6.1. HIPÓTESIS PREVIAS

Transcripción

1 6.. IPÓTESIS PREVIS emos visto una forma gráfica de resolver problemas de Programación Lineal, ahora bien, como ya hemos indicado, si el número de variables es estrictamente mayor que, se complica, de modo que resulta imposible la resolución por este procedimiento. Se hace, pues, necesario otro método para resolver estos problemas, ya que en la realidad el número de variables que aparecen es muy elevado. El método básico para resolver problemas de Programación Lineal fue desarrollado por G. B. Dantzig en 97 y es conocido con el nombre de Método del Simple. Los cálculos a realizar son muy sencillos, pero en problemas reales es necesario hacerlo tantas veces que sería muy lento y tedioso, en ocasiones casi imposible, realizarlos a mano. Por ello es necesaria la utilización de un ordenador que permita resolver problemas lineales en un número de variables y restricciones tan grande como sea preciso. No obstante, es necesario entender los métodos utilizados para aplicar a cada problema el más adecuado y realizar las modificaciones precisas para lograr interpretar correctamente los resultados obtenidos. En principio, hacemos algunos supuestos básicos inherentes a la propia naturaleza del problema (como proceso de producción), a los recursos o a las actividades implícitas en el modelo lineal: Optimización: se supone obviamente que hay una función obetivo, definida adecuadamente, a optimizar. Usualmente, se maimiza un beneficio y se minimiza un coste, un período de tiempo, etc. Estabilidad: al menos una restricción tiene el correspondiente coeficiente (disponibilidad de recursos) distinto de cero.

2 Finitud: se supone que hay únicamente un número finito de actividades y restricciones de modo que se puede buscar una solución. Determinismo: todos los coeficientes c, ai, bi que incluye el modelo lineal se suponen constantes conocidas. Continuidad: se supone que los recursos pueden ser utilizados, y las unidades producidas, en cantidades que están en unidades fraccionarias. omogeneidad: se supone que todas las unidades para un mismo recurso o actividad son las mismas. ditividad: las actividades se suponen aditivas en el sentido de que cuando se utilizan dos o más, su producción total es la suma de sus producciones individualizadas. No hay interacción entre las actividades. Proporcionalidad: tanto los beneficios o costes ( c ) como los requerimientos ( b i ) por unidad de actividad ( a i ) se suponen constantes independientemente del nivel de actividad utilizado. Los dos últimos supuestos implican la linealidad en las actividades, de aquí el nombre de Programación Lineal. Teniendo en cuenta estos principios básicos, intrínsecos al problema lineal, desarrollemos, antes de entrar en algoritmos formales, un eemplo cuya solución nos servirá para entender el Método del Simple que veremos más adelante. 6.. EJEMPLO Una empresa tiene posibilidad de fabricar tres tipos de piensos P, P y P. Para ello, son precisas dos fases, una primera (fase ) de fabricación en máquina, y una segunda (fase B) de mano de obra. Dispone de 0 horas mensuales en la fase y de 60 en la B, y para su fabricación necesita para cada pienso las siguientes horas de en cada una de las dos fases:

3 oras en oras en B P P P Siendo el beneficio efectivo de cada pienso de, y pesetas por unidad respectivamente, deseamos determinar el programa de fabricación a realizar durante dicho mes de modo que el rendimiento sea máimo. Solución: Sea i la cantidad de pienso del tipo problema queda formulado como: P i a fabricar, con i,,. Entonces, el ma Z + + s.a.: ,, 0 60 Pasamos a forma estándar introduciendo variables de holgura: ma Z + + s.a.: ,,,, 0 60 Recordamos que la función obetivo no se modifica, ya que asignamos costes cero a cada una de las variables de holgura. Partiremos de una solución factible básica y se intentará pasar a otra meorando el valor de la función obetivo, en este caso aumentándola.

