Capítulo 4. Espacios vectoriales Estructuras algebraicas.

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1 Capítulo 4 Espacios vectoriales 4 Estructuras algebraicas En temas anteriores hemos definido matrices y vectores, estudiando algunas de sus propiedades También hemos trabajado con cuerpos de escalares, suponiendo que se trataba de Q, R o C, pero sin dar más detalles Ahora vamos a estudiar con rigor estos conceptos Definiremos algunas de las principales estructuras que se utilizan en álgebra, como son: grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales A continuación nos centraremos en una de las estructuras que se estudian en esta asignatura: los espacios vectoriales Las estructuras algebraicas son conjuntos donde hay definidas ciertas operaciones, que satisfacen unas determinadas propiedades Las operaciones pueden ser de varios tipos Por ejemplo, una operación binaria interna, definida en un conjunto X, es una función que a dos elementos de X (dados en orden), le hace corresponder otro elemento de X Es decir, una función p : X X X Por ejemplo, p podría ser la suma, la diferencia o la multiplicación de números reales Observemos que, en ocasiones (la diferencia de números reales, por ejemplo) el orden en que se den los dos elementos implicados influye en el resultado Cuando se trabaja con una operación interna, se suele utilizar un símbolo, por ejemplo, de manera que el resultado de aplicar la operación a dos elementos, a y b, se escribe a b Un ejemplo típico es el símbolo+para la suma de números En ocasiones, ni siquiera se utiliza símbolo alguno, como en el caso del producto de números, donde ab representa el producto de a y b La primera estructura algebraica que estudiaremos, una de las más básicas y utilizadas, es la de grupo: 7

2 Grupo Sea G un conjunto no vacío, y sea una operación binaria interna definida en G Se dice que (G, ) es un grupo si se cumplen las siguientes propiedades: Asociativa: (a b) c = a (b c), para todo a,b,c G 2 Elemento neutro: existe e G tal que a e = e a = a, para todo a G 3 Elemento opuesto: Para todo a G, existe a G tal que a a = a a= e En un grupo hay dos resultados sencillos de unicidad: El elemento neutro es único Si e,e G verifican la condición de elemento neutro, entonces e e = e, por ser e elemento neutro, pero también e e = e por la misma razón para e Por tanto, e = e Para todo a G, el elemento opuesto es único Si a, a G verifican la condición de elemento opuesto, entonces de la igualdad a a = e, deducimos que a (a a ) = a e = a Por la propiedad asociativa, a (a a )=(a a) a = e a = a, de donde a = a Normalmente, la operación interna será la suma o el producto de elementos En la notación aditiva, el elemento neutro se denota 0, y el elemento opuesto a a se denota a En la notación multiplicativa, el elemento neutro se denota, y el elemento opuesto a a, que en este caso se llama el inverso de a, se suele denotar a, o bien a Un grupo es abeliano o conmutativo si la operación es conmutativa, es decir, si para todo a,b G se verifica a b= b a Ejemplo 4- Algunos ejemplos de grupos son los siguientes: (Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos aditivos (Q\{0}, ), (R\{0}, ) y (C\{0}, ), donde se refiere al producto, son grupos abelianos multiplicativos 8 Álgebra Lineal y Geometría

3 El conjunto de matrices m n con entradas en un cuerpo K (ahora veremos la definición de cuerpo), junto con la suma de matrices, es un grupo abeliano aditivo El conjunto de matrices cuadradas n n no singulares con entradas en un cuerpo K, junto con la multiplicación de matrices, forma un grupo que se llama grupo lineal de orden n sobre K, y se denota Gl(n,K) Este grupo no es abeliano El conjunto de matrices cuadradas n n con entradas en un cuerpo K, y con determinante igual a, junto con la multiplicación de matrices, forma un grupo que se llama grupo especial lineal de orden n sobre K, y se denota SL(n,K) Tampoco es abeliano Los vectores de n coordenadas, con la suma de vectores, forman un grupo abeliano En ocasiones, se define más de una operación interna sobre un conjunto Existen estructuras que dependen de dos o más operaciones Por ejemplo, la más sencilla es la estructura de anillo Usaremos las notaciones tradicionales, + y, para las dos operaciones internas, pero debemos recordar que pueden ser operaciones cualesquiera verificando las condiciones de la definición: Anillo Sea A un conjunto no vacío, y sean +, dos operaciones binarias internas, que llamaremos suma y producto, definidas en A Se dice que (A,+, ) es un anillo, si se cumplen las siguientes propiedades: (A,+) es un grupo abeliano 2 Propiedad asociativa del producto: (a b) c = a (b c), para todo a,b,c A 3 Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: a (b+ c)=a b+ a c, para todo a,b,c A, (a+ b) c = a c+ b c, para todo a,b,c A Álgebra Lineal y Geometría 9

4 Si se verifica alguna propiedad más, tenemos tipos especiales de anillos: Un anillo (A,+, ), se dice que es unitario, o que tiene elemento unidad, si existe u Atal que a u = u a= a para todo a A Un anillo (A,+, ), se dice que es conmutativo si a b = b a, para todo a,b A Ejemplo 42- Algunos ejemplos de anillo son los siguientes: (Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ) y (C,+, ) son anillos conmutativos Si Z[x] es el conjunto de los polinomios en la variable x, con coeficientes en Z, y definimos naturalmente la suma (+) y el producto ( ) de dos polinomios, entonces (Z[x], +, ) es un anillo conmutativo De igual modo, (Q[x],+, ), (R[x],+, ), y (C[x],+, ) son anillos conmutativos El conjunto de matrices n n con entradas en un cuerpo K, con la suma y el producto de matrices, es un anillo no conmutativo En resumen, si (A,+, ) es un anillo, entonces (A,+) es un grupo, y (A, ) es casi un grupo: sólo le falta el elemento inverso, y puede que el elemento unidad Hay elementos, como el 0 en el caso de los números, que no pueden tener inverso multiplicativo Pero si cualquier otro elemento puede invertirse, es decir, si (A\{0}, ) fuera un grupo, y aún más, un grupo abeliano, entonces estaríamos ante un cuerpo 20 Álgebra Lineal y Geometría

