Índice. 1. deriv adas y sus aplicaciones. 3. Matrices. 2. integrales

Transcripción

1 Índice 1. deriv adas sus aplicaciones introducción DERIVADA... 1 recta tangente a una curva C en un punto p... 1 Derivada de una función en un punto... cálculo de derivadas... 5 t abla de derivadas... 7 reglas de derivación... 8 Derivada de una función compuesta Para ejercitar VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES Función estrictamente creciente en un punto 0 de su dominio Función estrictamente decreciente en un punto 0 de su dominio Función estrictamente creciente en un intervalo Función estrictamente decreciente en un intervalo máimos mínimos... 1 concavidad. puntos de infleión PROBLEMAS... 9 Para ejercitar... 0 Para recordar.... integrales introducción....1 CONCEPTO DE INTEGRAL... Área de una región limitada por una curva... 5 propiedades de la integral definida... 7 integral indefinida... 8 t abla de primitivas CÁLCULO DE INTEGRALES reglas de integración integración por sustitución integración por partes... 4 cálculo de la integral definida CÁLCULO DE ÁREAS Área encerrada entre dos curvas...48 Para ejercitar Para recordar Matrices introducción MATRICES. OPERACIONES matriz matriz de orden m n producto de un número real por una matriz Suma de matrices propiedades de la adición de matrices producto de matrices... 6 producto de un vector fila por un vector columna... 6 producto de dos matrices... 6 propiedades de la multiplicación de matrices matriz identidad matriz traspuesta DETERMINANTES Desarrollo del determinante por filas o por columnas método práctico para calcular determinantes V

2 inversa de una matriz cuadrada... 7 otra forma de calcular la matriz inversa...7. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistemas equivalentes t ransformaciones elementales que permiten pasar de un sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente resolución de un problema Sistema de ecuaciones lineales en forma matricial... 8 resolución matricial de un sistema para practicar Derivadas sus aplicaciones integrales matrices para ev aluar integración respuest as Derivadas sus aplicaciones integrales matrices integración Para ejercitar Para recordar Vi

3 1. Derivadas sus aplicaciones Introducción 1.1. Derivada Para aplicar (A, B, C, D, E, F) Para ejercitar (Ejercicios Nº- 1 al 0) 1.. Variación de las funciones Para aplicar (G, H e I) 1.. Problemas Para ejercitar (Ejercicios Nº- 1 al ) Para recordar Introducción Un artesano que tiene un taller a 10 km del río participará de una eposición que se realizará en una ciudad ubicada en la misma margen del río, a 60 km del taller. El artesano contratará un camión para el traslado terrestre una barcaza. El precio del traslado en barcaza es el 75% del precio del traslado en camión. En qué punto de la orilla deberá cargar la mercadería en la barcaza para que el costo del transporte sea mínimo? (Nota: suponer que el tramo de costa considerado en el problema es recto en toda su etensión.) 1.1 DERIVADA Recta tangente a una curva C en un punto P Dada una curva C un punto P perteneciente a ella, elegimos sobre C un punto Q distinto de P. P Q determinan una recta secante a la curva C (fig. 1). Si Q se mueve sobre C acercándose a P, la recta s se aproima a la recta t. s Q' Q P t s' Fig. 1 De la misma manera, la recta s, determinada por P Q, se aproima a t cuando Q se acerca sobre la curva a P. 1

4 La recta t es la tangente a la curva C en el punto P. Así, queda definida la recta tangente a la curva C en P como la posición límite a la cual tienden las secantes por la derecha por la izquierda del punto P. Observación: la tangente no siempre eiste, aun en el caso en que la función sea continua. Ejemplo 1 Sean C 1, C C las curvas de las figuras, 4 respectivamente P t1 b a P t P Fig. Fig. Fig. 4 t 1 es tangente a C en P (único punto en común con la curva). t es tangente a C en P (C t tienen infinitos puntos en común). no eiste tangente a C en P. Observemos que no eiste tangente a C en P, pues la posición límite a la cual tienden las secantes es distinta según se aproimen por la derecha o por la izquierda de P. Para aplicar - A a. Trazar las tangentes a las siguientes curvas en los puntos indicados: A D B C b. Indicar V o F. Justificar. b 1 ) Toda recta tangente a una elipse tiene un solo punto en común con la curva. b ) Si una recta es tangente a una sinusoide, entonces tiene infinitos puntos en común con la curva. b ) Toda recta que tiene un solo punto en común con una curva es tangente a la misma en dicho punto. b 4 ) Algunas rectas tangentes a una curva tienen un solo punto en común con dicha curva. Derivadas sus aplicaciones

