la variable aleatoria relativa a esa indemnización 1 T( x) ( 0, n] será 2 : [ ] n t = (2) t x T x

Transcripción

1 Modeo Actuara de 99.5% de sufcenca de a prma neta únca de seguro sobre una soa vda bajo e concepto de varabe aeatora (prmera parte) Oscar Aranda M UNAM, Fac. Cencas Novembre, If you are out to descrbe the truth, eave eegance to the taor. Abert Ensten En este documento, se presenta bajo e nuevo enfoque de cácuo actuara e desarroo de epresones reatvas a seguro de vda tradcona, a ventaja de esta metodoogía radca que a consderar a ndemnzacón como varabe aeatora, es factbe determnar e costo de a prma neta únca con un nve de confabdad. Seguro de Vda Supongamos que se estabece como resgo asegurado e faecmento un ndvduo de edad () dentro de un perodo dado, es decr, s e faecmento de () ocurrr dentro de un perodo de n años, estrá e pago de una ndemnzacón a ese nstante, a que denotaremos como b t ; en estas condcones, a ndemnzacón estabecda, por s soa, consttuye una varabe aeatora dependente de tempo de ocurrenca de a eventuadad, sea entonces, T a varabe aeatora reatva a esa ndemnzacón T( ) (, n] será :, por o tanto, e vaor esperado de a ndemnzacón A n : [ ] = E = n t T z f T( ) () t dt () donde a funcón de probabdad 3 es: f ( t) p µ ( t) = () T( ) t Funcones actuaraes como varabes aeatoras sobre una soa vda Aut. Oscar Aranda M & Nada A. Casto García. Vo. 6 No.. Fac. Cenca UNAM. & PIENSAAMA Pág. y 3. T(): tempo restante de vda de una persona de edad () como una varabe aeatora de tpo contnuo y su funcón de dstrbucón acumuatva es: F () t = P T() t = q, t, de esta manera, p = F ( )( t) y f t = F t = p µ + [ ] T( ) t t T ( )( ) T( )( ) t t T 3 Ídem. Pág. 6 Ídem. Pág. 3 f t dt = d p que a ntegrar t se demuestra que ( )( ) t T f ( )() T t dt = Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m

2 Gráfcamente T = b v T T b t t n +t +n T( ) Consderemos ahora como benefco de ndemnzacón una undad monetara, es decr, b t = y susttuyendo () en (), se obtene a prma neta únca (PNU) de seguro de vda tempora de tpo contnuo. n t n : t µ Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m () A = v p t dt (3) Sn embargo, en a práctca a únca nformacón dsponbe para determnar a PNU, son vaores tabuados de probabdades asocadas a cada edad por faecmento, a os que denomnados vaores de tpo dscreto y dada as característcas de a funcón de supervvenca, a epresón (3) puede ser repanteada como n- + t n : t µ = () A v p t dt = (4) A efecto de reazar una estmacón de seguro de tpo contnuo, usando nformacón de tpo dscreto, requerrá conceptuazar a varabe aeatora T( ), como a suma de dos varabes aeatoras, una de años competos vvdos por a persona de edad (), K( ) y otra bajo e supuesto de dstrbucón unforme de faecmento dentro de ntervao anua, S( ), así, T( ) K( ) S( ) vaores que toma T( ), es decr, t = + s. = + ; supuesto que hace redefnr os Así cuaquer ncremento nfntesma sobre a varabe de tempo (t) repercute sobre a varabe (s) dentro de ntervao anua, stuacón que no sucede con () a ser ya un vaor constante, por o tanto, sus dferencaes son proporconaes, dt ds ; a efectuar e cambo de varabe t = + s en a epresón (4) se tene n- + s An : = v ( ) + spµ + s ds = (5) n- s = v p v p µ s ds = s Lfe contngences C. W. Jordan SoA.967. Pág 4. Característcas: decrecente, contnua (dferencabe en todos sus puntos) y acotada entre cero y uno. ( )

3 E supuesto de dstrbucón unforme mpca que 5 p µ s q, s,, en otras paabra a probabdad de que una s ( ) [ ] persona de edad (+), faezca dentro de año sguente, es equvaente a suponer a que a persona de edad (+) sobrevve a cada nstante t, pero afectado en cada s,, así nstante por a fuerza de mortadad, [ ] n- s An : v p q+ v ds = s La ntegra de v ds =, δ = Ln( + ) v, fnamente δ n- + An : v p q+ δ = (6) (7) Observemos que cuando a varabe aeatora K( ) toma os vaores,,, a epresón p q + consttuye a propa funcón de probabdad de caso dscreto, es decr, p q = + = Lo que sugere que e seguro de vda tempora de tpo dscreto sea n n + + = [ ] n : K + = + = = = (9) A E v p q v q Donde ; =,,..., n b + = ; en otro caso Gráfcamente b v + + = + + v + = v = b + + = ( + ) = tasa de nterés anua + K+ n v ; =,,..., n K + = X+ X n ; en otro caso K( ): Varabe aeatora " dscreta" K( ) Sn embargo en a práctca de seguro, a ndemnzacón no se efectúa a fna de año póza, de hacero así, a compañía presentará un défct de δ. 5 Lfe contngences C. W. Jordan SoA.967. Pág 7. (8) Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 3