5 Cuerpo Sea K un conjunto no vacío, y sean +, dos operaciones internas, que llamaremos suma y producto, definidas en K Se dice que (K,+, ) es un cuerpo si se cumplen las siguientes propiedades: (K,+) es un grupo abeliano 2 (K\{0}, ) es un grupo abeliano, donde 0 es el elemento neutro de la suma 3 Propiedad distributiva del producto respecto a la suma: a (b+ c)=a b+ a c, para todo a,b,c K Dicho de otra forma, un cuerpo es un anillo conmutativo, con elemento unidad, donde todo elemento no nulo tiene inverso Observemos que la propiedad distributiva solamente tiene una condición Esto es porque el producto es conmutativo, luego la otra condición es consecuencia de la primera Ejemplo 43- Algunos ejemplos de cuerpo son los siguientes: (Q,+, ), (R,+, ) y (C,+, ) son cuerpos Notaremos por Gl(n,K) al conjunto de matrices no singulares y SL(n,K) al conjunto de matrices cuyo determ, no son cuerpos, ya que el producto de matrices no es conmutativo Los cuerpos tienen multitud de propiedades, que no se estudiarán en esta asignatura Los usaremos para definir estructuras más complejas, que generalicen las propiedades de los vectores, que hemos visto en los temas anteriores Para ello debemos definir las operaciones externas Consideremos un conjunto X, y otro conjunto K que llamaremos conjunto de escalares Llamaremos operación binaria externa sobre X, a una función que tome un elemento de Álgebra Lineal y Geometría 2

6 K y un elemento de X, y dé como resultado un elemento de X Es decir, una función: p : K X X Normalmente, a una operación externa de este tipo la denotaremos y la llamaremos multiplicación por escalar; y al resultado de aplicarla a un escalar α Ky a un elemento x X, lo denotaremos α x, o simplemente αx, y lo llamaremos producto de α por x Por tanto, si tenemos un conjunto X y otro conjunto de escalares K, podemos tener operaciones internas en cada uno de esos conjuntos, y operaciones externas entre ellos Usando estas dos posibilidades, se definen los espacios vectoriales Ejemplo 44- Consideremos el conjunto R[X ] 4 de polinomios en R[X ] de grado menor o igual que 4 La operación suma es interna, y dota de estructura de grupo abeliano a este conjunto Una operación binaria externa es el producto por elementos de R Sean p(x ) R[X ] 4, y α R Entonces si p(x )=a 4 X 4 + a 3 X 3 + a 2 X 2 + a X + a 0 definimos α p(x )=(αa 4 )X 4 + (αa 3 )X 3 + (αa 2 )X 2 + (αa )X + (αa 0 ) Sean entonces V y K conjuntos no vacíos, con+una operación interna sobre V, y una operación externa sobre V con conjunto de escalares K, que llamaremos producto por un escalar 22 Álgebra Lineal y Geometría

7 Espacio vectorial Sea K un cuerpo Diremos que (V,+, ) es un espacio vectorial sobre K si se cumplen las siguientes propiedades: (V,+) es un grupo abeliano 2 El producto por escalar verifica las siguientes propiedades, para todo α,β K y para todov,w V : a) (α+β)v= αv+ βv b) α(v+w)=αv+ αw c) α(βv) = (αβ)v d) v =v, donde es el elemento neutro de la multiplicación de K A los elementos de un espacio vectorial los llamaremos vectores, y los escribiremos en negrita En un K-espacio vectorial hay, por tanto, cuatro operaciones: la suma y producto de escalares (operaciones en el cuerpo base), la suma de vectores (operación interna en el espacio vectorial) y el producto de vectores por escalares En las condiciones anteriores, también nos referiremos a V como un K- espacio vectorial Ejemplo 45- Algunos ejemplos de espacios vectoriales son los siguientes: Los vectores columna y fila del producto cartesiano K n que vimos anteriormente forman un espacio vectorial El espacio vectorial de los vectores de n coordenadas sobre un cuerpo K, se denota K n La suma se realiza coordenada a coordenada, y el producto por escalar también Ejemplos de este tipo son R 2 o R 3 Podemos tener K n = { ( ) x x 2 x n, xi K} y K n = x x 2 x n, x i K En el contexto de los espacios vectoriales, no hay diferencia si se trata un elemento de K n como fila o como columna Cuando la distinción entre Álgebra Lineal y Geometría 23

8 un vector fila o un vector columna sea irrelevante, o el contexto sea claro, usaremos la notación K n para designar este espacio vectorial En otros casos, cuando hablemos de coordenadas respecto a una base, usaremos la notación por columnas El conjunto M (m n,k) de las matrices m n con entradas en un cuerpo K, con la suma de matrices y el producto por escalar, forman un espacio vectorial Observemos que el producto de matrices no se utiliza aquí En general, no tiene por qué existir una multiplicación de vectores en un espacio vectorial Dado V un K-espacio vectorial, sea W = {0} el subconjunto de V formado únicamente por el elemento neutro de la suma de V Cualquier operación donde intervenga algún vector da como resultado el único elemento 0, por lo que las operaciones están bien definidas Tiene estructura de espacio vectorial, y lo denominamos espacio vectorial trivial Los conjuntos de polinomios Q[x], R[x] y C[x] son espacios vectoriales con cuerpo de escalares, respectivamente, Q, R y C Los conjuntos Q[x] n, R[x] n y C[x] n, formados por polinomios de grado menor o igual a n, son espacios vectoriales con cuerpo de escalares, respectivamente, Q, R y C El conjunto de soluciones de un sistema lineal homogéneo con coeficientes en un cuerpo K es un espacio vectorial sobre K Sea A m n una matriz, y llamemos V = {v K n Av =0} Vamos a probar que V es un espacio vectorial En primer lugar, veamos la estructura de grupo Es claro que 0 V Seanv,w V Entonces v es solución del sistema, yv+w es un elemento de V, pues A(v+w)= Av+ Aw=0 Así, la operación suma es interna, y hereda las propiedades de grupo de K n El producto por un escalar verifica que A(αv)=αAv= α0=0, y también se verifican las propiedades de la definición de espacio vectorial El cuerpo base es fundamental en la definición del espacio vectorial, por lo que llamaremos habitualmente a V un K-espacio vectorial Por ejemplo, veremos más adelante que no es lo mismo C 2 como C-espacio vectorial que como R-espacio vectorial 24 Álgebra Lineal y Geometría

