Una Versión Paralela del Algoritmo Evolutivo para Optimización Multiobjetivo NSGA-II

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1 Una Versón Paralela del Algortmo Evolutvo para Optmzacón ultobjetvo NSGA-II Sergo Nesmachnow Centro de Cálculo, Insttuto de Computacón Facultad de Ingenería. Unversdad de la Repúblca, Uruguay. Resumen Este trabajo presenta una versón paralela del algortmo evolutvo para optmzacón multobjetvo NSGA-II (Non-domnated Sortng Genetc Algorthm, versón II), orgnal de Deb, Agrawal, Pratab y eyarvan (2000). Se ntroducen los detalles de dseño e mplementacón de una versón paralela basada en subpoblacones sem-ndependentes y se analza la caldad de resultados y la efcenca computaconal, comparando con los resultados y tempos de ejecucón de la versón secuencal del algortmo NSGA-II sobre un conjunto de problemas de prueba estándar. Palabras clave: Algortmos Evolutvos Paralelos, Optmzacón ultobjetvo, NSGA-II. Destnado al Workshop de Agentes y Sstemas Intelgentes.

2 I. INTRODUCCIÓN Los Algortmos Evolutvos (EAs) se han popularzado como métodos robustos y efectvos para la resolucón de problemas de optmzacón. Tradconalmente, los problemas abordados consderan la optmzacón de una únca funcón objetvo, pero en la últma década se han desarrollado varos EAs para afrontar problemas con objetvos múltples, que tenen característcas que los dferencan de los EAs tradconales. Las técncas de procesamento paralelo se aplcan a los EAs con el objetvo de mejorar la efcenca computaconal y perfecconar el mecansmo evolutvo (Cantú-Paz, 200). Desde la perspectva de la efcenca, paralelzar un EA permte acelerar la resolucón de problemas cuya dmensón motva utlzar poblacones numerosas o evaluar complejas funcones objetvo. Desde el punto de vsta algorítmco, los modelos paralelos pueden explotar el paralelsmo ntrínseco del mecansmo evolutvo, trabajando smultáneamente sobre varas poblacones ndependentes para resolver un problema. En el área de la optmzacón multobjetvo, pocos trabajos han abordado el estudo del paralelsmo aplcado y sus nfluencas en la efcenca computaconal y caldad de solucones de los algortmos. Este trabajo propone el estudo de un modelo de paralelsmo aplcado al conocdo algortmo evolutvo para optmzacón multobjetvo NSGA-II orgnal de Deb et al. (2000). El esquema de paralelsmo aplcado corresponde a un modelo de poblacones múltples y mgracón. El resto del documento se organza del modo que se descrbe a contnuacón: la seccón 2 ntroduce conceptos vnculados con los problemas de optmzacón multobjetvo (OPs). La seccón 3 presenta conceptos báscos sobre los algortmos evolutvos y su aplcacón a los OPs, comentando el algortmo NSGA-II. Asmsmo, se explca la aplcacón de las técncas de procesamento paralelo a los EAs en general y se reseñan propuestas exstentes de paralelsmo aplcado al NSGA-II. Los detalles de dseño e mplementacón de la versón paralela dseñada se presentan en la seccón 4. El conjunto de problemas de prueba y las métrcas utlzadas para evaluar la efcenca y la caldad de las solucones obtendas se presentan en la seccón 5. La seccón 6 presenta y analza los resultados expermentales. Por últmo, la seccón 7 ofrece las conclusones del trabajo y líneas de trabajo futuro. II. PROBLEAS DE OPTIIZACIÓN ULTIOBJETIVO Esta seccón presenta una breve ntroduccón a los OPs y conceptos relaconados. Un OP plantea optmzar (mnmzar o maxmzar) un conjunto de funcones, habtualmente en conflcto entre sí. La exstenca de múltples funcones objetvo plantea una dferenca fundamental con un problema monoobjetvo: no exste una únca solucón al problema, sno un conjunto de solucones que plantean dferentes compromsos entre los valores de las funcones a optmzar. La Fgura presenta la formulacón general de un OP. Gran parte de los problemas de optmzacón subyacentes a problemas del mundo real tenen una formulacón de este tpo, aunque en general son abordados en la práctca medante un enfoque monoobjetvo. nmzar / axmzar F x) = ( f ( x), f ( x), K, f ( )) sujeto a ( x ( 2 x G( x) = ( g ( x), g ( x), K, g ( x)) 0 H( x) = ( h ( x), h ( x), K, h ( x)) = 0 L) ( x x U) 2 2 N Fgura : Problema de Optmzacón ultobjetvo. R S

