Breve introducción a Matrices

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Valentín Rico Jiménez
hace 5 años
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1 - Introducción Breve introducción a Matrices Def. 1.1 Llamaremos matriz de orden mxn a la disposición en m filas y n columnas de mxn números 1. Observación 1.

1 1 - Introducción Breve introducción a Matrices Def. 1.1 Llamaremos matriz de orden mxn a la disposición en m filas y n columnas de mxn números 1. Observación 1.1 Convendremos que los números a los que hace referencia la definición 2, pertenecen a un cuerpo, en nuestro caso suponderemos que pertenecen a R. Observación 1.2 Notaremos por a i j el elemento de la matriz ubicado en la fila i-ésima y en la columna j-ésima, con 1 i m y 1 j n. De lo anterior deducimos entonces que la representación de una matriz A, será de la forma 3 : A = a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn. Def. 1.2 Diremos que dos matrices mxn, A = (a i j ) y B = (b i j ) son iguales si se cumple que: a i j = b i j i : 1 i m y j : 1 j n Observación 1.3 La igualdad de matrices de igual orden, antes definida, tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva 4. Def. 1.3 Sea A una matriz mxn, definimos: a) Matriz opuesta de A a la matriz mxn A = (a i j ) = ( a i j ) b) Matriz traspuesta de A como la matriz mxn A t = (a ji ) 1 Cuando m = n diremos que la matriz es cuadrada de orden n 2 De ahora en más escalares 3 También a veces escribiremos: A = (a i j ) 4 Este resultado es evidente ya que la igualdad en R tiene esas propiedades

2 Observación 1.4 i) La notación utilizada para representar la matriz opuesta de una matriz A no debe entenderse como ( 1).A ya que hasta el momento no ha sido definido el producto de un número real por una matriz. ii) Si el cuerpo conmutativo al cual pertenecen los elementos a i j de una matriz fuese C, sería pertinente definir matriz conjugada de una matriz A de orden mxn dada 5. Teorema 1.1 i) ( A) = A ii) (A t ) t = A i) de acuerdo con la definición de matriz opuesta de una matriz A dada, tenemos que A = ( a i j ), y aplicando nuevamente la definición y recordando que los a i j R : ( A) = ( ( a i j )) = (a i j ) = A. ii) de igual manera recordando la definición de matriz traspuesta de una matriz A = (a i j ), de orden mxn dada, tenemos que A t = (a ji ) con lo que es inmediato que (A t ) t = (a i j ) = A. Def. 1.4 i) Diremos que una matriz cuadrada A = (a i j ), de orden n es simétrica si y solo si: a i j = a ji con 1 i n y 1 j n ii) Diremos que una matriz cuadrada A = (a i j ), de orden n es antisimétrica si y solo si: a i j = a ji con 1 i n y 1 j n Teorema 1.2 Una matriz A es simétrica si y solo si A = A t. Supongamos primero que A es simétrica, lo que por la definición anterior significa que A es una matriz cuadrada en la que se verifica que a i j = a ji, tenemos entonces que: A t = (a ji ) = (a i j ) = A Supongamos ahora que A = A t, entonces el número de filas es igual al número de columnas, con lo que la matriz A es cuadrada. Por otro lado se cumple que: 5 A = (a i j ), siendo los elementos a i j los conjugados de los elementos a i j de A. A es la notación habitual para la matriz mxn conjugada de la matriz A.

3 a i j = a ji de las dos conclusiones anteriores deducimos que A es una matriz simétrica. Teorema 1.3 Una matriz A es antisimétrica si y solo si A = A t. Por cuenta del lector. Def. 1.5 i) Llamaremos matriz unidad a toda matriz cuadrada de la forma I = (δ i j ) siendo δ i j el δ de Kronecker 6. ii) Llamaremos matriz nula a toda matriz de la forma O = (a i j ) con a i j = 0 i, j. 2 - Suma de Matrices Representaremos por M mxn el conjunto de las matrices de orden mxn. Def. 2.1 Definimos en M mxn XM mxn una función a la que llamaremos suma + : M mxn XM mxn M mxn de forma que para todo par de matrices A = (a i j ) y B = (b i j ) pertenecientes al conjunto M mxn se tiene una matriz C perteneciente a conjunto M mxn definida como: A + B = C = (c i j ) = (a i j + b i j ) Teorema 2.1 La suma de matrices tiene las siguientes propiedades: i) A,B M mxn se tiene que A + B = B + A ii) A,B,C M mxn se tiene que A + (B +C) = (A + B) +C iii) existe una única matriz O M mxn / A M mxn : A + O = A iv) A M mxn existe una única matriz ( A) M mxn / A + ( A) = O Son consecuencia de las propiedades análogas en el cuerpo R. Def δ i j = 0 si i j y δ i j = 1 si i = j