5 Derivada de una función en un punto Sea f una función definida en el intervalo (a,b) P un punto de coordenadas ( 0 ; 0 ) tal que 0 ε (a,b) f( 0 ) = 0 (fig. 5) o P = f() a ( ) o b Fig. 5 Si damos a 0 un incremento 0 suficientemente pequeño de manera tal que pertenezca al (a, b), entonces al pasar de 0 a la función también se incrementa. Llamando 0 al incremento de la función, resulta: f( ) = (fig. 6) t o + o o P Q o s o o o + o Fig. 6 Como el incremento 0 se ha tomado suficientemente pequeño, el punto Q de coordenadas ( ; ) perteneciente a la gráfica de la función resulta mu próimo a P esta proimidad de Q a P será maor cuanto menor sea 0. Luego, si 0 0, Q se moverá sobre la curva hacia P la secante s determinada por dichos puntos tenderá a la recta tangente t. Observemos que cuando s tiende a t, β tiende a α (fig. 6) por consiguiente la pendiente de la secante tiende a la pendiente de la recta tangente. Es decir: lím pend. de s = tg α = pend. de t 0 0 ( ) f ( 0 ) pend. de s = 0 = f luego: ( ) f ( 0 ) pend. de t = lím 0 = lím f bajo la condición de que el límite eista. Derivadas sus aplicaciones

6 Llamamos f ( 0 ) a la pendiente de la recta tangente a = f() en el punto de abscisa 0 : ( ) = pend. de t = lím 0 f' = lím f f ( 0 ) es la derivada de f en el punto 0. ( ) f ( 0 ) Ejemplo Obtener la derivada de f() = en 0 =. 1) Calculamos el incremento 0. f( ) = ( ) = ( + 0 ) = ( 0 ) 0 = f( ) - f( 0 ) = ( 0 ) - 9 = ( 0 ) ) Formamos el cociente 0. 0 ( ) 0 = ) Calculamos el límite del cociente de incrementos para 0 0. ( ) lím 0 = lím = 9 Sacando factor común 0, salvamos la indeterminación: ( ) lím 0 = lím = luego: f () = 6 tg α = 6 Para aplicar - B a. Completar: a 1 ) f() = + 4; 0 = -1 f( ) = f( 0 ) = f( ) - f( 0 ) = ( ) f ( 0 ) ( ) f ( 0 ) f = lím f = f ( 0 ) = 4 Derivadas sus aplicaciones

7 a ) f() = - + ; 0 = f( ) = f( 0 ) = f( ) - f( 0 ) = ( ) f ( 0 ) f = lím f = f ( 0 ) = ( ) f ( 0 ) a ) f() = ; 0 = 1 f( ) = f( 0 ) = f( ) - f( 0 ) = ( ) f ( 0 ) f = lím f = f ( 0 ) = ( ) f ( 0 ) b. Dadas las gráficas de las funciones correspondientes a la parte a) trazar en cada caso la tangente en ( 0 ; 0 ). ( 0 ; 0 ) f() = + 4 f() = -1 ( 0 ; 0 ) f() = - + ( 0 ; 0 ) Cálculo de derivadas Hasta ahora hemos calculado la derivada de una función en un punto 0 perteneciente a un intervalo (a, b). Si es un punto cualquiera del (a, b) es un incremento positivo o negativo suficientemente pequeño de manera tal que + pertenezca al intervalo (a, b), llamamos derivada de f al límite cuando 0 del cociente de incrementos, siempre que ese límite eista. Es decir: ( ) = lím f+ ( ) f ( ) ( 1) f' 0 Observamos que si f tiene derivada en cada punto, es decir, si el límite (1) eiste, se obtiene a partir de f una nueva función que hace corresponder a cada valor de la derivada de f(). Esta función así definida se designa f (). Ejemplo Obtener la derivada de la función constante f () = c. Derivadas sus aplicaciones 5

8 Como f es constante, f( + ) = c. luego: ( ) f ( ) = f+ = c c = 0 entonces: lím = lím 0 = Por lo tanto: La derivada de la función constante es cero. Para aplicar - C a. Completar: a 1 ) f() = = = lím = 0 f () = a ) f() = = = lím = 0 f () = En general: Si f() = n es f () = n n-1 para todo n ε N Este resultado vale también si el eponente es un número real, es decir: Si f() = a ( > 0) es f () = a a-1 para todo a ε R 6 Derivadas sus aplicaciones

9 b. Calcular f () en cada uno de los siguientes casos, aplicando la fórmula anterior: ( ) = b 1 ) f b ) b ) f() = -4 b 4 ) f ( ) = f ( ) = 5 b 5 ) f ( ) = 1 6 c. Completar: c 1 ) f() = sen f( + ) - f() = ( ) f ( ) f+ f () = ( ) f ( ) = lím f+ 0 = c ) f() = cos f( + ) - f() = ( ) f ( ) f+ ( ) f ( ) = lím f+ 0 = f () = Si f() = sen entonces f () = cos. Si f() = cos entonces f () = - sen. Tabla de derivadas A partir de la definición de derivada es posible calcular, siempre que eista, la derivada de cualquier función. En la tabla siguiente aparecen algunas derivadas elementales. A partir de estas utilizando las reglas de derivación, es posible calcular otras derivadas sin necesidad de recurrir a su definición. f() f () c 0 n n n-1 1 a ( > 0) a a-1 sen cos cos - sen ln 1 log a e 1 log e a ln a e Derivadas sus aplicaciones 7

