Conjunto de teléfonos móviles

Transcripción

1 Repaso de matemática - Conjunto de objetos Un conjunto es una colección de objetos con propiedades en común. Ejemplos: Conjunto de teléfonos móviles Los teléfonos móviles podemos clasificarlos en un importante número de subconjuntos, entre ellos, si pertenecen a un color o tamaño determinado, si poseen pantalla táctil o no, si son teléfonos inteligentes o no, si tienen o no conexión a Internet, si poseen un sistema operativo Android (de Google), ios (de Apple), Windows Phone (de Microsoft) o BlackBerry OS (de BlackBerry) entre otras características. Conjunto de lápices de colores El conjunto de lápices de colores podemos clasificarlo en subconjuntos por su país de fabricación, por poseer colores pasteles o fluorescentes, por el diámetro de los lápices, su dureza, la intensidad del trazo u otras características para poder agruparlos. Como se puede observar, a partir de una clase de objetos, podemos formar conjuntos y también clasificarlos en infinitos subconjuntos de acuerdo a sus características y propiedades comunes. Con los números sucede lo mismo, existen varios sistemas de numeración: los números arábigos, romanos, los mayas, egipcios, aztecas entre otros. En aritmética, álgebra y análisis matemático, un sistema numérico es un conjunto en el que verifican ciertas condiciones relacionadas con distintas propiedades. Conjunto de números

2 Sistema numérico Conjunto de números racionales Aclaración de la imagen: Como podrá observarse, en el conjunto de los números Naturales (N) está incluido el "0" (cero). Para algunos matemáticos -en dicho conjunto- no debe estar incluido y para otros matemáticos sí. Con fines prácticos y en la aplicación de los números para los cálculos que se realizarán en las asignaturas de las ciencias naturales nos es indistinto donde incluirlo, es solo un dilema entre los matemáticos. Convencionalmente, los diversos subconjuntos son denominados sistemas numéricos. Entre ellos están los números naturales, enteros, racionales, reales y los números complejos, aunque como se puede ver en las imágenes, existen subconjuntos que generalizan a algunos de los anteriores. No obstante, solo nos ocuparemos de repasar algunas operaciones básicas entre los números racionales, que luego aplicaremos en la comprensión de cálculos utilizados en las ciencias naturales. Con respecto a los números irracionales π (Pi), cuyo valor es 3,1416.., carece de periodicidad, posee infinitos números después de la coma y surge entre otros cálculos, de la relación (división del perímetro y el diámetro de un círculo, independientemente de las distintas dimensiones que posea el círculo) y será utilizado en operaciones y cálculos en la asignatura Física que involucran fenómenos circulares. Número áureo φ o Φ Otro número, cuyo símbolo griego es φ o Φ (Phi o Fi) escrito en minúscula o mayúscula, es denominado número áureo, número de oro o razón dorada, y posee un valor 1,6180.., tampoco posee período al igual que el número Pi, tiene infinitos números después de la coma y por esa causa es un número del conjunto de los Irracionales, al igual que 2, 3 o el número e, entre otros. El número Phi o Fi está presente en la naturaleza en un gran número de proporciones, por ejemplo en la relación entre la altura de una persona y la distancia desde el ombligo hasta la planta de los pies o por la distancia entre los dedos de los brazos extendidos de cualquier persona, también está vinculado en la