4 Definimos resta de dos matrices A y B pertenecientes al conjunto M mxn como la suma de la primera más la opuesta de la segunda: A B = A + ( B) Teorema 2.2 Sean A,B,C M mxn, entonces A +C = B +C si y solo si A = B A cargo del lector. Del teorema 2.1 deducimos entonces que (M mxn, +) tiene estructura de grupo conmutativo, por lo que sabemos que la ecuación X + A = B tiene solución en (M mxn, +). En efecto, sumando a ambos miembros el opuesto de la matriz A (teorema iv)), tenemos (X + A) + ( A) = B + ( A) aplicando la propiedad asociativa (teorema ii)) en el primer miembro y la definición de resta en el segundo tenemos X + (A + ( A)) = B A por el teorema iii) sabemos que A + ( A) = O, con lo que finalmente queda X = B A Teorema 2.3 A,B M mxn se tiene que: i) (A + B) = ( A) + ( B) ii) (A + B) t = A t + B t i) de acuerdo con la definición, tenemos que: (A + B) = (a i j + b i j ) y como los a i j y los b i j pertenecen a R, se cumple que (a i j + b i j ) = ( a i j ) + ( b i j ) = ( A) + ( B). ii) aplicando la definición tenemos que: (A + B) t = (a ji + b ji ) = (a ji ) + (b ji ) = A t + B t.

5 3 - Producto de un escalar por una matriz Definimos en RXM mxn una función a la que llamaremos producto de un escalar por una matriz. : RXM mxn M mxn de forma que para todo número real λ y para toda matriz A = (a i j ) perteneciente al conjunto M mxn se tiene una matriz D perteneciente a conjunto M mxn definida como: λ.a = D = (d i j ) = (λa i j ) Observación 3.1 i) De acuerdo a la definición anterior de producto de un número real por una matriz y recordando la observación 1.4 es que estamos en condiciones ahora de aceptar que A = ( 1).A para toda matriz A. ii) También es evidente que (1).A = A para toda matriz A. Teorema 3.1 Sean A,B M mxn y λ,µ R entonces se verifica que: i) λ.(a + B) = λ.a + λ.b ii) (λ + µ).a = λ.a + µ.a iii) (λ.µ).a = λ.(µ.a) = µ.(λ.a) λ = 0 iv) λ.a = O o A = O Probemos la proposición directa de la parte vi) ya que la recíproca es evidente utilizando las definiciones correspondientes. Suponemos entonces que λ.a = O y que λ 0, pero como debe cumplirse que λ.a i j = 0 i/1 i m y j /1 j n y como estamos trabajando en el cuerpo de los reales, debe ser a i j = 0 i/1 i m y j /1 j n con lo que entonces la matriz A es la matriz nula, A = O. Supongamos ahora que λ.a = O y que A O con lo que entonces debe existir un elemento al menos de A que no sea igual a cero,sea a rs dicho elemento, con 1 r m y 1 s n pero como λ.a = O todos sus elementos son cero, es decir que λ.a i j = 0 i/1 i m y j /1 j n, en particular debe ser λa rs = 0 y nuevamente como estamos trabajando en R uno de los dos factores debe ser cero, pero a rs no lo es, de dónde se deduce que λ = 0. Observación 3.2 De los teoremas 2.1, 3.1 y de la obsevación 3.1 podemos cocluír que si M mxn es un espacio vectorial real.

6 Ejercicios 1) Dadas las matrices A = ( ) ( 3 9 1, B = ) y C = ( Calcula: a) A + B d) C A g) 3B j) 2A + 5B b) A + B +C e) B C h) 5C k) C A 7B c) A C f ) C B i) 10 1 A l) 3.(C B) + 4.(C A) A 2) Calcula la matriz traspuesta de cada una de las siguientes matrices: A = , B = y C = ) ( )

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