3 Sendo Ω la regón factble del problema, determnada por las restrccones mpuestas por las funconesg y H, la solucón al OP corresponde a un vector de varables de decsón x = x, x, K, x ) Ω, cuyos valores representen un compromso adecuado para las funcones ( 2 N f f * f, 2, K,. Consderando el caso de mnmzacón de funcones, un punto x es llamado óptmo de * * Pareto s x Ω se cumple que f ( x ) = f ( x ) {,..., } o para al menos un valor de f ( x) > f ( x ). Esto sgnfca que no exste un vector factble que sea mejor que el óptmo de Pareto en una funcón objetvo sn ser peor en los valores de alguna de las restantes funcones. Asocada a esta defncón se ntroduce la relacón de domnanca, un orden parcal entre solucones del OP; un vector w = ( w, w2, K, wn ) domna a otro v = ( v, v2, K, vn) (se nota w p v) s w v {,..., } {,..., } / w < v. Dado que dferentes valores de las varables representan dferentes compromsos entre los valores de las funcones, la resolucón de un OP no se concentra en hallar un únco valor solucón, sno en hallar un conjunto de solucones no domnadas, de acuerdo a la defncón presentada anterormente. El conjunto de solucones óptmas del OP está compuesto por los vectores factbles no domnados, se le denomna conjunto óptmo de Pareto y queda defndo por * P = { x Ω / x' Ω f ( x') p f ( x) }. La regón de puntos defnda por el conjunto óptmo de Pareto en el espaco de valores de las funcones objetvo se conoce como frente de Pareto. Formalmente, el * FP = u = ( f ( x), f ( x), K, f ( ))/ P * x x. frente de Pareto está defndo por { } 2 III. ALGORITOS EVOLUTIVOS PARA OPTIIZACIÓN ULTIOBJETIVO La complejdad nherente de los OPs plantea un dfícl reto para los algortmos cláscos como las técncas enumeratvas o métodos de búsqueda local, basados en gradentes o que utlzan técncas determnístcas greedy, branch & bound, etc. Estos métodos tradconales exgen elevados costos computaconales para resolver OPs complejos, sobre espacos de solucones de dmensones elevadas. En este contexto, las técncas heurístcas estocástcas se han propuesto como alternatvas para alcanzar solucones aproxmadas de buena caldad en tempos de cómputo razonables. Dentro de esta categoría, las técncas de computacón evolutva se han manfestado como métodos robustos y efectvos para resolver los OPs y se han popularzado a consecuenca de su éxto. Los Algortmos Evolutvos para Optmzacón ultobjetvo (OEAs) surgen como una extensón de los EAs para problemas monoobjetvo, utlzando conceptos relaconados con el tratamento de funcones multmodales. Esta seccón ntroduce los EAs y sus varantes aplcadas a la resolucón de OPs, examnando el algortmo NSGA-II. Se presentan las deas sobre la aplcacón de técncas de paralelsmo a los EAs, y se resumen brevemente las propuestas exstentes de paralelsmo aplcadas al algortmo NSGA-II. A. Algortmos Evolutvos Los EAs basan su funconamento en la smulacón del proceso de evolucón natural de los seres vvos (Goldberg, 989). Conssten en una técnca que aplca operadores estocástcos sobre un conjunto de ndvduos la poblacón con el propósto de mejorar su ftness, una medda relaconada con la funcón objetvo del problema. Cada ndvduo representa una solucón potencal del problema, codfcada de acuerdo a un esquema de representacón. La poblacón se genera aleatoramente, y evolucona aplcando teratvamente operadores de reproduccón: recombnacones de ndvduos cruzamentos y modfcacones aleatoras mutacones. La evolucón es guada por una estratega de seleccón de los ndvduos más adaptados a la resolucón del problema, de acuerdo a sus valores de ftness.