9 Terminamos esta sección con algunas consecuencias sencillas de la definición de espacio vectorial Propiedades fundamentales de un espacio vectorial Si V es un K-espacio vectorial, se tienen las siguientes propiedades, para todo α,β K y todov,w V : α0 = 0, donde 0 es el elemento neutro de la suma en V 2 0v=0, donde 0 es el elemento neutro de la suma en K 3 Si αv=0 entonces, o bien α=0 o bienv=0 4 ( α)v= α( v)= (αv) 5 Si αv= βv yv 0, entonces α=β 6 Si αv= αw y α 0, entoncesv=w PRUEBA: Probemos en primer lugar la propiedad de cancelación en V como grupo: siv+u=v+w, entoncesu=w En efecto, queda ( v)+v+u=( v)+v+w ( v+v)+u=( v+v)+w 0+u=0+w u=w al sumar el opuesto dev, por la propiedad asociativa, por la definición de opuesto, por la definición de elemento neutro De la igualdad α0=α(0+0)=α0+α0, tenemos que α0 = 0 por la propiedad de cancelación 2 Análogamente, v= v= (+0)v= v+ 0v=v+ 0v Por la propiedad de cancelación, 0v=0 Álgebra Lineal y Geometría 25

10 3 Supongamos que αv=0 Si α=0, ya lo tenemos Si α 0, existe α K y α (αv)=α 0=0 ) Como α (αv)=(α α)v= v=v, tenemos el resultado 4 Veamos en primer lugar que (αv) = ( α)v, es decir, el elemento opuesto de αv es ( α)v En efecto, αv+ ( α)v= (α+( α))v= 0v=0, de donde tenemos esta parte Para la segunda, αv+ α( v)=α(v+ ( v))=α0=0 Los dos últimos apartados son consecuencias inmediatas de los anteriores 42 Dependencia lineal El concepto de combinación lineal ya nos ha aparecido cuando estudiamos las operaciones elementales entre filas y columnas de una matriz Ese caso, que se corresponde con un conjunto K m, lo generalizamos a espacios vectoriales arbitrarios Combinación lineal Sea V un K-espacio vectorial Dados r vectoresv,,v r V, llamamos combinación lineal de estos vectores a cualquier expresión de la forma α v + α 2 v 2 + +α r v r V, donde α,,α r K Ejemplo 42- En el Q-espacio vectorial V = Q[x], consideremos el conjunto de vectores {,+ x,+ x+ x 2 } Entonces p(x)=2 +( 2) (+ x)+3 (+ x+ x 2 )=3+ x+ 3x 2 es una combinación lineal del conjunto dado 26 Álgebra Lineal y Geometría

11 Nota 42 Obsérvese que, por definición, las combinaciones lineales de vectores son finitas Es decir, podemos partir de un conjunto infinito de vectores, pero en la suma solamente intervienen un número finito de elementos Dependencia lineal Sea V un K-espacio vectorial Diremos que un vector v depende linealmente de un conjunto de vectores S V si se puede escribir como combinación lineal de vectores de S Ejemplo 422- En el ejemplo anterior, vemos que el polinomio 3+x+ 3x 2 depende linealmente del conjunto {,+ x,+ x+ x 2 }, pero no depende linealmente del conjunto {, + x} Sea V un K-espacio vectorial Conjunto linealmente (in)dependiente Un conjunto finito de vectores {v,,v r } es linealmente dependiente si la ecuación tiene solución no trivial x v + +x r v r =0 Un subconjunto no vacío S V es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito de vectores linealmente dependiente En caso contrario, decimos que S es linealmente independiente o libre Álgebra Lineal y Geometría 27

12 Un caso extremo de la definición es S =, que lo consideramos linealmente independiente Si el conjunto S tiene un número finito de vectores v,,v r, diremos de forma extendida que los vectoresv,,v r son linealmente dependientes o independientes en lugar de hablar de la dependencia o independencia del conjunto S Ejemplo 423- Consideremos el conjunto S = {u,u 2,u 3,u 4 } de vectores en R 3 dados por 4 4 u = 3,u 2= 5,u 3= 0,u 4= Tratemos de determinar si S es un conjunto linealmente dependiente Planteamos si existen escalares no todos nulos α i,i =,2,3,4 tales que 5 0=α u + α 2 u 2 + α 3 u 3 + α 4 u 4 Se trata entonces de verificar si el sistema lineal homogéneo 4α 4α 2 +α 3 +α 4 = 0, 3α 5α 2 = 0, 2α 2α 2 5α 3 2α 4 = 0, tiene alguna solución no trivial Observemos que la matriz de coeficientes del sistema es , cuyas columnas son los vectores de partida El sistema lo resolvemos mediante eliminación gaussiana: Gauss = E El rango de la matriz de coeficientes es 3, que es menor que el número de incógnitas Por tanto, tiene solución no trivial Al resolver el sistema deducimos una combinación lineal de los vectores de S igual al vector0: 5 8 u u 2+ 0 u 3 + ( )u 4 =0 28 Álgebra Lineal y Geometría 2

