez que se encuentre en equlbr, se mde la lngtud del resrte (l 1 ). En estas cndcnes, (l 1 - l ) 1 Lueg, se agregará una masa (m ), mdend la lngtud que adquere el resrte en equlbr. En estas cndcnes, (l - l ) 1 +. S restams estas ecuacnes, btenems: (l - l 1 ) De esta frma, n es necesar medr la lngtud del resrte sn carga. ara calcular la cnstante elástca del resrte cnsderarems el estrament respect a la carga ncal (L l - l 1 ) cm varable ndependente y el pes agregad 1 cm varable dependente en el métd de cuadrads mínms. Medcón Realzar al mens 10 medcnes y cnfeccnar una tabla cn la sguente nfrmacón l l l L l - l 1 L m m Calcular la cnstante elástca del resrte A partr de ests dats (el estrament y el pes agregad), medante el métd de cuadrads mínms, ecuacón (7), btener la cnstante elástca del resrte. Métd dnámc Se calculará la cnstante elástca del resrte a partr de la medcón de la masa y el períd de sclacón de un cuerp cnsderand la ecuacón (3) que se rescrbe a cntnuacón: m 4π T En el labratr se utlzarán ls sguentes materales: -crnómetr -balanza -resrte -masas Armar el dspstv Clcand un extrem del resrte en un punt fj y en el tr extrem una masa. Medr el períd de sclacón y la masa clcada en el resrte ágna 5 de 6

6 Físca I Turn 14 Trabaj ráctc º. Al apartar la masa de la pscón de equlbr, ésta cmenzará a sclar. ara medr el períd de una sclacón se utlzará el crnómetr. Cm hems aclarad en la prmer parte, se deberá cnsderar cm errr para esta medcón el temp de reaccón (0, segunds aprxmadamente). Se puede tmar el temp de n sclacnes para dsmnur el errr en la medcón (el númer de sclacnes en este cas debe ser menr a 5, ya que en este cas el mvment se amrtgua rápdamente) Utlzand una balanza, medr la masa. Ls dats btends, se resumrán en una tabla: n t t T T m m Calcular la cnstante elástca del resrte y su errr Utlzand ls dats anterres. Repetr el prcedment para 5 masas dferentes. Recmendacnes para el nfrme Lea AUTAS ARA LA ELABORACIÓ Y RESETACIÓ DE IFORMES DE LABORATORIO En el cas estátc, cnfeccne un gráfc de ls valres expermentales L (), grafcand cnjuntamente la recta determnada pr el métd de cuadrads mínms. En el cas dnámc, cnfeccne un gráfc de T (m) y analce su dependenca. Cmpare ls resultads btends pr el métd dnámc y determne un valr representatv para este cas. Cmpare ls resultads btends de la cnstante elástca del resrte para el cas estátc y el cas dnámc. Clque en un apéndce el cálcul utlzad para determnar las ncertezas de las magntudes determnadas medante medcnes ndrectas. ágna 6 de 6