4 B. Algortmos Evolutvos para Optmzacón ultobjetvo La capacdad de los EAs para resolver problemas con objetvos múltples fue sugerda en 967 por Rosenberg, pero recén en 984 Schaffer presentó el prmer OEA. A partr de 990 se realzaron numerosas propuestas de OEAs, formándose una comundad de nvestgadores en el área que trabaja actvamente en la actualdad (Coello et al, 2002).. Al trabajar sobre un conjunto de solucones, los EAs son capaces de resolver problemas con objetvos múltples. En cada ejecucón los EAs hallan un conjunto de solucones aproxmadas al frente de Pareto, mentras que los algortmos tradconales sólo generan una solucón por ejecucón. Además, los EAs son menos sensbles a la forma y contnudad del frente de Pareto y permten abordar problemas de grandes dmensones. Un OEA debe dseñarse para lograr dos propóstos smultáneamente: aproxmarse al frente de Pareto y mantener la dversdad de las solucones, muestreando adecuadamente el espaco de solucones para no converger a una solucón únca o a una seccón del frente. La Fgura 2 presenta los propóstos de un OEA, donde se ha marcado con la regón celeste (grs) el espaco de funcones objetvo de un problema hpotétco, mentras que la línea gruesa roja (oscura) representa al frente de Pareto. El mecansmo evolutvo permte lograr el prmer propósto, mentras que para preservar la dversdad los OEAs aplcan técncas empleadas tradconalmente por los EAs en la optmzacón de funcones multmodales (nchos, sharng, crowdng, etc.). f2 Aproxmarse al frente de Pareto Obtener dversdad a lo largo del frente de Pareto f Fgura 2: Propóstos de un Algortmo Evolutvo para Optmzacón ultobjetvo. La Fgura 3 presenta un esquema genérco para un OEA. Es posble observar dos operadores característcos de un OEA, que no aparecen en un EA monoobjetvo: el Operador de dversdad que aplca una técnca para evtar la convergenca puntual a un sector del frente de Pareto y un procedmento para Asgnar ftness que brnda mayor chance de perpetuarse a ndvduos con mejores característcas, consderando los valores de las funcones objetvo del problema y eventualmente una métrca utlzada para evaluar la dversdad de solucones. Incalzar(Poblacon(0)); generacon = 0 mentras (no CrteroParada) hacer Evaluar(Poblacon(generacon)) Operador de dversdad(poblacon(generacon)) Asgnar ftness(poblacon(generacon)) Padres = Seleccon(Poblacon(generacon)) Hjos = Operadores de Reproduccon(Padres) NuevaPop = Reemplazar(Hjos,Poblacon(generacon)) generacon ++ Poblacon(generacon) = NuevaPop retornar ejor Solucon Hallada Fgura 3: Esquema de un Algortmo Evolutvo para Optmzacón ultobjetvo.

5 C. El Algortmo NSGA-II El algortmo NSGA-II (Deb et al, 2000) fue propuesto para resolver tres aspectos fuertemente crtcados en el algortmo NSGA orgnal (Srnvas y Deb, 994): la ausenca de eltsmo, el ordenamento no domnado, y la dependenca del parámetro σ de sharng. La Fgura 4 ofrece un esquema del NSGA-II, presentando sus característcas prncpales: el ordenamento no domnado eltsta usando una poblacón auxlar, que reduce la complejdad de los chequeos de domnanca de O(P 3 ) a O(P 2 ), sendo el número de funcones objetvo y P el tamaño de la poblacón; la preservacón de dversdad calculando dstancas de crowdng y la asgnacón de ftness que se basa en rangos de no domnanca, ncorporando los valores de dstanca de crowdng usados para evaluar la dversdad. Incalzar(Poblacon(0)); generacon = 0 mentras (no CrteroParada) hacer Evaluar(Poblacon(generacon)) R = Padres Hjos Frentes = Ordenamento No Domnado(R) NuevaPop = ; = mentras NuevaPop + Frentes() szepop Calcular Dstanca de Crowdng (Frentes()) NuevaPop = NuevaPop Frentes() ++ Sortng por Dstanca (Frentes()) NuevaPop = NuevaPop Frentes()[:(szepop - NuevaPop ) Hjos = Seleccon y Reproduccon(NuevaPop) generacon ++ Poblacon(generacon) = NuevaPop retornar ejor Solucon Hallada D. Algortmos Evolutvos Paralelos Fgura 4: Esquema del algortmo NSGA-II. Las técncas de paralelsmo se aplcan a los EAs para mejorar su efcenca computaconal y proporconar un mecansmo dferente de exploracón (Cantú-Paz, 200). Dvdendo la poblacón en elementos de procesamento, los algortmos evolutvos paralelos (peas) permten acelerar la resolucón de problemas que motvan el uso de poblacones numerosas o múltples evaluacones de funcones objetvo con costo computaconal elevado. Asmsmo, los peas ntroducen un modelo de evolucón dferente, que permte explotar la búsqueda smultánea sobre poblacones dstrbudas o estructuradas espacalmente. La organzacón de la poblacón consttuye el prncpal crtero utlzado por los nvestgadores para clasfcar los modelos de peas, destacándose tres grandes famlas: peas maestro-esclavo, que dstrbuyen la evaluacón de la funcón de ftness, mantenendo la evolucón panmíctca característca de los modelos secuencales. peas de poblacón dstrbuda, que trabajan con subpoblacones (slas) restrngendo las nteraccones sólo entre ndvduos de la msma sla. Un operador de mgracón ntercamba ndvduos entre slas, ntroducendo una nueva fuente de dversdad. peas celulares, que poseen una estructura espacal subyacente a la poblacón y un modelo de propagacón de característcas de ndvduos (dfusón), que sgue las dreccones defndas por la topología de conexón de elementos de procesamento. Estos modelos tenen dferentes varantes, y exsten modelos híbrdos que combnan las característcas de dos o más de los modelos de la categorzacón general presentada. En la últma década, los peas se han popularzado por su efcenca computaconal y aplcabldad para la resolucón de problemas en dversas áreas (Alba y Tomassn, 2002).

