Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso Universidad de Las Palmas de Gran Canaria

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Departamento de Métodos Cuantitativos en Economía y Gestión Matemáticas III Ejercicios propuestos y Soluciones Curso 2010/2011

2 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso Tema 1 1. Determinar el interior, el exterior y la frontera de los siguientes conjuntos: (a) A = { (x, y) IR 2 /1 < (x 4) 2 + (y 4) 2 < 4 }. A es la corona circular de radio interior 1 y exterior 2, centrada en el punto (4, 4). La frontera la forman las dos circunferencias, el interior es todo A (por tanto A es abierto) y el exterior, el resto de puntos de IR 2. Gráficamente : (b) B = { (x, y) IR 2 /1 < (x 4) 2 + (y 4) 2 < 4 } {( 4 + 1, ), ( 4 + 2, )}. 2 2 Se trata de la misma corona circular anterior, aadiendo los dos puntos de la frontera. Ambos puntos no son aislados, y el resto es igual que el anterior. (c) C = { (x, y, z) IR 3 /0 < x + 1 < 2, 0 < y + 1 < 2 }. Ahora se trata de una región en IR 3 que es el producto cartesiano de las regiones x ( 3, 1), y ( 3, 1) es decir, el rectángulo que excluye las rectas interiores definidas por x = 3, x = 1 e y = 3, y = 1. Es inmediato entonces que Int(B) = B. La frontera de B está formada las aristas exteriores y las rectas interiores.

3 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso (d) D = { (x, y, z) IR 3 /2 x 1 < 4, 1 < y 2 < 3, 2 < z 1 6 }. Ahora se trata del producto cartesiano de cada uno de los intervalos que definen las variables x, y y z. Como tenemos algunas desigualdades del tipo y otras <, tenemos que el conjunto no es abierto ni cerrado. El interior es Int(D) = { (x, y, z) IR 3 /2 < x 1 < 4, 1 < y 2 < 3, 2 < z 1 < 6 } y la frontera cada una de las aristas del cubo. (e) E = { (x, y) IR 2 /(x 1) 3 < y }. La representación gráfica del conjunto E corresponde a:

4 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso F r(d) = {(x, y)/(x 1) 3 = y = x 2 }, Int(D) = D (por tanto, E es abierto) (f) F = { (x, y) IR 2 / x 1 2 < (y + 1) 3}. Tenemos: Es inmediato deducir que F es abierto ya que la desigualdad es estricta. La frontera es la curva obtenida con la expresión en igualdad. (g) G = { (x, y) IR 2 /1 x 4, 0 y 3 }. Trivialmente, nos encontramos ante un rectángulo de base el intervalo [1, 4] y de altura el intervalo [0, 3]. Luego: Int(G) = {(x, y)/1 < x < 4, 0 < y < 3} F r(g) = L 1 L 2 L 3 L 4 Observamos que L 2 = {(x, y)/x = 4, 0 y 3} F.

5 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso (h) H = { (x, y) IR 2 /1 < x y z }. Teniendo en cuenta que para cualquier número real u se cumple que: u 2 = u 2, se tiene que H es justamente la corona circular en el espacio IR 3 de radio 1 y 5, y centro ( 1, 1, 1), incluyendo la frontera externa. H no es abierto ni cerrado, pero si acotado. (i) I = { (x, y) IR 2 /x 0, y 0, x y, x y 2}. Análogo a los anteriores. Gráficamente: { } (j) J = (x, y) IR 2 /x 2 + y2 2 = 1. Recuerda que la ecuación genérica de una elipse tiene una expresión del tipo: x2 a 2 + y2 b 2 = 1. Se trata de una elipse con a = 1, b = 1 :

6 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso F r(j) = I Int(J) =, (J es cerrado) (k) K = { (x, y) IR 2 /(x + 1) 2 (y 4) 2 < 1 }. Recuerda que la ecuación genérica de una hipérbola tiene una expresión del tipo: x2 a 2 y2 b 2 = 1. En este caso, tenemos una hipérbola con a = b = 1 con centro ( 1, 4). El conjunto J es gráficamente: Todos los puntos son interiores, Int(K) = K. La frontera es justamente la hipérbola F r(k) = {(x, y)/(x + 1) 2 (y 4) 2 = 1} (l) Tomando exponenciales en la desigualdad que se mantiene pues la función exponencial es creciente, tenemos que para pertenecer al conjunto L, observamos que se trata de la corona circular: 1 (x 1) 2 +(y 3) 2 4. Dicha corona incluye a las fronteras, por tanto es cerrado y acotado (es decir, compacto). 2. ( ) Indicar la opción correcta. El conjunto es: A = { (x, y, z, t) IR 4 /4 (x 1) 2 + y 2 + z 2 + (t 1) 2 9 },