13 A partir de los pivotes de la matriz E, deducimos que el conjunto S = {u,u 2,u 3 } es linealmente independiente, pues forman las columnas básicas de la matriz de coeficientes No puede haber dependencia lineal entre estos vectores, pues entonces la tendríamos entre e = 0 0,e 2 = 0 0,e 3 = y es fácil ver que estos vectores forman un conjunto linealmente independiente 0 0, Si el espacio vectorial es K n, podemos usar los cálculos matriciales de los temas anteriores para saber si un conjunto de vectores S = {v,,v r } K n es linealmente dependiente o independiente Dependencia e independencia lineal en K n Sea A S = ( v v r ) Calculamos A S Gauss E Si alguna columna de E no tiene pivote, la columna correspondiente de A S es combinación lineal de las anteriores, y el conjunto S es linealmente dependiente Si todas las columnas de E tienen pivote, entonces S es linealmente independiente En resumen, S es linealmente independiente si y solamente si rango(a S )=r Ejemplo 424- El conjunto S = {u,u 2,u 3 } de R 3 dado por 2 u =,u 2= 0,u 3=, 2 Álgebra Lineal y Geometría 29 2

14 es linealmente independiente, pues 2 A S = Gauss Sin embargo, el conjunto T = {u,u 2,v 3 }, con 5 v 3 = 2 verifica que A T = Gauss , por lo que T es un conjunto linealmente dependiente Relaciones entre dependencia y combinación lineal Un conjunto S de vectores es linealmente dependiente si y solamente si existe un vector v S que depende linealmente de S {v} 2 Si un vectorudepende linealmente del conjunto S y cada vector de S depende linealmente del conjunto T, entonces u depende linealmente de T 3 Sea S V un conjunto linealmente independiente Siv es un vector que no depende linealmente de los vectores de S, entonces S {v} es un conjunto linealmente independiente PRUEBA: 30 Álgebra Lineal y Geometría

15 Supongamos que el conjunto S es linealmente dependiente Entonces existen vectores v,,v r S y escalares α,,α r K, no todos nulos, tales que α v + α 2 v 2 + +α r v r =0 Sabemos que existe al menos un α i 0 por lo que podemos despejar α i v i = α v α i v i α i+ v i+ α r v r, y al ser α i 0, obtenemos v i = α α i v α i α i v i α i+ α i v i+ α r α i v r, que es una expresión de v i como combinación lineal de los demás; por tantov i depende linealmente de los demás Supongamos ahora que existe un vector v que depende linealmente de S v Esto quiere decir que existe una combinación lineal De esta igualdad se obtiene v= β v + +β r v r,v k S {v} β v + + β r v r v=0, que es una expresión del vector0como combinación lineal de los vectores v,,v r,v donde no todos los coeficientes son nulos (el coeficiente de v es ) Por tanto, el conjunto {v,,v r,v} es linealmente dependiente y S también lo es 2 Por hipótesis, podemos escribir u=α v + +α p v p,v i S y además v i = β i, w i + +β i,qi w i qi, para i =,, p,w i j T Consideremos el conjunto de todos los vectoresw i j que aparecen en las expresiones anteriores Los etiquetamos comow,,w q, con índice que no depende de i, y podemos escribir entonces que, para cada i, v i = q β i j w j, j= con la asignación de escalares nulos en las expresiones correspondientes Álgebra Lineal y Geometría 3

16 Ahora sustituimos cadav i por la combinación lineal anterior ( ) p p q u= α i v i = α β i j w j = i= ( q p j= i= α i β i j i= ) } {{ } γ j j= w j = q γ j w j, lo que implica queudepende linealmente de {w,,w q } y, por tanto, de T 3 Supongamos que S {v} es linealmente dependiente Esto quiere decir que existe una combinación lineal no trivial de los vectores de S {v} igual a cero, es decir, se puede escribir j= α u + +α r u r + βv=0,u i S,i =,,r, donde no todos los coeficientes α i,β son nulos Si se tiene que β=0, la expresión anterior sería una combinación lineal de los vectores de S igual a 0, donde no todos los coeficientes serían nulos, lo cual no es posible porque S es un conjunto linealmente independiente Por tanto, β 0 y podemos entonces despejarv en la expresión anterior, obteniendo Así,v depende linealmente de S v= α β u α r β u r 43 Conjunto generador y base En esta sección veremos cómo el concepto de dependencia lineal sirve para expresar los elementos de un espacio vectorial utilizando sólo un conjunto (posiblemente finito) de vectores Conjunto o sistema generador Sea V un K-espacio vectorial Diremos que un conjunto de vectores S es un conjunto o sistema generador de V si todo vector de V puede escribirse como combinación lineal de los vectores de S En este caso diremos que V está generado por S, o por los vectores de S 32 Álgebra Lineal y Geometría

17 Si el espacio V tiene un sistema generador con un número finito de elementos decimos que es finitamente generado Ejemplo 43- En el R-espacio vectorial R[x], el conjunto S = {, x, x 2,} es un conjunto generador de V Ejemplo 432- El conjunto S = {u,u 2,u 3,u 4 }, con u = 2,u 2 = 0,u 3 = 2 2,u 4 = 3 5, es un sistema generador de R 3 Se trata de expresar un vector arbitrario de R 3 como combinación lineal de los elementos de S, esto es, de resolver el sistema de ecuaciones α α 2 α 3 = x u + x 2 u 2 + x 3 u 3 + x 4 u 4 para cualesquiera α,α 2,α 3 R La matriz de coeficientes del sistema es con forma escalonada por filas igual a , 2 E = El rango es entonces igual a tres, por lo que el sistema siempre tendrá solución, independientemente de los valores de α,α 2,α 3 Álgebra Lineal y Geometría 33