4 ª solución: la solución más cómoda y evidente consiste en no producir nada, es decir, 0, con lo cual obtenemos que 0, 60 (que se denomina base). Con estos valores se tiene que Z 0. hora, de las dos ecuaciones disponibles ponemos, en función de,, : Z + + Para meorar el valor de Z, bastará aumentar, ó, ya que todas ellas están afectadas por coeficientes positivos en la función obetivo y a su vez toman siempre valores positivos. hora bien, puesto que de entre estos coeficientes, todos positivos, el mayor es el correspondiente a, aumentar en esta variable será la estrategia que proporcione una mayor meora para Z. Por otra parte, este aumento se verá limitado por el hecho de que la nueva solución ha de ser factible. Con este aumento en las restricciones: Luego, tomamos min{ 80, 60 0.} 80. hora hacemos 0, ya que el mínimo ( 80 ) corresponde a esta restricción. Se dice que 0 sale de la base y 0 entra en la base. ª solución: la nueva solución obtenida en el paso anterior es: Z

5 Con esta solución hemos meorado el valor de Z. Escribimos nuevamente, y Z en función de, y : ( ) + ( ) Z Para meorar Z aumentamos puesto que tiene mayor coeficiente. Este aumento, para que se mantenga la factibilidad, sólo se ve limitado por : sí, hacemos 0 que sale de la base. Entra en la base 90. ª solución: Z Epresamos nuevamente y en función de, y, y también Z: ( ) + ( ) Z

6 Para meorar Z no queda otra posibilidad que aumentar, puesto que tiene el mayor coeficiente, único positivo: ma { 0., 8, 0} 0., que corresponde a Para que se mantenga la factibilidad se han de verificar: min{ 00, 0} 00, que corresponde a. sí pues, entra y sale. ª solución: Z Epresamos, y Z en función de,, y : (. 0 ) ( ) + + ( ) Z Esta solución no puede meorarse por ser los coeficientes de, y todos negativos, luego aumentando el valor en cualquiera de ellos, disminuiríamos el valor de Z, lo cual no interesa. 6

7 En consecuencia, ésta es la meor solución y, por tanto, óptima: * 00, 0, * 0, Z * 800 * Vamos a resumir y tabular las distintas soluciones: Solución : 0, 0, 60, Z Z Entra y sale ( min { 0 0., 60 0.} 80 que corresponde a ). Solución : 0, 80, 6, Z Z Entra y sale ( min { 6 0.} 90 que corresponde a ). 7

8 Solución : 0, 80, 90, Z Z Entra y sale ( min { 80 0., 90 0.} 00 que corresponde a ). Solución y óptima: 0, 00, 0, Z Z

9 El método del Simple nos facilitará la obtención de la solución óptima mediante la elaboración de un criterio que nos permitirá saber si una solución básica es o no la óptima y, en caso contrario, nos dará un procedimiento de aproimación a dicho óptimo. Supongamos el problema de Programación Lineal: ma Z c c + + n n s.a.: a + + a nn b a m a + + mn 0, i, i, n n b m Partiremos de una solución factible básica inicial (vértice) de la que pasaremos a otra solución básica (vértice contiguo) en la que el valor de la función obetivo sea mayor que en la anterior, y así sucesivamente hasta llegar a una solución básica (vértice) en la que el valor de Z sea máimo (solución óptima). En algunos casos, las variables de holgura nos sirven para determinar la solución inicial, tomando: n i bi, i,, m, siempre que las componentes del vector de + disponibilidades de recursos sean no negativas, esto es, b 0. i hora bien, en caso de que alguna de las restricciones fuera de igualdad o bien algún b i < 0, no nos sirve la anterior como solución, y en las restricciones que esto ocurra es necesario introducir unas nuevas variables cuyo único obetivo es el de obtener una solución factible básica inicial de forma sencilla. estas variables se les denomina variables artificiales y ninguna de ellas puede permanecer en la solución óptima, por lo que, en estos casos, el primer obetivo es sacar de la base estas variables, olvidándonos de ellas en el momento que esto suceda. En caso de 9