6 E. Algortmos Evolutvos Paralelos para Optmzacón ultobjetvo (poeas) Exsten pocas propuestas de paralelsmo aplcado a OEAs, y en general su alcance es lmtado (Coello et al., 2002). La referenca nmedata es el artículo de Veldhuzen et al. (2003) donde se exponen detalles de dseño, mplementacón y testeo de poeas. Al momento de escrbr este artículo, el autor tene conocmento de cuatro antecedentes de aplcacón de paralelsmo a varantes del algortmo NSGA. Dos de ellas proponen versones paralelas modelo maestro-esclavo aplcadas a fludodnámca, una tercera corresponde a un modelo de poblacones dstrbudas con dvsón de domno y la restante propone un modelo de slas aplcado a un problema de dseño de redes de comuncacones confables. äknen et al. (996) propuseron un modelo maestro-esclavo del NSGA, mplementado utlzando la bbloteca de pasaje de mensajes PI, para evaluar efcentemente costosas funcones de ftness en un problema de dseño de perfles aerodnámcos. Los autores susttuyeron la ruleta por el torneo como método de seleccón y modfcaron el mecansmo de sharng por una varante denomnada tournament slot sharng, que fja al parámetro σ un valor relatvo a un slot del torneo; e ncorporaron eltsmo, perpetuando los ndvduos no domnados en cada generacón. Se reportan ejecucones sobre un IB SP2 con 8 procesadores modelo 390, presentando buenos valores de efcenca, aunque el tempo total de ejecucón de una optmzacón resulta, aún para el modelo paralelo, excesvamente alto. Al resolver otro problema de dseño aerodnámco, arco et al. (999) propuseron una estratega de paralelsmo en dos nveles para el NSGA, que dstrbuye el cálculo de flujos Euleranos en la funcón de ftness. Los autores reportan tempos razonables para la resolucón del problema sobre un equpo SGI Orgn 2000 con 8 procesadores R0000 a 95 hz, pero no realzan comparacones de efcenca contra modelos serales. La propuesta de domnanca guada por dstrbucón de Deb et al. (2002) plantea una búsqueda concurrente usando dvsón de domno en el NSGA-II. Los autores sugeren guar la búsqueda a dferentes seccones del frente de Pareto transformando los objetvos medante una suma ponderada que modfca el concepto de domnanca y permte que los procesos se enfoquen en dferentes regones de búsqueda. Asmsmo, se ntroduce un operador de mgracón para posbltar la cooperacón entre procesos. Se reportan buenos resultados en cuanto a cobertura del frente de Pareto, y muy buenos resultados respecto a la efcenca, logrando speedup superlneal en el conjunto de problemas de prueba estudados. Recentemente, Duarte et al. (2003) propuseron un modelo de subpoblacones sobre una varante del NSGA potencada con eltsmo, aplcado a un problema de dseño de redes de comuncacones donde la complejdad computaconal está dada por las smulacones necesaras para estmar la confabldad de la red. Los autores confrman la ventaja de utlzar el paralelsmo, aunque reportan que la versón paralela del NSGA no logró superar la caldad de resultados obtendos por la versón paralela del algortmo SPEA con eltsmo. Las técncas de procesamento paralelo han sdo aplcadas a otros OEAs, pero tomando en cuenta que en general los problemas teórcos abordados no requeren grandes esfuerzos computaconales, el área ha susctado una atencón lmtada para los nvestgadores. IV. UNA VERSIÓN PARALELA DEL ALGORITO NSGA-II La dea del trabajo consstó en aplcar un modelo de paralelsmo al NSGA-II, tratando de smplfcar el dseño del algortmo paralelo. La únca modfcacón sgnfcatva realzada sobre el mecansmo evolutvo de la versón seral del NSGA-II consste en trabajar con subpoblacones e ntroducr un operador de mgracón. Esta seccón presenta los detalles de dseño e mplementacón de la versón paralela dseñada.