10 Reglas de derivación Derivada del producto de una constante por una función Si = f() es una función derivable en un intervalo (a, b) c es una constante, entonces c. f() es también derivable se cumple: (c. f() ) = c. f () Es decir: La derivada del producto de una constante por una función derivable es el producto de la constante por la derivada de dicha función. Ejemplo 4 entonces Si f() = c = 5 (5 ) = 5 ( ) = 5.. = 10 Derivada de la suma de dos funciones Si f g son dos funciones derivables en un intervalo (a, b) entonces f + g es derivable en (a, b) se cumple: (f + g) () = f () + g () Es decir: La derivada de una suma de dos funciones derivables es la suma de las derivadas de dichas funciones. Ejemplo 5 entonces Si f() = g() = (f + g) () = + (f + g) () = f () + g () = + Derivada de la diferencia de funciones Si f g son funciones derivables en (a, b), entonces f - g es derivable en (a, b) se cumple: (f - g) () = f () - g () Es decir: La derivada de la diferencia de dos funciones derivables es la diferencia de las derivadas de dichas funciones. Ejemplo 6 entonces: Si f() = g() = (f - g) () = - 1 (f - g) () = f () - g () = Derivadas sus aplicaciones

11 Derivada del producto de funciones Si f g son funciones derivables en (a, b), entonces f.g es derivable en (a, b) se cumple: (f. g) () = f (). g() + f(). g () Es decir: La derivada del producto de dos funciones derivables es el producto de la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más el producto de la primera sin derivar por la derivada de la segunda función. Ejemplo 7 entonces: Si f() = g() = (f. g) () = (f. g) () = = Derivada de un cociente de funciones Si f g son derivables en (a, b) g 0 en (a, b), entonces f es derivable en (a, b) se cumple: g f g ( ) = f' ( ).g( ) f ( ).g'( ) g ( ) [ ] Es decir: La derivada de un cociente de funciones es la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, dividida esta diferencia por el cuadrado del denominador. Ejemplo 8 entonces: Si f() = g() = f g ( ) = f g ( ) = 1.. = ( ). 6 = =. 5 = 6 6 = 5 7 Derivadas sus aplicaciones 9

12 Para aplicar - D a. Calcular f () utilizando la regla de derivación del producto de funciones: a 1 ) f() = ( 4 - ) a ) f() = sen. cos a ) f() = cos b. Calcular en cada uno de los siguientes casos f () aplicando la regla de derivación del cociente de funciones: b 1 ) f ( ) = +1 b ) f() = tg b ) f() / + f ( ) = + Derivada de una función compuesta Recordamos el concepto de función compuesta. Dadas dos funciones f: A B g: B C, se define una nueva función de A en C, que indicamos g o f, de la siguiente manera: (g o f) () = g (f()) Es decir, la composición de g o f es la función que hace corresponder a cada ε A un ε C tal que = g (f()) (fig. 7). A f B g C f() g [f()] g o f Fig. 7 Ejemplo 9 entonces: Ejemplo 10 entonces: Si f() = g() = sen (g o f) () = g (f()) = sen Si f() = + 1 g() = 4 (g o f) () = g (f()) = ( + 1) 4 10 Derivadas sus aplicaciones

13 Para calcular la derivada de una función compuesta debemos tener en cuenta las funciones que la componen. Si f g son dos funciones derivables en A B respectivamente, entonces g o f es derivable en A se cumple: (gof) () = [g(f())] = g (f()). f () Ejemplo 11 entonces: Si f() = g() = sen (g o f) () = g (f()) = sen (sen ) = g (f()). f () = cos. es decir: (sen ) = cos Ejemplo 1 Calcular la derivada de h() = ( - 1). Observemos que = h() puede epresarse como la composición de f() = - 1 g() =, es decir: h() = g (f ()) = ( - 1) luego: h () = g (f()) f () = ( - 1). 1 = ( - 1) Observación: la fórmula (g o f) () = g (f()). f () se llama regla de derivación en cadena en la práctica se aplica de la siguiente manera: Ejemplo 1 luego: Calcular la derivada de f() = sen. 1) Derivamos la función con respecto al cubo: sen ) Derivamos con respecto al seno: sen. cos f () = sen. cos El orden elegido para derivar las funciones es inverso al orden que se sigue para calcular el valor de f(), pues en este caso calculamos primero sen luego lo elevamos al cubo. Ejemplo 14 Calcular la derivada de f() = sen () 1) Derivamos con respecto al cubo: sen () ) Derivamos con respecto al seno: sen (). cos () ) Derivamos con respecto a : sen. cos. luego: f () = 6 sen. cos Derivadas sus aplicaciones 11