10 que no podamos sacar de la base todas las variables artificiales, se concluirá que el problema no tiene solución. En la práctica, y para facilitar el obetivo anterior, asociaremos a cada variable artificial (si estamos maimizando) un coste M de valor absoluto muy grande, que introduciremos restando en la función obetivo, con lo que aseguramos que el máimo se alcanzará cuando todas las variables artificiales valgan cero. Eemplo: ma Z ma Z M s.a.: + s.a.: ,,, 0,, Si en la primera restricción no introducimos una variable artificial, +, e intentamos la solución trivial (no producir), tenemos:, es decir, 0,, que no es factible, pues 0. l introducir, tendremos + +, < con lo que la solución factible inicial sería: 0,, pudiendo así comenzar con las iteraciones precisas en el método del Simple. nalizaremos distintos casos para la obtención de una solución factible básica inicial en la aplicación del lgoritmo del Simple. ntes hay que notar que no es estrictamente necesario aplicar alguno de los métodos siguientes, pudiendo encontrar una primera solución factible a oo, si bien los métodos proporcionan mecanismos que siempre se pueden aplicar. Podemos considerar los algoritmos que veremos a continuación como diferentes versiones o variantes del método del Simple. 0

11 7.. VRIBLES DE OLGUR Es el caso más sencillo y se da siempre que tengamos como primera solución básica la proporcionada por las variables de holgura. La formulación del problema debe incluir solamente restricciones del tipo, siempre que los coeficientes de las disponibilidades sean no negativos: ma Z c + + c n n s.a.: a + + a nn b a m + + a mn i 0, i,, n n b m Introduciendo las variables de holgura para epresar la forma estándar: ma Z c + + c n n s.a.: a + + a n n + n + b a m + + amnn + n+ m bm 0, i, n n + i 0, i,, i,, m Podemos representar este problema en una tabla como la que sigue:... n n + n +... n + n + b a a... a n n + b a a... a n b a n m m a m... a mn Z c c... c n m m En lo que sigue utilizaremos la notación de esta tabla para representar los valores que en cada iteración (es decir, en cada una de las sucesivas tablas que

12 consideremos a partir de ésta) tomen los datos representados en sus correspondientes filas y columnas. De forma general y, en cada iteración, la estructura de la tabla será: B C D : base actual ( ) B: valor de las variables básicas actuales ( b i ) C: matriz de los coeficientes en las restricciones ( a i ), que se modifican sucesivamente al pivotar. D: costes de todas las variables en la función obetivo ( c ),que se modifican sucesivamente al pivotar. Para resolver este tipo de problemas usaremos el siguiente algoritmo: lgoritmo. Paso : Sea { c > 0} Si Si J. J el algoritmo acaba. Estamos en el óptimo. PRR. J continuamos: J sea i (fila) tal que a > 0. Calculamos los coeficientes elegimos el mínimo de ellos. Sea: i bi a i y br a r b i min ai > 0 i ai

13 Seleccionamos el máimo de los productos de los mínimos anteriores para cada columna ( J ) por sus correspondientes coeficientes c. Sea s J la columna que da el máimo. Esto es: b a r rs c s b r ma c J ar Entonces, s entra en la base y sale de ella la variable correspondiente a la fila r-ésima. Paso : acer en la tabla las transformaciones necesarias para que el vector columna correspondiente a la variable que entra en la base tenga un en el lugar r-ésimo y el resto ceros. Paso : Volver al paso. l elemento que ocupa el lugar r-ésimo de la columna s, es decir a rs, se le denomina elemento pivote, y a la operación de transformar la columna del pivote en otra que tenga un en el lugar del elemento pivote y cero en el resto se le conoce con el nombre de operación de pivotar. Para efectuar esta operación podemos utilizar el Método de Eliminación de Gauss. Nota: Si para algún J se tiene que a i 0, i, el algoritmo acaba en el paso diciendo que la solución es no acotada (infinito), puesto que podríamos meorar el valor de la función obetivo introduciendo una variable sin necesidad de que ninguna salga de la base.