7 A. odelo de paralelsmo Se propuso trabajar sobre el modelo de slas presentado en la Fgura 5. Seleccongracon determna la polítca para selecconar los ndvduos Emgrantes a ntercambar con otra sla durante el proceso de gracón, aplcado asncróncamente de acuerdo a un grafo que conecta las slas medante un anllo undrecconal. Los ndvduos Inmgrantes susttuyen a ndvduos de la poblacón destno de acuerdo a una polítca de reemplazo determnada. Incalzar(Poblacon(0)) generacon = 0 mentras (no CrteroParada) hacer Evaluar(Poblacon(generacon)) Operador de dversdad(poblacon(generacon)) Asgnar ftness(poblacon(generacon)) Padres = Seleccon(Poblacon(generacon)) Hjos = Operadores de Reproduccon(Padres) NuevaPop = Reemplazar(Hjos, Poblacon(generacon)) generacon ++ Poblacon(generacon) = NuevaPop S (Condcongracon) Emgrantes = Seleccongracon(Poblacon(generacon)) Inmgrantes = gracon(emgrantes) Insertar(Inmgrantes, Poblacon(generacon)) retornar ejor Solucon Hallada Fgura 5: Esquema de un Algortmo Evolutvo ultobjetvo Paralelo de Poblacón Dstrbuda. Cada sla evolucona hasta cumplrse el crtero de parada y luego envía sus ndvduos no domnados a una sla dstnguda. Esta sla receptora aumenta dnámcamente el tamaño de su poblacón y aplca el mecansmo evolutvo durante un número reducdo de generacones extra, potencando al algortmo dstrbudo con una nteraccón panmíctca que mejora la convergenca aumentando el número de puntos no domnados globales y mejora la dstrbucón, al calcular dstancas de crowdng sobre la poblacón global. Se estudaron las ventajas de utlzar la nteraccón panmíctca, concluyéndose que con un número reducdo de generacones se logran sgnfcatvas mejoras en el número de puntos no domnados. El modelo se desarrolló sobre la versón.2 de la mplementacón PICH de la bbloteca de desarrollo de programas paralelos y dstrbudos PI (PI Forum, 2003). B. Operadores El proceso de mgracón se dseñó sguendo las sugerencas de Veldhuzen et al. (2003). Se adoptó una estratega de seleccón eltsta aleatora de ndvduos no domnados para los emgrantes, ntentando obtener una presón de seleccón relatvamente alta. Se trata de permtr la evolucón sem-ndependente de las slas, evtando la convergenca haca un msmo conjunto de puntos no domnados, permtendo la cooperacón medante el ntercambo ocasonal de ndvduos ben adaptados para la resolucón del problema. La polítca de reemplazo sgue tambén una estratega eltsta, susttuyendo ndvduos domnados de la poblacón destno por los nmgrantes arrbados. Tomando en cuenta que para problemas contnuos smples las slas obtenen rápdamente un conjunto de puntos no domnados que abarca el total de la poblacón, se mplementó una estratega de reemplazo complementara que utlza como crtero la dversdad, elmnando ndvduos con valores de dstanca de crowdng bajos, consderando que exstrán otros ndvduos que representen su seccón del espaco fenotípco. Las mgracones se ejecutan asncróncamente, ya que las operacones de envío y recepcón de ndvduos no bloquean la ejecucón del algortmo, permtendo la evolucón contnua en cada sla. De acuerdo a la capacdad de procesamento, el ntercambo puede realzarse en dferentes generacones en las dstntas slas.

8 V. PROBLEAS DE PRUEBA Y ÉTRICAS UTILIZADAS Esta seccón presenta el conjunto de problemas de prueba y las métrcas utlzadas para evaluar la caldad de las solucones y la efcenca de la versón paralela dseñada. A. Problemas de Prueba El conjunto de problemas de prueba ntentó abarcar una ampla gama de característcas. En general se trabajó con problemas contnuos de dos objetvos, aunque se ncluyeron casos dscretos y con más objetvos, con frentes de Pareto convexos y cóncavos, conectados y desconectados, con seudofrentes y con dferentes dstrbucones de puntos y restrccones. Se consderaron doce problemas ben conocdos en el área, propuestos para evaluar poeas por Coello et al. (2002) y Deb (200): los ses problemas ZDT (Ztzler, Deb y Thele, 2000), que poseen frentes de Pareto conocdos y permten evaluar la caldad de las solucones obtendas, el problema SCH2 (Schaffer, 984), el problema KUR (Kursawe, 990) y problemas con restrccones: el problema CEX de Deb (200), el problema BNH (Bnh y Korn, 997) y los problemas VNT2 y VNT3 (Vennet et al., 996). B. étrcas de desempeño y efcenca Exsten varas métrcas para evaluar la caldad de los resultados de OEAs (Coello et al, 2002). En este trabajo se utlzan cuatro métrcas, tomando en cuenta los propóstos de los OEAs, la convergenca al frente de Pareto y la dstrbucón de puntos no domnados: El número de puntos no domnados dferentes que halla el algortmo (lo notaremos q). Dstanca generaconal (GD): dstanca promedo entre los puntos del frente de Pareto calculado por el algortmo y el frente de Pareto real, presentada en la Ecuacón 6.. Spacng: evalúa la dstrbucón de puntos no domnados en el frente de Pareto calculado por el algortmo (Schott, 995), presentada en la Ecuacón 6.2. Spread: propuesta por Deb (2000), utlza como nformacón adconal la dstanca a los "extremos" del frente de Pareto para tener una medda más precsa de la cobertura del frente. Su expresón se presenta en la Ecuacón 6.3. q GD = ( q = FP d ) Ecuacón 6.: dstanca generaconal. Spacng = q q = ( d Ecuacón 6.2: spacng d ) 2 Spread = k= d e k k= + d e k q = d d + q. d Ecuacón 6.3 : spread. Fgura 6: Defncón de las métrcas utlzadas para evaluar la caldad de solucones. En la Fgura 6, d es la dstanca en el espaco de las funcones objetvo entre la solucón -ésma FP del frente de Pareto calculado y el punto más próxmo del frente de Pareto real. d es la dstanca entre la solucón -ésma y su vecno más próxmo, la solucón j-ésma, en el frente de Pareto j j calculado: d = mn j ( f ( x) f ( x) f ( x) f ( x) ), =,..., q, d es el promedo de los d. e k d es la dstanca entre el extremo del frente de Pareto real, tomando en cuenta la k-ésma funcón objetvo, y el punto más cercano del frente calculado. Para evaluar la efcenca computaconal, se adopta el crtero habtual de determnar el speedup, que mde la relacón entre el tempo medo de ejecucón del algortmo ejecutando sobre un procesador y el tempo medo de ejecucón utlzando m procesadores, y el valor de efcenca, medda que normalza el valor del speedup.

