CONDUCCION EN ESTADO NO ESTACIONARIO

Transcripción

1 CONDUCCION EN ESADO NO ESACIONARIO

2 Ley de Fourer t < 0 y x 0 y = Y y = 0 En este captuo, se consdera a varacón de a temperatura con e tempo así como con a poscón en sstemas Mutdmensonaes. t = 0 t > 0 0 ( t, y) Q A dferenca de os procesos de conduccón de caor en estado estabe, en os de tpo transtoro hay un aumento o dsmnucón en a energía nterna de sstema mentras ocurre e proceso. 0 Q

3 En dferentes procesos de a transferenca de caor, a temperatura de sstema depende de tempo. Es e caso de caentamento y enframento de techo de una casa expuesta a a radacón soar; durante e proceso de tempado de vdro ó de una peza de acero; en e proceso de coccón de productos amentcos, etc.. En todos estos casos a temperatura no soo esta condconada por a dstanca, sno tambén por e tempo.

4 ANÁLISIS DE SISEMAS CONCENRADOS En prmer ugar, se consderan os sstemas concentrados, en os que a temperatura vara con e tempo pero permanece unforme a través de sstema en todo momento.

5 La cantdad de transferenca de caor acanza su mte superor cuando e cuerpo ega a a temperatura α de os arededores. Por o tanto, a transferenca de caor máxma entre e cuerpo y os arededores es, Q mc p ( )

6 Consderemos un cuerpo como se muestra en a fgura. E cuerpo está ncamente a una temperatura. En e nstante t = 0, e cuerpo será coocado en un medo a una temperatura α Un baance de energía de sodo > α E n E out E acum E E out acum A h ) s ( ( t) V d dt

7 dt d V h A t s ) ( ) ( t t s d dt V A h ) ( ) ( 0 t V c ha p s ) ( exp

8 La temperatura de un cuerpo concentrado de forma arbtrara, que se expone a conveccón en e nstante t =0, en e cua =, en un medo a temperatura, con un coefcente de transferenca de caor h, se expresa como, exp ( has c V p ) t b ( has c V p ) exp bt

9 exp bt

10 Crteros para e Anáss de Sstemas Concentrados E prmer paso en e estabecmento de un crtero para a apcabdad de anáss de sstemas concentrados es defnr a ongtud característca como, y un numero, B, ó numero de Bot. B R R conduccon conveccon

11 En otras paabras: Se apca e método de sstema concentrado cuando B 0.

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13 EJEMPLO: Unos banes de acero de mm de dámetro se tempan medante caentamento a 50ºK, uego se enfrían entamente hasta acanzar os 400ºC en are ambenta que se encuentra a 35ºK, con h=0w/m ºK. S as propedades de acero son k=40w/mºk, ρ=7800 Kg/m 3 y cp=600j/kgºk. Estmar e tempo que se requere para e enframento.

14 Y cuando B>0..? Para e caso de una paca nfnta: ( t, x) k c x p t o Condcones frontera: t 0 =o -b x +b t=0 = x=-b x=+b t>0 =(x,t) -b x +b k c p t x t x b x

15 Soucón Anaítca Soucón por números admensonaes (gráfcas) x t 0 ) ( 0 ) cos( ) ( ) ( n b t n n b y n e n 0 0 Y b y X b m t

16 Fenómenos de transporte : Brd

17 Consderando fujo convectvo en a pared: Y 0 X t x m k hx n x x Grafca de Gurney Lure

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20 Una barra rectanguar de mantequa con 46. mm de espesor y temperatura de 77.6 ºK (4.4 ºC) se extrae de a nevera y se cooca en un medo ambente a 97. ºK (3.9ºC). (Puede consderarse que os ados y e fondo de a mantequa están asados por as paredes de recpente. Por tanto, e área expuesta a medo ambente es a superfce pana superor de a mantequa. Cacuar: A) La temperatura de a mantequa en a superfce a 5.4 mm por debajo de a superfce y en e centro de a msma, después de una exposcón de 3 h. B) S coefcente convectvo tene un vaor de 8.5 W/m ºK., dem. ncso A). Las propedades de a mantequa son k = 0.97 W/m ºK, cp =.30 kj/kgºk y ρ = 998 kg/m3.

21 Sódos sem-nfntos Se entende por un cuerpo deazado que tene una soa superfce pana y se extende haca e nfnto en todas as dreccones Este cuerpo deazado se usa para ndcar que e cambo de temperatura en a parte de cuerpo en a que se nteresa (regón cercana a a superfce) se debe a as condcones térmcas en una soa superfce.

22 Sódos sem-nfntos Por ejempo una pared gruesa se puede estmar como un medo semnfnto s o únco que nteresa es en a varacón de a temperatura en a regón cercana a una de as superfces. En este caso, a temperatura en a regón centra de a pared permanece naterabe.

23 Sódos sem-nfntos Durante perodos cortos, a mayor parte de os cuerpos pueden modearse como sódos semnfntos, ya que e caor no tene e tempo sufcente para penetrar a a profunddad de cuerpo y por esta razón e espesor de un cuerpo no entra en e anáss de a transferenca de caor.

24 Sódos sem-nfntos t x Condcones frontera: t 0 =o 0 x t=0 = x=0 t>0 =(x,t) 0<x 0 0 erf x 4t 0 0 erfc x 4t

25 0 0 erfc x 4t q k( 0) t

26 0 0 erfc x hx h t x exp erfc 4t k k 4t h t k

27 En nverno e pso se cubre con una capa de neve a -0ºC durante un perodo contnuo de 3 meses. Se puede suponer una temperatura nca unforme de sueo de 5ºC y as propedades promedo de sueo son k = 0,4 W/mºC y a = 0,5x0-6 m /s. Determne a profunddad mínma de enterro para os tubos que transportan agua, necesara para mpedr que e agua transportada se congee.

28 Dferencas fntas: ecuacones parabócas Las ecuacones parabócas se empean para caracterzar probemas dependentes de tempo y e espaco ECUACIÓN DE CONDUCCIÓN DE CALOR Se puede usar a conservacón de caor para desarroar un baance de energía en un eemento dferenca de una barra arga y degada asada, consderando a cantdad de caor que se amacena en un perodo de tempo Δt x t Caente Fro

29 Dferencas fntas: ecuacones parabócas Las EDP parabócas pueden ser resuetas susttuyendo as dervadas parcaes por as dferencas dvddas fntas Sn embargo, ahora hay que consderar cambos en e tempo así como en e espaco Mentras as ecuacones eíptcas están acotadas en todas as dmensones, as parabócas están temporamente abertas en os extremos Exsten dos aproxmacones fundamentaes para a soucón de EDP parabócas: Esquema expícto Esquema mpícto x t

30 Métodos expíctos La ecuacón de conduccón de caor requere aproxmacones para a segunda dervada en e espaco y para a prmera dervada en e tempo Susttuyendo x x t t t x x t t x

31 x t x t

32 Convergenca y estabdad de os métodos expíctos Convergenca: sgnfca que conforme Δx y Δt tenden a cero, os resutados de a técnca por dferencas fntas se aproxman a a soucón verdadera Estabdad: sgnfca que os errores en cuaquer etapa de cácuo no son ampfcados, sno que son atenuados conforme e cácuo avanza Se puede demostrar que e método expícto es convergente y estabe s < /, o t S / a soucón osca S /4 a soucón no osca S /6 os errores por truncamento se mnmzan x k