FISICA COMPUTACIONAL

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1 FISICA COMPUTACIONAL Oscilaciones: del oscilador armónico al oscilador caótico Jhon Fredy Carreño Saavedra Universidad Industrial de Santander Escuela de Física Existen muchas situaciones en las que el movimiento oscilatorio está presente en nuestra vida cotidiana, como el de una masa suspendida en un muelle elástico, el reloj de péndulo, un circuito eléctrico, las oscilaciones en las cuerdas de una guitarra. Sin embargo en la naturaleza las oscilaciones son más comunes de lo que intuitivamente estamos acostumbrados a pensar, por ejemplo en algunos procesos biológicos tales como la respiración, las palpitaciones del corazón, las vibraciones de las moléculas. La evolución temporal de estos sistemas pueden ir de un comportamiento totalmente periódico a un comportamiento irregular, en el que las oscilaciones nunca se repiten (movimiento caótico). Este trabajo pretende dar una visión general del comportamiento de sistemas oscilatorios, de menor a mayor complejidad se empezará con el caso más sencillo el de un oscilador lineal libre. Debido a la existencia de fuerzas de rozamiento que se oponen a su movimiento el oscilador finalmente terminará deteniéndose (oscilador amortiguado). Por lo tanto la existencia de rozamiento hará que las oscilaciones cesen, a menos que haya un aporte externo de energía en cada oscilación que compense las perdidas por rozamiento (oscilador amortiguado forzado). Luego se analizará la no linealidad, en general todo oscilador se comportará de forma no lineal si se aleja lo suficiente de la posición de equilibrio. Mientras que en las oscilaciones lineales la presencia de rozamiento y de una fuerza periódica externa únicamente puede producir una respuesta periódica, en un oscilador no lineal la respuesta puede llegar a ser caótica.

2 Oscilador Armónico Fig. 1 masa m unida a un resorte de constante elástica k. [1] Consideremos el caso de un cuerpo sometido a una fuerza unidimensional F(x), que depende de la posición, expandiendo a F(x) en una serie de Taylor alrededor del punto de equilibrio ( x = 0) se tiene que: F(x) F(0) + x ( df dx ) + 1 x=0 2 x2 ( d2 F dx 2) x3 ( d3 F dx 3) + (1) x=0 x=0 Como x = 0 es el punto de equilibrio, el primer término de la ecuación (1) es cero. Si las oscilaciones en torno a x = 0 son lo suficientemente pequeñas, se puede escoger una aproximación lineal y despreciar los términos de orden superior: F(x) x ( df dx ) x=0 (2) En un sistema como el de la figura 1 en el que un cuerpo de masa m esta unido a un resorte sin rozamiento, la ecuación (2) se traduce en la conocida ley de Hooke: F = kx (3) Donde k representa la constante elástica del resorte y el signo negativo indica que su sentido es opuesto al movimiento de elongación natural. A partir de la segunda Ley de Newton se obtiene la ecuación de movimiento de este oscilador: ma = kx d 2 x dt 2 + ω 0 2 x = 0 (4)

3 Donde, ω 0 2 = k m (5) La solución analítica de la ecuación (4) es de la forma: x(t) = A Cos(ω 0 t + φ) (6) Donde A, ω 0, y φ son constantes que indican respectivamente el desplazamiento máximo de la masa respecto de la posición de equilibrio, la frecuencia propia o del oscilador y una fase inicial. Si solucionamos la ecuación (4) en forma numérica utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden y se procede a graficar esta solución en un espacio de coordenadas x t, el comportamiento periódico del movimiento de la masa m dado por la ecuación (6) describirá la trayectoria representada en la figura 2. Fig. 2 Oscilador armónico con m = 1, k = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales x(0) = 1, v(0) = 0 (curva roja) y x(0) = 0.5, v(0) = 0 (curva verde). Otra forma muy útil de visualizar este movimiento es a través del espacio de fases este nos permite representar el estado del sistema en cada instante. Bajo esta perspectiva se representa la velocidad v del cuerpo en el eje vertical en función de su posición como se observa en la figura 3.