14 Derivadas sucesivas Dada una función f: A R (A R) derivable, su derivada es una función de puede tener por lo tanto una derivada. Si esto ocurre, llamamos a esta derivada de la derivada de f derivada segunda de f. Es decir: (f ()) = f () (derivada segunda de f) La derivada f () se llama derivada primera de f. Como f es también una función de, puede tener a su vez una derivada. Si esto ocurre llamamos a esta última derivada derivada tercera de f. Es decir: (f ()) = f () (derivada tercera de f) Análogamente se definen las derivadas sucesivas de f obteniéndose a partir de la derivación de la derivada de un cierto orden n la derivada de orden n + 1. Ejemplo 15 Obtener las derivadas sucesivas de f() = 5. f () = 5 4 f IV () = 10 f () = 0 f V () = 10 f () = 60 f VI () = 0 A partir de la derivada de orden 6, son todas las derivadas sucesivas iguales a cero. Ejemplo 16 Calcular las derivadas sucesivas de f() = sen. f () = cos f () = - cos f () = - sen f IV () = sen A partir de la derivada de orden 4 de f() = sen, las derivadas sucesivas se repiten periódicamente. Para aplicar - E a. Calcular en cada caso la derivada de f aplicando la regla de derivación en cadena. a 1 ) f() = sen 5 a ) f() = ( + ) 5 a ) f() = ln(sen ) a 4 ) f() = + a 5 ) f() = cos 5 ( + 1) b. Calcular las derivadas sucesivas de f en cada uno de los siguientes casos: b 1 ) f() = b ) f() = b ) f() = cos b 4 ) f() = ( + ) 1 Derivadas sus aplicaciones

15 Interpretación física de la derivada La epresión = 0 + v 0 t + 1 at es la función horaria = f(t) que corresponde al MRUV (movimiento rectilíneo uniformemente variado). Esta función permite establecer la posición (abscisa) del móvil para cualquier valor del tiempo t cuando se conocen 0, v 0 a, donde: 0 es la abscisa en el instante t = 0 (constante) v 0 es la velocidad inicial (constante) a es la aceleración (constante) Como = f(t) es una función derivable, eiste la derivada primera es f (t) = v 0 + at que es la fórmula de la velocidad en el MRUV. Derivando f (t) se obtiene: f (t) = a En el MRUV, la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo la velocidad es la derivada de la función horaria respecto del tiempo. Para aplicar - F a. Determinar la aceleración que adquiere un cuerpo sometido a un movimiento cua función horaria es = f(t) = 6 - t + t. b. Determnar la velocidad de un cuerpo en el instante t = seg, si la función horaria del movimiento es = f(t) = 5t + 10t. PARA EJERCITAR 1. Calcular las derivadas de las siguientes funciones en los puntos indicados. ( ) = 1 ; 0 = a) f b) f ( ) = + 4 ; 0 = 1 ( ) =. ; 0 = f ( ) = sen ; 0 = π c) f d) e) f() = ln ; 0 = f) f ( ) = + ; 0 = 1 ( ) = cos + sen ; 0 = π 4 g) f h) f ( ) = ; 0 = 1. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva = f() en el punto de abscisa 0, siendo: a) f() = +, 0 = 1 b) f() = , 0 = 0 c) f() = - + 5, 0 = -1 Derivadas sus aplicaciones 1

16 . Calcular la pendiente la inclinación de la tangente a cada una de las siguientes parábolas en el punto de abscisa =. Representar gráficamente. a) f() = b) f() = c) f() = Dada f() = - 1, hallar las ecuaciones de las rectas tangente normal a la curva en 0 =. Graficar. 5. Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el origen es paralela a la recta t, siendo t la tangente a f() = + en 0 = Hallar el punto de la curva = 1-4 en el cual la inclinación de la tangente es de 45º. 7. Determinar la ecuación de la recta tangente a f() = 1 definida en el intervalo (0,5) que forma un ángulo de 15º con el eje X. 8. Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones: a) f b) c) f d) f() = ln. e) f f) g) ( ) = cos f ( ) = e ( ) = + ( ) = sen f ( ) = cos +1 ( ) = 1 9. Dada f, hallar los puntos de su gráfica donde la recta tangente tiene pendiente Hallar los puntos de la gráfica en los cuales la tangente a f ( ) = tiene una inclinación de 45º Derivar las siguientes funciones. a) f() = ( - 1) 5 b) f() = sen (8 + 1) c) f() = e +1 d) f() = cos (ln ) e) f() = 1n ( ) log 1. Calcular las derivadas sucesivas de f en cada uno de los siguientes casos: a) f() = b) f() = ( - 1) c) f() =. e f ( ) = Calcular la pendiente de la recta tangente a f() = sen 4 en 0 = π. 14. Calcular para qué valores de se anula la derivada de f() = Derivadas sus aplicaciones

17 ( ) = Calcular para qué valores de la derivada de f es igual a Dada f() = -, calcular el área del triángulo determinado por el eje X las rectas tangente normal a la curva en 0 = 1. Graficar. 17. Dada f() = , calcular para qué valores de se anula la derivada segunda de f. 18. Se deja caer una pelota con una velocidad inicial de 0 m/seg. Determinar su velocidad a los segundos (g 10 m/seg ). 19. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba a una velocidad inicial de 40 m/seg. Calcular su velocidad en el instante t = seg. 0. Determinar la aceleración que adquiere un cuerpo sometido a un movimiento cua función horaria es f(t) = - t + t. 1. VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES Función estrictamente creciente en un punto 0 de su dominio Dada f: A R (A R), decimos que f es estrictamente creciente en 0 ε A (fig. 8) si eiste un entorno de 0, E ( 0, δ) A, tal que: si 1, ε E ( 0, δ) 1 < 0 < f( 1 ) < f( 0 ) < f( ) f( ) f( 0 ) f( 1 ) = f() ( ) 1 0 Fig. 8 Trazando la tangente a = f() en ( 0 ; f( 0 )) (fig. 9) f( 0 ) = f() t ( ) 0 Fig. 9 Derivadas sus aplicaciones 15