14 Eemplo: ma Z + + s.a.: i 0, i,,, 0 Introducimos variables de holgura y 6 para pasar a forma estándar: ma Z + + s.a.: , i,,,, 6 i, J {,, }, puesto que c 0, c 0, c 0. > > > { 6,0 } 0 min i { 6,0 } 6 min i { 6,0 } 0. min i Calculamos ma {,,. } 0 que corresponde a i,, por lo que pivotamos sobre el elemento a, entrando en la base la variable y saliendo de ella la variable 6. La nueva tabla para realizar la siguiente iteración quedará:

15 6 0 / - -/ -/ / / 0 / Reiteramos el proceso: J {}, puesto que c 0. > { ( ), ( ) } min i Calculamos ma que corresponde a i,, por lo que pivotamos sobre el elemento a, entrando en la base la variable y saliendo de ella la variable. La nueva tabla para realizar la siguiente iteración quedará: 6 / 0 -/ - / -/ / 0 7/ -/ / / 0 0 -/ - -/ -/ hora J, puesto que 0,. Luego estamos en la solución óptima: c * * Z, X,,0, 0

16 7.. VRIBLES RTIFICILES Y COSTES MRGINLES Consideremos el siguiente eemplo: ma Z + s.a.: , 0 Pondremos este problema en forma estándar introduciendo dos tipos de variables en las restricciones lineales de desigualdad: Variables de holgura:, y Variables artificiales: 6, 7 y 8. Se obtiene el siguiente problema: ma Z + M6 M7 M s.a.: ,,,,, 6, 7, 8 0 La tabla correspondiente a este problema es la siguiente: M -M -M 7 8 6

17 La solución factible básica inicial es: 0, (, ) ( 6,,) 6, 7 8 Como se observa, los costes en la función obetivo de esta base no son nulos, por lo que no podemos aplicar sin más el algoritmo que hemos desarrollado hasta ahora; será preciso introducir la siguiente definición: Definición: Llamaremos costes marginales a la diferencia c k ck zk, donde k B siendo B el conunto formado por los índices de las variables básicas. z c a, Es decir, z k es el producto escalar de los elementos de la columna de los costes en la función obetivo de la base por los elementos de cada columna k-ésima de la matriz de coeficientes. k Para hacer esta operación en la práctica, en la tabla anterior añadimos a la derecha la columna correspondiente a los costes en la función obetivo de la base y una última fila con el resultado obtenido para los costes marginales M M M M -M -M M + 6M + -M -M -M Continuando como en el caso anterior, considerando la última columna como el valor actual de los costes en la función obetivo, tenemos que: 7

18 7 /6 -/ / / M 8 0 /6 / M M -M 7 0 M + M + -M -M / 0 -/ 0 / 0 7 6/ 0 0 / - / -M 8/ 0 / 0-6/ M M + -M M + 0 /7 0 -/ / 0 /7 0 0 / -/ 0 /7 0 /7 -/ / / 0 / 0 0 -/ / 6/ 0 0 -/ / / 0 0 / -/ / -7/ 8

19 Este problema no posee solución acotada, ya que la variable que únicamente puede entrar en la base,, posee todos los coeficientes de su columna correspondiente menores o iguales que cero. Notamos que este problema podría haberse resuelto por el método de resolución gráfica, sin necesidad de pasar a la formulación estándar ni aplicar el algoritmo del Simple. En general, lo que logramos con la introducción de los costes marginales en la primera tabla es anular los costes de las variables básicas. demás, este caso no es más que la generalización del anterior: si únicamente es preciso añadir variables de holgura, para éstas los correspondientes z k son cero y, por tanto, c k ck, esto es, los costes marginales coinciden con los costes en la función obetivo. El algoritmo que utilizaremos en este caso es similar al anterior, sustituyendo c por c. En este caso, la distribución de los datos del problema en la tabla será: B C F D E 9