4 Fig. 3 Espacio de fase con m = 1, k = 1 y paso de tiempo dt = Con condiciones iniciales x(0) = 1, v(0) = 0 (curva roja) y x(0) = 0.5, v(0) = 0 (curva verde). Se observa que el espacio de fases del oscilador armónico el cuerpo describirá trayectorias elípticas que dependerán de las condiciones iniciales x(0) = x 0 y v(0) = v 0 como se muestra en la figura 3. Es así ya que en ausencia de rozamiento la energía mecánica total del oscilador debe permanecer constante E = cte. E = 1 2 kx mv2 (7) Esta imagen de trayectorias cerradas es típica en los que se conserva la energía y que en consecuencia se llaman sistemas conservativos. Oscilador Armónico Amortiguado Desde un punto de vista experimental el oscilador armónico es solo una idealización, un sistema oscilante siempre está sometido a algún tipo de fuerza disipativa, cuyo efecto consiste en producir una pérdida de energía hasta que deja de oscilar. Consideremos nuevamente el sistema mostrado en la figura 1 y supongamos que sobre la masa m existe una fuerza proporcional a la velocidad del objeto y en sentido contrario a su movimiento. Como se hizo en el caso anterior se encontrará la ecuación de movimiento utilizando la segunda ley de Newton.

5 ma = kx bv Donde, d 2 x dx + 2γ dt2 tt + ω 0 2 x = 0 (8) 2γ = b m (9) Y ω 0 2 es la frecuencia propia del oscilador sin rozamiento. La ecuación (8) tiene la siguiente solución analítica: x(t) = Ae γt sin(ωt + φ) (10) En el caso que ω 0 2 > γ 2. A es la amplitud máxima y ω 2 = ω 0 2 γ 2, como se puede observar de la solución (10), el efecto del rozamiento es el de reducir exponencialmente con el tiempo la amplitud de la oscilación a cero. Resolviendo la ecuación (8) de forma numérica con el método de Runge-Kutta de cuarto con un paso de tiempo de dt = 0.01 se observa el comportamiento de este oscilador figura 4. Fig. 4 Oscilador armónico amortiguado con ω 0 2 = 1, γ = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales x(0) = 1, v(0) = 0. Recordemos que en el caso del oscilador armónico, las trayectorias en el espacio de fase estaban representadas por elipses cuyo tamaño dependían de la energía. En el caso del oscilador amortiguado la amplitud disminuye a medida que aumenta el tiempo, de modo que intuitivamente podemos visualizar sus trayectorias en el espacio de fase como una

6 circunferencia cuyo radio disminuye en cada oscilación, es decir, estamos ante el caso de una espiral figura 5. Fig. 5 Espacio de Fase con ω 0 2 = 1, γ = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales x(0) = 1, v(0) = 0. Oscilador Forzado En los sistemas amortiguados la amplitud de las oscilaciones va decreciendo con el tiempo, para poder mantenerlas hay que suministrar energía al sistema mediante la aplicación de una fuerza externa que compense las pérdidas de energía. Las oscilaciones se mantienen si se ejerce un impulso en cada periodo. Para un sistema como el de la figura 1 con amortiguamiento y mediante una fuerza periódica de amplitud F 0 y frecuencia ω f la ecuación de movimiento, haciendo uso de la segunda ley de newton, viene dada por: ma = kx bv + F 0 cos(ω f t) d 2 x dx + 2γ dt2 tt + ω 0 2 x = F 0 cos(ω f t) (11) Resolviendo la ecuación anterior en forma numérica y realizando un gráfico de posición vs tiempo se tiene que:

7 Fig. 6 Oscilador forzado con ω 0 2 = 1, γ = 0.1, ω f = 2, F 0 = 0.85 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales x(0) = 1, v(0) = 0. El movimiento resultante se compone de una parte transitoria inicial que depende de las condiciones iniciales y de una parte estacionaria que es independiente de estas y está caracterizada por oscilar armónicamente con la frecuencia ω f. Respecto a la amplitud del estado estacionario no solo depende de la amplitud F 0 de la fuerza externa periódica sino también de la frecuencia ω f. Cuando la frecuencia impulsora es igual o se aproxima a la frecuencia natural de oscilación ω 0 se produce el fenómeno de resonancia. Entonces la amplitud de las oscilaciones del sistema se hace mucho mayor que la amplitud de la fuerza externa impulsora, y la transferencia de energía es máxima. Oscilador libre no lineal Todos los sistemas oscilantes se acercan a la no linealidad si se los aleja suficientemente de la posición de equilibrio. Un ejemplo paradigmático de oscilador no lineal es el péndulo simple, donde una partícula de masa m cuelga de una cuerda inextensible y si masa de longitud l (figura 7). La no linealidad proviene de la fuerza que tiende a llevarlo de nuevo al equilibrio ya que esta no es proporcional al desplazamiento proporcional al desplazamiento θ con respecto a la vertical, si no al sin (θ).