9 VI. RESULTADOS Esta seccón presenta los expermentos comparatvos realzados para evaluar la versón paralela, los resultados obtendos y su análss. Para cada problema consderado se realzaron 30 ejecucones ndependentes de las versones paralela y seral del NSGA-II, sobre un cluster de computadores Intel Pentum IV 2.4 GHz, cada uno con 52 b RA y sstema operatvo SuSE Lnux 8.0, conectados por LAN Fast Ethernet a 00b/s. A. Ajuste de operadores y parámetros Tomando en cuenta el elevado número de expermentos necesaros, no se realzaron expermentos para hallar una confguracón óptma de los parámetros del algortmo seral para cada problema, n se realzaron pruebas para determnar la nfluenca de los operadores cuando exsten alternatvas, utlzándose cruzamento y mutacón smple. Los expermentos fueron realzados con la confguracón de parámetros que se ofrece en la Fgura 7. Los valores de probabldad fueron tomados de Deb et al. (2000) quen los utlza para la resolucón de cnco problemas ZDT y problemas con restrccones, entre otros. Aún cuando la confguracón paramétrca no sea la adecuada para obtener los mejores resultados para todos los problemas consderados, los valores usados nfluencarán tanto al modelo secuencal como el paralelo, sn afectar de sobremanera el estudo comparatvo. Se usó un crtero de parada de esfuerzo prefjado, trabajando con un valor de tope alto (500 generacones), tratando de dar al algortmo mayor capacdad de alcanzar buenos resultados. Incalmente se propuso trabajar con poblacones de 00 ndvduos. La escasa complejdad de las funcones objetvo en los problemas consderados, llevó a ncrementar a 400 ndvduos para poder aprecar la mejora de efcenca computaconal del modelo paralelo. Parámetro Valor Probabldad de cruzamento 0.9 Probabldad de mutacón /N sendo N el número de varables en codfcacón real o el largo de strng en codfcacón bnara Índce de dstrbucón para cruzamento real 20 Índce de dstrbucón para mutacón real 20 Crtero de parada Tamaño de la poblacón Número de subpoblacones utlzadas Frecuenca de mgracón Indvduos partcpantes en la mgracón Topología de mgracón Generacones de nteraccón panmíctca 500 generacones 400 ndvduos Parámetros Adconales para la Versón Paralela 4 subpoblacones 25 generacones 5 ndvduos Anllo undrecconal 0 generacones Fgura 7: Parámetros utlzados. Se realzaron expermentos no formalzados sobre los problemas ZDT y ZDT2 para determnar valores adecuados para los parámetros del modelo de mgracón, observándose que la escasa complejdad de los problemas nvolucrados hacía a los resultados poco sensbles a varacones en los parámetros. Se decdó utlzar un valor alto para la frecuenca de mgracón (25 generacones) y un valor pequeño para el número de ndvduos ntercambados en cada mgracón (5 ndvduos). Dsmnuyendo la frecuenca de mgracón o ncrementando el número de ndvduos partcpantes, la versón dstrbuda tendría un comportamento smlar al modelo seral, stuacón que se ntentó evtar. Asmsmo, se nvestgó la nfluenca del número de generacones de nteraccón panmíctca en los resultados, mostrando que un valor bajo de 0 generacones era sufcente para lograr un número de puntos no domnados smlar a la obtenda por el algortmo seral.