18 Sea G = {v,,v s } K n Conjunto generador en K n Construimos la matriz A G = ( v v s ), que es de orden n s Calculamos A G Gauss E una forma escalonada Si E tiene n pivotes, entonces G es un sistema generador En caso contrario, no lo es En resumen, G es sistema generador de K n si y solamente si rango(a G )=n Justifiquemos el método anterior Si G es un conjunto generador, entonces todo vector v K n se expresa como combinación lineal de los vectores de G En particular, cada uno de los vectorese i,i =,,n es combinación lineal de los vectores de G Si lo traducimos a sistemas de ecuaciones, esto implica que cada uno de los sistemas de matriz ampliada (A G e i ) es compatible, de donde rango(a G e i )=rango(a G ),i =,,n Sea T = (A G I n ), que es una matriz n (s+ n) El bloque de la derecha nos dice que rango(t )=n y el razonamiento anterior implica que rango(t )=rango(a G ) Por tanto, rango(a G )=n Recíprocamente, si rango(a G )=n yv K n, la matriz (A G v) es de orden n (s + ) y tiene rango igual a n, de donde v es combinación lineal de los vectores de G Un espacio vectorial puede tener muchos sistemas de generadores diferentes Incluso puede haber sistemas de generadores donde algún vector no sea necesario En el ejemplo anterior, los tres primeros vectores forman un sistema generador de R 3 Esto nos va a llevar al concepto de base Base Sea V un K-espacio vectorial Una base de V es un conjunto S de vectores de V linealmente independiente y generador 34 Álgebra Lineal y Geometría

19 En otras palabras, una base es un sistema de generadores de un espacio vectorial en el que no sobra ningún vector, ya que, al ser linealmente independiente, ninguno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los demás Ejemplo 433- En K n tenemos siempre la base estándar S = {e,,e n }, donde el vectore i es la n-upla que tiene un en la posición i y cero en las restantes S es un conjunto linealmente independiente, pues si consideramos una combinación lineal α e + +α n e n =0, entonces, al identificar componentes de cada lado, nos queda que α = 0,,α n = 0 Además, es un conjunto generador, pues dado v K n de componentes v i, podemos escribir, de manera inmediata, quev= v e + + v n e n Ejemplo 434- El conjunto {, x, x 2,} es una base del espacio vectorial R[x] Observemos que tiene un número infinito de elementos Además, R[x] no puede ser finitamente generado: supongamos que existe un conjunto finito de polinomios g (x), g 2 (x),, g r (x) que sean linealmente independientes y generadores Existe una potencia k de x que es la mayor que aparece en estos polinomios Entonces el polinomio x k+ no se puede expresar como combinación lineal de g (x),, g r (x) Ejemplo 435- El conjunto S = {u,u 2,u 3,u 4 }, con u = 2,u 2 = 0,u 3 = 2 2,u 4 = 3 5, Álgebra Lineal y Geometría 35

20 es un sistema generador de R 3, pero no es una base, pues el vectoru 4 se puede expresar como combinación lineal de los restantes En concreto, u 4 = 6 7 u u u 3 Sin embargo, el conjunto B={u,u 2,u 3 } es base, pues la matriz A B = ( u u 2 u 3 ) tiene una forma escalonada con tres pivotes, es decir, su rango es tres Esto significa que es un sistema generador y los vectores son independientes Nota 43 Las bases infinitas no tienen nada que ver con las combinaciones lineales infinitas En el ejemplo de R[x], no estamos considerando expresiones de la forma c i x i, que es una serie formal i=0 Ahora veamos que un espacio vectorial finitamente generado, que no sea trivial, siempre tiene una base Además veremos cómo se construye, a partir de un sistema de generadores Existencia de base Sea V {0} un espacio vectorial finitamente generado Dado cualquier conjunto finito de generadores G V, existe una base B de V formada por vectores de G PRUEBA: Sea G = {v,,v p } Vamos a dividir el conjunto G en dos subconjuntos Si v 0, lo etiquetamos como básico Si es cero, lo etiquetamos como no básico Para cada i 2, si v i no depende linealmente de los anteriores {v,,v i }, etiquetamos av i como básico y, en otro caso, lo etiquetamos como no básico Sea B el conjunto de todos los elementos básicos Vamos a probar que B es una base de V El conjunto B es no vacío, porque no todos losv i son nulos y el primerv i no nulo será básico Todo vector de V depende linealmente de G, porque es un conjunto generador Por la construcción, todos los elementos de G dependen linealmente de B: los básicos porque están en B y los no básicos por la definición En consecuencia, B es un conjunto generador 36 Álgebra Lineal y Geometría

21 Basta entonces comprobar que B es un conjunto linealmente independiente Sea B= {u,,u s } y consideremos una expresión de la forma Entonces α u + α 2 u α s u s =0 α u + α 2 u 2 + +α s u s = α s u s Por la definición de elemento básico, el vector v s no depende linealmente de {u,,u s }, por lo que α s = 0 Por una repetición de este argumento, llegamos a que α s = 0 y, en general, que todos los α i = 0, i s Por tanto, B es un conjunto linealmente independiente Extracción de una base en K n Sea G = {v,,v p } un sistema de generadores del espacio vectorial K n Formamos la matriz A G = ( v v p ) Calculamos A G Gauss E Las columnas básicas de A G, que se corresponden con las columnas con pivotes de E, forman una base de K n Ejemplo 436- En R 3 consideremos el sistema G = v =,v 2= 0,v 3= 2,v 4=,v 5= 2 2 Mediante la forma escalonada por filas, obtenemos ( )Gauss v v 2 v 3 v 4 v Luego G es un sistema generador de R 3 y B= {v,v 2,v 4 } es una base Álgebra Lineal y Geometría 37

