Q II = IR. Ejercicio: Completar el siguiente cuadro colocando o para: Número IN INo Z Q II IR -5 2/3 3 0,

Transcripción

1 Clase-08 Los números Reales: Son los elementos del conjunto IR; conjunto resultante de la unión del conjunto de los números racionales con los números irracionales; es decir: Q II = IR Donde Q IR ; II IR ; luego todo número real posee expresión decimal, la cuál puede ser finita, infinita periódica o infinita semiperiódica en el caso de las racionales o infinita no periódica en el caso de los irracionales. Ejercicio: Completar el siguiente cuadro colocando o para: Número IN INo Z Q II IR 0-5 / 0, ,1 9 Notar que las raíces de índice par con cantidad subradical negativa son las únicas que no poseen solución en el conjunto de los números reales. En resumen: Se tiene que IN INo Z Q IR; además II IR; relaciones que se representan en el siguiente diagrama de Venn: Notar que Q e II forman una partición de IR, ya que Q IR, II IR ; Q II = y Q II = IR. Z INo IN Q II IR Ejercicio: Determine verdadero o falso para: (a) Todo número natural es real. (...) (b) Todo número entero es racional. (...) (c) Hay elementos de Q en II. (...) (d) Existen elementos de Q en Z. (...) (e) Los números primos son reales. (...) (f) Hay números reales que son racionales. (...) (g) Hay números reales que son irracionales. (...) (1)

2 También se da una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta numérica; es decir a todo número real le corresponde un punto sobre la recta numérica y a la vez todo punto de la recta numérica representa a un número real. Ejercicio: Representar en la recta numérica los reales - ; 5 7 ; -1 ; ; 1 ; ; ; ; Se define : IR = { a IR / a > 0 } reales positivos. IR = { a IR / a < 0 } reales negativos. Donde IR = IR {0} IR Además, se tiene que IR es un conjunto denso; es decir entre dos reales distintos existe siempre un nuevo real. Ejercicio: Responder la operatoria indicada, en base a los conjuntos numéricos dados: (a) Q II = (f) IR - IR = (b) IR Q = (c) IR II = (d) IR Q = (e) IR II = (g) IR - IR = (h) IR {0} = (i) IR ( IR IR ) = (j) IR (Q II) = Comparando Reales: Aquí nuevamente tendremos que trabajar con expresiones decimales, preferentemente aproximadas con igual número de cifras decimales, para facilitar las comparaciones. Ejemplos: Recuerde que 7 =, y 6 =, (a) (b) 8 7 (c) ()

3 Operaciones en IR: Al operar dos reales, se debe tener presente que: i) En el caso de los decimales finitos, infinitos periódicos o infinitos ii) semiperiódicos se operan estos con el racional correspondiente o con una aproximación. En el caso de los decimales infinitos no periódicos se operan estos obligadamente aplicando aproximaciones. Ejemplo: Al calcular 0, 6 + =? i) Al calcular 0, 6 + =? ii) Al calcular 0, 6 + =? 6 0,6 9 = 1, ,41 luego 0, ,41 0,6 = 0, ,67 = 1, ,41 luego 0, 6 + 0,67 + 1,41 4, 6,,08 Notar que el primer resultado, por emplear sólo una aproximación es más exacto que el segundo donde se emplean dos aproximaciones; además muchas veces las operaciones en IR entre racionales e irracionales se acostumbra a dejar sólo indicadas, así es normal que alternativas muestren por ejemplo como resultados: Propiedades de las operaciones en IR: Las operaciones en IR cumplen exactamente con las mismas propiedades que cumplieron las operaciones en Q. Limitaciones de las calculadoras: Las calculadoras permiten conocer el valor y efectuar operaciones entre números reales; en forma aproximada en el caso de muchos números racionales e irracionales, dependiendo del número de dígitos del visor de la calculadora o del número de cifras decimales deseado y si esta está programada para redondeo o truncado. Ejemplos: a) Para ; en una calculadora con visor de 10 dígitos: = 0, (Truncado) = 0, (Redondeo) b) Para 5 ; en una calculadora con visor de 10 dígitos: 5 =, (Truncado) 5 =, (Redondeo) ()

4 Valor recíproco: Si a IR y a 0; se tiene que el valor recíproco de este real a es el número a 1. Ejemplos: El valor recíproco de: (a) es: (b)-7 es: (c) 4 es: Del ejemplo (c), se deduce que el valor recíproco de Ejercicio: Determine verdadero (V) o falso (F): a es: b i) El valor recíproco de todo número entero es otro entero. (...) ii) El valor recíproco del valor recíproco de todo real a 0 es el mismo real a. (...) Estimaciones: Una estimación consiste en hacer un calculo con cantidades aproximadas a las reales pero más fácil de operar, así; aunque el resultado a obtener no sea exacto se obtiene una referencia de este. Ejemplo: Supongamos que deseamos calcular: =? Se pueden estimar las cantidades: = luego es un valor parecido a ahora el resultado exacto es: = La estimación es un procedimiento rápido donde debemos tener como criterio para facilitar las cantidades lo ya aprendido en aproximaciones. Ejercicios: 1) Estimar el resultado de las siguientes operaciones: (a),4 57,8 = (b) 704,86 = (c) : 85 = ) Determine por estimación si los siguientes resultados son correctos (V) o (F) : (a) 7,5 9, =.117 (b) 79, : 1,5 =,78 (c) 9,5 : 8, 1 = 108, (...) (...) (...) (4)