10 B. Resultados La Fgura 8 resume los resultados de los modelos seral y paralelo del NSGA-II sobre los problemas consderados. Se presentan valores promedo y desvacón estándar de tempo de ejecucón (segundos), puntos no domnados dferentes, dstanca generaconal, spread y spacng, obtendos con una poblacón de 400 ndvduos y un crtero de parada de 500 generacones, valores que permten aprecar las ventajas de efcenca del algortmo paralelo. El cálculo de la dstanca generaconal asume conocdo el frente de Pareto real para cada problema. En los casos de los problemas ZDT, SCH2, CEX y BNH donde exste una expresón analítca para el frente de Pareto, se generó el frente usando una dscretzacón de paso 0-5. Para el resto de los problemas, se utlzaron como valores deales del frente de Pareto los calculados por Nebro et al. (2003) medante una técnca enumeratva basada en evaluar los puntos del espaco dscretzado. Para el problema ZDT5, con espaco de búsqueda dscretzado en valores enteros de la funcón f no se calcularon las métrcas de dversdad. En este problema, el número de puntos no domnados dferentes es en sí msmo una medda de que tan ben se muestrean los 3 puntos del frente de Pareto dscreto. Prob. SCH2 ZDT ZDT2 ZDT3 odelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo edda Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Tempo (s.) Puntos ND GD.E-4 0.E E-6 4.E-6 8.E-6 2.E-6 4.E-6.E-6 4.E-6.E-6 24.E-6 9.E-7 24.E-6 9.E-7 Spread Spacng Prob. ZDT4 ZDT5 ZDT6 KUR odelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo edda Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Tempo (s.) Puntos ND GD 56.E-6 52.E-6 8.E-5 68.E Spread Spacng Prob. CEX BNH VI2 VI3 odelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo Seral Paralelo edda Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Prom Desv Tempo (s.) Puntos ND GD 43.E-5 79.E-6 59.E-5 84E Spread Spacng Fgura 8: Resultados obtendos sobre los problemas de prueba. El algortmo paralelo obtuvo resultados de smlar caldad que el algortmo seral, tanto al evaluar la aproxmacón al frente de Pareto como la dversdad de las solucones fnales. Para el problema ZDT5 el algortmo paralelo alcanzó mejores valores de dstanca generaconal, mentras que para los problemas ZDT6 y KUR el algortmo paralelo alcanzó mejores valores de dstrbucón de puntos. Por otra parte, para el problema ZDT4 el algortmo paralelo alcanza un peor valor de dstanca generaconal que el algortmo seral.

11 La Fgura 9 presenta resultados de expermentos con poblacones de 00 ndvduos y 200 generacones, para los problemas en que el modelo paralelo mejoró los resultados del seral. El algortmo paralelo obtuvo una sgnfcatva mejora en la dstanca generaconal para el problema ZDT5, donde el algortmo seral obtene sempre el msmo conjunto de solucones no domnadas, y por ello el msmo valor de dstanca generaconal. El algortmo paralelo mejora la dversdad, alcanzando un número mayor de puntos no domnados, que le permte dsmnur en un factor de 0 la dstanca promedo al Frente de Pareto. En el problema ZDT6 ambas versones del algortmo obtenen el msmo número de puntos no domnados, pero la versón paralela muestrea cas de forma "perfecta" el frente de Pareto. Problema odelo edda Tempo (s.) Puntos ND GD Spread Spacng ZDT5 Seral Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est ZDT6 Seral Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est KUR Seral Promedo Desv. Est Paralelo Promedo Desv. Est Fgura 9: Resultados para los problemas donde la versón paralela obtuvo mejores resultados que la seral. En lo referente a la efcenca computaconal, la Fgura 0 presenta los tempos de ejecucón (segundos) y valores de speedup y efcenca obtendos para cada problema. SCH2 ZDT ZDT2 ZDT3 ZDT4 ZDT5 ZDT6 KUR CEX BNH VI2 VI3 odelo Tempo Seral (s) Tempo Paralelo (s) Speedup edda Efcenca Fgura 0: Evaluacón del desempeño. Puede aprecarse la notora mejora de efcenca del modelo paralelo utlzando 4 procesadores. Se obtuvo un speedup superlneal para todos los casos estudados, salvo en los problemas ZDT y ZDT5 donde el comportamento correspondó a un speedup lneal. Estos resultados confrman la argumentacón de Deb et al. (2002), quenes reportan alcanzar speedup superlneal al aplcar paralelsmo por dvsón de domno al NSGA-II, aunque no se presentan resultados numércos de evaluacón de efcenca. En nuestro entorno de trabajo, este comportamento ha sdo ratfcado al aplcar el modelo paralelo a un problema de dseño de redes de comuncacones confables (Nesmachnow, 2004). VII. CONCLUSIONES Y TRABAJO FUTURO Este trabajo ha presentado una versón paralela del algortmo evolutvo para optmzacón multobjetvo NSGA-II. La propuesta se basó en aplcar un paradgma de dseño sencllo para el algortmo paralelo, modfcando mínmamente la estructura del algortmo. Se utlzó un modelo de slas con mgracón, para tomar ventajas de nfraestructuras dsponbles para resolver complejos problemas de optmzacón con altos requermentos de cómputo. La versón paralela del algortmo se evaluó sobre doce problemas estándar, cotejando su caldad de resultados y su efcenca computaconal con los obtendos por la versón seral.