22 44 Dimensión En esta sección definiremos un concepto esencial del álgebra lineal: la dimensión de un espacio vectorial Necesitamos primero el siguiente resultado: Relación entre conjuntos independientes y generadores Sea V un K-espacio vectorial Si G = {u,,u m } es un conjunto generador de V y S = {v,,v n } un conjunto linealmente independiente, entonces n m PRUEBA: Como G es un conjunto generador, podemos escribir cada v i como combinación lineal de los elementos de G: v i = a i u + + a mi u m, a j i K Vamos a probar que si n > m, entonces el conjunto S es linealmente dependiente Partamos de la ecuación x v + + x n v n =0 Sustituimos cadav i por su expresión como combinación lineal de los vectores u j : x (a u + + a m u m )+ +x n (a n u + + a mn u m )=0, Tras agrupar en cadau i, se tiene (a x + +a n x n )u + + (a m x + +a mn x n )u m =0 Una posible solución para esta ecuación se obtendría si cada coeficiente fuera cero, es decir, si a x + a 2 x a n x n = 0 a 2 x + a 22 x a 2n x n = 0 a m x + a m2 x a mn x n = 0 Este sistema homogéneo tiene, como máximo, rango m, ya que tiene m filas Ahora bien, si n > m, el Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que es un sistema compatible indeterminado, es decir, existe una solución para x,, x n donde no todos son cero Esto implica que S es un conjunto linealmente dependiente 38 Álgebra Lineal y Geometría

23 Este resultado implica que una base de un espacio vectorial finitamente generado tiene que contener un número finito de elementos, pues su cardinal está acotado por el de cualquier conjunto generador Identificamos ahora un invariante de un espacio vectorial finitamente generado Teorema de la base Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado Entonces todas las bases de V tienen el mismo número de elementos PRUEBA: Como V es finitamente generado, existe una base del espacio Sean B y B 2 dos bases de V, de m y n vectores respectivamente Como B es un conjunto generador y B 2 es libre, entonces n m por la relación entre conjuntos independientes y generadores (pág 38) Pero como B 2 es un conjunto generador y B es libre, se tiene m n Por tanto, m= n Dimensión de un espacio vectorial La dimensión de un K-espacio vectorial V que denotamos dim(v ), se define como sigue: Si V = {0}, entonces dim(v )=0 Si V es finitamente generado, su dimensión es el número de elementos de cualquier base de V Si V no es finitamente generado, diremos que tiene dimensión infinita, y escribiremos dimv = Ejemplo 44- El K-espacio vectorial K n tiene dimensión n, pues la base estándar tiene n elementos El conjunto de polinomios, K[x], es un K-espacio vectorial de dimensión infinita y una base es {x i i = 0,,2,} Si V es un espacio vectorial que no es de generación finita, no hemos probado la existencia de una base Esto requiere otros métodos que hacen uso del axioma de elección Álgebra Lineal y Geometría 39

24 El conjunto de matrices M (m n,k) es un K-espacio vectorial de dimensión m n Una base está formada por las matrices E (i, j ), que tienen ceros en todas sus posiciones, salvo en el valor en la posición (i, j ) El cuerpo C es un R-espacio vectorial de dimensión 2 El cuerpo R es un Q-espacio vectorial de dimensión infinita La dimensión de un espacio vectorial nos impone restricciones sobre el tamaño que pueden tener los conjuntos libres o generadores Acotación de conjuntos generadores e independientes Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y S= {v,,v m } V Si S es un conjunto generador, entonces m dimv 2 Si S es linealmente independiente, entonces m dimv 3 Si S es un conjunto generador y m = dimv, entonces S es base de V 4 Si S es linealmente independiente, y m = dimv, entonces S es base de V PRUEBA: Sea n = dim(v ) Los dos primeros apartados los conocemos ya Supongamos entonces que S es un conjunto generador con m = dim(v ) Por el teorema de existencia de base (pág 36), podemos extraer una base de S Como el número de elementos de S es igual a la dimensión, no es posible conseguir una base de menor número de elementos, por lo que S es ya una base Supongamos ahora que S es un conjunto linealmente independiente, con m = dim(v ) Siv V no se puede expresar como combinación lineal de S, entonces S {v} es linealmente independiente (relación entre combinación y dependencia lineal, pág 30), lo que implica que m + dimv, que es una contradicción 40 Álgebra Lineal y Geometría

25 Base en K n Sea B= {v,,v n } y A B = ( v v n ) Calculamos A B Gauss E Si E tiene tiene n pivotes, entonces B es una base En caso contrario, no lo es En resumen, B es base de K n si y solamente si rango(a B )=n Al igual que de un conjunto generador podemos extraer una base, un conjunto linealmente independiente se puede ampliar a una base Ampliación a una base Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita n y S = {v,,v m } un conjunto linealmente independiente, con m < n Entonces existen n m vectoresv m+,,v n V tales que el conjunto {v,,v n } es base de V Además, los vectores v m+,,v n pueden tomarse de cualquier base de V PRUEBA: Sea S como en el enunciado, y consideremos B = {u,,u n } una base cualquiera de V Si cada elemento de B dependiera linealmente de los elementos de S, entonces S sería un conjunto generador y, por tanto, base Como m < n, existe un vector de B, supongamos que es u, que no depende linealmente de S Entonces el conjunto S {u } es linealmente independiente Aplicamos este razonamiento a S {u } Si m+ < n, entonces S {u } no es base Por tanto, existe un vector en B que no depende linealmente de S {u } Dicho vector de B no puede ser {u }, porque {u } depende linealmente de S {u } Digamos entonces que es u 2, de donde S {u,u 2 } es linealmente independiente Continuamos este proceso hasta obtener S {u,,u n m }, conjunto linealmente independiente de n vectores, es decir, base de V Álgebra Lineal y Geometría 4

26 Ampliación a una base de K n Sea S= {v,,v m } un conjunto linealmente independiente de K n, con m n, y {e,,e n } la base estándar de K n Formamos la matriz A= ( v v m e e n ) Calculamos una forma escalonada por filas de A, que tiene n pivotes Las columnas básicas de A constituyen una ampliación de S El método anterior es válido, porque los m primeros pivotes están en las m primeras columnas, pues S es un sistema libre, y el resto entre las siguientes columnas Por tanto, las columnas básicas de la matriz A contienen a los vectores de partidav,,v m y todas forman una base de K n que completa a S Ejemplo 442- En el espacio vectorial R 4 consideramos el sistema libre 2 S= v = 2,v 2= 2 Completaremos S con vectores de la base estándar hasta obtener una base de R 4 : /2 Luego una base de R 4 que completa a S es {v,v 2,e 2,e 3 } En el método anterior hemos seleccionado la base estándar de K n, pero es posible realizar el mismo procedimiento con cualquier base que tengamos inicialmente 42 Álgebra Lineal y Geometría

