LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS, OPERACIONES Y APLICACIONES

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1 1 INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION NOMBRE ALUMNA: AREA : MATEMÁTICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICAS DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO TIPO DE GUIA: (CONDUCTA DE ENTRADA) CONCEPTUAL - EJERCITACION PERIODO GRADO N 0 FECHA DURACION Enero 19 de UNIDADES INDICADORES DE DESEMPEÑO Soluciona con claridad inecuaciones enteras tanto lineales como polinómicas para reconocer su intervalo solución. Propone alternativas de solución a las actividades planteadas. LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS, OPERACIONES Y APLICACIONES NUMERACIÓN: Sistema de símbolos o signos utilizados para expresar los números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. Nuestro sistema numérico es el arábigo o decimal porque emplea 10 símbolos para representar todos los números: Del 0 al 9. A continuación se presentan los conjuntos numéricos, cuyo conocimiento es indispensable para un dominio básico del álgebra y el cálculo, entre otras. 1. Números Naturales ó enteros positivos: Surgieron por la necesidad que tuvo el hombre de contar. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1, 2, 3,4, 5... Se denominan también números enteros positivos. + Nota: El cero no es natural. + = 2. Números Enteros Negativos: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de expresar situaciones tales como: Temperaturas bajo cero, deudas, posiciones bajo el nivel del mar (10 pies bajo el nivel del mar, por ejemplo). Se denotan por - y están formados por los números inversos aditivos de los naturales. - = {, - 4, - 3, - 2, - 1} 3. Números Enteros: Surgen como la necesidad que vio el hombre de reunir en un solo conjunto a los enteros positivos (naturales) con los enteros negativos y con el elemento cero (elemento neutro: no tiene signo). El conjunto de los números enteros incluye a los naturales,. (Los naturales son un subconjunto de los enteros). = 0 - +, es decir,.

2 2 Obsérvese que los números enteros positivos entre más lejos estén del cero más mayores son en tanto que los enteros negativos entre más cercanos estén del cero más mayores son. 4. Números Racionales: Surgen por la necesidad que tuvo el hombre de tomar algunas partes de la unidad. Se denotan por y son todos aquellos fraccionarios que se pueden expresar de la forma donde p y q son enteros y, como por ejemplo: 3/5, - 2/3. etc. En general: Los números enteros son también racionales porque se les puede colocar como denominador la unidad (1). También se consideran números racionales los siguientes decimales: a. Los decimales finitos: Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales, como por ejemplo: 0.3, 0.13, b. Los decimales infinitos periódico puros (d.i.p.p.): Aquellos que tienen un número infinito de cifras decimales y cuyas cifras decimales se repiten, como por ejemplo: 0.111, , , - 1,7777. c. Los decimales infinitos periódicos mixtos (d.i.p.m.): Aquellos que tienen un número finito de cifras decimales que no se repiten y a continuación un número infinito de cifras decimales que se repiten, como por ejemplo: , , , , Todos estos decimales son racionales porque cada uno de ellos se origina al dividir dos números enteros. La fracción que los origina se denomina fracción generatriz. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros. Por lo tanto se tiene que: ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS Q (RACIONALES). n n a a a a 0 # a. b. c. 0 d. no existe. n b b b b # Números Irracionales: Surgen por la necesidad de encontrar la medida exacta de la hipotenusa de un triángulo rectángulo; así mismo de la necesidad de expresar las raíces inexactas reales. Se denotan por y son todas las raíces inexactas reales y los decimales infinitos no periódicos, como por ejemplo: , π = , = Números reales: Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los irracionales en un solo conjunto. Se denotan por. Por lo tanto se tiene que: = U. 7. Números imaginarios: Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por I. La unidad de los números imaginarios es la raíz cuadrada de 1 y se denota por i, así que: i =. 1

3 3 Debes tener en cuenta que: i = 1 I 2 = -1, I 3 = - i, i 4 = 1. La unión de los números reales con los imaginarios dan origen a los números complejos notados C, así que: C = U I. Observa bien que: N Z Q R C. ALGUNAS OBSERVACIONES IMPORTANTES: Entre los números enteros están los números pares, los impares y los primos. - Números primos: Son aquellos números naturales que tienen sólo dos divisores positivos distintos: el mismo número y la unidad. El número 1 no es primo. - Números compuestos: Son aquellos números que no son primos, es decir, aquellos números que tiene más de dos divisores. Notas: 1. Cuando un número compuesto se expresa o se descompone como el producto de sus factores primos, se dice que el número está factorizado. 2. (-) par = + 3. (-) impar = - ALGUNOS CRITERIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD: 1. Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o en cifra par. Ej.: 26, 2348, Un número es divisible por 3 cuando la suma de las cifras o dígitos que conforman el número es igual a tres o a un múltiplo de 3. Ej.: 36, 123, 3462, 1200, Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ambas cero o ambas múltiplo de 4. Ej.: 3200, 4536, 23460, Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco. Ej.: 250, 34675, Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo. Ej.: 1200, Un número es divisible por 9 cuando la suma de las cifras o dígitos que conforman el número es igual a nueve o a un múltiplo de 9. Ej.: 81, Un número es divisible por 10 cuando termina en cero. Ej.: 20, 350,

4 4 EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Teniendo presente los conjuntos numéricos, llena la siguiente tabla con ó N Z Q Q R I Determina el valor de verdad de las siguientes afirmaciones 1. Todos los números racionales son enteros 2. Todos los números naturales son racionales 3. Los números imaginarios son complejos 4. Todo número real es irracional 5. Los decimales finitos son racionales 6. Todo número real puede expresarse como un cociente de dos enteros. 7. Z U Q = R. 8. 2, es un número racional es un número natural. 3. Clasifica los números que se presentan a continuación en el (los) conjunto (conjuntos) numérico (numéricos) al (a los) que pertenece.