3 relación entre el largo de un huevo de ave y el diámetro, de igual forma existen relaciones con el número de pétalos de flores, entre otras aplicaciones. Curiosidades: En los números Pi (π) y Phi (φ), con varios miles de millones de decimales después de los números enteros 3 o del 1 correspondientemente, podemos encontrar la secuencia del número de DNI, del CUIL o los teléfonos de cualquier persona. En las aplicaciones de repaso de las operaciones básicas de matemática, utilizaremos solamente los números racionales que involucran los números enteros, fraccionarios, decimales, tanto positivos como negativos que puedan surgir de la suma, resta, división, multiplicación, radicación o potenciación, los cuales pocas operaciones serán aplicadas en la asignatura Fisicoquímica del nivel medio, la gran mayoría serán aplicadas en Física y Química. Repaso de operaciones aritméticas: Como ya he citado anteriormente, el espíritu de la asignatura Fisicoquímica de 3 año del nivel medio, se basará comprender los fenómenos físicos y químicos que ocurren a nuestro alrededor en la vida cotidiana, en la naturaleza y en el Universo. Algunos conceptos serán explicados con cálculos matemáticos simples que luego se profundizarán en las asignaturas Física y Química en los años posteriores. En todos los casos, se realizarán operaciones aritméticas para cuantificar los procesos, que se basarán en la resolución de ecuaciones que involucrarán los números racionales (números enteros, fraccionarios, decimales, tanto positivos como negativos). Este tema tiene por objeto efectuar un repaso de las propiedades de la suma, resta, división, multiplicación, las potencias, las raíces y se aplicarán en operaciones básicas con números racionales. Es importante saber qué es lo que se debe o se puede hacer y lo que es incorrecto desde el punto de vista matemático. Por ejemplo, dada una fracción, es un requisito considerar que el denominador SIEMPRE debe ser distinto de 0 (cero): Ecuación 1 Durante el curso se efectuarán cálculos de proporcionalidad, donde se aplicarán las Reglas de Tres Simple Directa e Inversa para obtener los resultados de las experiencias. Se operará con porcentajes, se expresarán los datos en notación científica, cifras significas y técnicas de redondeo. Se estudiarán las distintas magnitudes escalares como la masa, la longitud, la capacidad y el volumen entre otras, los múltiplos y submúltiplos de cada una y se realizarán operaciones entre ellas, de acuerdo al Sistema de Medida correspondiente y se aplicará en el estudio de los diferentes de tipos de errores de medición. Para poder realizar las operaciones mencionadas en el párrafo anterior nos vamos a valer de la matemática. IMPORTANTE PARA RECORDAR: Además, Nada que observemos a nuestro alrededor, en la naturaleza o en el Universo está fuera del alcance de la Ciencia y con ella, podemos explicar todos los fenómenos que suceden En todo proceso o fenómeno en la Ciencia que debamos cuantificar, SIEMPRE está involucrada la matemática La matemática es una ciencia y también es el arte de poder expresar los números o números y letras de manera diferente, significando lo mismo Por esa razón vamos a comenzar: La palabra Término, en el diccionario de la Real Academia Española tiene varios significados, pero por nuestro interés en matemática denominamos Término a un número o números y letras que están separados por el signo + (más) o por el signo - (menos).

4 1 ) Ejemplo con números enteros: Ecuación 2 En esta simple resta, tenemos una ecuación que contiene dos miembros. El miembro de la izquierda del signo = (igual) está formado por 2 términos, el 54 y el 14, y el miembro a la derecha de la igualdad contiene solo 1 término, el 40 y es el resultado de la operación aritmética. Esa resta o sustracción Podemos expresarla de diferentes maneras? Por supuesto que sí!, pero debemos recordar la Regla de los signos y saber el uso de los paréntesis, dado que no pueden existir dos o más signos de operación consecutivos. Regla de los signos: Regla de los signos en multiplicaciones Veamos las diferentes formas de expresar la operación = 40 (cuando un número no posee un signo menos ( ) adelante, asumimos que es positivo y si tiene el signo por delante, es un número negativo. Recordando la regla de los signos podemos expresar la ecuación anterior de diferentes formas: Ecuación 3 Resuelvo:. = + o sea que ( 54) resulta +54 o simplemente 54. Ello significa que para resolver un paréntesis precedido por el signo menos, siempre se procede al cambio de los signos de cada componente numérico o numérico y literal dentro del mismo término, en cambio en el otro término del ejemplo, +. = y el término resultante +( 14) es 14. Por otro lado, recordamos que para anular un paréntesis precedido por el signo más, los signos de los números dentro del paréntesis no se ven afectados. Ecuación 4 Ecuación 5 Ecuación 6 Las ecuaciones anteriores son todas expresiones matemáticas que representan la misma operación y reitero, NUNCA deben expresarse dos signos seguidos, ambos deberán estar separados por un paréntesis. La regla de los signos se aplican en las multiplicaciones como en las divisiones: Regla de los signos en divisiones 2 ) Ejemplo con números enteros: Esta ecuación es fácil, pero presenta un mínimo grado de dificultad que nos puede llevar a la tentación de realizar ciertas operaciones que están mal, son errores de conceptos, son "Pecados capitales" o el equivalente a "Sacar un pasaje en la 3 clase para dar un paseo en el Titanic".