8 Fig. 7 Esquema péndulo simple La ecuación de movimiento para este oscilador es: mlα = mgsin(θ) d 2 θ dt 2 + g sin(θ) = 0 (12) l Para pequeños desplazamiento angulares la ecuación (12) se aproxima a un oscilador armónico, es decir, sin (θ) θ obteniéndose en el espacio de fase las mismas trayectorias cerradas. Solucionando numéricamente la ecuación (12) se obtienen las siguientes trayectorias en el espacio de fase para diferentes condiciones iniciales (figura 8). Fig. 8 Espacio de fase con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales (a) θ(0) = π/8, ω(0) = 0. (b) θ(0) = π/4,ω(0) = 0.(c) θ(0) = π/2, ω(0) = 0. (d) θ(0) = 3π/4, ω(0) = 0. (e) θ(0) = π, ω(0) = 0.

9 Como se observa en la figura 8 para desplazamientos angulares pequeños el oscilador se comporta como un oscilador armónico, pero a partir de un ángulo inicial θ = 3π/4 el oscilador exhibe un comportamiento diferente, graficando la posición vs tiempo, para un ángulo inicial θ = π la ecuación de movimiento (12) tiene la siguiente solución numerica (figura 9) Fig. 9 Oscilador no lineal con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = π, ω(0) = 0. Oscilador amortiguado no lineal Para el sistema mostrado en la figura 6 ahora supongamos que sobre la masa m actúa una fuerza proporcional a la velocidad del cuerpo entonces la ecuación de movimiento se escribe como: d 2 θ dθ + 2γ dt2 dt + g sin(θ) = 0 (13) l En las siguientes graficas se representa la solución numérica de la ecuación anterior, el espacio de fase y se compara con el oscilador amortiguado. (Figura 10 y 11). Como se observa el movimiento del oscilador se afecta debido a que la fuerza restauradora ya no es proporcional a θ sino a sin(θ).

10 Fig. 10 (a) Oscilador amortiguado con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = π, ω(0) = 0. (b) Oscilador amortiguado no lineal con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = π, ω(0). Fig. 11 Espacio de Fase (a) Oscilador amortiguado con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = π, ω(0) = 0. (b) Oscilador amortiguado no lineal con ω 0 2 = 1 y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = π, ω(0).

11 Oscilador amortiguado forzado no lineal Este surge cuando un oscilador no amortiguado es forzado periódicamente. La ecuación de movimiento de un péndulo con tales condiciones se escribe como: d 2 θ dθ + γ dt2 dt + ω 0 2 sin(θ) = 2F 0 cos(ω f t) (14) Fig. 12 Oscilador forzado no lineal con ω 0 2 = 1 γ = 0.01 ω f = 2 Fo = 1.15, y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = 0.001, ω(0) = 0. Fig. 13 Espacio de fase oscilador forzado no lineal con ω 0 2 = 1 γ = 0.01 ω f = 2 Fo = 1.15, y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = 0.001, ω(0) = 0.

12 En el caso de oscilaciones pequeñas (comportamiento lineal) hemos visto que la aplicación de una fuerza externa periódica puede dar lugar a fenómenos de resonancia. Las soluciones de la ecuación (14) van a depender mucho de los parámetros y de las condiciones iniciales. El comportamiento de este oscilador es caótico ya que si cambiamos una de las condiciones que se utilizaron para obtener la figura 9 esto tendrá efectos en el comportamiento del sistema (figura 10). Fig. 14 Oscilador forzado no lineal con ω 0 2 = 1 γ = 0.01 ω f = 3 Fo = 1.15, y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = 0.001, ω(0) = 0. Fig. 15 Espacio de fase oscilador forzado no lineal con ω 0 2 = 1 γ = 0.01 ω f = 3 Fo = 1.15, y paso de tiempo dt = 0.01 Con condiciones iniciales θ(0) = 0.001, ω(0) = 0.