27 45 * Espacio producto El producto cartesiano de espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K es un conjunto que admite la estructura de espacio vectorial Además, en el caso de dimensión finita, podemos calcular una base de este nuevo espacio Espacio producto Dados dos espacios vectoriales V y V 2 sobre un mismo cuerpo K, el producto cartesiano V V 2 = {(v,v 2 ) v V,v 2 V 2 }, tiene estructura de K-espacio vectorial con las operaciones Suma: (u,u 2 )+(v,v 2 )=(u +v,u 2 +v 2 ) Producto por escalar: α(v,v 2 )=(αv,αv 2 ) PRUEBA: Es una sencilla verificación de las propiedades que definen un K- espacio vectorial Dimensión del espacio producto Dados dos K-espacios vectoriales V y V 2 de dimensión finita, el espacio producto V V 2 es un espacio vectorial de dimensión dim(v V 2 )= dim(v )+dim(v 2 ) PRUEBA: Tomemos una base B = {u,,u m } de V y una base B 2 = {v,,v n } de V 2 Se prueba de forma directa que el conjunto de vectores B= ((u,0),,(u m,0),(0,v ),,(0,v n )) es base de V V 2 Por tanto, dim(v V 2 )=m+ n= dim(v )+dim(v 2 ) 46 Coordenadas La principal ventaja de la existencia de bases, en los espacios vectoriales de dimensión finita, es que vamos a poder estudiarlos, sea cual sea el espacio Álgebra Lineal y Geometría 43

28 vectorial, como si fuera K n Esto lo vamos a conseguir mediante el uso de coordenadas Primero necesitamos hacer una precisión Hasta ahora, cuando hablábamos de un conjunto de vectores, o de una base, no nos importaba el orden en que estuvieran los vectores Pero para definir las coordenadas de un vector, es necesario fijar un orden Por tanto, a partir de ahora, cuando escribamos una base en la forma B = {u,,u n } entendemos que hay una ordenación, lo que nos permite hablar del i-ésimo vector de una base Unicidad de la expresión Sea V un K-espacio vectorial finitamente generado y sea B un conjunto de vectores de V Entonces B es una base si y solamente si todo vector de V se puede expresar de una única manera como combinación lineal de los vectores de B PRUEBA: Supongamos que B= {u,,u n } es una base de V Dado un vectorv V, como B es conjunto de generadores, podremos escribirv= α u + +α n u n Si existiera otra forma de expresarv, digamosv= β u + +β n u n, entonces tendríamos 0=v v= (α β )u + +(α n β n )u n Pero como B es un conjunto linealmente independiente, los coeficientes de la expresión anterior deben ser todos nulos Es decir, α i β i = 0, o lo que es lo mismo, α i = β i para todo i =,,n Por tanto, la forma de expresar v como combinación lineal de los elementos de B es única Recíprocamente, sea B = {u,,u n } un conjunto de vectores tal que todo vector v V se puede expresar de forma única como combinación lineal de los vectores de B Por un lado, B es sistema de generadores, puesto que todo vector de V se puede expresar como combinación lineal de B Por otra parte, consideremos el vector 0 V Sabemos que siempre se tiene la combinación lineal obvia: 0=0 u + +0 u n Por la propiedad que le suponemos a B, esta es la única forma de escribir 0 como combinación lineal de los vectores de B Por tanto, B es un conjunto linealmente independiente y es una base 44 Álgebra Lineal y Geometría

29 Coordenadas Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n Dada una base B = {u,,u n }, para todo vector v V, existe una única combinación lineal v= α u + +α n u n Los escalares α,,α n definen, por tanto, al vectorv, y los llamaremos coordenadas dev respecto a B Escribiremos: v B = α α n Cuando la base B esté clara por el contexto, escribiremos simplemente v= Por tanto, no importa cómo sea V como espacio vectorial; si fijamos una base, vamos a poder representar los elementos de V como elementos del conocido espacio vectorial K n Hay que hacer notar unas cuestiones sencillas, pero muy importantes α α n Un vector v K n viene dado por una n-upla de números, que coincide con las coordenadas dev con respecto a la base estándar S de K n Esto es, si v= α v n, entoncesv S = Dada una base B= {u,,u n } de un espacio vectorial V, se tiene que [u ] B = 0 0 puesu i = 0 u + + u i + +0 u n α v n 0,,[u n] B = 0 Álgebra Lineal y Geometría 45,

30 El problema que se plantea ahora es cómo calcular las coordenadas de un vector con respecto a una base dada Para ello, tenemos que resolver un sistema de ecuaciones Cálculo de las coordenadas Sea B = {u,,u n } una base de K n, y v un vector, definido por una n-upla Formamos la matriz A= ( u u n v ) Calculamos A G-J E = ( I n por filas de la matriz A w ) la forma escalonada reducida La última columna de E contiene las coordenadas de v respecto de la base B Ejemplo 46- En R 4, consideremos el vectorv, y la base B={(u,u 2,u 3,u 4 )}, dados por 0 2 v= 3,u =,u 2= 0,u 0 3=,u 4= 4 0 Entonces A= ( u u 2 u 3 u 4 v ) = G-J / / / /3 Luego v B = Álgebra Lineal y Geometría