5 5 4. Empleando los diagramas de Venn sombrea la región correspondiente a cada una de las siguientes operaciones: a. AUB b. A B c. B A d. A B e. A U B f. (A U B) C g. A (BUC) h. ( A U C ) B i. ( A B ) U ( C B ) c. El conjunto de los elementos que pertenecen a A y C pero no a B. MI ACTIVIDAD EN CASITA Con base en la teoría vista en clase sobre los conjuntos numéricos, realiza la siguiente actividad: Indico con una equis (X) a cual o cuales de los siguientes conjuntos numéricos pertenecen o no pertenecen los números de la izquierda de la tabla ¾ ½ / /4 Número N Z Q Q I R Aplicación de los conjuntos en la solución de problemas. Para solucionar problemas con conjuntos es importante que te familiarices con el siguiente lenguaje: La expresión A lo sumo significa como máximo La expresión Al menos significa como mínimo La expresión pero no indica diferencia.

6 6 La expresión y significa intersección. La expresión o significa unión. Además, es importante tener en cuenta que la solución de un problema se facilita si realizas el diagrama de Venn que represente la situación. Presta mucha atención a las indicaciones que te dará tu profesor para solucionar los siguientes problemas. a. En una encuesta realizada en un colegio a 150 estudiantes, se hallaron los siguientes resultados: 51 estudian cálculo, 80 química, 85 física, 55 física y química, 9 cálculo solamente, 22 cálculo y química y 15 las tres materias. Realiza el diagrama de Venn y responde: i. Cuántos estudian cálculo y química pero no física? ii. Cuántos estudian sólo una materia? iii. Cuántos estudian a lo sumo dos materias? iv. Cuántos no estudian ninguna de las tres materias? v. Qué porcentaje estudian exactamente una sola asignatura? vi. Qué porcentaje estudian cálculo y física pero no química? b. En el polideportivo de Bello se realizó una encuesta sobre el deporte practicado y se encontraron los siguientes resultados: El 36% practica natación, el 45% tenis, el 10% natación y ciclismo solamente, el 17% tenis y natación, el 30% tenis y ciclismo, el 14% tenis y ciclismo solamente y el 5% no practica ninguno de los tres deportes. Realiza el diagrama de Venn y responde: i. Qué porcentaje de estudiantes practican los tres deportes a la vez? ii. Qué porcentaje practica solamente ciclismo? iii. Qué porcentaje practica al menos dos deportes? iv. Qué porcentaje practican sólo 2 deportes? c. En un grupo de matemáticas de 90 estudiantes se realizaron tres pruebas A, B y C y se obtuvieron los siguientes resultados: 3 estudiantes fracasaron en las tres pruebas, 10 fracasaron en las pruebas A y B, 8 fracasaron en las pruebas B y C, 15 fracasaron en las pruebas A y C, 30 fracasaron en la prueba A, 35 fracasaron en la prueba B y 32 fracasaron en la prueba C. Se pide realizar el diagrama de Venn y responder las siguientes preguntas: i. Cuántos aprobaron las tres pruebas? ii. Cuántos fracasaron exactamente en una prueba? iii. Qué porcentaje fracasó en las pruebas A y C pero no en la B? iv. Cuántos fracasaron en las pruebas B y C pero no en A? v. Qué porcentaje fracasó al menos en dos pruebas? d. El encargado de una biblioteca realiza una encuesta sobre un grupo de 120 estudiantes acerca de los gustos en la lectura y aporta los siguientes datos: 40 leen geografía, 55 leen deportes, 15 leen geografía y deporte, 20 leen geografía y arte, 30 leen deporte y arte, 10 leen los tres temas, 5 no van la biblioteca. PUEDE ASEGURARSE QUE LA ENCUEST ES CORRECTA?. POR QUÉ?. e. En un grupo de preescolar de 37 niños se realizó una encuesta sobre el tipo de elementos empleados para pintar y se encontró que: 11 utilizan papel y marcador, 6 marcador y colores pero no pincel, 5 color solamente, 14 pinceles, 1 pincel solamente, 4 pincel y marcador únicamente. Si el número de niños que no pintan con ninguno de los tres elementos es el triplo de los que pintan con marcador solamente, se pide: a. El número de niños que utilizan exactamente dos elementos para pintar. b. El número de niños que emplean los tres elementos a la vez o ninguno de ellos.

7 7 c. Qué porcentaje de niños emplean exactamente dos elementos para pintar? f. En una investigación se encontró que el 48% del público lee la revista A, el 50% lee la revista B, el 30% lee la revista C, el 20% lee las revistas A y B, el 10% lee las revistas B y C, el 13% lee las revistas A y C, el 13% las revistas A y C, y el 10% no lee ninguna de las tres revistas. a. Qué porcentaje lee exactamente dos revistas? b. Qué porcentaje lee a lo sumo dos revistas? c. Qué porcentaje lee A y B solamente?.