18 observamos que t, tangente en ( 0 ; f( 0 )), tiene pendiente positiva, como resulta que la derivada de la función en 0 es positiva. pend. de t = f ( 0 ) Función estrictamente decreciente en un punto 0 de su dominio Dada f: A R (A R), decimos que f es estrictamente decreciente (fig. 10) en 0 ε A si eiste un entorno de 0, E( 0, δ) A tal que: si 1, ε E ( 0, δ) 1 < 0 < f( 1 ) > f( 0 ) > f( 1 ) f( 1 ) f( 0 ) f( ) = f() ( 1 0 ) Fig. 10 Trazando la recta t, tangente a = f() en el punto de coordenadas ( 0 ; f( 0 )) (fig. 11), se ve que la pendiente de t es negativa. Luego, como pend. de t = f ( 0 ) resulta que : f ( 0 ) < 0 t f( 0 ) = f() ( ) 0 Fig Derivadas sus aplicaciones

19 Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema: Teorema 1 Entonces: Si f: A R, (A R) es derivable en (a, b) A 0 ε (a, b) f ( 0 ) > 0 f es estrictamente creciente en 0. f ( 0 ) < 0 f es estrictamente decreciente en 0. Función estrictamente creciente en un intervalo Dada f: A R, (A R), decimos que f es estrictamente creciente en el intervalo (a,b) (fig. 1)((a,b) A) si: para todo par de puntos 1, ε (a, b) tal que 1 < se cumple f( 1 ) < f( ) = f() a b c Fig. 1 Así, f (fig. 1) es creciente en (a,b) mientras que en (a,c) no lo es. Observemos que si trazamos la tangente a la curva en cualquier punto de coordenadas ( ; f()) con ε (a, b) la pendiente de dicha tangente es positiva. Luego, si ε (a, b) resulta f () > 0 (fig. 1). t f() = f() a b Fig. 1 Derivadas sus aplicaciones 17

20 Función estrictamente decreciente en un intervalo Dada f: A R, (A R), decimos que f es estrictamente decreciente en (a,b) ((a,b) A) (fig. 14) si: para todo par de puntos 1, ε (a, b) tal que 1 < se cumple f( 1 ) > f( ) = f() a 1 b 4 c Fig. 14 Así, f (fig. 14) es estrictamente decreciente en (a, b), pero no lo es en (a, c), pues, si bien, ε (a, c) < f( ) > f( ), eligiendo el par de puntos, 4 se verifica < 4 pero f( ) < f( 4 ). Observemos que si trazamos la tangente t en cualquier punto ( ; f()) con ε (a, b), la pendiente de dicha recta es negativa. Luego, si ε (a, b) resulta f () < 0 (fig. 15). f() t = f() a b Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema: Teorema Fig. 15 Entonces: Si f: A R, (A R) es continua en [a,b] [(a,b] A) derivable en (a,b) f () > 0 para todo ε (a,b) f es estrictamente creciente en (a,b). f () < 0 para todo ε (a,b) f es estrictamente decreciente en (a,b). Utilizando el teorema podemos determinar los intervalos de crecimiento decrecimiento de una función. Ejemplo 1 Determinar los intervalos de crecimiento de decrecimiento de la función f() = ) Hallamos f (): f () = Derivadas sus aplicaciones

21 ) Determinamos el conjunto de puntos que verifica f () > > 0 > 5 luego: la función es creciente en (- 5, + ) ) Determinamos el conjunto de puntos que verifica f () < 0 luego: + 5 < 0 < - 5 la función es decreciente en (-, - 5 ) 4) Intervalo de crecimiento: (- 5, + ) Intervalo de decrecimiento: (-,- 5 ) 5) Representamos mediante el siguiente diagrama los signos de la derivada de f. f decrece 5 + f crece 6) Gráfica de = = Derivadas sus aplicaciones 19

22 Para aplicar - G a. Completar indicando el intervalo correspondiente: a 1 ) a ) = f() = f() 6 f es creciente en (, ) f es creciente en (, ) f es decreciente en (, ) f es decreciente en (, ) a ) a 4 ) = f() = f() f es creciente en (, ) f es creciente en (, ) f es decreciente en (, ) f es decreciente en (, ) b. Indicar V o F. b 1 ) g es creciente en (b,c) b ) g es decreciente en (d,e) b ) g es decreciente en (a,c) b 4 ) g es creciente en (e,f) b 5 ) g es decreciente en (f, ) a b = g() c d e c. Hallar los intervalos de crecimiento decrecimiento de f() = siguiendo los pasos indicados: 1) Hallar f (). ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () > 0. ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () < 0. 4) Determinar: Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento 5) Diagrama 6) Gráfica de la función 0 Derivadas sus aplicaciones