12 El modelo paralelo mostró muy buenos resultados de efcenca computaconal, alcanzando valores de speedup superlneal al trabajar con poblacones numerosas. Respecto a la caldad de resultados, solamente en tres problemas se detectaron mejoras sgnfcatvas sobre los resultados del algortmo seral, en especal al utlzar poblacones de tamaño medano y un número no elevado de generacones como crtero de parada. Las líneas de trabajo futuro comprenden el estudo de otras estrategas de paralelsmo, que permtan abordar problemas más complejos dvdendo el espaco de búsqueda o medante la evolucón heterogénea de las slas, y el análss de polítcas de mgracón y reemplazo, profundzando el estudo de la nfluenca de la estratega de centralzacón utlzada. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Alba E., Tomassn. (2002). Parallelsm and Genetc Algorthms, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton 6(5), pp Bnh T., Korn U. (997), ultobjectve Evoluton Strategy for Constraned Optmzaton Problems, Proceedngs of the IACS World Congress on Scentfc Computaton, odellng and Appled athematcs, pp Cantú-Paz E. (200). Effcent and Accurate Parallel Genetc Algorthms. Kluwer Academc Publshers. Coello C., Van Veldhuzen D., Lamont G. (2002). Evolutonary Algorthms for Solvng ult-objectve Problems. Kluwer Academc Publshers. Deb K., Agrawal S., Pratab A., eyarvan T. (2000). A Fast Eltst Non-Domnated Sortng Genetc Algorthm for ult-objectve Optmzaton: NSGA-II, Proceedngs of the Parallel Problem Solvng from Nature VI Conference, pp Deb K. (200). ult-objectve Optmzaton Usng Evolutonary Algorthms, Wley, New York. Deb K., Zope P., Jan A. (2002). Dstrbuted Computng of Pareto-Optmal Solutons Usng ult-objectve Evolutonary Algorthms. Report No , Kanpur Genetc Algorthms Laboratory, Indan Insttute of Technology Kanpur. Dsponble en Duarte S., Barán B., Benítez D. (2003). Telecommuncaton Network Desgn wth Parallel ultobjectve Evolutonary Algorthms. IFIP/AC Latn Amerca Networkng Conference, pp -. Goldberg D. (989). Genetc Algorthms n Search,Optmzaton and achne Learnng. Addson-Wesley. Kursawe F. (99). A varant of evoluton strateges for vector optmzaton, Parallel Problem Solvng from Nature, Lecture Notes n Computer Scence vol. 496, pp , Sprnger-Verlag äknen R., Nettaanmäk P., Peraux J., Sefrou., Tovanen J (995). Parallel genetc soluton for multobjectve DO. Parallel CFD'96 Conference, pp , Elsever. arco N., Lanter S., Desder J.., Péraux J. (999), A Parallel Genetc Algorthm for ult-objectve Optmzaton n Computatonal Flud Dynamcs, Evolutonary Algorthms n Engneerng and Computer Scence, pp Wley, Chchester, UK. PI Forum (2003), PI (essage Passng Interface) Forum Home Page. Dsponble en línea Consultada dcembre Nebro A., Alba E., Luna F. (2003), Optmzacón ultobjetvo y Computacón Grd, Actas del Tercer Congreso Español de etaheurístcas, Algortmos Evolutvos y Bonsprados, pp Nesmachnow S. (2004), Una Versón Paralela del Algortmo Evolutvo para Optmzacón ultobjetvo NSGA-II y su Aplcacón al Dseño de Redes de Comuncacones Confables. Reporte Técnco 04-03, Insttuto de Computacón, Facultad de Ingenería, Unversdad de la Repúblca, Uruguay. Schaffer D. (984). ultple Objectve Optmzaton wth Vector Evaluated Genetc Algorthms. PhD thess, Vanderblt Unversty, USA. Schott J. (995). Fault Tolerant Desgn Usng Sngle and ultcrtera Genetc Algorthm Optmzaton. aster's thess, assachusetts Insttute of Technology, USA. Srnvas N., Deb K. (994), ultobjectve Optmzaton Usng Nondomnated Sortng n Genetc Algorthms. Evolutonary Computaton 2(3), pp Van Veldhuzen D., Zydalls J., Lamont G. (2003), Consderatons n engneerng parallel multobjectve evolutonary algorthms. Evolutonary Computaton 7(2), pp , IEEE Press. Vennet, R., Fontex, C., arc, I. (996), ultcrtera Optmzaton Usng a Genetc Algorthm for Determnng a Pareto Set, Journal of Systems Scence 27(2), pp Ztzler E., Deb K., Thele L. (2000), Comparson of ultobjectve Evolutonary Algorthms: Emprcal Results. Evolutonary Computaton 8(2), pp