se destinan para siembra de papa, entonces debe utilizarse por lo menos

Transcripción

1 25 x + 30 (50- x)~ 28 (50) O sea, 25x + 30(50 - x) ~ 28(50), es decir, - 5x ~ Por tanto, loo ~ 5x, es decir, x ~ 20. En definitiva, debe mezclar por lo menos 20 c.c. de la solución al 25% con = 30 c.c. de la del 30% de ácido para obtener 50 c.c. de la nueva solución de a lo más 28% de ácido. c) Sea x c.c. de la solución al 25%. Entonces debe mezclarlos con 80 - x c.c. de la solución al 30% de ácido. Corno la nueva solución debe estar entre el 27% y el 29% de ácido, entonces debe satisfacerse: 27 (80)~ 25 x+ 30 (80-x)~ 29 (80) loo 100 O sea, 2160 ~ 25x x ~ 2320, es decir, ~ -5x ~ -80. De donde, 80 ~ 5x ~ 240, esto es, 16 ~ x ~ 48. Así que debe tomar entre 16 c.c. y 48 c.c. de la solución al 25% de ácido para obtener 80 c.c. de una nueva solución que esté entre el 27% y 29% de ácido. Ejemplo 6: Un agricultor dispone de 200 m 2 de terreno para sembrar fríjol y papa. Si por cada 2 m 2 utilizados para sembrar papa debe utilizar por lo menos 3 m 2 para el sembrado de fríjol Cuántos m 2 a lo más deberá destinar al sembrado de papa? (supóngase que usa todo el terreno) Solución: Sea x la cantidad de m 2 destinados a la siembra de papa. Entonces debe utilizar x m 2 en la siembra de fríjol. Ahora bien, si por cada 2 m 2 utilizados para sembrar papa, debe utilizar por lo menos 3 m 2 para sembrar fríjol, entonces si usa, por ejemplo, 2(2) m 2 para sembrar papa, deberá utilizar por lo menos 3(2) m 2 para sembrar fríjol. Si utiliza 2(3) m 2 para sembrar papa, deberá utilizar por lo menos 3(3) m 2 para sembrar fríjol. En general, si utiliza x = 2(n) m 2 para sembrar papa, deberá utilizar por lo menos 3(n) m 2 para sembrar fríjol. Por tanto, debe satisfacerse que 200-2n ~ 3n, o sea que, 200 ~ 5n, es decir, n ~ 40, Y en consecuencia, 2n ~ 80. Esto es, x ~ 80. Luego debe destinar a lo más 80 m 2 para la siembra de papa. O también, se puede razonar así: Como x m 2 se destinan para siembra de papa, entonces debe utilizarse por lo menos 3(;) m 2 para el sembrado de fríjol (ya que por cada 2 m 2 destinados a la papa se deben uti lizar 3 m 2 para el fríjol, y, x es el número total de veces que se destinan 2 m 2 para la 2 papa). y puesto que x es el número total de m 2 destinados para el fríjol, entonces debe satisfacerse x ~ 3(;). Luego 400-2x ~ 3x, y así 400;:: 5x, esto es, x ~ 80. En definitiva, el agricultor debe destinar a lo más 80 m 2 a la siembra de papa. 12

2 RAÍZ CUADRADA Sea a E R. Todo número x E R tal que x 2 =a se dice una raíz cuadrada real de a. Ahora bien, si a < O no existe x E R tal que x 2 = a, así que cuando a < O, a no tiene raíces cuadradas reales. Por otra parte, si a:2: O puede probarse que existe una única raíz cuadrada no negativa (mayor o igual que cero). de a, la cual se denota Fa o a 1/2. como x 2 = (- X)2 Ahora, para todo x E R, entonces el número - Fa es también una raíz cuadrada de a. Es fácil verificar que si a:2: O, a tiene únicamente dos raíces cuadradas que son Fa y - Fa, las cuales son iguales a O cuando a = O. a:2:0y xer, X 2 = a si y sólo si x = Fa o x = -Fa Se tiene entonces que: para Ejemplo: 19 = 3 (la raíz cuadrada positiva de 9 es 3), pues 3 2 =9 y 3> O. Por otra parte, las raíces cuadradas de 9 son 3 y - 3. Observaciones:. í2 d'. ( 2 'VI 2 No siempre.., a - = a,es ecif, no siempre a) = a. En efecto, si a > O, Fa2 = a > pues a es la raíz cuadrada positiva de a 2. Sin embargo, si a < O,. ;;z =-a, pues ahora - a es la raíz cuadrada positiva de a 2, ya que (- a f = a 2 y - a > O. Es claro que si a = O, entonces Fa2 = a, pues JO = O. En resumen Fa2 ={a s~ a:2: O - a SI a < O Ejemplo: ~(-3Y = 19 = 3 = -(-3), así que ~(_3)2 = -(-3). No siempre,j;.b =FaJb. En efecto, si a y b son no-negativos, se da que,j;.b = FaJb, pero para a y b negativos, ab > O y por tanto,j;.b está definido, pero no lo están Fa ni Jb; en tal caso la igualdad en consideración no es válida. 13