23 d. Hallar los intervalos de crecimiento de decrecimiento de la función = siguiendo los pasos indicados: 1) Hallar f (). ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () > 0. ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () < 0. 4) Determinar: Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento 5) Diagrama 6) Gráfica de la función e. Hallar los intervalos de crecimiento de decrecimiento de la función f() = sen en [-π, π ] siguiendo los pasos indicados: 1) Hallar f (). ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () > 0. ) Determinar el conjunto de puntos que verifican f () < 0. 4) Determinar: Intervalo de crecimiento Intervalo de decrecimiento 5) Diagrama 6) Gráfica de la función Máimos mínimos Máimo relativo Dada f: A R, (A R), decimos que f tiene un máimo relativo en 0 ε A si es posible hallar un entorno de 0, E ( 0, δ) A tal que para todo perteneciente a ese entorno sea f( 0 ) f() (fig. 16). = f() f( 0 ) = f() 0 f( 0 ) 0 Fig. 16 Fig. 17 Mínimo relativo Dada f: A R, (A R), decimos que f tiene un mínimo relativo en 0 ε A si es posible hallar un entorno de 0, E( 0, δ) A tal que para todo perteneciente a ese entorno sea f( 0 ) f() (fig. 17). En la búsqueda de un máimo o de un mínimo relativo se comparan los valores de la función en un punto con los valores que toma la función en un entorno de ese punto. Observemos que si 0 es un punto donde la función alcanza un máimo relativo la derivada eiste es finita, entonces: 1) f ( 0 ) no puede ser negativa porque la función en ese caso sería decreciente en 0. ) f ( 0 ) no puede ser positiva porque en ese caso sería f creciente en 0. Derivadas sus aplicaciones 1

24 Luego, debe ser f ( 0 ) = 0. Gráficamente se ve que en ese punto la tangente a = f() es horizontal (fig. 18). f( 0 ) t 0 = f() Fig. 18 Análogamente, si en 0 f tiene un mínimo relativo f ( 0 ) eiste es finita, entonces debe ser f ( 0 ) = 0 la tangente también resulta horizontal (fig. 19). = f() f( 0 ) 0 t Fig. 19 Teorema Sea f: A R, (A entonces f ( 0 ) = 0. R) derivable en 0 ε A. Si en 0 la función tiene un máimo o un mínimo relativo Podemos afirmar que: Si en 0 f tiene un máimo relativo entnces f ( 0 ) = 0 Si en 0 f tiene un mínimo relativo entonces f ( 0 ) = 0 Sin embargo, la condición f ( 0 ) = 0 no es suficiente para asegurar la eistencia de máimo o mínimo relativo en 0. = g() P t Q t 0 0 = f() Fig. 0 Fig. 1 Derivadas sus aplicaciones

25 Así, en la figura 0 se ve que en el punto P = ( 0 ; f( 0 )) la función tiene tangente horizontal alcanza un máimo relativo en 0, mientras que = g () (fig. 1) tiene en Q = ( 0 ; f( 0 )) tangente horizontal pero no alcanza en 0 máimo ni mínimo relativo. Por lo tanto, para determinar un máimo o mínimo relativo, además de buscar el punto 0 donde f ( 0 ) = 0, es necesario analizar el comportamiento de la función en un entorno de 0. Ejemplo La función cua gráfica se representa en la figura tiene un máimo en 0. Observemos que en 0 la función pasa de creciente a decreciente en un entorno de 0. Es decir, la tangente pasa de positiva a la izquierda de 0 a negativa a la derecha de 0 en dicho entorno. f( 0 ) t 1 0 = f() Fig. Ejemplo 4 La función representada en la figura tiene un mínimo en 0. En dicho punto la función pasa de decreciente a creciente. Luego en un entorno de 0 la tangente pasa de negativa a la izquierda de 0 a positiva a la derecha de 0. = f() f( 0 ) t 1 0 Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema: Teorema 4 Fig. Si en un entorno de 0, al crecer pasando por el valor 0, la derivada f pasa de: a) positiva a negativa, entonces f tiene un máimo relativo en 0. b) negativa a positiva, entonces f tiene un mínimo relativo en 0. c) positiva a positiva o de negativa a negativa, entonces f no tiene etremo relativo en 0. Aclaración: los máimos mínimos relativos se llaman etremos relativos. Derivadas sus aplicaciones

26 Ejemplo 5 Dada f: R R por f() = -, hallar los etremos relativos construir la gráfica aproimada de la función. 1) Determinamos los puntos en los cuales se anula f (). f () = = 0 ( - ) = 0 = 0 = 0 o - = 0 = La derivada se anula entonces en 1 = 0 en = ) Analizamos el comportamiento de la función en un entorno de 1 luego en un entorno de. Si < 0 es f () = ( - ) > 0 Si > 0 < es f () = ( - ) < 0 Luego, la función tiene un máimo en 1 = 0. Si < > 0 es f () < 0 Si > es f () > 0 Luego, la función alcanza un mínimo en =. + + f crece 0 f decrece f crece Intervalos de crecimiento: (-,0), (,+ ) Intervalo de decrecimiento: (0,) Punto de la curva donde f alcanza el máimo: ( 1 ; f( 1 )) = (0;0) Punto de la curva donde f alcanza el mínimo: ( ; f( )) = ( ; - 8 ) ) Hallamos los ceros de la función resolviendo la ecuación - = 0 factoreando: = 0 = 0 ( 1-1) = = 0 = Ceros de la función: = 0 4 = 4 Derivadas sus aplicaciones