4 E factor δ, es e ajuste sobre a varabe dscreta K +, para e caso contnuo de a varabe aeatora T, por o tanto, a consderar a funcón g( )= q, se puede nferr sobre a varanza de seguro de tpo contnuo, bajo a construccón sguente donde 6 K + Var V T( ) = K( ) + δ δ () = Var [ ] = A ( A ) ( ) + : : K n n n + A = n : v q = n ( + ) = n : = A v q E modeo presentado hasta aquí corresponde a cácuo sobre una soa póza a edad de contratacón (), a consderar e modeo sobre un número sufcente de asegurados con edades = = 3 =... =, as cuaes están asocadas respectvamente a as varabes aeatoras de ndemnzacón,, 3,...,, as cuaes son ndependentes e déntcamente dstrbudas 7, e conjunto de pózas pueden verse como y a ser consderadas éstas bajo e teorema de ímte centra 8 * podemos defnr una nueva varabe de dstrbucón, como donde = S = = S * µ = () 9 se aproma a a de una varabe norma tpfcada N (, ), en vrtud de que se tene un número sufcente de epuestos tasados con a taba de mortadad y defndos en forma específca para as personas de edad (), e resutado 6 Funcones actuaraes como varabes aeatoras sobre una soa vda Aut. Oscar Aranda M & Nada A. Casto García. Vo. 6 No.. Pág. 9 Fac. Cenca UNAM. & PIENSAAMA 7 Todas tenen a msma funcón de probabdad / q ; con meda E[ K + ] y varanza fnta. K ( ) + 8 Teorema de ímte centra: Sea,,..., nn un conjunto de varabes aeatoras, ndependentes e déntcamente dstrbudas con 9 meda µ y varanza dstnta de cero. Sea Sn = + + +n n entonces Sn nµ m Pr z φ n < = n ; ( z) φ ( z) N(,) S µ es a varabe aeatora tpfcada; a cua es norma asntótcamente con meda y varanza, es decr es una norma estándar. Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 4

5 prueba que e estadístco o estmador de a meda muestra S = = se dstrbuye apromadamente como una varabe N µ,, o de manera equvaente S µ se dstrbuye apromadamente como una varabe aeatora N (,). S µ En otras paabras,, es a varabe aeatora tpfcada S ; a cua es norma asntótcamente con meda y varanza, norma estándar, a reordenar se tene = µ S µ S µ = = Por o que se concuye que a meda de = varabes aeatoras ndependentes, dstrbudas en forma déntca, estará dstrbuda de un modo apromadamente norma, sn mportar a dstrbucón subyacente de cada varabe. Concuyendo que e modeo así panteado cumpe con as hpótess que nos ege este teorema, es decr, e tempo de vda de cada asegurado es ndependente de tempo de vda de os demás, su dstrbucón de probabdad aunque puede ser dstnta, cumpe con tener a msma meda y varanza; y a varabe defnda como e resgo tota, asumdo por a compañía de seguros es una suma de varabes aeatoras. Por o tanto, a consderar este conjunto de pózas con tasa de nterés fja anua, a aseguradora deseará consttur un fondo M sufcente para retrar e pago de a ndemnzacón a a muerte de cada asegurado con una sovenca de 99.5 %, por o tanto, e recargo que deberá nvoucrar a prma neta únca de seguro es = 99.5% [ ] +Ψ E () 99.5% Ψ =Percent 99.5% Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 5

6 Demostracón( deduccón) Dado que cada es ndependente su varanza es = = = = = [ ] [ ] [ ] (3) Var Var Var Var = = Por o tanto = [ ] E = = M ES [ ] PS ( M) = P M= P = Var = (4) A apcar, en a prmera parte de a desguadad y reordenando, se obtene = µ M ES [ ] S µ M ES [ ] M ES [ ] PS ( M) = P = P = P Ψ α ( ) = P Ψ Ψ = α Donde Ψ es una varabe aeatora que se dstrbuye como una varabe aeatora norma con meda y varanza, según e teorema de ímte centra y es e cuantí que acumua α de probabdad. Se sgue que e vaor de M se determna como α Ψ α M E[ S ] Ψ = ± α M E[ S] =±Ψ α M = ES [ ] ±Ψ VarS ( ) (5) Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 6

7 Por o tanto, sí consderamos un recargo ( r ) con una probabdad de α de sufcenca sobre a cartera de asegurados, se tene r α =Ψ (6) s dstrbumos de manera unforme este recargo entre todos os asegurados de a cartera de edad (), tendremos que a cada uno e corresponde un recargo de MS =Ψ α (7) + por o tanto, a prma neta únca con un margen de segurdad de 99.5%, es A confanza 99.5% 99.5% n : = E[ ] +Ψ (8) donde de as epresones (7) y (3), se tene respectvamente: n- + E[ ] = An : v p q+ δ = = S = = = = = Var = Var = Var = Var = = [ ] [ ] [ ] Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 7

8 Apcacón Consderemos un seguro tempora a años, edad de contratacón (35), modeado con a taba de mortadad eperencas mecana ndvdua 9-98 aneo A, con tasa de nterés técnca de 5.5% anua. Edad ( ) Temporadad (n ) La prma neta únca de seguro tradcona es n- + E[ ] = An : v p q+ δ 3.94 a mar = La prma neta únca de seguro con un nve de sufcenca de 99.5% es A confanza 99.5% [ ] = E +Ψ 99.5% n : 6.55 a mar donde = Var = [ ] % Ψ = aneo B Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 8

9 Aneo A Tasas de Mortadad Indvdua CNSF -I (99-998) Tasa Interés 5.5% Edad q p d D N C M , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m 9

10 Aneo.B. Oscar Aranda M oaranda@cencas.unam.m