31 Coordenadas y operaciones con vectores Sea V un K-espacio vectorial de dimensión n y B una base de V Sea c B : V K n la aplicación que a cada elemento de V le hace corresponder el vector de sus coordenadas: c B (v)=v B Entonces c B es una aplicación biyectiva que verifica c B (u+v)=c B (u)+c B (v), 2 c B (αu)=αc B (u), para todo α K yu,v V PRUEBA: La aplicación es biyectiva por el teorema de la unicidad de la expresión (pág 44) Si B= {u,,u n } y entonces de donde v B = a a 2 a n,w B = b b 2 b n, v=a u + a 2 u a n u n,w= b u + b 2 u 2 + +b n u n, v+w= (a + b )u + (a 2 + b 2 )u 2 + +(a n + b n )u n, αv= (αa )u + (αa 2 )u (αa n )u n Por tanto, [v+w] B = a + b a 2 + b 2,[αu] B = αa αa 2 a n + b n αa n Álgebra Lineal y Geometría 47

32 Esta aplicación c B recibe el nombre de morfismo de coordenadas respecto de la base B La encontraremos más adelante como un caso especialmente importante de aplicación entre espacios vectoriales Nota 46 La aplicación c B tiene gran importancia para el cálculo efectivo en espacios vectoriales de dimensión finita Sea S = {v,,v r } un subconjunto finito de vectores de V y B una base cualquiera de V, con dimv = n Entonces es fácil comprobar los siguientes resultados: S es un conjunto linealmente independiente si y solamente si el conjunto {[v ] B,,[v n ] B } es linealmente independiente en K n S es un conjunto generador si y solamente si {[v ] B,,[v n ] B } es un conjunto generador en K n S es una base de V si y solamente si {[v ] B,,[v n ] B } es una base de K n Observemos también que la ampliación de un conjunto linealmente independiente a una base de V se puede hacer a través de K n En resumen, todos los procedimientos que hemos visto en K n pueden ser aplicados a espacios vectoriales de dimensión finita una vez fijada una base 47 Cambio de base Observemos que las coordenadas de un vector de V dependen de la base B que hayamos elegido Si tuviéramos otra base B, las coordenadas del mismo vector serían diferentes Vamos a ver entonces cómo están relacionados estos dos tipos de coordenadas Supongamos que tenemos un espacio vectorial V de dimensión n, y consideremos dos bases de V dadas por B= {u,,u n } y B = {u,,u n } Como B es base, podremos escribir cada vector de B respecto a B, es decir, tendremos: 48 Álgebra Lineal y Geometría

33 u = a u + a 2 u a n u n, [u ] B = u 2 = a 2u + a 22 u a n2 u n, [u 2 ] B = u n = a nu + a 2n u a nn u n, [u n ] B = a a 2 a n a 2 a 22 a n2 a n a 2n a nn,, Definimos la matriz de cambio de base o matriz de paso de B a B como M(B,B)=(a i j )= ( [u ] B [u 2 ] B [u ] B ), es decir, la columna i de M(B,B) contiene las coordenadas del vectoru i de B respecto de la base B Con esta notación, se tiene lo siguiente: Ecuaciones del cambio de base Si las coordenadas dev V respecto a B y B son, respectivamente v B = entonces se tiene la relación x x n yv B = x x n, x = a x + a 2x a n x n, x 2 = a 2 x + a 22x a 2n x n, x n = a n x + a n2x a nn x n, que en forma matricial esv B = M(B,B)v B Álgebra Lineal y Geometría 49

34 PRUEBA: En las igualdades v= x u + + x n u n,v= x u + +x n u n, sustituimos cada u i por a iu + a 2i u a ni u n y agrupamos coeficientes, obtendremos: v= (a x + + a n x n )u + +(a n x + + a nn x n )u n Como la forma de expresarv como combinación lineal de B es única, los coeficientes de esta última combinación lineal han de ser iguales a x,, x n, lo que demuestra el resultado Otra forma de probar la igualdad es mediante el uso del morfismo de coordenadas c B Se tiene que v B = x [u ] B+ + x n [u n ] B = ( [u ] B [u n ] ) B = M(B,B)v B x x n Como es natural, se podían haber invertido los papeles y tendríamos una matriz de cambio de base M(B,B ), cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores de B respecto a la base B El siguiente resultado establece la conexión entre estas dos matrices de cambio de base Inversa de la matriz de cambio de base Dadas dos bases B y B de un espacio vectorial de dimensión n, la matriz de cambio de base M(B,B) es invertible, y su inversa es M(B,B ) PRUEBA: Consideremos la matriz M(B,B ) Para cualquier vector v V, se verifica que v B = M(B,B)v B,v B = M(B,B )v B, de donde v B = M(B,B)M(B,B )v B para todo vectorv V 50 Álgebra Lineal y Geometría

35 Si v recorre todos los vectores de la base B, obtenemos las relaciones en K n dadas por e = M(B,B)M(B,B )e, e 2 = M(B,B)M(B,B )e 2, e n = M(B,B)M(B,B )e n Por tanto, I n = M(B,B)M(B,B ) y tenemos el resultado Cálculo de la matriz de cambio de base en K n Consideremos dos bases B y B del espacio vectorial K n, respecto de la base estándar, y sean A B y A B las matrices de coordenadas respectivas de ambas bases Calculamos la forma escalonada reducida por filas de la matriz ( AB A B ) ( A B A B ) G-J ( I n P ) Entonces la matriz de cambio de base de B a B es M(B,B)=P Ejemplo 47- En R 3 consideramos las bases B={u,u 2,u 3 } y B = {v,v 2,v 3 }, donde 0 u = 0,u 2 = 0,u 3 =,v = 0,v 2 = 0,v 3 = 0 0 Entonces ( AB A B ) = G-J Luego la matriz del cambio de base es 0 /2 M(B,B)= 0 /2 / / /2 0 0 /2 Álgebra Lineal y Geometría 5

36 Usando este tipo de matrices, podremos ver la similitud existente entre los conceptos definidos para espacios vectoriales y los definidos para matrices 52 Álgebra Lineal y Geometría