27 4) Conocidos los etremos de la función los puntos donde ésta corta el eje X, podemos hacer la siguiente gráfica aproimada de f() = - : Máimo absoluto f: A R, (A R) tiene un máimo absoluto en 0 ε A si solo si f() f( 0 ) para todo ε A El máimo relativo de la función del ejemplo (fig. ) es un máimo absoluto. Mínimo absoluto f: A R, (A R) tiene un mínimo absoluto en 0 ε A si sólo si f() f( 0 ) para todo ε A El mínimo relativo de la función del ejemplo 4 (fig. ) es un mínimo absoluto. Para aplicar - H a. Dada f: R R por f() = - + hallar los etremos relativos construir la gráfica aproimada siguiendo los pasos 6 indicados. 1) Determinar los puntos en los cuales se anula f (). ) Analizar el comportamiento de la función en los entornos de los puntos donde se anula f (). Máimo/s Mínimo/s Diagrama de signos de la derivada: Intervalo/s de crecimiento: Intervalo/s de decrecimiento: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los máimo/s: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los mínimo/s: ) Hallar los ceros de la función. Cero/s de la función: 4) Trazar la gráfica aproimada de f() = Derivadas sus aplicaciones 5

28 b. Dada f: R R por f() = + 5, hallar los etremos relativos construir la gráfica aproimada, siguiendo los pasos indicados en a. 1) ) Máimo/s Mínimo/s Diagrama de signos de la derivada: Intervalo/s de crecimiento: Intervalo/s de decrecimiento: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los máimo/s: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los mínimo/s: ) Cero/s de la función: 4) c. Dada f: R R por f() = - 1, hallar los etremos relativos construir la gráfica aproimada, siguiendo los pasos indicados en a. 1) ) Máimo/s Mínimo/s Diagrama de signos de la derivada: Intervalo/s de crecimiento: Intervalo/s de decrecimiento: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los máimo/s: Punto/s de la curva donde f alcanza el/los mínimo/s: ) Cero/s de la función: 4) Concavidad. Puntos de infleión Dada = f() (fig. 4) consideremos un punto Q de su gráfica donde eista tangente esta no sea paralela al eje Y. f() Q t = f() ( ) 0 0 -δ 0 +δ Fig. 4 Llamando t a la tangente a = f() en Q = ( 0 ; 0 ) podemos decir, observando la figura 4, que en un entorno de 0 la gráfica de f se conserva por debajo de t. En este caso se dice que f es cóncava hacia abajo en Q o bien que tiene concavidad negativa en Q. 6 Derivadas sus aplicaciones

29 Decimos que una curva es cóncava hacia abajo o que tiene concavidad negativa en Q = ( 0 ; 0 ) si todos los puntos de la curva próimos a Q están por debajo de la tangente a la curva en el punto Q. Análogamente, decimos que una curva es cóncava hacia arriba o que tiene concavidad positiva en Q = ( 0 ; 0 ) si todos los puntos de la curva próimos a Q están por arriba de la tangente a la curva en el punto Q (fig. 5). f() Q = f() 0 t Fig. 5 Una función continua puede presentar concavidad positiva en algunos intervalos concavidad negativa en otros. Por lo tanto eistirán, en esos casos, puntos del dominio donde se produce el cambio de concavidad. Estos puntos se llaman puntos de infleión. Veamos cómo la determinación de intervalos de concavidad positiva o negativa puntos de infleión se relacionan con el signo de la derivada segunda. Consideremos la gráfica de la funión = g() (fig. 6). A B C B E = g() Fig. 6 Observando la gráfica de = g() se ve que la curva tiene concavidad positiva en el intervalo ( 0, ) concavidad negativa en (, 4 ). Por otra parte, analizando la derivada de g se ve que en el intervalo ( 0, ), g es una función creciente pues pasa de ser negativa a ser positiva. Luego, si eiste la derivada segunda debe ser g () > 0 en ( 0, ). Del mismo modo, se ve que en el intervalo (, 4 ) g es decreciente, pues pasa de positiva a negativa. Luego, si eiste g, debe ser g () < 0. Los puntos, pertenecientes a la gráfica de g, de abscisas 4 son de infleión, pues en ellos se produce un cambio en el sentido de la concavidad. La derivada segunda en 4 es nula. Derivadas sus aplicaciones 7