7 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso (a) compacto. (b) acotado pero no cerrado. (c) cerrado pero no acotado. A es la corona circular de IR 4 de centro (1, 0, 0, 1) y radios 2 y 3, respectivamente, incluyendo las fronteras, por tanto se trata de un conjunto cerrado y obviamente acotado (es decir, compacto). La respuesta correcta es (a). 3. Probar que el conjunto A = { (x, y, z) IR 3 /4 < x 2 + y 2 + (z 1) 2 9 }, no es cerrado ni abierto. A es la generalización de la corona circular de centro (0, 0, 1) y radios 2 y 3. Obviamente, no es cerrado pues no incluye la parte de la esfera interior. F r(a) = {(x, y, z) /x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 4} {(x, y) /x 2 + y 2 + (z 1) 2 = 9} Y tampoco es abierto pues A tiene más puntos que sólo su interior: Int(A) = {(x, y, z) /4 < x 2 + (y 2) 2 + (z 1) 2 < 9} 4. Probar si la intersección y unión finita de conjuntos abiertos en IR n es o no un abierto. Decidir si ocurre lo mismo para conjuntos cerrados. Veamos la intersección. Se trata de ver si la intersección de dos abiertos de IR n es también abierto. En efecto, sean A y B IR n abiertos y consideremos x A B = x A y x B, ahora bien como A es abierto se tiene que: Análogamente para B: ε > 0 : B( x, ε) A. δ > 0 : B( x, δ) B Pues bien, supongamos que ε < δ entonces B( x, ε) A pero también se cumplirá que B( x, ε) B luego B( x, ε) A B y por tanto A B es abierto pues todos sus puntos son interiores. Análogamente se procedería si δ < ε sin más que intercambiar un radio con el otro. Veamos qué ocurre para la unión de conjuntos abiertos. Se trata de probar por tanto que dado cualquier x A B, éste es un punto interior de A B (o equivalentemente, que δ > 0 : B( x, δ) A B).

8 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso En efecto, sea x A B, entonces x A ó x B. Supongamos que x A. Como A es abierto, δ > 0 : B( x, δ) A. Pero A siempre está incluido en A B, luego: B( x, δ) A B, y por tanto x es un punto interior de A B. Análogamente se probaría si suponemos x B. Luego A B es también abierto. 5. Probar las siguientes propiedades topológicas para subconjuntos de IR n : Nota: en general cuando se quiere probar la inclusión de un conjunto en otro, se trata de tomar un elemento arbitrario del primer conjunto y ver que también está en el segundo. (a) A B = Int(A) Int(B). Si A B, entonces dado x A x B. Veamos si Int(A) Int(B). En efecto, sea x Int(A) ε > 0 : B(x, ε) A, pero como A B, entonces ε > 0 : B(x, ε) A B, es decir, ε > 0 : B(x, ε) B, luego: x Int(B). (b) Int(A B) = Int(A) Int(B). Veamos que Int(A B) = Int(A) Int(B). Procedermos por doble inclusión. Sea x Int(A B) ε > 0 : B(x, ε) A B ε > 0 : B(x, ε) A ɛ > 0 : B(x, ε) B luego x Int(A) y x Int(B), es decir: x Int(A) Int(B) Con esto hemos probado la inclusión: Int(A B) Int(A) Int(B). (1) Veamos ahora la otra inclusión. Sea x Int(A) Int(B) x Int(A) ε 1 > 0 : B(x, ε 1 ) A x Int(B) ε 2 > 0 : B(x, ε 2 ) B. Sea ε = min(ε 1, ε 2 ) se tiene entonces que: B(x, ε) A y B(x, ε) B B(x, ε) A B x Int(A B). Luego hemos probado que: Int(A) Int(B) Int(A B) (2) De (1) y (2) se deduce que: Int(A B) = Int(A) Int(B) (c) Int(A) Int(B) Int(A B). Sea x Int(A) Int(B) x Int(A), entonces puede ocurrir: ε > 0 : B(x, ε) A x Int(B) δ > 0 : B(x, δ) B

9 Soluciones a los ejercicios propuestos: Matemáticas III. Curso Sea ρ = max(ε, δ), se tiene que B(x, ρ) A ó B(x, ρ) B luego B(x, ρ) A B x Int(A B). Y por tanto hemos probado que: Int(A) Int(B) Int(A B). (d) Proponer un ejemplo en el que no se cumpla la inclusión anterior pero en sentido contrario. Es decir, dar un ejemplo de A y B donde Int(A B) Int(A) Int(B). Qué podemos decir de la siguiente igualdad: Int(A B) = Int(A) Int(B)? ( ) En efecto el recíproco del apartado anterior no es cierto en general. Para ello, utilizaremos un contraejemplo. Sean A = ( 1, 0], B = (0, 1], entonces A B = ( 1, 1] luego: Int(A B) = ( 1, 1).Y sin embargo, para cada conjunto se tiene: Int(A) = ( 1, 0), Int(B) = (0, 1) Int(A) Int(B) = ( 1, 1) {0} y por tanto: Int(A B) Int(A) Int(B). Es decir, en general no se cumple la igualdad: Int(A B) = Int(A) Int(B).