MATEMATICA IV 4to. Bachillerato en Computación, 4to. Bachillerato en Mercadotecnia, 4to. Bachillerato en Ciencias de la Comunicación.

Transcripción

1 CUARTO BIMESTRE SEMANA 28 MATEMATICA IV 4to. Bachillerato en Computación, 4to. Bachillerato en Mercadotecnia, 4to. Bachillerato en Ciencias de la Comunicación. EL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas.

2 Ejemplos: Localizar el punto A (-4, 5) en el plano cartesiano. Este procedimiento también se emplea cuando se requiere determinar las coordenadas de cualquier punto que esté en el plano cartesiano. Determinar las coordenadas del punto M. Las coordenadas del punto M son (3,-5). De lo anterior se concluye que: Para determinar las coordenadas de un punto o localizarlo en el plano cartesiano, se encuentran unidades correspondientes en el eje de las x hacia la derecha o hacia la izquierda y luego las unidades del eje de las y hacia arriba o hacia abajo, según sean positivas o negativas, respectivamente.

3 Doña Lupe nos ha dicho que su farmacia está dentro del centro de la ciudad. Supongamos que deseamos saber la ubicación exacta de la farmacia de Doña Lupe Una vez que ya estamos en el centro le preguntamos a un policía para que nos oriente. El policía nos ha dicho que caminemos 5 cuadras hacía el este y 6 cuadras hacía el norte para llegar a la farmacia. La cantidad de cuadras que tenemos que caminar las podemos entender como coordenadas en un plano cartesiano. Lo anterior lo podemos expresar en un plano cartesiano de la siguiente manera: Para el problema planteado, el origen del plano será el punto de partida que es en donde le preguntamos al policía sobre la ubicación de la farmacia. Gráfica de la Función Exponencial En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer algunos comentarios adicionales. En primer lugar, en las figuras 1 y 2, aparecen las gráficas de algunas funciones exponenciales de base a > 1 (fig. 1) y de base a < 1 (fig. 2).

4 Note que cuando la base a es mayor que 1,la función exponencial (fig.1) no está acotada superiormente. Es decir, crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es, tiende a cero(0), cuando x toma valores grandes pero negativos. Igualmente, cuando la base a < 1, la función exponencial (fig.2) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así, y crece sin límite, al tomar x valores grandes, pero negativos tiende a cero, cuando la variable x toma valores grandes positivos. El hecho de ser la función exponencial con a > 1, estrictamente creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función exponencial es inyectiva en su dominio.este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la función inversa ( función logarítmica), que se presentan en la próxima sección. En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial inyectiva. Observación. Cuando a = e,donde e es el número irracional cuya representación decimal con sus primeras cifras decimales, es e = ,la función exponencial,se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente, se denota por Exp( x ) =.

5 FUNCION LOGARITMICA La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a. Propiedades de las funciones logarítmicas Dominio: Recorrido: Es continua. Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original). Creciente si a>1. Decreciente si a<1. Si a > 0 Si 0 < a < 1

6 Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1 er y 3 er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas entre sí. Ejemplo de funciones logarítmicas Representa la función logarítmica: 1 x /8 /4 /2 f (x) 3 2 1