5 Problemas sobre regularidades numéricas: En este tipo de problemas se debe identificar un modelo o rutina numérica que partir de casos particulares permita deducir una formula general que facilite la obtención nuevos resultados. Ejemplos: (a) Se construye con fósforos la siguiente secuencia de triángulos: Complete la siguiente tabla con T número de triángulos y F número de fósforos: T F Al generalizar; el número de fósforos F en función del número de triángulos T es: F = Luego, determine el número de fósforos para construir los siguientes números de triángulos: 1 triángulos; es decir si T = 1 F = 5 triángulos; es decir si T = 5 F = Se descubre una rutina, la que permite proyectar cálculos de mayor envergadura. (b) Calcular la cifra de las unidades (última cifra) de las potencias: i) ii) 0 7 (c) Cuál es la cifra número 5 de la expresión decimal de la fracción 5 1? (d) Cuál es la cifra número 100 de la expresión decimal de la fracción 7? (5)

6 Ejercicios Complementarios: 1) Complete las siguientes frases: a) El conjunto Q y el conjunto II son un del conjunto IR. b) La intersección de los conjuntos Q con II es. c) La unión de los conjuntos Q con II es. d) Luego los conjuntos Q e II forman una del conjunto IR. e) Entre números reales y puntos de la recta existe una. f) Las raíces de índice par con cantidad subradical negativa son las que no son elementos del conjunto de los números. ) Cuál(es) de los siguientes números es (son) siempre reales? l) n a con n par y a IR ll) n a con n par y a IR lll) n a con n impar y a IR A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y lll E) Todas. ) Dados los números reales: 17 a = ; b = ; c = 8 la comparación correcta entre ellos es: A) a > b > c B) b > a > c C) c > a > b D) a > c > b E) b > c > a 4) Cuál(es) de los siguientes números es (son) real (es) si x = -5? l) x ll) x lll) x A) Sólo ll B) Sólo l y ll C) Sólo l y lll D) Sólo ll y lll E) Todos 5) Cuál es la ultima cifra del desarrollo de 7? A) 1 B) C) 5 D) 7 E) 9 6) Cuál es la cifra número 50 de la expresión decimal de? 7 A) 1 B) C) 4 D) 5 E) 8 7) La expresión a b es siempre un número real si: (1) a,b IR + y b 0 () a,b IR - y b 0 A) (1) por si sola B) () por si sola C) Ambas juntas, (1) y () D) Cada una por si sola, (1) ó () E) Se requiere información adicional (6)

7 Ejercicios Propuestos: 1) Coloque o para indicar si los números dados pertenecen o no a los conjuntos numéricos indicados: Número Z Q II IR (a) 5 (b) 4 (c) 5 (d) (e) 5 (f) 0, 18 Número Z Q II IR (g) 0,54 (h) 11, (i) 1 (j) 0 (k),14 (l) 16 ) Determine verdadero (V) o falso (F): i) : Para todo delante de un enunciado, hace que este sea verdadero si la condición indicada la cumplen todos los elementos señalados. ii) : Existe delante de un enunciado, hace que este sea verdadero si la condición indicada la cumple uno o más de los elementos señalados. (a) x IR tal que x Z.... (f) x II se tiene que x Z.... (b) x IR se tiene que x Q.... (g) x IR tal que x( IR IR ).... (c) x Q tal que x II.... (h) x II se tiene que x IR.... (d) x Z se tiene que x IR.... (i) x IR tal que x II.... (e) x Q tal que x Z.... (j) x Q se tiene que x IR.... ) Complete colocando o para: (a) n a con n par y a 0 n a... IR (b) n a con n par y a 0 n a... IR (c) n a con n impar y a 0 n a... IR (d) n a con n impar y a 0 n a... IR 17 4) Sean los reales: a = ; b = ; 5 4 c = ; el orden correcto entre ellos es: 7 A) a > b > c B) a > c > b C) b > a > c D) b > c > a E) c > b > a (7) 5) Si a, b reales tales que a > 0 y b < 0 ; entonces es (son) siempre real(es): l) a b ll) a b lll) a b A) Sólo l B) Sólo ll C) Sólo lll D) Sólo l y ll E) Todas

8 6) Al determinar la vigésima cifra decimal A) 1 B) 4 C) 5 D) 7 E) 8 del real 4 7 ; esta es: 8) En la sucesión de números: 1,,5,7, 9,11,... se tiene que el término nº 45 es: A) 89 B) 91 C) 9 D) 95 E) 97 10) Se tiene que x es un número real positivo si: (1) x < 0 () x > 0 A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas; (1) y () D) Cada una por sí sola; (1) ó () E) Se requiere información adicional 7) Determine la última cifra del desarrollo de 15 : A) 1 B) C) 6 D) 7 E) 9 1 9) Se tiene que será siempre un x número real, si el número real x es: A) x > 0 B) x > 1 C) x 0 D) x 1 E) Cualquier real. 11) Si a, b IR ; se tiene que a b es un número real si: (1) a y b poseen igual signo. () a = b. A) (1) por sí sola B) () por sí sola C) Ambas juntas; (1) y () D) Cada una por sí sola; (1) ó () E) Se requiere información adicional Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-07 1) a) 1,077 b) 17,77 c) 40,018 d) 1,7 e) 40,757 f), ) a) Se pierde $,9 por kilo. b) Demora 9 minutos en llenarse. ) 4) Número Q II (a) /4 (b) (c) 16 (d) 5 (e),14 (f) 6 (g) 01, (h) 8 (i) 5 Número Redondeo Truncado (a) 15, ,55 15,54 (b) 1, ,478 1,478 (c) 0, ,877 0,876 (d) 5, ,679 5,678 (e) 75, ,555 75,555 (f) 0, ,778 0,777 (g) 19, ,78 19,78 5) E 6) C 7) E 8) A 9) B 10) D 11) C 1) D (8)