3 Ejemplo: ~(-4X-9) = J36 = 6, pero ~ y r-9 no denotan números reales, luego no es válido escribir ~(- 4X- 9) = r-4 r-9. Si a > O Y b > o, entonces. ;;+b *- Fa +.Jb. Ejemplo:.J = 5 Y.J9 +.J16 = = 7. TALLER NÚMERO 1 1. Probar que no existe un número real x tal que 1+ x 2 = O. 2, Efectuar las siguientes operaciones: 3 i) ") ,- 111 ''') ~ -; ~. iv) ~ + 2 v)-+- vi) ) 4, Comprobar las primeras cuatro igualdades en la lista dada de productos notables. S, Efectuar las operaciones que se indican a continuación: i) (2a + 3b)2 ii) (x + y + zy iv) (3x - 2y? vi) (a - b + C)2 - vii) (ax + by Y(ax - by)2 viii) (3a b )(9a 2 + 3ab + b 2 ) x) (~ \... 2b~' ~J2 x) _2 4x x - 1 _ x ' / 4 x+l x+l x+l x+l 1 ') (x + 1 x- 1)/( 1 1) xii) a XI X _ 1- x + 1 x x - 1 b+-- ab a+- a-b 14

4 xiii) (1 + a)2 + [1 + a a 1 xiv) 2 1 l-a+--- x x _ x +4 1+a+a 2 1 x x + 1 x+ 2 2a - 3b a - b a - b xv) e 1 + 2c 2c-l 6. Para cada una de las igualdades siguientes, exhibir números reales a, b, e para los cuales no se cumpla: i) _a_=~+~ ii) (a+bt =a- 1 +b- 1 b+c b c iii) (a + b)2 = a 2 + b 2 iv ) (a - b? = a 3 _ b 3 v) a + b =1+ b vi) _a_ =_l_ a a+b l+b 15

5 VALOR ABSOLUTO Definición: Sea x un número real. El valor absoluto de x, que se denota x,es la distancia de x al origen de la recta coordenada. Así por ejemplo: 5 = 5, - 8 = 8. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1. a) x = x si y sólo si x ~ O. b) x = -x si y sólo si x :S O, porque si x:s O, la distancia de x a O es - x. 2. Para cada x E R se cumple que - x :S x :S x. Precisamente de acuerdo con 1.: x = x cuando x ~ O y x < x cuando x < O; - x = x cuando x:so y - x < x cuando x > O. 3. Para cada x E R se tiene que - x x, porque la distancia de x a O es la misma distancia de - x a O. 4. x 2 = X 2 para cada x E R, porque sea que x = x o x = -x, se tiene que al "elevar al cuadrado" el número x se obtiene x 2, ya que x 2 = (- xf. 5. x 2 = X para cada x E R. Es consecuencia de 4. Por ejemplo: = 6. (-7?= 49=7 = -(-7)(aquíx=-7y x 2 =-x). 6. a + b :S a + b para cada a y cada b en R. En efecto: a + b = a + b cuando a y b son del mismo signo: los dos negativos o los dos positivos. Por ejemplo: = 5 + 8,porque = 13, 5 = 5 Y 8 = = - 9 =9, - 7 = 7 Y - 2 = 2, así que = =9 = Por otra parte, a + b < a + b' cuando a y b son estrictamente de signos opuestos, es decir, cuando a > O y b < O o cuando a < O y b > O. Por ejemplo: = - 3 = 3 ; - 8 =8, 5 = 5 y entonces =13. Por tanto = 3 < 13 = ab = a b para cada a y cada b en R. En efecto: ab =ab cuando a y b son del mismo signo y como ab = (- ax- b), entonces a b = ab en estos casos. Por otro lado, ab = -ab cuando a y b son de signos contrarios y como - ab = (- a)b = a(- b), entonces a b = -ab en estos últimos casos. a a 8. = para cada a y cada b en R, con b *- O. b b a a a En efecto: a = a b = b y entonces = b b b b 16