5 Por esa razón resolveremos la ecuación paso a paso: RECORDAR QUE "LOS TÉRMINOS" SIEMPRE ESTÁN SEPARADOS POR LOS SIGNOS + o, los componentes numéricos o numéricos con letras de un término, no se multiplican ni se dividen con otro componente de otro término, a excepción que debamos resolver una operación de suma o resta que está entre paréntesis, previo a la multiplicación o división. Ecuación 7 En primer lugar debemos identificar los términos del miembro y en este caso, evitaremos la tentación de efectuar la resta de 48 25, el 48 con signo + es el primer término, el segundo término posee signo negativo, 25 : 5 y el tercer término es 22. En el cuarto término, 6(2+8) y se deberá realizar la suma antes de quitar el paréntesis y por último resolvemos el quinto término +3( 3) Cuando resolvimos todos los términos, procedemos a sumar o restar, todos los términos: Ecuación 8 Agrupamos los términos positivos de la ecuación 9, los sumamos y luego restamos la suma de los términos negativos. Ecuación 9 Ecuación 10 Ecuación 11 Resultado 3 ) Ejemplo con números racionales: En este caso operaremos con números decimales positivos y negativos. Ecuación 12 Como pudo observarse, fue un problema muy simple, en tanto se tenga un buen conocimiento de la regla de los signos y el orden de las prioridades de las operaciones. 4 ) Ejemplo con números racionales: El siguiente ejemplo corresponde a una operación de división y suma entre números decimales: Ecuación 13 Como se pudo observar, fueron problemas muy simples, siempre que se tenga un buen conocimiento de la regla de los signos y el orden de las prioridades de las operaciones.

6 Al aumentar la complejidad de la resolución de las ecuaciones, resulta necesario conocer todas las reglas, las propiedades de las operaciones matemáticas y las prioridades de operación y para ello, brindaré una frase de ayuda memoria o también denominada "Regla mnemotécnica", (para aquellos que nunca escucharon esa palabra, la Real Academia Española define a "Mnemotécnica/o" como un adjetivo que sirve para auxiliar a la memoria) y en este caso, yo la he utilizado como muchas otras, para no olvidarnos las prioridades de las operaciones. Por supuesto que cuanto más se practiquen los ejercicios matemáticos puros o en la aplicación en las ciencias, las palabras de ayuda memoria quedarán de lado y la causa es porque las reglas ya quedaron internalizadas en nuestra mente. En los ejemplos anteriores, he tenido en cuenta las jerarquías u órdenes de preferencia de las operaciones, primero resolví los paréntesis, luego las operaciones de multiplicación y división y por último para resolver la ecuación, realicé las sumas y restas. Será muy importante conocer la Regla de los signos, las propiedades de la suma, la resta, la división, la multiplicación, la potenciación, la radicación y las propiedades de los logaritmos para la realización de operaciones aritméticas, como también se hará en la resolución de operaciones algebraicas, SIEMPRE debemos recordar que hay un orden de jerarquías y preferencia para la realización de las operaciones. Para resolver una ecuación, desde la más simple a la más compleja, debemos respetar las jerarquías u órdenes de las operaciones y en orden a resolver son: 1. Paréntesis 2. Potencias y raíces 3. Divisiones y multiplicaciones 4. Las sumas y las restas. Para recordar fácilmente este orden, podemos utilizar una regla nemotécnica o ayuda memoria y la frase que yo utilizo es: PAPO MUDAS, PA paréntesis, PO potencia y radicación, MU multiplicación, D división, A adición o suma y S sustracción o resta. La frase PAPO MUDAS no tiene ningún significado en la lengua española ni en ninguna otra, solamente la he utilizado para recordar el orden de las jerarquías o preferencias para resolver ecuaciones matemáticas. En los ejemplos realizados, no incluyeron potencias ni raíces, pero se siguió los demás órdenes. Autor: Profesor Eduardo E. Castellani