20 : base actual ( ) B: valor de las variables básicas actuales ( b i ) C: matriz de los coeficientes en las restricciones ( a i ), que se modifican sucesivamente al pivotar. D: costes iniciales de todas las variables en la función obetivo ( c ) E: costes marginales para cada iteración ( c ) F: columna auiliar con los costes iniciales en la función obetivo de las variables básicas actuales. lgoritmo. Paso 0: nular los costes de las variables básicas, o lo que es lo mismo, calcular los costes marginales, ck zk, k. Si todo c k ck zk 0, estamos en el óptimo. PRR. Si algún c k c z > 0, ir al paso. k k Paso : Sea J { c > 0} terminado el algoritmo en el paso 0., que será distinto del vacío, ya que en otro caso hubiera J sea i (fila) tal que a > 0. Calculamos los cocientes mínimo de ellos. Sea: i bi a i y elegimos el b a r r b i min ai > 0 i ai Seleccionamos el máimo de los productos de los mínimos anteriores para cada columna ( J ) por sus correspondientes costes marginales c. Sea s J la columna que da el máimo. Esto es: 0

21 b a r rs c s b r ma c J ar Entonces, s entra en la base y sale de ella la variable correspondiente a la fila r-ésima. Paso : Pivotar sobre el elemento a rs, como se propuso en el algoritmo. Paso : Volver al paso 0. Eemplo: ma Z + ma Z + M s.a.: + s.a.: + + +, 0 + +,,,, 0 Introduciendo solución factible básica inicial:, variables de holgura y artificial. Tomamos como 0,, Construimos la tabla asociada de la forma comentada anteriormente: - 0 -M M M + M + -M 0 0 Notamos que los costes marginales para las variables básicas son cero, y J {, }.

22 {, }, min i indistintamente. {,} min i Calculamos ma { ( M +, ) ( M + ) } M +, que corresponde a i,. Por lo tanto, pivotamos sobre a, por lo que entra en la base y sale de ella. Observar que en este paso conseguimos eliminar la variable artificial de la solución factible básica. Como es seguro que ésta no volverá a entrar a formar parte de la solución (puesto que su coeficiente en la función obetivo es M) podemos eliminar en la tabla la columna que le corresponde y continuar aplicando el algoritmo. sí: La única posibilidad es que entre positivo. Sale, ya que puesto que su coste marginal,, es el único a es el único elemento positivo en la columna correspondiente a la variable que entra. Pivotamos sobre el elemento a : Puesto que todos los c son estrictamente negativos, estamos en el óptimo: * * * Z 6, 0,,, 0 * * *

23 Eemplo: ma Z + ma Z + M s.a.: + s.a.: + + 6, ,,,, M 0 0 -M 6M + M + 0 -M 0 Iniciamos los cálculos según el algoritmo con J {, }. {, 6} min i {, } min i Calculamos { ( 6M + ), ( M + ) } M + ma, que corresponde a i,. Por lo tanto, pivotamos sobre a, entrando en la base y saliendo de ella M 0 0 -M 0-8M - -6M - -M 0 Puesto que todos los costes marginales son negativos o cero, y la variable artificial no ha salido de la base, no eiste solución; el problema es inconsistente.

24 7.. LGORITMO DEL SIMPLEX PR EL MODELO DE MXIMIZCIÓN Supongamos el caso más general para el problema lineal de maimización, de modo que en primer lugar calcularemos los costes marginales c. Otra versión del algoritmo, más sencilla de llevar a la práctica, consta de los siguientes pasos: lgoritmo. Paso : Si todos los c 0 estamos en el óptimo. PRR. Si algún c > 0,,..., n, elegimos el más positivo, esto es: c s { c > 0} ma c Entonces, entra en la base la variable s y la columna s-ésima es la columna pivote. Paso : Entre los coeficientes positivos de la columna s-ésima, se calculan los cocientes: b r bi min ais > 0 a i m rs ais donde b i son los actuales valores de las variables básicas. Entonces, sale de la base la variable básica correspondiente a la fila r-ésima, siendo ésta la fila pivote, y el elemento a rs el pivote. Paso : Se utiliza la eliminación de Gauss sobre filas para transformar la columna s-ésima en ceros, ecepto el elemento a rs que se transforma en. Volver al paso.