13 Otros osciladores no lineales Oscilador de Van der Pol El oscilador de Van der Pol es un sistema dinámico que incluye retroalimentación positiva y un elemento resistivo no lineal. En su aplicación original, a principios del siglo pasado, el oscilador eléctrico con un elemento no lineal se utilizó como precursor de los primeros radios comerciales. Un circuito de este tipo favorece las oscilaciones pequeñas y amortigua las grandes. En sistema dinámicos, el oscilador de van der Pol es un oscilador con amortiguamiento no lineal. Su evolución temporal obedece a la siguiente ecuación de movimiento. d 2 x dt 2 μ(1 x2 ) dx + x = 0 (15) dt Para diferentes valores de μ se obtienen diferentes resultados, solucionando la ecuación (15) por el método de Runge-Kutta cuarto orden se obtiene lo siguiente: Fig. 16 Oscilador de Van der Pol con μ = 0.2 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0.

14 Fig. 17 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con μ = 0.2 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0. Fig. 18 Oscilador de Van der Pol con μ = 1 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0.

15 Fig. 19 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con μ = 1 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0. Fig. 20 Oscilador de Van der Pol con μ = 5 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0.

16 Fig. 21 Espacio de fase oscilador de Van der Pol con μ = 0.2 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0 Se puede observar que si μ = 0 la ecuación (15) se reduce a la ecuación de un oscilador armónico. Oscilador de Duffing El oscilador de doble pozo es muy referenciado, como ejemplo de oscilador no lineal, en la literatura científica dedicada al estudio del caos, atractores extraños, soluciones no periódicas. Para determinadas soluciones se asemeja a un sistema caótico, sensible a pequeñas perturbaciones externas y por tanto se comporta de forma impredecible, a pesar de estar definido por ecuaciones deterministas, como veremos a continuación El oscilador de doble pozo puede describirse matemáticamente mediante la denominada ecuación de Duffing: d 2 x dx + b dt2 dt x + x3 = Fcos(ωt) (16) A continuación se mostraran tres resultados que se obtuvieron al solucionar numéricamente la ecuación (16) utilizando el método de Runge-Kutta cuarto orden:

17 Fig. 22 Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.22 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0. Fig. 23 Espacio de fase Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.22 con condiciones iniciales x(0) = 0.1, v(0) = 0.

18 En la figura 22 se observa que el sistema oscila describiendo un movimiento periódico. Fig. 24 Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.25 con condiciones iniciales x(0) = 0.2, v(0) = 0.1. Fig. 25 Espacio de fase Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.25 con condiciones iniciales x(0) = 0.2, v(0) = 0.1.

19 En el segundo caso se observa el espacio de fases (figura 25) que el sistema ya ha empezado a tener un comportamiento caótico, las trayectorias, aunque oscilantes en torno a los dos puntos de equilibrio, -1 y 1, ya no son predecibles. Fig. 26 Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.4 con condiciones iniciales x(0) = 0.2, v(0) = 0.1. Fig. 27 Espacio de fase Oscilador de Duffing con b = 0.25 F 0 = 0.4 con condiciones iniciales x(0) = 0.2, v(0) = 0.1.

20 Por último la gráfica 27 no dice que el sistema tiene un comportamiento caótico puro con trayectorias que convergen en unos tramos y divergen en otros de forma completamente impredecible. El salto de soluciones periódicas a no periódicas se realiza de forma abrupta y es difícil de precisar cuando ocurre. Conclusiones En los cursos de física casi siempre se hace mención a los sistemas lineales, tal vez porque se considere que los sistemas no lineales son muy complejos de estudiar, la idea que se ha introducido en este trabajo sirve para estudiar los sistemas no lineales, incluyendo el comportamiento caótico, a través de ejemplos sencillos de movimiento oscilatorio. Bibliografía [1] Página web. [2] P. A Tipler, Física para la ciencia y la Tecnología. Ed. Reverté. Vol. 1, cuarta Edicion, Barcelona, 1999 [3] M. Alonso, y E. J. Finn. Addison-Wesley Iberoamericana, Delaware, [4] R. P. Feyman, R. B. Leighton, y M. Sands, Física. Addison-Wesley Iberoamericana, Vol. 1, Delaware, 1987 [5] Página web. [6] H Gould, J. Tobochnik, y W Christian. An Introduction to computer simulation methods, third edition.