30 Aceptaremos sin demostración el siguiente teorema: Teorema 5 Si f es continua en [a, b] eiste f en (a, b) entonces: a. Si f () > 0 para todo ε (a, b), f es cóncava hacia arriba en (a,b) b. Si f () < 0 para todo ε (a, b), f es cóncava hacia abajo en (a,b) c. Si f ( 0 ) = 0 para algún 0 ε (a, b) cambia de signo en 0 es ( 0 ; 0 ) un punto de infleión de f. Ejemplo 6 Dada f() = -, determinar intervalos de concavidad puntos de infleión. 1) Hallamos los puntos donde se anula la derivada segunda. f () = - 4 f () = 6-4 = 0 = ) Determinamos los intervalos de concavidad. Resolvemos la inecuación f () > > 0 > luego: f tiene concavidad positiva en (, + ) Resolvemos la inecuación f () < < 0 < luego: f tiene concavidad negativa en (-, ) Como f cambia de concavidad en = entonces f tiene un punto de infleión en ( ; - 16 ). 7 Para aplicar - I a. Dada f() = +, determinar intervalos de concavidad puntos de infleión siguiendo los pasos indicados. 1) Hallar los puntos donde se anula f (). ) Determinar los intervalos de concavidad. Punto/s de infleión: b. Dada f() = -, determinar intervalos de concavidad puntos de infleión, procediendo como en a. 1) ) Punto/s de infleión: 8 Derivadas sus aplicaciones

31 1. PROBLEMAS Problema 1 Con una hoja de cartón de 54 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa de base cuadrada capacidad máima. Calcular las dimensiones que debe tener la caja. Solución Para construir la caja debemos trazar paralelas a los lados a una distancia de cada borde de la hoja, recortar los cuadrados de lado determinados en cada esquina luego doblar la hoja por las líneas marcadas (fig. 7) Fig. 7 Fig. 8 De esta manera se construe una caja (fig. 8) de altura, área de la base igual a (54 - ) capacidad C, donde: C = (54 - ). o bien, C = como C es función de, es decir, C = f() = el problema a resolver consiste en hallar un máimo de f(). Calculamos la derivada: f () = factoreando resulta: f () = 1 ( - 7) ( - 9) luego: f () = 0 si = 7 ó = 9 Si = 7 es C = 0, entonces ese valor no nos sirve pues no es posible armar una caja cua capacidad sea igual a cero. Si = 9, C toma el valor máimo, pues en = 9, f () pasa de positiva a negativa. Entonces, las dimensiones de la caja son: lado de la base: 6 cm, altura: 9 cm. Problema De todos los rectángulos de 5 cm de superficie, cuál es el de menor perímetro? Solución Si llamamos a la base, a la altura p al perímetro del rectángulo (fig. 9), es: p = + (1) como. = 5 es = 5 () reemplazando () en (1): Derivadas sus aplicaciones 9

32 50 p = + como p es función de, es decir: p = f() = + 50 derivando f(), resulta: f () = - 50 que se anula para = 5. Fig. 9 Estudiando la variación de la derivada en un entorno de 5, se ve que p = f() tiene un mínimo en = 5. Luego el rectángulo buscado es un cuadrado de 5 cm de lado. 5 PARA EJERCITAR 1. Determinar los intervalos en los cuales las siguientes curvas son crecientes o decrecientes hallar sus etremos relativos. a) f() = b) f() = 5-5 c) f() = Determinar los intervalos de concavidad de las siguientes curvas hallar sus puntos de infleión. a) f() = + b) f() = c) f() = Determinar máimos, mínimos puntos de infleión de las siguientes funciones: a) f() = b) f() = cos en [0, π] c) f() = Dada f() = -, determinar: a) Intervalos de crecimiento decrecimiento. b) Intervalos de concavidad. c) Máimos mínimos relativos. d) Puntos de infleión. Construir la gráfica de la función Determinar intervalos de crecimiento, intervalos de concavidad, etremos relativos puntos de infleión de f() = + 9. Graficar la función en el intervalo (-5, 5). 6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f() = - en el punto de infleión. 7. Hallar los etremos relativos puntos de infleión de f() = sen en el intervalo [0, π] 0 Derivadas sus aplicaciones

33 8. Dada la función f ( ) = si < 0 + si 0 determinar: a) Puntos de discontinuidad. b) Máimos mínimos. c) Puntos de infleión. d) Ecuación de la recta tangente en =. e) Ecuación de la recta perpendicular a la recta tangente en =, en el punto de tangencia. f) Puntos del intervalo (-, 0) donde la tangente tiene pendiente. 9. Calcular el número positivo que sumado con su inverso multiplicativo da por resultado una suma mínima. 0. Con 40 dam de alambre se quiere delimitar una superficie rectangular. Cuáles deben ser las dimensiones para que el área sea máima? 1. Sobre un heágono se construe una pirámide regular de arista lateral 8. Hallar su altura para que el volumen sea máimo.. Calcular la altura el radio de un tanque cilíndrico sin tapa para que, con una capacidad de 10 kl, tenga superficie mínima.. Resolver el problema planteado en la introducción. Derivadas sus aplicaciones 1

34 PARA RECORDAR DERIVADA Derivada de una función en un punto f ( 0 ) = a = tg α f() t α 0 VARIACIÓN DE LAS FUNCIONES Etremos relativos f tiene un máimo relativo en 0 si: signos de f' 0 f'( 0 ) = 0 + f crece 0 f decrece f tiene un mínimo relativo en 0 si: signos de f' 0 f'( 0 ) = 0 f decrece 0 + f crece Punto de infleión f"() > 0 f"() < f"() < 0 f"() > ( 0 ; 0 ) es un punto de infleión de f si: f ( 0 ) = 0 f cambia de signo en 0 Derivadas sus aplicaciones