25 Eemplo: Introduciendo ma Z + + s.a.: ,,, 0 0, 6 variables de holgura, resulta: ma Z + + s.a.: ,,,,, Tomamos como solución factible básica inicial la siguiente: 0, 6, 0 6 En este caso tenemos que c i ci, ya que todos los z i 0, puesto que ya los costes asociados a las variables básicas son cero. Por tanto, la tabla inicial queda: En este caso, c s puesto que es el mayor de entre los coeficientes c positivos, luego entra en la base la variable. demás, min { 6,0 } 6, que corresponde a la variable que es la que abandona la base. Pivotando sobre el elemento a, la nueva tabla que resulta es:

26 6 / / / / / 0 7/ 9/ -/ / 0 -/ -7/ -/ 0 hora, c s, puesto que es el único de entre los coeficientes c que tiene signo positivo, luego entra en la base la variable. demás, min { ( ), 7 ( ) } min{ 6, } que es la que abandona la base., que corresponde a la variable 6 Pivotando sobre el elemento a, la nueva tabla que resulta es: 6 / 0 -/ - / -/ / 0 7/ -/ / 0 0 -/ - -/ -/ Puesto que todo c 0, estamos en la solución óptima: * X,,0, 0, Z * Eemplo: ma Z + ma Z + M s.a.: + s.a.: + +, 0 + +,,,, + 0 Introduciendo, variables de holgura y artificial. 6

27 La solución factible básica inicial será: 0,, y la primera tabla quedará como: - 0 -M M M + M + -M 0 0 Entra puesto que M + es el mayor de los coeficientes positivos, y sale que proporciona el menor valor entre los cocientes / y /. Por tanto (eliminando la columna correspondiente a ), la nueva tabla es: ya La única posibilidad es que entre (único coste estrictamente positivo) y salga (que corresponde al único valor estrictamente positivo en la columna correspondiente a la variable que entra). Pivotando sobre el elemento a obtenemos la siguiente tabla: 7

28 Como todos los c 0, estamos en el óptimo: * 0,,, 0, Z * 6 * * * * 8

29 Observación : Si en el paso, todos los a 0, entonces el problema tiene solución no acotada. is Observación : Si dos variables tienen igual cociente b b i, indistintamente i ais a s ó pueden abandonar la base. Se elige arbitrariamente, pero recordando que si al menos una de ellas es artificial, conviene que sea la que salga. Observación : De manera similar, si dos variables poseen los mismos costes marginales, c i c > 0, puede entrar en la base cualquiera de ellas. Observación : En casos muy particulares, no será necesario introducir variables artificiales para la obtención de una solución factible básica inicial. Serán aquellos cuyo conunto de restricciones sea de igualdad (desde el principio o introduciendo variables de holgura), y de tal forma que eistan,, variables que aparezcan en una y m sólo una restricción con coeficiente (donde m es el número de restricciones verdaderas del problema original). En este caso,, es una solución factible básica inicial, pero con costes m marginales generalmente distintos de cero. Previamente a comenzar el Simple habrá que convertirlos en cero utilizando la técnica de eliminación gaussiana. Por eemplo, supongamos: 9

30 ma Z s.a.: i 0, i, 0 6,7 Como las variables,, y 7 aparecen en una sola restricción con coeficiente igual a, consideramos como solución factible básica inicial: 0, 0, 6, 6, 0. La tabla inicial, con las 7 6 transformaciones en la fila correspondiente a los costes queda de la siguiente manera: Observación : Si en la solución óptima aparece una variable artificial con valor estrictamente positivo, se concluye que el problema no tiene solución, se dice entonces que es inconsistente. 60